文档内容
考点 15 圆锥曲线（15 种题型 9 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022新高考 直线与圆锥曲线的位置关系 抛物线的准线
2022新高考 直线与圆锥曲线的位置关系 求直线斜率，三角形面积
2022新高考 直线与圆锥曲线的位置关系 求直线斜率
2022新高考 圆锥曲线的综合问题 求双曲线的方程
2021新高考 椭圆的定义和标准方程 椭圆的定义，椭圆中的线段之积
的最大值
2021新高考 抛物线的定义和标准方程 抛物线的标准方程
2021新高考 双曲线的几何性质 双曲线的渐进线方程
2021新高考 圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程，直线与椭圆的
位置关系，三点共线的证明
二、命题规律与备考策略
圆锥曲线综合是高考必考的解答题，难度较大．考查圆锥曲线标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线
的位置关系，考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题．考查运算求解能力、逻辑推导能力、
分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．
三、 2023 真题抢先刷，考向提前知
x2 x2
1．（2023•新高考Ⅰ•第5题）设椭圆C ： +y2＝1（a＞1），C ： +y2＝1的离心率分别为e ，e ．若
1 a2 2 4 1 2
e =√3e，则a＝（ ）
2 1
2√3
A． B．√2 C．√3 D．√6
3
x2
2．（2023•新高考Ⅱ•第5题）已知椭圆C： + y2=1的左焦点和右焦点分别为F 和F ，直线y＝x+m与
3 1 2
C交于点A，B两点，若△FAB面积是△FAB面积的两倍，则m＝（ ）
1 2
2 √2 √2 2
A． B． C．- D．-
3 3 3 3
3．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第10题）设O为坐标原点，直线y=-√3（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）
A．p＝2
8
B．|MN|=
3
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
x2 y2
4．（2023•新高考Ⅰ•第16题）已知双曲线C： - =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ．点
a2 b2 1 2
→ → → 2 →
A在C上，点B在y轴上，F A⊥F B，F A=- F B，则C的离心率为 ．
1 1 2 3 2
5．（2023•新高考Ⅱ•第21题）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2√5，0），离心率为√5．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为A ，A ，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二
1 2
象限，直线MA 与NA 交于P，证明P在定直线上．
1 2
6．（2023•新高考Ⅰ•第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0， ）的距离，
记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3 ．四、考点清单
1．圆锥曲线的定义
（1）椭圆定义： ．
（2）双曲线定义： ．
（3）抛物线定义：|PF|=d．
2．圆锥曲线的标准方程及几何性质
（1）椭圆的标准方程与几何性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
范围 -a≤x≤a,-b≤ y≤b -b≤x≤b,-a≤ y≤a
对称性 对称轴： x 轴、y 轴 .对称中心：原点 .
焦点 F (-c,0) ,F (c,0) . F (0,-c) ,F (0,c) .
1 2 1 2
A (-a,0) ，A (a,0) ， A (0,-a) ,A (0,a) ，
1 2 1 2
顶点
B (0,-b) ,B (0,b) . B (-b,0) ,B (b,0) .
几 1 2 1 2
何 线段A A ，B B 分别是椭圆的长轴和短轴，
轴 1 2 1 2
性 长轴长为2a，短轴长为2b.
质 焦距 |F F |=2c .
1 2
c √ b2
离心率 e= = 1- ∈(0,1).
a a2
a,b,c的关
c2=a2-b2.
系
（2）双曲线的标准方程与几何性质
标准方程 x2 y2 y2 x2
- =1（a＞0,b＞0） - =1（a＞0,b＞0）
a2 b2 a2 b2图形
焦点 F（﹣c,0），F（c,0） F（0,﹣c），F（0,c）
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c |FF|＝2c
1 2 1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 关∈于x轴，y轴和原点对称 ∈
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 c
e= （e＞1）
a
质
准线 a2 a2
x＝± y＝±
c c
渐近线 x y x y
± =0 ± =0
a b b a
（3）抛物线的标准方程与几何性质
y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
标准方程
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
图形
对称轴 x 轴 y 轴
顶点 O(0,0)
p p p p
焦点 F( ,0) F(- ,0) F(0, ) F(0,- )
2 2 2 2
几 p p p p
准线方程 x=- x= y=- y=
何 2 2 2 2
性
范围 x≥0 ,y∈R x≤0 ,y∈R y≥0 ,x∈R y≤0 ,x∈R
质
离心率 e=1
焦半径（
P(x ,y )为 p p p p
0 0 +x -x + y - y
抛物线上一 2 0 2 0 2 0 2 0
点）
3.圆锥曲线中最值与范围的求解方法
几何法 若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形
性质来解决.代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函
数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别
式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路
（1）把直线或曲线方程中的变量x ,y 当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程
就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ,y 的方程组，这个方程
组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y- y =k(x-x ) ，则直线必过定点
0 0
(x ,y ) ;若得到了直线方程的斜截式y=kx+m ，则直线必过定点(0,m) .
