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考点 27 三角恒等变换（1）
【命题解读】
能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，
了解它们的内在联系．
.能运用上述公式进行简单的恒等变换
【基础知识回顾】
知识梳理
1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
sin(α±β)＝ sin α cos β± cos α sin β ，简记作S ；
(α±β)
cos(α±β)＝ cos α cos β ∓ sin α sin β ，简记作C ；
(α±β)
tan(α±β)＝，简记作T
(α±β)．
2. 二倍角公式
sin2α＝ 2 sin α· cos α ；
tan2α＝；
cos2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2 cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2 sin 2 α ．
3. 辅助角公式
y＝asinx＋bcosx＝ sin (x ＋ φ) ，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.
4. 公式的逆用及有关变形
tanα±tanβ＝ tan (α±β)(1 ∓ tan α· tan β) ；
sinα±cosα＝ sin (α±) ；
sinα·cosα＝ sin 2α ；
1＋sin2α＝ ( sin α ＋ cos α ) 2 ；
1－sin2α＝ ( sin α － cos α ) 2 ；
sin2α＝；
cos2α＝；
tan2α＝ ( 降幂公式 ) ；
1－cos2α＝ 2 sin 2 α ；1＋cos2α＝ 2 cos 2 α (升幂公式)．
1、知cos α＝－，α∈，则sin等于( )
A.－ B. C.－ D.
【答案】 C
【解析】 ∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
2、已知tan＝2，则tan α＝( )
A. B.－ C. D.－【答案】 A
【解析】 tan＝＝2，解得tan α＝.
3、(多选)已知f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x(x∈R)，则下面结论正确的是( )
A．f(x)的最小正周期T＝ B．f(x)是偶函数
C．f(x)的最大值为 D．f(x)的最小正周期T＝π
【答案】ABC
【解析】因为f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)，∵f(－x)＝f(x)，∴T＝＝，
f(x)的最大值为×2＝.故D错．
4、 (多选)下列式子的运算结果为的是( )
A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°
B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)
C.
D.
【答案】ABC
【解析】对于A，tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan
25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝；对于B，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)
＝2sin 60°＝；对于C，＝＝tan 60°＝；
对于D，＝×＝×tan＝.
综上，式子的运算结果为的是A、B、C.
π 3
5、【2020江苏南京三校联考】已知sin(x+ )= ，则sin2x＝_____________．
4 5
7
【答案】﹣
25
π 3 π π 18 7 7
【解析】∵sin(x+ )= ，∴sin2x=−cos(2x+ )=2sin2(x+ )−1= ﹣1=− ，故答案为：﹣ ．
4 5 2 4 25 25 25
6、(一题两空)已知0＜α＜，且sin α＝，则tan＝________，＝________.
【答案】：7
【解析】因为0＜α＜，且sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝＝，
则tan＝tan＝＝7.
＝＝＝＝.
考向一 利用两角和(差)公式运用例1、已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，
sin＝，求cos(α＋β)．
【解析】 ∵0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π，
∴cos＝＝，
sin＝＝，
∴cos＝cos＝
coscos＋sinsin＝
×＋×＝，∴cos(α＋β)＝
2cos2－1＝2×－1＝－.
变式1、（2020江苏溧阳上学期期中考试）如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边做两个锐角
， ，它们的终边分别与单位圆相交于 ， 两点，已知 ， 的横坐标分别为 ， ，则
______．
【答案】
【解析】由三角函数的定义得： ，所以 ，
所以 ．故答案为 ．
变式2、【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】已知 是第二象限角，且 ，
，则 ____.
【答案】3 √2
【解析】由 是第二象限角，且 ，可得 ， ，
3 √2
由 ，可得 ，代入 ，
可得 ，
故答案为： .
变式3、在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________.
【答案】
【解析】 (1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
方法总结：考查两角和差的三角函数．公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、
所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，
选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解．本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想．
考向二 二倍角公式的运用
例2、(1) 已知 ＝，则sin2x＝________．
(2) 已知 ，则cos4x的值为________．
【答案】：(1) － (2) －
【解析】：(1) 因为sin2x＝cos＝cos2＝2cos2－1，
所以sin2x＝2×－1＝－1＝－．
(2) 由已知得sin cos＝－，
∴ cos2＝．
∴ sin2x＝cos＝2cos2－1＝－．
∴ cos4x＝1－2sin22x＝1－＝．
变式1、(1)＝________.(2)化简＝________.
【答案】(1) (2)－1
【解析】(1)＝
＝＝＝.
(2)＝＝＝－1.
变式2、已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－的值．
【解析】(1)coscos＝cossin＝sin＝－，
即sin＝－.
∵α∈，∴2α＋∈，
∴cos＝－，
∴ sin 2α＝sin
＝sincos－cossin
＝－×－×＝.
(2)∵α∈，∴2α∈，
又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.
∴tan α－＝－
＝＝＝－2×＝2.
方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用．三角函数式的化简要注意以下 3点：①看角之间的差别与联
系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化
弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．本题
考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．
考向三 公式的综合运用
例3、化简：(0<θ<π)．
【解析】： 由θ (0，π)，得0<<，∴ cos>0．
因此＝＝2cos．
又(1＋sinθ＋cosθ)＝
＝2cos＝－2coscosθ．
故原式＝＝－cosθ．
变式1、 设α是锐角，且cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为____．
【答案】
【解析】 ∵α是锐角，∴＜α＋＜，∵cos(α＋)＝，∴sin(α＋)＝.sin2(α＋)
＝2sin(α＋)cos(α＋)＝，cos2(α＋)＝1－2sin2(α＋)＝，sin(2α＋)＝
sin＝sin2(α＋)cos－cos2(α＋)sin＝×－×＝.
变式2、计算＝________.
【答案】2
【解析】 ＝
＝＝
＝
＝＝2.
变式3、已知sin＝，α∈.
求：(1)cos α的值；
(2)sin的值．
【解析】(1)由sin＝，
得sin αcos＋cos αsin＝，
化简得sin α＋cos α＝，①
又sin2α＋cos2α＝1，且α∈②
由①②解得cos α＝－.
(2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝，
∴cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
∴sin＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×＝－.
方法总结：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函
数公式之间的共同点.
1、（2020全国Ⅰ理9）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 ，得 ，即 ，解得
或 （舍去），又 ，故选A．
2、（2020全国Ⅱ理2）若α为第四象限角，则 （ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】当 时， ，选项B错误；当 时，
，选项A错误；由 在第四象限可得： ，则
，选项C错误，选项D正确，故选D．
3、（2020全国Ⅲ文5）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得： ，则： ，
，从而有： ，即 ．故选B．
4、（2020全国Ⅲ理9）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】 ， ，令 ，则 ，整
理得 ，解得 ，即 ．故选D．
5、（2019•新课标Ⅱ，理10）已知 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【 解 析 】 ， ， ， ， ，
， ， ，故选 ．
6、【2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟】已知 ， ， ，
.
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为 ,
所以
又 ,故 ,所以 ,
所以
（2）由（1）得, , ,
所以 ,
所以 ,
因为 且 ,
即 ,解得 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以
7、【2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟】已知 为锐角， ，.
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为 为锐角， ，所以 .
因为 为锐角，所以 ，同理可得， .
所以 .
所以 的值为
（2）由 ， ，得 .
因为 ， 为锐角，所以
所以 .所以 .
所以 的值为
8、（2018年高考江苏卷）已知 为锐角， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
因此， ．
（2）因为 为锐角，所以 ．
又因为 ，
所以 ，
因此 ．因为 ，所以 ，
因此， ．
