课时跟踪检测（二十六） 平面向量基本定理及坐标
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一、基础练——练手感熟练度
1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为( )
A．(2,0) B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
解析：选A 设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，
∴x＝2，y＝0.
2．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与AB同方向的单位向量是( )
A. B．
C. D．
解析：选A AB＝OB－OA＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，
∴与AB同方向的单位向量为＝.
3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝
－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．
4．(2021·福州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B 因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得sin2θ＝，所以 sin
θ＝±，故锐角θ＝.
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设
AC＝a，BD＝b，则AF＝( )
A.a＋b B．a＋b
C.a＋b D．a＋b
解析：选B 如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点
O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF，
∴DF＝DC＝(OC－OD)＝(AC－BD)，AD＝OD－OA＝BD＋AC.则AF＝AD
＋DF＝＋(AC－BD)＝BD＋AC＝a＋b.故选B.
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知e，e 是不共线向量，a＝me＋2e，b＝ne－e，且mn≠0，若a∥b，则＝( )
1 2 1 2 1 2
A．－ B．
C．－2 D．2解析：选C 因为a∥b，所以a＝λb，即me＋2e＝λ(ne－e)，则得＝－2.
1 2 1 2
2．已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－ B．
C. D．
解析：选A AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，
∴AB，AC共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
3.如图，已知AB＝a，AC＝b，BC＝4BD，CA＝3CE，则DE＝( )
A.b－a B.a－b
C.a－b D.b－a
解析：选D DE＝DC＋CE＝BC＋CA＝(AC－AB)－AC＝AC－AB＝b－a.故选D.
4．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝
60°，设AD＝λAB＋μAC (λ，μ∈R)，则＝( )
A. B．
C．3 D．2
解析：选A 如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y
轴建立平面直角坐标系，则B(1,0)，C(0,2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．
AD＝(m，m)＝λAB＋μAC＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，
所以＝.
5．已知向量OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)，OC＝mOA－nOB (m>0，n>0)，若m＋n＝1，则|OC|的最
小值为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 设OC＝(x，y)．
∵OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)，OC＝mOA－nOB，
∴∴|OC|＝＝≥ ＝ ＝，当且仅当m＝n时取等号，此时|OC|取得最小值，故选C.
6．在△OAB中，若点C满足AC＝2CB，OC＝λOA＋μOB，则＋＝( )
A. B．
C. D．
解析：选D 在△OAB中，∵AC＝2CB，
∴OC－OA＝2(OB－OC)，即3OC＝OA＋2OB，
∴OC＝OA＋OB.
又知OC＝λOA＋μOB，∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D.
7.如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC＝λAM＋μBD，则λ
＋μ＝( )
A. B．C. D．2
解析：选B 以点A为坐标原点，分别以AB，AD的方向为x，y轴的正方向，建立平面直角
坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所以AC＝(2,2)，
AM＝(2,1)，BD＝(－2,2)，所以λAM＋μBD＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC＝λAM＋μBD，所以解得所以
λ＋μ＝.故选B.
8．在△ABC中，点D是AC上一点，且AC＝4AD，P为BD上一点，向量AP＝λAB＋μAC
(λ>0，μ>0)，则＋的最小值为( )
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：选A 由AP＝λAB＋μAC及AC＝4AD得AP＝λAB＋4μAD，
又知点P在BD上，∴λ＋4μ＝1.∴＋＝·(λ＋4μ)＝4＋4＋＋＝8＋＋，又知λ>0，μ>0，∴
＋≥2＝8，当且仅当＝，即λ＝4μ时，等号成立，故＋的最小值为16，故选A.
9.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延
长线交于圆O外的一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是(
)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1,0)
解析：选D 由题意得，OC＝kOD (k<0)，
又|k|＝<1，∴－1<k<0.
又∵B，A，D三点共线，
∴OD＝λOA＋(1－λ)OB，
∴mOA＋nOB＝kλOA＋k(1－λ)OB，
∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，
∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．
10．已知向量a＝(1，x＋1)，b＝(x,2)，若满足a∥b，且方向相同，则x＝________.
解析：∵a∥b，a＝(1，x＋1)，b＝(x,2)，∴x(x＋1)－2＝0，解得x＝1或x＝－2.当x＝1时，
a＝(1,2)，b＝(1,2)满足题意；当x＝－2时，a＝(1，－1)，b＝(－2,2)，方向相反，不符合题意，舍
去．∴x＝1.
答案：1
11．如图，设Ox，Oy是平面内相交成45°角的两条数轴，e，e 分别是与x
1 2
轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OP＝xe＋ye，则把有序数对(x，y)叫
1 2
做向量OP在坐标系xOy中的坐标，在此坐标系下，假设OA＝(－2，2)，OB＝
(2,0)，OC＝(5，－3)，则|OA|＝________，OA与BC ________(填“平行”或“不平行”)．
解析：由余弦定理可知|OA|＝＝2，∵BC＝OC－OB＝(3，－3)＝－OA，∴OA∥BC.
答案：2 平行
12.如图，O点在△ABC的内部，E是BC边的中点，且有OA＋2OB＋3OC＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为________．
解析：取AC的中点D，连接OE，OD.因为D，E分别是AC，BC边的中点，所以OA＋OC＝
2OD，OB＋OC＝2OE，因为OA＋2OB＋3OC＝0，所以2OD＋4OE＝0，所以O，D，E三点共线，且＝.
又因为△AEC与△AOC都以AC为底，所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为3∶2.
答案：3∶2
13.如图，在△ABC中，已知BN－BA＝BC，点P在线段BN上，若AP
＝λAB＋AC，则实数λ的值为________．
解析：BN―→－BA＝BC可化为AN＝NC，即AN＝AC，
因为AP＝λAB＋AC，所以AP＝λAB＋AN.由B，P，N三点共线可得λ＝.
答案：
14．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，CD＝xOA
＋yBC，求x＋y的值．
解：以O为原点，OB所在直线为x轴，过O点且垂直AB的直线
为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
不妨设圆O的半径为1，
则A(－1,0)，B(1,0)，D(0,1)，C，
所以CD＝，BC＝.
又CD＝xOA＋yBC，
所以＝x(－1,0)＋y.
所以
解得
所以x＋y＝－＝－.
15.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA，OB，OC满足条件：OA与OC的
夹角为α，且tan α＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋nOB (m，n∈R)，求m
＋n的值．
解：以O为原点，OA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直
角坐标系，
由tan α＝7知α为锐角，
则sin α＝，cos α＝，
故cos(α＋45°)＝－，
sin(α＋45°)＝.
∴点B，C的坐标分别为，，∴OB＝，OC＝.
又OC＝mOA＋nOB，
∴＝m(1,0)＋n，
∴解得
∴m＋n＝＋＝.
