考点28三角恒等变换（2）（解析版）_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新

考点 28 三角恒等变换（2） 【命题解读】 运用两角和与差以及二倍角进行化简求值；能熟练解决变角问题；能熟练的运用公式进行求角 【基础知识回顾】 知识梳理 1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角 函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦． 2. 要注意对“1”的代换： 如1＝sin2α＋cos2α＝tan，还有1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2. 3. 对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成： 如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±. 4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋ β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等． 5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.则－≤y≤. (2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式． (3)y＝(或y＝) 可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解． 6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式． (2)y＝asinx＋(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式 或单调性求解． 1、若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( ) A. B. C.或 D.或 【答案】A 【解析】∵α∈， ∴2α∈， ∵sin 2α＝，∴2α∈. ∴α∈且cos 2α＝－. 又∵sin(β－α)＝，β∈， ∴β－α∈，cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝×－×＝， 又∵α＋β∈，∴α＋β＝. 2、已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)的值为____________． A． B. C. D． 【答案】：A 【解析】：由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin(β－)＝－， 所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－＝． 3、已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________. 【答案】 【解析】因为α，β均为锐角，所以－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝. 又sin α＝，所以cos α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 所以β＝. 4、(一题两空)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分 别交于 A，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于点 M，已知 S ＝，点 B 的纵坐标是.则 cos(α－β)＝ △OAM ________，2α－β＝________. 【答案】－ － 【解析】由题意，OA＝OM＝1， 因为S ＝和α为锐角，所以sin α＝，cos α＝. △OAM 又点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. 因为cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－， sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，所以2α∈.因为β∈，所以2α－β∈. 因为sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝－， 所以2α－β＝－. 5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】若 ，则 ______． 【答案】 【解析】 ， ， ， 化为： ， ， ，解得 ． ， 故答案为考向一 变角的运用 例1、（2020江苏苏州五校12月月考）已知 ， ，则 的值为 ______． 【答案】 【解析】 ， ，又 ， ， ， ， = ． 变式1、【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知 为锐角，且 ， 则 __________． 【答案】 【解析】因为 为锐角， ，则 ， 所以 ， . 故答案为： . 变式2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b. (1) 求tan的值； (2) 求cos的值． 【解析】 (1) 因为a＝(sina，)，b＝，且a⊥b. 所以sina＋cosα＝，所以sin＝.2分 因为α∈，所以α＋∈，(4分) 所以cos＝， 故sin＝＝ 所以tan＝.(6分) (2) 由(1)得cos＝2cos2－1＝2×－1＝.(8分) 因为α∈，所以2α＋∈， 所以sin＝.(10分) 所以cos＝coscos－sinsin(12分) ＝.(14分) 方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行 求解。 考向二 求角 例2、(2019苏州期初调查）已知cosα＝，α∈. (1) 求sin的值； (2) 若cos(α＋β)＝，β∈，求β的值． 【解析】 (1) 由cosα＝，α∈， 得sinα＝＝＝.(2分) 所以sin＝sincosα＋cossinα(4分) ＝×＋×＝.