文档内容
考向 34 空间中的垂直关系
1．（2011·浙江高考真题（理））下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面
B．如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面
C．如果平面 平面 ，平面 平面 ， ，那么 平面
D．如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
【答案】B
【分析】
对选项A，B，C可通过作图证明，对D，可以运用反证法的思维方式证明正确性.
【详解】
对A，如图，平面 平面 ， ， ，若 ，由线面平行的判定定理可得 ，故A正确；
由A可知，B错误；
对C，如图，设 ， ，在 内直线 外任取一点 ，作 ，因为平面 平面 ，
所以 ，所以 ，作 ，因为平面 平面 ，所以 ，所以 ，又因为
，所以 平面 ，故C正确；对D，若平面 内存在直线垂直于平面 ，根据面面垂直的判定，则有平面 垂直于平面 ，与平面 不
垂直于平面 矛盾，所以根据逆否命题可知，如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线
垂直于平面 ，故D正确.
故选：B
2．（2021·山东高考真题）如下图，在四棱锥 中，底面 是正方形，平面 平面
， ， ．
（1）求 与 所成角的余弦值；
（2）求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
(1)由题意可得 即为SA 与 BC所成的角，根据余弦定理计算即可；
(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.
【详解】
【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】（1）因为 ，因此 即为 与 所成的角，在 中， ，
又在正方形 中 ，因此 ，
因此 与 所成角的余弦值是 ．
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ，在正方形 中， ，
因此 平面 ，又因为 平面 ，因此 ．
(1)面面垂直判定的两种方法与一个转化
①两种方法：
(ⅰ)面面垂直的定义；
(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β)．
②一个转化：
⊂ ⇒
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然
后进一步转化为线线垂直．
(2)面面垂直性质的应用
①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
1．直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面
判定
内的两条相交直线垂直， l⊥α
定理
那么该直线与此平面垂直
⇒
性质 垂直于同一个平面的两条
a∥b
定理 直线平行
⇒2.平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面
判定
的垂线，那么这两个平面垂 α⊥β
定理
直
⇒
两个平面垂直，如果一个平
性质 面内有一直线垂直于这两个
l⊥α
定理 平面的交线，那么这条直线
⇒
与另一个平面垂直
3.空间角
(1)直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
②范围：.
(2)二面角
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条
射线所成的角叫做二面角的平面角．
③二面角的平面角的范围：[0，π]．
【知识拓展】
1．（2021·河南高三月考（文））设 ， 是两个不重合的平面， ， 是两条直线，下列命题中，真
命题是（ ）A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
2．（2021·全国高一课时练习）如图，在正方形 中，E、F分别为 、 的中点，H是 的中点.
现沿 、 、 把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是
（ ）
A． 平面 B． 平面
C． 平面 D． 平面
3．（2021·陕西汉中·高三月考（理））如图，在平面四边形 中，
为 的中点，将 沿 折起，使得 ，以 为球心，
为半径的球与三棱锥 各面交线的长度和为___________.
4．（2021·四川德阳·（理））在直角三角形 中， ， 是斜边 的中点，将 沿直线
翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 ，则 边长的最大值为______.1．（2021·大名县第一中学高二开学考试）已知直线a，b和平面 ，下列推论错误的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ， 或
D． ，
2．（2021·浙江高三专题练习）在四边形 中， ，将
沿 折起，使平面 平面 ，构成三棱锥 ，如图，则在三棱锥 中，下
列结论正确的是（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
3．（2022·全国高三专题练习（理））如题图所示，在长方体 中， ，对
角线 与平面 所成的角为 ，若一个球的直径与对角线 相等，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国高三专题练习（理））《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马 中，侧棱 底面，且 ，过棱 的中点 ，作 交 于点 ，连接 ， ， ， .则在阳
马 中，鳖臑的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国（理））如图，在圆柱 中，正三棱柱 的所有顶点分别在圆柱的上、下底
面的圆周上， 为 上一点， ， 为 的中点，则下列关系正确的是（ ）
① 平面 ；② 平面 ；③ 平面 ；④ 平面 ．
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
6．（2021·全国高三专题练习（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国
古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为
矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 中， ，若 ，当阳
马 的体积最大时，堑堵 中异面直线 所成角的大小是（ ）A． B． C． D．
7．（2022·全国（文））在如图所示的直三棱柱 中， ， ，过点 作平面
分别交棱 ， 于点 ， ，且 ， ，则截面 面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千
多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底
面的四棱锥；鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体．在如图所示的堑堵 中，已知
， ，若阳马 的侧棱 ，则鳖臑 中，点C到平面 的距
离为________．9．（2021·全国）如图，在棱长为 的正方体 中， ， 在线段 上， ， 分别
在线段 ， 上，且 ， ， ，动点 在平面 内，若 ，
与平面 的所成角相等，则线段 长的最小值是______．
10．（2021·通辽新城第一中学高三（理））如图，长为4，宽为2的矩形纸片 中， 为边 的中
点，将 沿直线 翻转至 ( 平面 )，若 为线段 的中点，则在 翻转过程中，
下列正确的命题序号是___________.
