文档内容
课时跟踪检测（二十九） 数列的概念及简单表示
一、基础练——练手感熟练度
1．数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为( )
A．a ＝n2 B．a ＝(－1)n·n2
n n
C．a ＝(－1)n＋1·n2 D．a ＝(－1)n·(n＋1)2
n n
解析：选B 易知数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为a ＝(－1)n·n2，故选B.
n
2．已知数列{a }的前n项和为S ，且a＝2，a ＝S ＋1(n∈N*)，则S＝( )
n n 1 n＋1 n 5
A．31 B．42
C．37 D．47
解析：选D 由题意，得S －S ＝S ＋1(n∈N*)，∴S ＋1＝2(S ＋1)(n∈N*)，故数列
n＋1 n n n＋1 n
{S ＋1}为等比数列，其首项为S＋1＝3，公比为2，则S＋1＝3×24，∴S＝47.
n 1 5 5
3．记S 为递增数列{a }的前n项和，“任意正整数n，均有a >0”是“{S }是递增数列”
n n n n
的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为“a >0”⇒数列{S }是递增数列，所以“a >0”是“数列{S }是递增数
n n n n
列”的充分条件；反之，如数列{a }为－1，1,3,5,7,9，…，显然{S }是递增数列，但是a 不一定
n n n
大于零，还有可能小于零，“数列{S }是递增数列”⇒/ “a >0”，“a >0”是“数列{S }是递增
n n n n
数列”的不必要条件．因此“a >0”是“数列{S }是递增数列”的充分不必要条件．故选A.
n n
4．若数列{a }的前n项和S ＝3n2－2n＋1，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n n n n
解析：当n＝1时，a＝S＝3×12－2×1＋1＝2；
1 1
当n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n－1
＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝
1时， 不满足上式．
故数列的通项公式为a ＝
n
答案：
5．设数列{a }中，a＝3，a ＝a ＋，则通项公式a ＝________.
n 1 n＋1 n n
解析：由题意知a －a ＝＝－，
n＋1 n
∴a－a＝1－，a－a＝－，a－a＝－，…，a －a ＝－(n≥2，n∈N*)，逐项相加得a ＝
2 1 3 2 4 3 n n－1 n
a＋1－＝4－.经检验，a＝3也符合上式．故a ＝4－.
1 1 n
答案：4－
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知数列{a }的前n项和S ＝2－2n＋1，则a＝( )
n n 3
A．－1 B．－2
C．－4 D．－8
解析：选D ∵数列{a }的前n项和S ＝2－2n＋1，∴a ＝S －S ＝(2－24)－(2－23)＝
n n 3 3 2
－8.故选D.2．(2021·沈阳模拟)已知数列{a }中a＝1，a ＝n(a －a )(n∈N*)，则a ＝( )
n 1 n n＋1 n n
A．2n－1 B.n－1
C．n D．n2
解析：选C 由a ＝n(a －a )，得(n＋1)a ＝na ，即＝，∴为常数列，即＝＝1，故a ＝
n n＋1 n n n＋1 n
n.故选C.
3．设a ＝－3n2＋15n－18，则数列{a }中的最大项的值是( )
n n
A. B.
C．4 D．0
解析：选D 因为a ＝－32＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，a 最大，最大值为0.
n n
4．(多选)对于数列，令b ＝a －，下列说法正确的是( )
n n
A．若数列是单调递增数列，则数列也是单调递增数列
B．若数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列
C．若a ＝3n－1，则数列有最小值
n
D．若a ＝1－n，则数列有最大值
n
解析：选CD 如果a＝－1，a＝1，则b＝b＝0，从而A不正确；如果a＝1，a＝－1，
1 2 1 2 1 2
则b＝b＝0，从而B不正确；函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上为增函数，若a ＝3n－1，则为递增
1 2 n
数列，当n＝1时，a 取最小值，a＝2>0，所以数列有最小值，从而C正确；若a ＝1－n，当n＝
n 1 n
1时，a 取最大值且a >0，所以数列有最大值，从而D正确．
n n
5．设数列{a }满足a＝1，a＝2，且2na ＝(n－1)a ＋(n＋1)a (n≥2且n∈N*)，则a
n 1 2 n n－1 n＋1 18
＝( )
A. B.
C．3 D.
解析：选B 令b ＝na ，
n n
则由2na ＝(n－1)a ＋(n＋1)a (n≥2且n∈N*)，
n n－1 n＋1
得2b ＝b ＋b (n≥2且n∈N*)，
n n－1 n＋1
∴数列{b }是以1为首项，以2a－a＝3为公差的等差数列，
n 2 1
则b ＝1＋3(n－1)＝3n－2，即na ＝3n－2，∴a ＝，∴a ＝＝.故选B.
n n n 18
6．(多选)已知数列{a }满足：a＝3，当n≥2时，a ＝(＋1)2－1，则关于数列{a }说法正确
n 1 n n
的是( )
A．a＝8 B．数列{a }为递增数列
2 n
C．数列{a }为周期数列 D．a ＝n2＋2n
n n
解析：选ABD 由a ＝(＋1)2－1得a ＋1＝(＋1)2，∴＝＋1，即数列{}是首项为＝2，公差
n n
为1的等差数列，∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴a ＝n2＋2n，得a＝8，由二次函数的性质得数
n 2
列{a }为递增数列，故A、B、D正确．
n
7．设数列{a }中a＝a＝1，且满足a ＝3a 与a －a ＝a ，则数列{a }的前12
n 1 2 2n＋1 2n－1 2n＋2 2n＋1 2n n
项的和为( )A．364 B．728
C．907 D．1 635
解析：选C 数列{a }中a＝a＝1，且满足a ＝3a ，则a＝3a＝3，a＝3a＝9，a＝
n 1 2 2n＋1 2n－1 3 1 5 3 7
3a＝27，a＝3a＝81，a ＝3a＝243.