0 0
（3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.
5.求解定值问题的常用方法
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
6.求解定线问题的常用方法
定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹
方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系.
7.有关证明问题的解题策略
圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，
常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.
8.探索性问题的解题策略
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,
成立则存在，否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论,往往涉及对
参数的讨论.
五、题型方法
一．椭圆的标准方程（共3小题）
1．（2023•宜宾模拟）“1＜m＜3”是“方程 + ＝1表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023•江西模拟）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 ，请写出一个符合上述条件的椭圆的标准方程 ．
3．（2023•普宁市校级二模）已知椭圆 的离心率与双曲线
的离心率互为倒数，短轴长为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C相切于点A，A关于原点O的对称点为点B，过点B作BM⊥l，垂足为M，求
△ABM面积的最大值．
二．椭圆的性质（共5小题）
4．（2023•金凤区校级三模）椭圆C： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ，过点F 的直
1 2 1
线l交椭圆C于A，B两点，若|F F |＝|AF |， ＝2 ，则椭圆C的离心率为（ ）
1 2 2
A． B． C． D．
5．（2023•湖南模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为 ，
1 2
点A是椭圆上的任意一点，满足AF ⊥AF ，∠AF F 的平分线与AF 相交于点B，则F B分△AF F 所
1 2 1 2 2 1 1 2得的两个三角形的面积之比 ＝ ．
6．（2023•宁德模拟）已知椭圆C的一个焦点为F，短轴B B 的长为 为C上异于B ，B 的两
1 2 1 2
点．设∠PB B ＝ ，∠PB B ＝ ，且tan（ + ）＝﹣3（tan +tan ），则△PQF的周长的最大值为
1 2 2 1
． α β α β α β
7．（2023•河北模拟）已知F ，F 分别为椭圆C： 的两个焦点，右顶点为A，D
1 2
为AF 的中点，且F D⊥AF ，直线F D与C交于M，N两点，且△AMN的周长为28，则椭圆C的短轴
2 1 2 1
长为 ．
8．（2023•濠江区校级模拟）已知点P是椭圆 上一点，椭圆C在点P处的切线l与圆O：
x2+y2＝4 交于 A，B 两点，当三角形 AOB 的面积取最大值时，切线 l 的斜率等于
．
三．直线与椭圆的综合（共6小题）
9．（2023•常德模拟）已知椭圆E ，直线 与椭圆E相切，则椭圆E的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023•东湖区校级三模）已知椭圆 的短轴长为 ，一个焦点为
F （﹣2，0）．
1
（Ⅰ）求椭圆E的方程和离心率；
（Ⅱ）设直线l：x﹣my﹣2＝0与椭圆E交于两点A，B，点M在线段AB上，点F 关于点M的对称点为
1
C．当四边形AF BC的面积最大时，求m的值．
111．（2023•商丘三模）如图，椭圆C： ＝1（a＞b＞0）左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分
别为F ，F ，离心率为 ，点 在椭圆C上．
1 2
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为k ，直线BQ的斜率为k ，k ＝2k ．过点B作
1 2 1 2
直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得|TH|为定值，若存在，求出点T的坐标；
若不存在，试说明理由．
12．（2023•南通二模）已知椭圆E： ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ，焦距与短轴长
1 2
均为4．
（1）求E的方程；
（2）设任意过F 的直线l交E于M，N，分别作E在点M，N处的切线，且两条切线相交于点P，过F
2 1作平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，求 的取值范围．
13．（2023•广州一模）已知椭圆 的离心率为 ，以C的短轴为直径的圆与
直线y＝ax+6相切．
（1）求C的方程；
（2）直线l：y＝k（x﹣1）（k≥0）与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于
点Q，直线OP的斜率为k'（O为坐标原点），△APQ的面积为S
1
.△BPQ的面积为S
2
，若|AP|⋅S
2
＝|BP|
⋅S
1
，判断k⋅k'是否为定值？并说明理由．
14．（2023•石狮市校级模拟）已知椭圆 的离心率为 ，焦距为2．
（1）求 的标准方程．
（2）过Ω的右焦点F作相互垂直的两条直线l
1
，l
2
（均不垂直于x轴），l
1
交 于A，B两点，l
2
交 于
