考点30y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质（解析版）_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新

考点 30 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 【命题解读】 三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查， 先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、 周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主 【基础知识回顾】 1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋ φ)(A＞0， ω＞0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ _ωx＋φ_ _φ_ 2. 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： x ωx＋φ __0__ __π__ __2π__ y＝Asin(ωx 0 A 0 －A 0 ＋φ) 3. 函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下： 4、与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．1．函数y＝sin在区间上的简图是( ) 【答案】A 【解析】：令x＝0得y＝sin＝－，排除B，D项， 由f ＝0，f ＝0，排除C项，故选A. 2．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( ) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】：y＝sin＝sin 2，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin的图象． 3、 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则f的值为( ) 第1题图 A. － B. － C. － D. －1 【答案】D 【解析】 由图象可得A＝，最小正周期T＝4× ＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，得φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1.故选D. 4、(2018苏北四市期末） 若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y＝m的三个相邻交点的横 坐标分别是，，，则实数ω的值为________． 【答案】、. 4 【解析】、由题意得函数f(x)的最小正周期T＝－＝，从而ω＝4. 5、(2018镇江期末） 函数y＝3sin的图象两相邻对称轴的距离为________． 【答案】、 【解析】、由题知函数最小正周期T＝＝π.图象两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即. 6、（2020江苏镇江期中考试）设函数 为参数，且 的部分图象如图所示，则 的值为______．【答案】 【解析】由图象可得 最小正周期： ，即 ， ， 又 ， ， ， ， ，又 ， ，本题正确结果： ． 7、 已知函数 的图象C 向左平移 个单位得到图象C ，则C 在[0，π]上的单调减区间 1 2 2 是________． 【答案】：[ ， π] 【解析】、：由题设可知 C 的曲线方程 ，令 ，得 2 ．令k＝0得C 在[0，π]上的单减区间为[ ， π]． 2 考向一 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其变换 设函数 的周期为 ． (1) 求它的振幅、初相；(2) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3) 说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． 【解析】：(1) , ∵ T＝π，∴ ＝π，即ω＝2． ∴ ． ∴ 函数 的振幅为2，初相为 ． (2) 令X＝2x＋ ，则 ． 列表，并描点画出图象： x － X 0 π 2π 0 1 0 －1 0 0 2 0 －2 0 (3) (解法 1)把 的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 的图象；再把 的图象上的点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，得到 的图象；最后 把 上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到 的图象．(解法2)将 的图象上每一点的横坐标x变为原来的 ，纵坐标不变，得到 的图象； 再将 的图象向左平移 个单位，得到 的图象；再将 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2倍，得到 的 图象． 变式1、已知函数y＝2sin. (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y＝2sin的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到． 【解析】 (1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝. (2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX. 列表如下： x － X 0 π 2π y＝sinX 0 1 0 －1 0 y＝2sin(2x＋) 0 2 0 －2 0 描点画出图象，如图所示： (3)(方法1)把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象 上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸 长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象． (方法2)将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再 将y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸 长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象． 变式2、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数 的图象，只需把函数 的图象（ ） A．向左平移 个单位 B．向左平移 单位 C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位 【答案】A 【解析】不妨设函数 的图象沿横轴所在直线平移 个单位后得到函数 的图象． 于是，函数 平移 个单位后得到函数， ，即 ， 所以有 ， ，取 ， ．答案为A． 变式3、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线 上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 ，则 （ ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【解析】 把 的图象向左平移 个单位长度，得 的图象，再把 所得图象各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得图象的函数式为 ， ，∴ ， ∴ ． 故选：D. 变式4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则a的值可以为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意知， ， 其图象向左平移a个单位得到函数 ， 而函数 ，所以有 ，取 得 .答案选C. 方法总结：1．y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐 标． 2．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸 缩后平移”． 考向二 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2、下图为函数 的一段图象． (1) 请写出这个函数的一个解析式； (2) 求与(1)中函数图象关于直线 对称的函数图象的解析式． 【解析】 ：(1) 又A＝3， 由 的图象过 ，∴ ， (φ为其中一个值)． ∴ 为所求． (2) 设 为所求函数图象上任意一点，该点关于直线 的对称点为 ， 则点 必在函数 的图象上． ∴ ， 即 ， ∴与 的图象关于直线 对称的函数图象的解析式是 ． 