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考点 18 函数模型及其运用
【命题解读】
函数模型做为考查内容之一，涉及到一些常见的函数如一元二次函数、指数函数、对数函数等，考查
中常见小题的形式出现。
【基础知识回顾】
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 y＝ax y＝logx y＝xn
a
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现 随x的增大逐渐表现 随n值变化
图象的变化
为与 y 轴 平行 为与 x 轴 平行 而各有不同
2.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
相关的模型
与对数函数
f(x)＝blogx＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
a
相关的模型
与幂函数
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
相关的模型
3. 解函数应用题的步骤
第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，
在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助
变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他
相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模
型．
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．1、 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来
的5%以下，则至少需要过滤的次数为(C )
(参考数据lg2＝0.301 0，lg5＝0.699)
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
【答案】C
【解析】 由题意可得(1－20%)n<5%.解得n>log 0.05≈13.42，
0.8
故至少过滤14次．故选C.
2、 小孟进了一批水果，如果他以每千克1.2元的价格出售，那他就会赔4元，如果他以每千克1.5元的价
格出售，一共可赚8元．现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定
价为(B )
A. 1.1元 B. 1.3元 C. 1.5元 D. 2.0元
【答案】B
【解析】 设共有水果x千克，则1.2x＋4＝1.5x－8，得x＝40，不赔不赚的价格为＝1.3元．
故选B.
3、下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是（ ）
A．一次函数模型 B．幂函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型．
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
【答案】： A
【解析】： 根据已知数据可知，自变量每增加 1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次
函数模型．
4、某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则
该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是（ ）
A B C D
【答案】： A【解析】： 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年
年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误．
5、 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，
则其边长x为（ ）m．
A．400 B．12 C．20 D．30
【答案】： C
【解析】： 设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，0< <40，
解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，
当x＝20时，S ＝400．
max
6、一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为
y＝ae－bt(cm3)，经过 8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ）min，容器中的沙子只有开始
时的八分之一
A．24 B．12 C．18 D．16
【答案】： D
【解析】： 当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，
∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，
即y＝ ＝a， ＝＝(e－8b)3＝e－24b，
则t＝24，所以再经过16 min．
考向一 二次函数模型
例1、A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，
核电站距城市距离不得小于10km．已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0．25倍，
若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
【解析】：(1)由 得x的取值范围为10≤x≤90．
(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．(3)因为y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝＋，所以当x＝时，y ＝．故核电站建在距A城km处，
min
能使供电总费用y最少．
变式1、某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量
不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不少于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．通过市
场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【解析】 (1)当0950．
综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，
即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
方法总结：在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函
数图象的对称轴与函数定义域之间的位置关系讨论求解．
考向二 指数函数、对数函数模型
例2、诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成 6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、
经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利
息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为 r＝6．24%．资料
显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并
说明理由．(参考数据：1．031 29＝1．32)
【解析】：(1)由题意知，f(2)＝f(1)(1＋6．24%)－f(1)·6．24%＝f(1)(1＋3．12%)，
f(3)＝f(2)(1＋6．24%)－f(2)·6．24%
＝f(2)(1＋3．12%)＝f(1)(1＋3．12%)2，
∴f(x)＝19 800(1＋3．12%)x－1 (x∈N*)．
(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为
f(10)＝19 800(1＋3．12%)9＝26 136，
故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6．24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假
新闻．
变式1、（2019秋•菏泽期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积 （单位： 与时间 （单位：月）的关系满
足 ，则下列说法正确的是
A．蓝藻面积每个月的增长率为
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第6个月时，蓝藻面积就会超过
D．若蓝藻面积蔓延到 ， ， 所经过的时间分别是 ， ， ，则一定有
【答案】 ．