① 平面 ；
②异面直线 与 所成角是定值；③三棱锥 体积的最大值是 ；
④一定存在某个位置，使
11．（2021·云南昆明市·高三（文））如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面
是正三角形，平面 平面 ， 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
12．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））如图，在四棱锥
中，底面 为正方形，△ 是正三角形，侧面 底面 ， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 与四棱锥 的体积比.
1．（2020·山东高考真题）已知正方体 （如图所示），则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
2．（2007·四川高考真题）如图， 为正方体，下面结论错误的是（ ）
A． 平面
B．
C． 平面
D．异面直线 与 所成的角为
3．（2008·湖南高考真题（文））已知直线m,n和平面 满足 ,则
A． B． C． D．
4．（2013·全国高考真题（文））已知正四棱柱 中， ，则CD与平面 所
成角的正弦值等于
A． B． C． D．
5．（2012·安徽高考真题（理））设平面 与平面 相交于直线 ，直线 在平面 内，直线 在平面
内，且 则“ ”是“ ”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分不必要条件
6．（2021·全国高考真题）（多选题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为
正方体的顶点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019·全国高考真题（文））已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，
BC的距离均为 ，那么P到平面ABC的距离为___________．
8．（2007·浙江高考真题（理））已知点 在二面角 的棱上，点 在 内，且 ．
若对于 内异于 的任意一点 ，都有 ，则二面角 的大小是_________．
9．（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
E，F分别为 和 的中点， .（1）求三棱锥 的体积；
（2）已知D为棱 上的点，证明： .
10．（2021·全国高考真题（文））如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为
的中点，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积．1．【答案】C
【分析】
对选项A、B、D可以在正方体中取特殊直线、平面进行否定，对于C，利用面面垂直的判定定理进行证明.
【详解】
在正方体中分别取平面和直线进行验证：
对于A：如图示，所取的直线m、n和平面 满足 ， ，但是 .故A错误；
对于B：如图示，所取的直线m和平面 满足 ， ，但是 相交.故B错误；
对于C：
因为 ，过m的一个平面 ，则 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 .
故C正确.
对于D：如图示，所取的直线m、n和平面 满足 ， ， ，但是 .故D错误；
故选：C2．【答案】A
【分析】
根据题意，结合线面垂直的判定与性质，一一判断即可.
【详解】
对于选项A，∵B、C、D重合于点G，∴ ， ， ，
∴ 平面 ，故A正确；
对于选项B，由A选项可知， 平面 ，因 与 不平行，知 不垂直与平面 ，故B错；
对于选项C，由 不与 垂直，得 不与 垂直，进而可知 不垂直于平面 ，
故C错；
对于选项D，由B选项可知， 不垂直于平面 ，且 ，得 不垂直 ，进而可知 不
垂直于平面 .
故选：A.
3．【答案】
【分析】
根据线面垂直和面面垂直的判定可证得面 面ABC，从而得球D与面BDC，面BAD，面ADC的交线分别
为 圆弧， 圆弧， 圆弧，再过D作 于F，所以以D为球心，以DE为半径的球与平面ABC也相
交，从而求得答案.
【详解】
翻折后形成的几何体如图所示，由题意知 ，所以 ，
所以 平面ACD，
由E为AC的中点得， ， ，所以 面BDE，所以面 面ABC，
所以球D与面BDC，面BAD，面ADC的交线分别为 圆弧， 圆弧， 圆弧，过D作 于F，所以
，
故以D为球心，以DE为半径的球与平面ABC也相交,其交线是以F为圆心，以 为半径的圆，所以球与三棱锥 各面交线的长度和为
故答案为： .