(6分) (2) 因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)． 又cos(α＋β)＝，则sin(α＋β)＝＝＝.(8分) 所以sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα(10分) ＝×－×＝.(12分)因为β∈，所以β＝.(14分) 变式1、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相 交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．求： (1) tan(α＋β)的值； (2) α＋2β的大小． 【解析】： 由条件得cosα＝，cosβ＝． ∵ α，β为锐角， ∴ sinα＝＝，sinβ＝＝． 因此tanα＝＝7，tanβ＝＝． (1) tan(α＋β)＝＝＝－3． (2) ∵ tan2β＝＝＝， ∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1． ∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝． 变式2、（2020江苏扬州高邮上学期开学考）在平面直角坐标系 中，锐角 的顶点为坐标原点 ， 始边为 轴的非负半轴，终边上有一点 ． (1)求 的值； (2)若 ，且 ，求角 的值． 【解析】(1) 角 的终边上有一点P∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ．(2)由 ， 得 ，∵ ， ∴ ， 则 ，因 ，则 ． 方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、 确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。 考向三 公式的综合运用 例3、【江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研】已知函数 ， （1）求 的最小正周期和单调递减区间。 （2）若方程 在区间 上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。 【解析】（1）∴ 由 ，解得： ∴ 的单调递减区间为： （2）即 在区间 上的图象与直线 有两个不同的交点． 由（1）知： 在 上单调减，在 上单调增， ∴ ， ， ∴当 时， 在区间 上的图象与直线 有两个不同的交点，即方程 在区间 上两个不同的实数解． ∴ 的取值范围为 ． 变式1、（2020江苏淮安楚州中学月考）已知函数 ． (1)求函数 的最小值，并写出 取得最小值时自变量x的取值集合； (2)若 ，求函数 的单调增区间． 【解析】(1)． 当 ，即 时， 取得最小值0． 此时， 取得最小值时自变量x的取值集合为 ． (2)因为 ，令 ， 解得 ，又 ，令 ， ，令 ， ，所以函数在 的单调增区间是 和 ．    f x2sin  x  cosx 0 x 变式2、（2020江苏如东高级中学月考）已知函数  3 ．若 2 ，求函数 f x 的值域．   f x sinx 3cosx cosxsinxcosx 3cos2 x 【解析】 1 3 3   3  sin2x cos2x sin 2x    2 2 2  3 2 ，    4 3   0 x 2x   sin  2x  1 由 2 得， 3 3 3 ， 2  3 ．   3 3  3 ∴ 0sin   2x 3    2 1 2 ，即函数 f x的值域为   0,1 2   ． 方法总结：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解 题技巧．1、（2016•新课标Ⅱ，理9）若 ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法 ， ， 法 ， ， ， 故选 ． 2、（2011浙江）若 ， ， ， ，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，而 ， ， 因此 ， ， 则 ． Δ AEB 3、（2015江苏）已知 ， ，则 的值为_______． ¿ [ 【答案】3 【解析】 ． 4、（2012江苏）设 为锐角，若 ，则 的值为 ．17√2 【答案】 50 π π π 24 【解析】 因为 为锐角，cos( α+ )= ，∴sin( α+ )= ，∴sin2( α+ )= cos2( ， 6 6 6 25, α π π π √2 17 17√2 所以sin( 2α+ )=sin[2(α+ )− ]= × = ． 12 6 4 2 25 50   f(x) 2cos x ,xR 5、（2013广东）已知函数   ．  12  f (1) 求  的值；  3 3 3    (2) 若cos ,  ,2 ，求 f   ． 5  2   6  【解析】（1） （2） <θ<2π，所以 ， 因此 6、（2019年高考浙江卷）设函数 . （1）已知 函数 是偶函数，求 的值； （2）求函数 的值域． 【 解 析 】 （ 1 ） 因 为 是 偶 函 数 ， 所 以 ， 对 任 意 实 数 x 都 有 ， 即 ， 故 ， 所以 ．又 ， 因此 或 ． （2） ． 因此，函数的值域是 ． 7、（2017年高考浙江卷）已知函数 ． （1）求 的值． （2）求 的最小正周期及单调递增区间． 【解析】（1）由 ， ， ． 得 ． （2）由 与 得 ．所以 的最小正周期是 ． 由正弦函数的性质得 ， 解得 ， 所以， 的单调递增区间是 ． 8、（2018年高考浙江卷）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（ ）． （1）求sin（α+π）的值； （2）若角β满足sin（α+β）= ，求cosβ的值． 【解析】（1）由角 的终边过点 得 ， 所以 . （2）由角 的终边过点 得 ， 由 得 . 由 得 ， 所以 或 . 9、【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知 ．（1）求函数的最小正周期； （2）求函数 ， 的值域． 【答案】（1）最小正周期为 （2） 【解析】（1） ， ， 所以函数 的最小正周期为 ， （2） ， ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以函数 的值域为 .