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重难点 05 函数与方程中的零点问题（2 种考向 6 种考
法）
【目录】
考向一：函数零点个数的判断
考法1：方程法判断零点个数
考法2：数形结合法判段函数零点个数
考法3：转化法判断函数零点个数
考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数
考向二：利用零点求参数的值（范围）
考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围
考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数
二、命题规律与备考策略
一、函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)
＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的
横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、利用零点求参数的值（范围）常用的方法
已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点
问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
三、题型方法
考向一：函数零点个数的判断
考法1：方程法判断零点个数
一、单选题
1．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知函数
， ，则 在区间 上的零点个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
学科网（北京）股份有限公司 1【答案】B
【分析】根据三角恒等变换的化简可得 ，令2x- =kπ求得x= +
，k∈Z，列举k的值即可求解.
【详解】
，
当2x- =kπ，k∈Z时，x= + ，k∈Z，
所以当k=0时，x= ，当k=1时，x= ，
所以f(x)在区间(0,π)上有2个零点.
故选：B.
2．（2023·江西·统考模拟预测）函数 在区间 内的零点个数
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用辅助角公式可得 ，令 ，从而解得 在
的零点个数.
【详解】由 ，
得 ，又 ，所以 ，
所以 或
解得 或 .
所以函数 在 的零点个数是2.
故选：A.
二、多选题
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数 ，下列说法正确的
有（ ）
A．若 与 图象至多有2个公共点
学科网（北京）股份有限公司 2B．若 与 图象至少有2个公共点
C．若 与 图象至多有2个公共点
D．若 与 图象至少有2个公共点
【答案】ACD
【分析】对于选项AC，联立方程利用判别式判断该选项正确；对于选项B, 假设 ，可
以判断该选项错误；对于选项D，说明 有两个解即可判断该选项真假.
【详解】对于选项A. ，所以 与 图
象至多有2个公共点，所以该选项正确；
对于选项B, 假设 ，则 令 ，
所以 或 ，所以 .所以此时 与 图象
只有1个公共点，所以该选项错误；
对于选项C， ，令 ，所以
，此时 与 图象至多有2个公共点，所以该选项正确；
对于选项D, ,令 ，假设
或 ，所以 和 是 的两个解，
所以 与 图象至少有2个公共点，所以该选项正确.
故选：ACD
三、填空题
4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）写出一个同时满足下列3
个条件的函数 =__．
① 是 上偶函数；② 在 上恰有三个零点；③ 在 上单调递增．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据条件①②可令函数 为两个偶函数的积，其中一个有唯一零点0，另两个
零点互为相反数，再验证单调性作答.
【详解】因为 是 上偶函数，且 在 上恰有三个零点，于是 的一个零点为
0，另两个零点互为相反数且不为0，
学科网（北京）股份有限公司 3不妨令 ，显然 是 上偶函数，且有3个零点分别为 ，
求导得 ，当 时， 恒成立，因此函数 在
上单调递增，
所以函数 符合题意.
故答案为：
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右
支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
学科网（北京）股份有限公司 4对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质
都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
四、解答题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 是定义在R上的函数， ，
， ，求在区间 上 至少有几个根？
【答案】401
【分析】依题意可求得 ，再求得在区间 上，方程 至少两个
根，结合周期函数性质求解即可．
【详解】由 ，则 ，
又 ，则 ，
所以 ，
则 ，
又 ，
所以在区间 上，方程 至少两个根，
又 是周期为10的函数，则在每个周期上至少有两个根，
所以方程 在区间 上至少有1+ 个根．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
学科网（北京）股份有限公司 5(2)当 时，证明 在 上有且仅有两个零点.
【分析】（1）求得 ，分 、 、 三种情况讨论，分
析导数的符号变化，由此可得出函数 的增区间和减区间；
（2）由 可得出 ，由 结合判别式可判断出方程
的根的个数，由此可证得结论成立.
（1）
解：函数 的定义域为 ， .
当 时，则 ，由 可得 ，由 可得 ，
此时函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时，由 可得 或 .
①当 时， ，由 可得 或 ，由 可得
，
此时函数 的单调递减区间为 、 ，单调递增区间为 ；
②当 时， ，由 可得 ，由 可得 或
，
此时函数 的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 .
综上所述，当 时，函数 的单调递减区间为 、 ，单调递增区间
为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为
.
（2）
学科网（北京）股份有限公司 6解：由 可得 ，因为 ，则 ，
即关于 的方程 有两个不等的实根，
所以，当 时， 在 上有且仅有两个零点.
【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：
（1）求导后看最高次项系数是否为 ，须需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为 ，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别
式讨论无根或两根相等的情况；
（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.
8．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数
在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处，并画出函数 图像
(2)写出函数 的解析式，将函数 的图像向右平移 个单位，再所得图像上各点的
横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像，求 的解析式．
(3)在（2）的条件下，若 在 上恰有奇数个零点，
求实数a与零点个数n的值．
【答案】(1)答案见解析
(2) ；
(3) ， 在 共有 个不同的零点
学科网（北京）股份有限公司 7【分析】（1）根据表中数据可得关于 的方程组，解出 的值后再计算补全表中数据，
再由表中数据可得 ，从而可得函数的解析式和图象.