【点睛】
关键点睛：本题考查折叠问题，球与多面体的截面问题，关键在于运用空间的线面关系得出球与多面体的
每一个面相截的截面形状.
4．【答案】
【分析】
取 中点 ，翻折后可证 平面 ，又 平面 ，所以 ，由 为 中点，则此时
为等腰三角形，从而可得 ，然后求出 的长，根据能构成三角形三边的关系建
立不等式，再求出翻折后，当 与 在一个平面上的情况，得出答案.
【详解】
设 ,
由题意得， ，取 中点 ，翻折前，在图1中，连接 ，则 ，
翻折后，在图2中，此时 ．
， 平面 ，
又 平面 ，所以
由 为 中点，则此时 为等腰三角形， ，
， ，
在 中：① ，② ，③ ；
由①②③可得 ．
如图3，翻折后，当 与 在一个平面上，
与 交于 ，且 ， ， ，
又 ， ，
， ，此时 .
综上， 的取值范围为 ，
故答案为：
【点睛】
关键点睛：本题考查翻折问题和线面垂直关系的证明和应用，解答本题的关键是由条件证明出 平面
，从而得到 ，求出 的长，根据能构成三角形三边的关系建立不等式，属于中档
题.1【答案】D
【分析】
由线面垂直的性质可判断A；由线面垂直的判定可判断B；由线面垂直的性质可判断C；由线面平行的性质
定理可判断D.
【详解】
， ，由线面垂直的性质可得 ，故A正确；
， 由线面垂直的判定定理可得 ，故B正确；
， 或 ，故 C正确；
， 或 与 异面，故D错误.
故选：D.
2．【答案】B
【分析】
首先根据题意画出平面图形，从而得到四边形 为直角梯形，再结合立体图形易证 平面 ，
再根据线线，线面，面面的垂直关系转化判断选项.
【详解】
如图所示：
因为 ， ， ，所以四边形 为直角梯形.
所以 .
又因为 ，所以 ，即 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 , 平面 ， ，
所以 平面 ，
若平面 平面 ，那么 平面 ，显然不成立，故A错误；
平面 ，
又因为 平面 ，所以 .平面 .
又因为 平面 ，所以平面 平面 ，故B正确；
平面 平面 ，过点 作平面 的垂线，垂足落在 上，显然垂线不在平面 内，所以
平面 与平面 不垂直，故C错误，同理D也错误.
故选：B
3．【答案】C
【分析】
首先连接 ，得到 为直线 与平面 所成的角，从而得到 ，求出 的长度，
再求球体的体积即可.
【详解】
连接 ，如图所示：
因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角.
即 .
因为 ，所以 ， .
所以球的半径为 ，体积 .
故选：C
4．【答案】B
【分析】
利用 底面 证得 ，然后利用线面垂直判定定理证得 平面 ，同理 平面，从而证得 ，又 ，证得 平面 ， 平面 ， 平面 ，从而
得出结论.
【详解】
因为 底面 ，所以 ，由底面 为长方形，有 ，而 ，所以
平面 ，同理 平面 ，故四面体 和 都是鳖臑.而 平面 ，所以
.又因为 ，点 是 的中点，所以 .而 ，所以 平面 .而
平面 ，所以 .又 ， ，所以 平面 .由 平面 ，
平面 ，可知四面体 ､ 和 的四个面都是直角三角形，即四面体
､ 和 都是鳖臑.综上有 个鳖臑.
故选：B.
5．【答案】B
【分析】
由重心性质和 得 ，由此得到 ，由线面平行判定可知①正确；
由 与 相交可知 与平面 相交，知②错误；
由三线合一性质和平行关系可得 ，由线面垂直性质可得 ，根据线面垂直的判定可知③
正确；
由 可确定异面直线 与 所成角为 ，由此可知④错误.
【详解】
对于①， 为 的重心， ， ，又 ， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，①正确；
对于②，由①知： ，又 ， 与 相交，
又 平面 ， 与平面 相交，②错误；
对于③， 为等边三角形， 为 中点， ；
由①知： ， ；平面 ， 平面 ， ；
又 ， 平面 ， 平面 ，③正确；
对于④，由①知： ，又 为等边三角形， ，
异面直线 与 所成角为 ，即 与 不垂直，
平面 不成立，④错误.
故选：B.
