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课时跟踪检测（五十六） 随机变量的分布列、均值与
方差
1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球
号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( )
A．25 B．10
C．7 D．6
解析：选C X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7
＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.
2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝mk(k＝1,2,3)，则m的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由分布列的性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×＋m×2＋m×3＝＝
1，
∴m＝.
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生
的人数，则P(ξ≤1)等于( )
A. B．
C. D．
解析：选D P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.
4．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝( )
X 0 2 a
P p
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C 因为p＝1－－＝，
所以E(X)＝0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3，
所以D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，
所以D(2X－3)＝22D(X)＝4，故选C.
5．一个摊主在一旅游景点设摊，游客向摊主支付2元进行1次游戏．游戏规则：在一个
不透明的布袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球，游客从布袋中随机摸出2个小
球，若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色，则游客获得1元奖励．则摊主从每次
游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5解析：选A 摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是E(X)＝2－＝0.2.
6．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数
为X，则E(X)为( )
A．1 B．1.5
C．2 D．2.5
解析：选B X可取0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5.
7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比
对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各
局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概
率为2＋2＝.
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下
一轮比赛是否停止没有影响．
所以P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，所以E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.故选B.
8．设0<p<1，随机变量ξ的分布列是
ξ 0 1 2
P
则当p在(0,1)内增大时( )
A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
解析：选D 由题意知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，D(ξ)＝2×＋2×＋2×
＝2×＋2×＋2×
＝2＋2－2＋2
＝－
＝p2＋－p(2p－1)
＝－p2＋p＋
＝－2＋，
∴D(ξ)在上递增，在上递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D.
9．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|ξ|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，
得0≤－d≤，0≤＋d≤，
∴－≤d≤.
答案：
10．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4
个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝
________.
解析：由题意可知，P(ξ＝2)＝＝.
答案：
11．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，
当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近
期一个月(30天)的需求量展示如下：
日需求量x(个) 20 30 40 50
天数 5 10 10 5
(1)从这30天中任取2天，求2天的日需求量均为40个的概率；
(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应
的利润的期望值E(X)＝.现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润Y的分
布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．
解：(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n＝C，
2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m＝C，
∴2天的日需求量均为40个的概率P＝＝.
(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y，
P(Y＝－20)＝，P(Y＝60)＝，P(Y＝140)＝，P(Y＝180)＝，
∴Y的分布列为
Y －20 60 140 180
P
E(Y)＝－20×＋60×＋140×＋180×＝.
∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝，<，
∴此建议不该被采纳．
12．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00 cm，只要误差的绝对值不超过0.03 cm就
认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1 000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：(1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；
(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2
件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设
备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的
最小值．
解：(1)由条形统计图知，该批次产品长度误差的绝对值X的分布列为
X 0 0.01 0.02 0.03 0.04
P 0.4 0.3 0.2 0.075 0.025
所以X的数学期望E(X)＝0×0.4＋0.01×0.3＋0.02×0.2＋0.03×0.075＋0.04×0.025＝
0.010 25.
(2)由(1)可知标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事件B，则P(B)＝1
－2＝＝0.64＜0.8，故不符合概率不小于0.8的要求．
设生产一件产品为标准长度的概率为x，
由题意知P(B)＝1－(1－x)2≥0.8，
又0＜x＜1，解得1－≤x＜1.
所以概率的最小值为1－.
13．某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：
家庭编号 1 2 3 4 5 6
月收入x(千元) 20 30 35 40 48 55
月支出y(千元) 4 5 6 8 8 11
(1)据题中数据，求月支出y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程(保留一位小数)；
(2)从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千元的家庭个数为ξ，求ξ的分布列与
数学期望．
参考公式：回归直线的方程是：y＝bx＋a，其中，b＝＝，a＝－b.
解：(1)因为＝＝38，
＝＝7，
∑xy＝20×4＋30×5＋35×6＋40×8＋48×8＋55×11＝1 749，
i i
∑x＝202＋302＋352＋402＋482＋552＝9 454，
b＝≈0.2，a＝－b＝7－0.2×38＝－0.6，
所以月支出y关于x月收入的线性回归方程是y＝0.2x－0.6.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