C，D两点Ω．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点． Ω Ω四．抛物线的定义（共1小题）
15．（2023•德阳模拟）设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两
点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|+|BF|＝ ．
五．抛物线的标准方程（共2小题）
16．（2023•昌江县二模）中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳
动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽
度为（ ）
A． m B． m C． m D．12 m
17．（2023•道里区校级二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），则此抛物线
的标准方程为 ．
六．抛物线的性质（共6小题）
18．（2023•河南模拟）若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为 ，则点M到该抛物线焦点
的距离为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
19．（2023•温江区校级模拟）已知抛物线C：y2＝2x的焦点是F，若点P是C上一点且横坐标为4，则|
PF|的值是（ ）
A．2 B．4 C． D．5
20．（2023•遵义模拟）已知抛物线y＝ x2的焦点为F，点B（1，3），若点A为抛物线任意一点，当|AB|
+|AF|取最小值时，点A的坐标为（ ）A． B． C．（1，4） D．（4，1）
21．（2023•东湖区校级一模）抛物线C：y2＝﹣12x的焦点为F，P为抛物线C上一动点，定点A（﹣5，
2），则|PA|+|PF|的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．9
22．（2023•盐山县校级三模）若P为抛物线C：x2＝2py（p＞0）在第二象限内一点，抛物线C的焦点为
F，直线PF的倾斜角为30°，抛物线在点P处的切线与y轴相交于点M．若 （O为坐标原点），
则△MPF的面积为 ．
23．（2023•枣庄二模）已知点A（1，2）在抛物线y2＝2px上，过点A作圆（x﹣2）2+y2＝2的两条切线分
别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为 ．
七．直线与抛物线的综合（共3小题）
24．（2023•宣威市校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A、B两点，
以AB为直径的圆与y轴交于D、E两点，且 ，则直线l的方程为（ ）
A． B．2x±y﹣2＝0 C．x±y﹣1＝0 D．x±2y﹣1＝0
25．（2023•丹凤县校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，AB
的中点为P，以AB为直径的圆与y轴交于M，N两点，则∠MPN有 值（填最大或最小），此
时sin∠MPN＝ ．
26．（2023•郑州模拟）已知斜率存在的直线l过点P（1，0）且与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B
两点．
（1）若直线l的斜率为1，M为线段AB的中点，M的纵坐标为2，求抛物线C的方程；
（2）若点Q也在x轴上，且不同于点P，直线AQ，BQ的斜率满足k +k ＝0，求点Q的坐标．
AQ BQ八．双曲线的标准方程（共2小题）
27．（2023•铁岭模拟）“0＜k＜1”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
28．（2023•宝山区校级模拟）若双曲线经过点 ，且渐近线方程是 ，则这条双曲线的方
程是 ．
九．双曲线的性质（共3小题）
29．（2023•广西模拟）若双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0）的焦距大于6，C上一点到两焦点的距离之差
的绝对值为d，则d的取值范围是（ ）
A．（2 ，+∞） B．（ ，+∞） C．（6，+∞） D．（3，+∞）
30．（2023•商丘三模）我们通常称离心率为 的双曲线为“黄金双曲线”，写出一个焦点在x轴上，
对称中心为坐标原点的“黄金双曲线”C的标准方程 ．
31．（2023•天河区三模）已知F是双曲线 的右焦点，直线 与双曲
线E交于A，B两点，O为坐标原点，P，Q分别为AF，BF的中点，且 ，则双曲线E的离心
率为 ．一十．直线与双曲线的综合（共5小题）
32．（2023•天津模拟）双曲线 的左右焦点分别是F ，F ，离心率为e，过点
1 2
F 的直线交双曲线的左支于M，N两点．若△MF N是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于（
1 2
）
A． B． C． D．
33．（2023•湖北模拟）已知直线l与双曲线 相切于点P，且l与C的两
条渐近线l ，l 分别交于M（x ，y ），N（x ，y ）两点，则x x +y y ＝ .（用含a，b的式
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
子表示）．
34．（2023•桃城区校级模拟）已知双曲线E： （a＞0，b＞0）的左焦点F为（﹣2，0），点
是双曲线E上的一点．
（1）求E的方程；
（2）已知过坐标原点且斜率为k（k＞0）的直线l交E于A，B两点，连接FA交E于另一点C，连接
FB交E于另一点D，若直线CD经过点N（0，﹣1），求直线l的斜率k．
35．（2023•广陵区校级模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为F ，F ，
1 2
斜率为﹣3的直线l与双曲线C交于A，B两点，点 在双曲线C上，且|MF |•|MF |＝24．