【解析】：由图可知，函数 图象经过 ，即 ，则 ， ；不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为 ， 对、 错；
当 时， ， 对；
若蓝藻面积蔓延到 ， ， 所经过的时间分别是 ， ， ，则 ，
，则 ， 对；
故选： ．
方法总结：此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长
率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用
到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解
考向三 分段函数模型
例3、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单
位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，
此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当
20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝
x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
【解析】 (1)由题意可知当0≤x<20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)
＝ax＋b在[20，200]上是减函数，由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x<20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立，
∴当x＝100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车
流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．
变式1、某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足
p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)
＝
(1)写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；
(2)试问2017年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？
【解析】：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，
当2≤x≤12，且x∈N*时，
f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，
验证x＝1也满足此式，
所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)第x个月旅游消费总额为
g(x)＝
即g(x)＝
①当1≤x≤6，且x∈N*时，
g′(x)＝18x2－370x＋1 400，
令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．
当1≤x＜5时，g′(x)＞0，
当5＜x≤6时，g′(x)＜0，
∴
∴ [g(x)] ＝g(5)＝3 125(万元)．
max
②当 7≤x≤12，且 x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400 是减函数，∴当 x＝7 时，[g(x)] ＝g(7)＝3 040(万
max
元)<3125（万元）．
综上，2017年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．
方法总结：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如
出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调
性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
1、(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m
2
－m ＝lg ，其中星等为m 的星的亮度为E(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，
1 k k则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
【答案】A
【解析】由题意知，m ＝－26.7，m ＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，所以lg＝10.1，所
1 2
以＝1010.1.故选A.
2、已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg，设经过x个
小时后，药物在病人血液中的量为ymg．
（1）y与x的关系式为 ；
（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，要使病
人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过 小时（精确到0.1）．
（参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1）
【答案】（1）y＝2500×0.8x，（2）7.2．
【解析】（1）由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，
给某病人注射了该药物2500mg，经过x个小时后，
药物在病人血液中的量为y＝2500×（1﹣20%）x＝2500×0.8x（mg），
即y与x的关系式为 y＝2500×0.8x；
（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，
令2500×0.8x≥500，
∴0.8x≥0.2，
∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是单调减函数，
∴x≤7.2，
所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．
3、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数 的边际函数 定义为
．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产 台 的收益函数为
（单位：万元），成本函数 （单位：万元），该公司每月最
多生产 台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）（1）求利润函数 及边际利润函数 ；
（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到 ）
（3）求 为何值时利润函数 取得最大值，并解释边际利润函数 的实际意义．
【答案】（1） ； ；（2） 台， 万元；
（3） 或 ； 反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润
增量在减少.
【解析】
（1）由题意知： 且 ，
，
.
（2）每台医疗器材的平均利润 ，当且仅当
时等号成立.
因为 ，当每月生产 台机器时，每台平均约为 万元，每月生产 台时，每台平均约为
万元，故每月生产 台时，每台医疗器材的平均利润最大为 万元.
（3） ，
由 ，得 ，此时 随 增大而增大，
由 得 ，此时 随 增大而减小，或 时， 取得最大值.
反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
4、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加
100元，工厂每件产品的出厂价定为 元时，生产 件产品的销售收入是 （元），
为每天生产 件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件 元进货后又以每
件 元销售， ，其中 为最高限价 ， 为销售乐观系数，据市场调查， 是
由当 是 ， 的比例中项时来确定.
（1）每天生产量 为多少时，平均利润 取得最大值？并求 的最大值；
（2）求乐观系数 的值；
（3）若 ，当厂家平均利润最大时，求 与 的值.
【答案】（1）400,200；（2） ；（3） ， .
【解析】
试题分析：（1）先求出总利润＝ ，依据（平均利润＝总利润/总产量）可得
，利用均值不等式得最大利润；（2）由已知得 ，结合比例中项的
概念可得 ，两边同时除以 将等式化为 的方程，解出方程即可；（3）利用 平均成本 平均利润 ，结合厂家平均利润最大时（由（1）的结果）可得 的
值，利用 可得 的值.
试题解析：（1）依题意总利润＝ ，
＝ ，
,
此时 , ,
即，每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元 .
（2）由 得 ， 是 的比例中项，
，
两边除以 得 ，
解得 .
（3）厂家平均利润最大， 元，
每件产品的毛利为 ， ，
元， （元）， 元.
