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考向 05 复数
（2021·全国高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】
因为 ，故 ，故
故选：C.
1．求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为
a，虚部为b.
2．求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原
复数的共轭复数．
3．复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) OZ＝(a，b)．
4．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向⇔量与解析⇔几何联系在一起，解题
时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
5．复数的加减法：在进行复数加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与
虚部相加减)计算即可．
6．复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的
看作另一类同类项，分别合并即可．7．复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若
b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di⇔共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.
3．复数的运算
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
1 2
②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
1 2
③乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1 2
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
【知识拓展】
常用结论：
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(4)z·＝|z|2＝||2，|z·z|＝|z|·|z|，＝，|zn|＝|z|n.
1 2 1 21．（2021·山东济南市·高三其他模拟）复数z，z满足z∈R， ，则z＝
1 2 1 1
（ ）
A．1 B．2 C．0或2 D．1或2
2．（2020·河北高三其他模拟（文））已知 是复数 的共轭复数，若 ，则 的虚部为（
）
A． B． C． D．
3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（理））满足条件 的复数 的共轭复数
在复平面上对应的点所在象限是（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
4．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（文））复数 满足： ( 为虚数单位)，且
在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的模 为（ ）
A．5 B．3 C． D．
故选：C
1．（2021·全国高三其他模拟）复数z满足 ，i为虚数单位，则 （ ）A．1 B．1或 C． D．0或
2．（2021·全国高三其他模拟）已知复数z满足（2﹣i）z＝|4﹣3i|，则 ＝（ ）
A．﹣2﹣i B．2﹣i C．﹣2+i D．2+i
3．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））在复平面内，复数 对的点的坐标是 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三其他模拟）设 （i为虚数单位），则在复平面内z所对应的点位于（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））已知i是虚数单位，若复数 ，其中 ，则
等于（ ）
A．1 B．5 C． D．13
6．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））已知复数 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·重庆市育才中学高三二模）已知复数 对应复平面
内的动点 ，模为 的纯虚数 对应复平面内的点 ，若 ，则 （
）
A． B． C．3 D．8．（2021·北京高三其他模拟）复数 （ 为虚数单位），则 的虚部是______.
9．（2021·河南南阳市·高二其他模拟（理））已知 为纯虚数，若 在复平面内对应的点
在直线 上，则 ________．
10．（2021·浙江高三其他模拟）设复数 是虚数单位），则 ________；
________.
1．（2021·浙江高考真题）已知 ， ，(i为虚数单位)，则 （ ）
A． B．1 C． D．3
2．（2021·全国高考真题（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高考真题（理））设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高考真题（文））设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是
A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i
6．（2012·广东高考真题（理））设i是虚数单位，则复数 =（ ）
A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i7．（2020·北京高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
8．（2020·浙江高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1 B．–1 C．2 D．–2
9．（2014·江苏高考真题）已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的实部是___________.
10．（2020·天津高考真题） 是虚数单位，复数 _________．
1．【答案】C
【分析】
由题意可设z＝a，结合复数求模的公式即可得出结果.
1
【详解】
解：因为z∈R，可设z＝a，且a∈R，
1 1
由z＝1+i，得z﹣z＝（a﹣1）﹣i，
2 1 2
又因为|z﹣z|＝ ，
1 2
所以（a﹣1）2+（﹣1）2＝2，
解得a＝0或a＝2，
所以z＝0或2．
1
故选：C．
2．【答案】D
【分析】
先利用复数的除法运算进行化简，由共轭复数的定义求解即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
故 的虚部为 .
故选：D.
3．【答案】D
【分析】
根据复数模的运算法则求出 ，再求其共轭复数为 ，在根据复数的几何意义知其对应的点为 ，
显然在第四象限.
【详解】
，
的复数 的共轭复数 在复平面上对应的点 所在象限是第四象限.
故选：D
4．【答案】C
【分析】
设 ，根据条件求得 ，从而求得模长.
【详解】
设 ，则 ，
即 ， ，结合 在第三象限，
解得 ，即 ，
故故选：C
1．【答案】D
【分析】
设 ，得到 ，列出方程组，求得 的值，结合复数模的计算公式，
即可求解.
【详解】
设 ，则 ， ，
所以 ，
即 ，解得 或 ，
即 或 ，所以 或 .
故选：D.
2．【答案】B
【分析】
首先求出 ，然后将式子变形为 ，根据复数的除法运算计算出结果，再根据共轭复数的
概念即可求出结果.
【详解】
，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，故 ,故选：B.
3．【答案】A
【分析】
由坐标形式写出复数，从而求得共轭复数.
【详解】
由题知， ，
则
故选：A
4．【答案】C
【分析】
化简复数 ，根据实部和虚部的正负判断复数在复平面内对应的象限即可
【详解】
，故复数在复平面内对应的点为 ，在第三象限，
故选：C
5．【答案】B
【分析】
根据复数相等求得 的值，接着求解 即可.
【详解】
因为复数 ，
所以 即 ，
根据复数相等得到 ，解得 ，
所以 ，
故选：B.
6．【答案】B
【分析】利用复数的乘方法则化简复数 ，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】
，则 ，则 ，故 .
故选：B.
7．【答案】B
【分析】
根据题意，得到 对应的点在 为圆心，以 为半径的圆上，根据 ，得到
，结合圆的切割线定理列出方程，求得 ，进而得到答案.
【详解】
设 ，则 ，
所以 对应的点在 为圆心，以 为半径的圆上，
设 ， ，
因为 ，所以 为 的中点，故 （否则 为圆心，不成立），
所以 ，
设 ，则 ，
由圆的切割线定理可得 ，
即 ，解得 ，则 .
故选：B.
8．【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】，因此，复数 的虚部为 .
故答案为： .
9．【答案】
【分析】
根据 为纯虚数设 ，由此计算出 并将其对应的点的坐标代入 ，由此
求解出 的值，则 可知.
【详解】
设 ，则 ．
因为 对应的点为 ，所以 ，
解得 ，故 ．
故答案为： .
10．（2021·浙江高三其他模拟）设复数 是虚数单位），则 ________；
________.
【答案】2
【分析】
第一空利用复数的除法以及加法运算即可求出结果；第二空根据复数的模长公式即可求出结果.
【详解】
因为 ，
所以 ，.
故答案为：2； .
1．【答案】C
【分析】
首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数 的值.
【详解】
，
利用复数相等的充分必要条件可得： .
故选：C.
2．【答案】B
【分析】
由已知得 ，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】
，
.
故选：B.
3．【答案】C
【分析】
设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 、 的等式，解出这两个未知数的值，
即可得出复数 .
【详解】设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.
4．【答案】C
【分析】
由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】
由题意可得： .
故选：C.
5．【答案】A
【解析】
∵z=i(i+1)=i2+i=−1+i，
∴复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是−1−i.
本题选择A选项.
6．【答案】D
【详解】
=
=
=﹣6﹣5i．
故选D．
7．【答案】B
【分析】
先根据复数几何意义得 ，再根据复数乘法法则得结果.
【详解】
由题意得 ， .故选：B.
【点睛】
本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．【答案】C
【分析】
根据复数为实数列式求解即可.
【详解】
因为 为实数，所以 ，
故选：C
【点睛】
本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．【答案】21
【解析】
由题意 ，其实部为21．
【考点】复数的概念．
10．【答案】
【分析】
将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查复数的四则运算，属于基础题.