5 9 7 11 9
由于a －a ＝a ，所以a ＝a ＋a ，
2n＋2 2n＋1 2n 2n＋2 2n＋1 2n
故a＝a＋a＝4，a＝a＋a＝13，a＝a＋a＝40，a ＝a＋a＝121，a ＝a ＋a ＝364，
4 3 2 6 5 4 8 7 6 10 9 8 12 11 10
所以数列{a }的前12项的和为1＋1＋3＋4＋9＋13＋27＋40＋81＋121＋243＋364＝
n
907.故选C.
8．已知S 为数列{a }的前n项和，a ＝1,2S ＝(n＋1)a ，若关于正整数n的不等式a－
n n 1 n n
ta ≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为( )
n
A. B.
C. D.
解析：选A ∵a＝1,2S ＝(n＋1)a ，∴当n≥2时，2S ＝na ，
1 n n n－1 n－1
∴2a ＝2(S －S )＝(n＋1)a －na ，整理得＝(n≥2)，
n n n－1 n n－1
∴＝＝…＝＝＝1，∴a ＝n(n∈N*)．
n
不等式a－ta ≤2t2可化为(n－2t)(n＋t)≤0，t>0，
n
∴00，且前n项和S 满足4S ＝(a ＋1)2(n∈N*)，则数列{a }的通项公式
n n n n n n
为________．
解析：当n＝1时，4S＝(a＋1)2，解得a＝1；
1 1 1
当n≥2时，由4S ＝(a ＋1)2＝a＋2a ＋1，
n n n
得4S ＝a＋2a ＋1，
n－1 n－1
两式相减得4S －4S ＝a－a＋2a －2a ＝4a ，
n n－1 n n－1 n
整理得(a ＋a )(a －a －2)＝0，
n n－1 n n－1
因为a >0，所以a －a －2＝0，即a －a ＝2，
n n n－1 n n－1又a＝1，故数列{a }是首项为1，公差为2的等差数列，
1 n
所以a ＝1＋2(n－1)＝2n－1.
n
答案：a ＝2n－1
n
12．若数列{a }是正项数列，且＋＋＋…＋＝n2＋n，则a＋＋…＋＝________.
n 1
解析：由题意得当n≥2时，＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴a ＝4n2.又当n＝1时，＝
n
2，∴a＝4，∴＝4n，∴a＋＋…＋＝n(4＋4n)＝2n2＋2n.
1 1
答案：2n2＋2n
13．在数列{a }中，a ＝1，a ＋＋＋…＋＝a (n∈N*)，则数列{a }的通项公式a ＝
n 1 1 n n n
________.
解析：由a＋＋＋…＋＝a (n∈N*)知，当n≥2时，a＋＋＋…＋＝ a ，∴＝a －a
1 n 1 n－1 n n－
，即a ＝a ，∴a ＝…＝2a＝2，∴a ＝.
1 n n－1 n 1 n
答案：
14．已知数列{a }的前n项和为S ，数列{b }的前n项和为T .满足a ＝2,3S ＝(n＋
n n n n 1 n
m)a (m∈R)，且a b ＝n，若存在n∈N*，使得λ＋T ≥T 成立，则实数λ的最小值为________．
n n n n 2n
解析：∵3S ＝(n＋m)a ，
n n
∴3S＝3a＝(1＋m)a，解得m＝2，
1 1 1
∴3S ＝(n＋2)a ，①
n n
当n≥2时，3S ＝(n＋1)a ，②
n－1 n－1
由①－②可得3a ＝(n＋2)a －(n＋1)a ，
n n n－1
即(n－1)a ＝(n＋1)a ，∴＝，
n n－1
∴＝，＝，＝，…，＝，＝，
累乘可得a ＝n(n＋1)(n≥2)，经检验，a＝2符合上式，
n 1
∴a ＝n(n＋1)，n∈N*.∵a b ＝n，
n n n
∴b ＝，令B ＝T －T ＝＋＋…＋，则B －B ＝>0，∴数列{B }为递增数列，∴B ≥B
n n 2n n n＋1 n n n 1
＝.
∵存在n∈N*，使得λ＋T ≥T 成立，∴λ≥B ＝，
n 2n 1
故实数λ的最小值为.
答案：
15．已知数列{a }的通项公式是a ＝n2＋kn＋4.
n n
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a 有最小值？并求出最小值；
n
(2)对于n∈N*，都有a >a ，求实数k的取值范围．
n＋1 n
解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1a ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a ＝n2＋kn＋4，可以看作是
n＋1 n n
关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，解得k>－3.
所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．
16．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{a }的前n项和
n
S ＝f(n)(n∈N*)．
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设c ＝1－(n∈N*)，定义所有满足c ·c <0的正整数m的个数，称为这个数列{c }的
n m m＋1 n
变号数，求数列{c }的变号数．
n
解：(1)依题意，当f(x)＝0时，Δ＝a2－4a＝0，
所以a＝0或a＝4.
又由a>0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.
所以S ＝n2－4n＋4.
n
当n＝1时，a＝S＝1－4＋4＝1；
1 1
当n≥2时，a ＝S －S ＝2n－5.
n n n－1
所以a ＝
n
(2)由题意得c ＝
n
由c ＝1－可知，当n≥5时，恒有c >0.
n n
又c＝－3，c＝5，c＝－3，c＝－，c＝，c＝，
1 2 3 4 5 6
即c·c<0，c·c<0，c·c<0，
1 2 2 3 4 5
所以数列{c }的变号数为3.
n