1 2（1）求△MF F 的面积；
1 2
（2）若 （O为坐标原点），点N（3，1），记直线NA，NB'的斜率分别为k ，k ，问：
1 2
k •k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
1 2
36．（2023•广陵区校级模拟）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过A（2，0），
B（4，3）两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知点P（2，1），设过点P的直线l交C于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于点G，
H，当|GH|＝6时，求直线l的斜率．
一十一．曲线与方程（共3小题）
37．（2023•全国二模）鹅被人类称为美善天使，它不仅象征着忠诚、长久的爱情，同时它的生命力很顽
强，因此也是坚强的代表．除此之外，天鹅还是高空飞翔冠军，飞行高度可达9千米，能飞越世界最高
山峰“珠穆朗玛峰”．如图是两只天鹅面对面比心的图片，其中间部分可抽象为如图所示的轴对称的心
型曲线．下列选项中，两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是（ ）A． 及
B． 及
C． 及
D． 及
38．（2023•赤峰模拟）四叶草曲线是数学中的一种曲线，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线（如右图），
其方程为（x2+y2）3＝8x2y2，玫瑰线在几何学、数学、物理学等领域中有广泛应用．例如，它可以用于
制作精美的图案、绘制图像、描述物体运动的轨迹等等．根据方程和图象，给出如下4条性质，其中错
误的是（ ）
A．四叶草曲线方程是偶函数，也是奇函数
B．曲线上两点之间的最大距离为C．曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点）
D．四个叶片围成的区域面积小于2
π
39．（2023•兴庆区校级二模）曲线 ，要使直线y＝m（m R）与曲线Γ
∈
有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（3，3）
D．
一十二．圆锥曲线的共同特征（共1小题）
40．（2023•虹口区校级模拟）在圆锥PO中，已知高PO＝2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，
根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，
正确的个数为（ ）
①圆的面积为4 ；
π
②椭圆的长轴为 ；
③双曲线两渐近线的夹角正切值为 ；
④抛物线的焦点到准线的距离为 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
一十三．直线与圆锥曲线的综合（共2小题）
41．（2023•江西模拟）定义：圆锥曲线 的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心， 为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．已知椭圆 C的方程为 ，P是直线
l：x+2y﹣3＝0上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M、N两点，O是坐标原点，连接
OP，当∠MPN为直角时，则k ＝（ ）
OP
A． 或 B． 或0 C． 或 D． 或0
42．（2023•南昌县校级二模）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源
远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若
取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为 ，按上述方法折纸．
（1）以点F、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l ，l ，这两条直线与椭圆C的另一个交点
1 2
分别为M，N．设l的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当 时，求k的取值范围．一十四．圆锥曲线的综合（共2小题）
43．（2023•吉林模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆E： ＝1的一个焦点重合，
则下列说法不正确的是（ ）
A．椭圆E的焦距是2
B．椭圆E的离心率是
C．抛物线C的准线方程是x＝﹣1
D．抛物线C的焦点到其准线的距离是4
44．（2023•内江三模）如图，曲线C 是以原点O为中心，F 、F 为焦点的椭圆的一部分，曲线C 是以O
1 1 2 2
为顶点、F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线 C 和 C 的一个交点，且∠AF F 为钝角，若
2 1 2 2 1
， ．
（1）求曲线C 和C 所在椭圆和抛物线的方程；
1 2
（2）过F 作一条与x轴不垂直的直线，分别于曲线C 和C 交于B、E、C、D四点，若G为CD中点，
2 1 2
H为BE中点，问 是否为定值．若是，请求出此定值；否则请说明理由．一十五．圆与圆锥曲线的综合（共6小题）
45．（2023•全国二模）已知P为双曲线C： （a＞0，b＞0）上一点，F ，F 为双曲线C的左、
1 2
右焦点，若|PF |＝|F F |，且直线PF 与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（ ）
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A． B． C． D．