6．【答案】C
【分析】
由 ,所以 （或其补角）为异面直线 所成角，由题意可得 平面 ，则阳
马 的体积为 ，由均值不等式可得当 时，阳马
的体积取得最大，从而求出边长，得出答案.
【详解】
在堑堵 中, 平面 , 平面
所以 ，又 ，且 ，所以 平面
所以阳马 的体积为
在直角三角形 中，
即 ，当且仅当 时取得等号.
所以当 时，阳马 的体积取得最大值
又 ,所以 （或其补角）为异面直线 所成角,
即 ,所以
故选：C
7．【答案】B
【分析】
设 ，由等面积法可知 ，推导出 平面 ， ，从而
，即可求解.
【详解】
在 中，由 ， ，可得 ， ，
设 ，在 中， ，由等面积法可知 ，
因为 ， ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又由 平面 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 .
故选：B.
8．【答案】
【分析】
由勾股定理得到 是等腰直角三角形，利用线面垂直的性质可得 ，分别求解 和
的面积，然后由等体积法 ，列式求解即可．【详解】
解：由 ， ，则 ，所以 ，
故 是等腰直角三角形，
在三棱柱 中， 平面 ，且 平面 ，则 ，
在 中， ， ，所以 ，
故在 中， ，则 ， ，
设点C到平面 的距离为d，由等体积法 ，可得 ，
解得 ，所以点C到平面 的距离为 ．
故答案为： ．
9．【答案】
【分析】
第一步：利用线面角的定义确定直线 ， 与平面 的所成角；第二步：根据第一步中两角相等
推出 ；第三步：在平面 中以线段 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用条件
得出点 的轨迹为一个圆，然后利用几何意义求出线段 的最小值.
【详解】因为 ，且 ，故 ，
又因为 ，且 ，所以 平面 ，
因为 ，同理可得 平面 ，
所以 ， 与平面 所成角分别为 ， ，
则 ．
又因为 ， ，且 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ．
在平面 中，以线段 所在直线为 轴，其垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，
， ，
设 ，由 可得，
，
化简整理得 ，
所以点 在圆心为 ，半径为 的圆上，
此时线段 长的最小值是 ．故答案为： .
【点睛】
思路点睛：立体几何压轴题可以从以下方面入手：
(1)涉及线面角、面面角的一般根据定义找角，然后利用所给角的特征，推出条件，再利用解析几何的知
识求解.
(2)涉及球的外接问题的，一般要求找球心和截面几何图形的圆心，利用球心与圆心的连线垂直截面，进
而根据勾股定理列等式，再利用解析几何的知识求解.
(3)涉及几何体的体积问题的，一般是用割补法求解.
10．【答案】①②③
【分析】
取 中点F，连接FM、EF，可证四边形BEFM为平行四边形，根据线面平行的判定定理，即可判断①的正
误；因为 ，所以 即为所求，结合图象，分析判断，即可判断②的正误；当平面 平
面ADE时，三棱锥 体积的最大，分析计算，即可判断③正误；假设 ，利用反证法，结合
线面垂直的判定、性质定理，即可判断④正误，即可得答案.
【详解】
对于①：取 中点F，连接FM、EF，如图所示：
因为M、F分别为 、 中点，
所以 ，且 ，
又矩形ABCD，E为AB中点，所以 且 ，
所以 ，且 ，
所以四边形BEFM为平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故①正确；
对于②：由①可得 ，
所以异面直线 与 所成角即为EF与 所成角，即为 ，
由题意得，在旋转过程中， 形状不变，
所以 不变，
所以异面直线 与 所成角为定值，故②正确；
对于③：在旋转过程中， 形状不变，即底面积不变，
所以当 到平面ADE距离最大时，三棱锥的高最大，体积最大，
由图象可得，当平面 平面ADE时， 到平面ADE距离最大，
此时 到DE的距离即为所求，且为 ，
所以三棱锥 体积的最大值为 ，故③正确；
对于④：假设 ，由题意得， ，DC=2，
所以 ，即 ，
所以 平面 ，
所以 ，
由题意得矩形ABCD，所以 ，且在 中， ，所以DE无法垂直 ，故假设错误，
所以不存在某个位置，使 ，故④错误；
故答案为：①②③
【点睛】
解题的关键是熟练掌握线面平行、垂直的判定、性质定理，并灵活应用，考查分析推理，空间想象的能力，
属中档题.