变式1、(2019苏北四市期末） 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB＝5，则ω的值为 ________． 【答案】、 【解析】、如图，过点A作垂直于x轴的直线AM，过点B作垂直于y轴的直线BM，直线AM和直线BM 相交于点M，在Rt△AMB中，AM＝4，BM＝·＝，AB＝5，由勾股定理得AM2＋BM2＝AB2，所以16＋2＝ 25，＝3，ω＝. 变式2、(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin (2)(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________________. 【答案】、 (1)B (2)sin 【解析】、(1)由题图可知A＝2，T＝2×＝4π，故＝4π，解得ω＝. 所以f(x)＝2sin. 把点代入可得2sin＝2， 即sin＝1， 所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)， 解得φ＝2kπ＋(k∈Z)． 又0<φ<π，所以φ＝. 所以f(x)＝2sin. (2)依题意得 ＝2， 则＝2，即ω＝， 所以f(x)＝sin，由于该函数图象过点，因此sin(π＋φ)＝－，即sin φ＝，而－≤φ≤，故φ＝，所以f(x) ＝sin. 方法总结：确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝. (2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法有以下2种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降 区间上)或把图象的最高点或最低点代入；确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口 考向三 三角函数图象与性质的综合问题 例3、（多选题）（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数 ，则下列结论 正确的是（ ） A． 是 的一个周期 B． 的图象可由 的图象向右平移 得到 C． 的一个零点为 D． 的图象关于直线 对称 【答案】ACD 【解析】的最小正周期为 ，故 也是其周期，故A正确； 的图象可由 的图象向右平移 得到，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD 变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数 的图象过点 ，则( ) A．把 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象 B．函数 在区间 上单调递减 C．函数 在区间 内有五个零点 D．函数 在区间 上的最小值为1 【答案】D 【解析】 因为函数 的图象过点 ， 所以 ，因此 ， 所以 ，因此 ； A选项，把 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，故A错； B选项，由 得 ，即函数 的单调递减区间是： ，故B错； C选项，由 得 ，即 ， 因此 ，所以 ，共四个零点，故C错； D选项，因为 ，所以 ，因此 ，所以 ，即 的最小值为1，故D正确； 故选：D. 变式2、（多选题）（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数 的描述 正确的是（ ） A．其图象可由 的图象向左平移 个单位得到 B． 在 单调递增C． 在 有2个零点 D． 在 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 由题： ， 由 的图象向左平移 个单位， 得到 ，所以选项A正确； 令 ，得其增区间为 在 单调递增，在 单调递减，所以选项B不正确； 解 ，得： ， ， 所以 取 ，所以选项C正确； ， ， 所以选项D正确. 故选：ACD 变式3、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数 的图象关于直线对称，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， 又因为 的图象关于 对称， 所以 ，即 ， 因为 ，所以 的最小值为 . 故选：A. 方法总结：三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用． 函数零点(方程根)问题：三角函数图象与x轴(或y＝a)的交点，即数形之间的转化问题． 1、【2019 年高考天津卷理数】已知函数 是奇函数，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ． 若 的最小正周期为 ，且 ，则 A． B．C． D． 【答案】C 【解析】∵ 为奇函数，∴ ； 又 ∴ ， 又 ，∴ ， ∴ ， 故选C. 2、【2018年高考天津理数】将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函 数 A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减 C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减 【答案】A 【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将 的图象向右平移 个单位长度之后的 解析式为 . 则函数的单调递增区间满足 ，即 ， 令 可得一个单调递增区间为 .函数的单调递减区间满足： ，即 ， 令 可得一个单调递减区间为： . 故选A. 3、【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C ：y=cos x，C ：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是 1 2 A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得 1 到曲线C 2 B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得 1 到曲线C 2 C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得 1 到曲线C 2 D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度， 1 得到曲线C 2 【答案】D 【解析】因为 函数名不同，所以先将 利用诱导公式转化成与 相同的函数名，则 ，则由 上各点的横坐标缩短到原来的 倍 变为 ，再将曲线向左平移 个单位长度得到 ，故选D.4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数 ， 是 的导函数， 则下列结论中正确的是（ ） A．函数 的值域与 的值域不相同 B．把函数 的图象向右平移 个单位长度，就可以得到函数 的图象 C．函数 和 在区间 上都是增函数 D．若 是函数 的极值点，则 是函数 的零点 【答案】CD 【解析】 ∵函数f（x）＝sinx﹣cosx sin（x ） ∴g（x）＝f'（x）＝cosx+sinx sin（x ）， 故函数函数f（x）的值域与g（x）的值域相同， 且把函数f（x）的图象向左平移 个单位，就可以得到函数g（x）的图象， 存在x = ，使得函数f（x）在x 处取得极值且 是函数 的零点， 0 0 函数f（x）在 上为增函数，g（x）在 上也为增函数，∴单调性一致， 故选：CD． 5、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 图象，则下列判断正确的是（ ） A．函数 在区间 上单调递增 B．函数 图象关于直线 对称 C．函数 在区间 上单调递减 D．函数 图象关于点 对称 【答案】ABD 【解析】 函数 的图象向右平移 个单位长度得到 . 由于 ，故 是 的对称轴，B选项正确. 由于 ，故 是 的对称中心，D选项正确. 由 ，解得 ，即 在区间 上递增，故A选项正确、C选项错误. 故选：ABD. 6、【2020江苏南京上学期开学考试】函数 (A＞0， ＞0)的部分图象如图所示．若 函数 在区间[m，n]上的值域为[ ，2]，则n﹣m的最小值是_______．【答案】3． 【解析】由图象知： ， ，又 ， ， ， ， ， ， 当 时， 或 ， ， 或 ， ； 当 时， ， ， ，若 最小，则 ， ，本题正确结果： ． 7、【2017年高考山东卷理数】设函数 ，其中03.已知 .  （1）求 ； y  f(x) （2）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向 左平移 个单位，得到函数y  g(x)的图象，求g(x)在 上的最小值. 3  【答案】（1）2；（2）最小值为 2 .【解析】（1）因为 ， 3 1 f(x) sinx cosxcosx 所以 2 2 3 3  sinx cosx 2 2 1 3  3( sinx cosx) 2 2 . 由题设知 ， 所以 ， . 故6k2， ， 又03， 2 所以 . （2）由（1）得 . 所以 . 因为 ， 所以 ，3  所以当 ，即 时，g(x)取得最小值 2 .