46．（2023•赣州二模）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）与圆x2+y2＝5交于A，B两点，且E的焦点F在直
线AB上，则p＝（ ）
A．1 B． C．2 D．
47．（2023•南京三模）已知抛物线C ：y2＝16x，圆C ：（x﹣4）2+y2＝1，点M的坐标为（8，0），P、
1 2
Q 分 别 为 C 、 C 上 的 动 点 ， 且 满 足 |PM| ＝ |PQ| ， 则 点 P 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 是
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．
48．（2023•南关区校级模拟）已知抛物线E：y2＝x与圆M：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，
D四个点．
（1）当r＝2时，求四边形ABCD面积；
（2）当四边形ABCD的面积最大时，求圆M的半径r的值．49．（2023•广陵区校级模拟）已知A，B，C三点在椭圆 上，其中A为椭圆E的右顶点，
圆O：x2+y2＝r2为三角形ABC的内切圆．
（1）求圆O的半径r；
（2）已知 是E上的两个点，直线A A 与直线A A 均与圆O相切，判
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断直线A A 与圆O的位置关系，并说明理由．
2 3
50．（2023•哈尔滨三模）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点M（m，1）到焦点的距离
为2．
（1）求抛物线方程；
（2）圆E：x2+（y+1）2＝1，过抛物线上一点P（x ，y ）（x ≥2）作圆E的两条切线与x轴交于M、
0 0 0
N两点，求S△PMN 的最小值．六、易错分析
易错点一、设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在致错
1．若直线l与椭圆C：＋＝1.交于A，B两点，且|OA＋OB|＝|OA－OB|，求证：直线l与某个定圆E相切，
并求出定圆E的方程．
易错点二、当直线的斜率存在时忽略判断斜率是否为零致错
2．若过点Q的直线l交椭圆C：＋y2＝1.于A，B两点，证明：＋为定值．
易错点三、忽略圆锥曲线几何性质致错
3．已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
A. B.
C．5 D．2
4．已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝
2c，则椭圆C的离心率为________．
5、已知点P是椭圆C: 上的动点, ,求 的最小值 .易错点四、有关椭圆方程求参数范围问题忽略分母不等致错
6．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A． ＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
易错点五、求离心率考虑不全致错
7、若两数1､9的等差中项是a, 等比中项是b, 则曲线 的离心率为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
易错点六、求圆锥曲线的方程、离心率忽略焦点位置致错
8．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对
9．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为
__________．
10、若顶点在原点的抛物线经过点(－2,1)，(1,2)，(4,4)中的2个，则该抛物线的标准方程为_______．
易错点七、直线与圆锥曲线的位置关系忽略判别式致错
11．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|,3，|BF|成等差
数列，则k＝( )
A.±1 B．1－ C．1± D．1＋
12、已知双曲线x2－＝1,过点B(1,1)能否作直线m,使m与已知双曲线交于Q,Q 两点,且B是线段QQ 的中
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点？这样的直线m如果存在,求出它的方程；如果不存在,说明理由．
易错点八、求轨迹方程对隐含条件挖掘不全致错
13．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(x≠0)
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1
14．已知点M，N，直线PM，PN的斜率乘积为－，P点的轨迹为曲线C.则曲线C的方程为________.
易错点八、求离心率忽略开方致错
15．已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心
率的取值范围是( )
A．(1，) B．(4，＋∞)
C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
16．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点
P使得k ·k ∈，则离心率e的取值范围为( )
PA PB
A. B.
C. D.
易错点九、使用圆锥曲线的定义忽略限制条件致错
17．已知点F(－5,0)，F(5,0)，动点P满足|PF|－|PF|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( )
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A．双曲线的右支 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线
