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课时跟踪检测（二） 充分条件与必要条件、全称量词
与存在量词
1．(2021·青岛模拟)已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16>8x，则命题p的否定为( )
A．綈p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16≤8x
B．綈p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16<8x
C．綈p：∃x∈(1，＋∞)，x＋16≤8x
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D．綈p：∃x∈(1，＋∞)，x＋16<8x
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解析：选C 全称命题的否定为特称命题，故命题p的否定綈p：∃x∈(1，＋∞)，x＋
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16≤8x.故选C.
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2．(2021·山东济宁期末)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2
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解析：选B ∀x∈R,2x－1>0，根据y＝2x－1的图象知A正确；∀x∈N*，(x－1)2>0，取x＝
1，计算知(x－1)2＝0，故B错误；∃x∈R，lg x<1，取x＝1，计算lg x＝0<1，故C正确；
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∃x∈R，tan x＝2，y＝tan x的值域为R，故D正确．故选B.
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3．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由2－x≥0，得x≤2；由(x－1)2≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知：
“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．
4．(2021·福州质检)已知函数f(x)＝3x－3－x，∀a，b∈R，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 易知函数f(x)＝3x－3－x为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a>b”可
得“f(a)>f(b)”，由“f(a)>f(b)”可得“a>b”，即“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件．
5．(多选)对下列命题进行否定，得到的新命题是全称命题且为真命题的有( )
A．∃x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
解析：选AC 命题的否定是全称命题，则原命题为特称命题，故排除B选项．命题的否
定为真命题，则原命题为假命题，又选项A、C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故选A、C.
6．设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )
A．－1－1 D．－1－1}，B＝{x|x≥1}，x∈A且x∉B，∴－11”是“<1”的充分不必要条件
B．命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”
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C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
解析：选ABD 若<1，则a>1或a<0，则“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；
根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是
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“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；
当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，
因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；
因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充
分条件，故D正确．故选A、B、D.
10．若x>2m2－3是－12m2－3是－11
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C．命题“∀x∈(0，π)，sin x>cos x”为真命题
D．若数列{a }是等比数列，m，n，p∈N*，则“a ·a ＝a”是“m＋n＝2p”的必要不充分
n m n
条件
解析：选BD 对于A选项，由＋sin x＝2，得sin2x－2sin x＋2＝0，其判别式Δ＝4－8＝
－4<0，此方程无解，故A选项错误．对于B选项，全称命题的否定是特称命题，前提中“任
意”改为“存在”，结论为补集形式，故B选项正确．对于C选项，当x∈时，sin x≤cos x，故
C选项错误．对于D选项，在等比数列{a }中，a ＝1，则a·a＝a，但1＋2≠2×3；另一方面，
n n 1 2
根据等比数列的性质，若m＋n＝2p，则a ·a ＝a.所以“a ·a ＝a”是“m＋n＝2p”的必要
m n m n
不充分条件．故选B、D.
13 ． 命 题 p 的 否 定 是 “ 对 所 有 正 数 x ， >x ＋ 1” ， 则 命 题 p 可 写 为
________________________．
解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
答案：∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1
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14．若“∀x∈，m≥2tan x”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：当x∈时，2tan x的最大值为2tan＝2，∴m≥2，实数m的最小值为2.
答案：2