11．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）根据面面垂直的性质可得 平面 ，再由线面垂直的性质和判定可得证；
（2）如图，取 的中点为 ，连接 ， ，根据等体积法可求得答案.
【详解】
解：（1）证明：在正 中， 为 的中点，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，且 ，∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ，
又∵ ，且 ．
∴ 平面 ．
（2）如图，取 的中点为 ，连接 ， ，在正 中， ，平面 平面 ，
平面 平面 ，∴ 平面 ，
若 ，则 ，
∴ ，
由（1）已知 平面 ， ，
∴ 平面 ，∴ ．
设点 到平面 的距离为 ，
由 可得， ，
∴ ．12．【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）若要证明线面垂直，只要证该直线垂直于平面内的两条相交直线即可；
（2）不妨设 ，由体积公式得 ，再根据等积转换得 求比值即可得解.
【详解】
（1）因为平面 平面 ，底面 为正方形， ，
所以 平面 ，所以 ，
又因为△ 是正三角形， 是 的中点
所以 ，所以 平面 .
（2）设 ， ， ，
所以
1．【答案】D
【分析】
根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.
【详解】
A. ， 与 相交，所以 与 异面，故A错误；
B. 与平面 相交，且 ，所以 与 异面，故B错误；
C.四边形 是矩形，不是菱形，所以对角线 与 不垂直，故C错误；D.连结 ， ， ， ，所以 平面 ，所以 ，故D正
确.
故选：D
2．【答案】D
【详解】
在正方体中 与 平行，因此有 与平面 平行，A正确； 在平面 内的射影 垂直
于 ，因此有 ，B正确；与B同理有 与 垂直，从而 平面 ，C正确；由
知 与 所成角为45°，D错．故选D．
3．【答案】D
【详解】
易知D正确.
4．【答案】A
【详解】
试题分析：设 ， 面积为考点：线面角
5．【答案】A
【详解】
试题分析：α⊥β， b⊥m 又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线 不一定相交，所以
“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.
考点：充分条件、必要条件.
6．【答案】BC
【分析】
根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线 构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.
【详解】
设正方体的棱长为 ，
对于A，如图（1）所示，连接 ，则 ，
故 （或其补角）为异面直线 所成的角，
在直角三角形 ， ， ，故 ，
故 不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取 的中点为 ，连接 ， ，则 ， ，
由正方体 可得 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 平面 ，
又 平面 ， ，而 ，
所以 平面 ，而 平面 ，故 ，故B正确.
对于C，如图（3），连接 ，则 ，由B的判断可得 ，
故 ，故C正确.对于D，如图（4），取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
则 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 或其补角为异面直线 所成的角，
因为正方体的棱长为2，故 ， ，
， ，故 不是直角，
故 不垂直，故D错误.
故选：BC.
7．【答案】 .
【分析】
本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到 在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．
【详解】
作 分别垂直于 ， 平面 ，连 ，
知 ， ，
平面 ， 平面 ，
， ． ，
，
， 为 平分线，
，又 ，
．
【点睛】
画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成
正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．
8．【答案】
【详解】
略
9．【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】
(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中
的结论.
【详解】
(1)如图所示，连结AF，
由题意可得： ，
由于AB⊥BB，BC⊥AB， ，故 平面 ，
1
而 平面 ，故 ，
从而有 ，
从而 ，
则 ， 为等腰直角三角形，
， .
(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ，如图所示，取棱 的中
点 ，连结 ，正方形 中， 为中点，则 ，
又 ，
故 平面 ，而 平面 ，
从而 .
【点睛】
求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择
其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证
明经常进行等价转化.
10．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）由 底面 可得 ，又 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，再
根据面面垂直的判定定理即可证出平面 平面 ；
（2）由（1）可知， ，由平面知识可知， ，由相似比可求出 ，再根据四棱锥
的体积公式即可求出．
【详解】
（1）因为 底面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）由（1）可知， 平面 ，所以 ，
从而 ，设 ， ，
则 ，即 ，解得 ，所以 ．
因为 底面 ，
故四棱锥 的体积为 ．
【点睛】
本题第一问解题关键是找到平面 或平面 的垂线，结合题目条件 ，所以垂线可以从
中产生，稍加分析即可判断出 平面 ，从而证出；第二问关键是底面矩形面积的计算，
利用第一问的结论结合平面几何知识可得出 ，从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四
棱锥的体积．