（2）由（1）可得函数的解析式， 伸缩和平移变换求出 的解析式.
（3）令 ，设方程 的根为 ，分① ；②
；③ 三种情况讨论 在 及 上零点个
数，再根据周期性得到 的零点个数，结合题设条件可得 的值及相应的零点个数.
【详解】（1）根据表中的数据可得 ，解得 ，
故 ，所以 ，
又 ，故 .
所以完善表如下：
0 π 2π
0 1 0 -1 0
0 0 0
.
函数图像如图：
（2）由（1）知： ，将函数 的图像向右平移 个单位，所得图
像的解析式为： ，
学科网（北京）股份有限公司 8再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像，
故 .
（3） ， 的周期为 ，
当 时，令 ，考虑方程 的根情况，
因为 ，故 在 必有两个不同的实数根 ，
因为 在 有奇数个零点，故 或 .
若 ，则方程 、 在 共有4个不同的实数根，
在 有0个实数根或2个实数根，
故 在 有 个根或 个根，
与 有奇数个零点矛盾，舍去.
若 ，则 在 共有2个不同的实数根，在 有0个实数
根或2个实数根，
故 在 有 个根或 ，
与 有奇数个零点矛盾，舍去.
同理 也不成立，所以 或 ，
若 ，则 ，此时 的根为 ，
方程 、 在 共有3个不同的实数根，而在 上， 有两个
不同的根， 无解，
所以 在 有 个根，
与 有奇数个零点矛盾，舍去；
若 ，则 ，方程 的根 ，
方程 、 在 共有3个不同的实数根，而在 上， 无解，
有一个根，
所以故 在 有 个根，符合题意.
学科网（北京）股份有限公司 9综上， ， 在 共有 个不同的零点.
考法2：数形结合法判段函数零点个数
一、单选题
1．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数 ，则
的零点个数为（ ）
A．2023 B．2025 C．2027 D．2029
【答案】C
【分析】因为 ,得出 ,进而 依此
类推，可得 ，易知 单调性，数形结合函数 的图像与这一系列直线
确定交点个数即可.
【详解】因为 ,所以当 时, ,
得 或 ,
得 或 ,
由 得 或 ，
由 得 ，进而可得 ,
故由 可得， 或 或 .
依此类推，可得 ，其中 k =0,1.2....,2023.
易知 , , 可得 在 上单调递增，在 上
单调递增，
可得 在 上单调递减，画出函数的图像，如图所示．
结合图像易知，函数 的图像与这一系列直线 , ,共有2027个
交点.
故选 :C
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数 在 上满足 ，
学科网（北京）股份有限公司 10，且在闭区间 上只有 ，则方程 在闭区间
上的根的个数（ ）．
A．1348 B．1347 C．1346 D．1345
【答案】B
【分析】根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得 在 上
的零点个数，再分区间 和 讨论即可.
【详解】 在 上满足 ， ，
关于直线 和直线 对称，
， ，
，
，所以 的周期为6，
又在闭区间 上只有 ，则 ， ，
且当 时，通过其关于直线 对称，得其 值对应着 的 值，
则 在闭区间 上只有 ，
同理可推得 在 也只有两个零点，
因为 ，则 在 共有 个零点，
因为 ，且在 的图象与 的图象相同，
则 在 上有 个零点，
则方程 在闭区间 上的根的个数为1347个.
故选：B.
【点睛】思路点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
3．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）函数 在 上
零点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】将问题化为函数 在 上与 的交点个数，数形结合判
断交点个数即可.
学科网（北京）股份有限公司 11【详解】由题设 ，令 ，则
，
对于函数 在 上与 的交点个数，即为原函数零点个数，
如下图示：
由上图，共有5个交点，即原函数共有5个零点.
故选：C
4．（2023·山东日照·统考二模）对于给定的正整数 ﹐定义在区间 上的函数
满足：当 时 ，且对任意的 ，都有
．若与n有关的实数 使得方程 在区间 上有且仅有一
个实数解，则关于x的方程 的实数解的个数为（ ）
A．n B． C． D．
【答案】B
【分析】数形结合，画出 在区间 上图象，根据 与 的图象交点
分析即可.
【详解】由题意，画出 在 之间的图象，
又对任意的 ，都有 ，
可理解为区间 的图象由区间 的图象往右平移一个单位，
再往上平移一个单位所得，即可画出 在 上的图象.
故若与 有关的实数 使得方程 在区间 上有且仅有一个实数解，
学科网（北京）股份有限公司 12则 与 在区间 上的图象相切，
且易得 的图象在 与区间 ， ， ， 上的公切线之
间.
故 与 在区间 ， ， 上均有2个交点，
故关于 的方程 的实数解的个数为 个.
故选：B
二、多选题
5．（2023·山西晋中·统考三模）已知圆 ，则（ ）
A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点
B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等
C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线 平分
D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
【答案】ACD
【分析】对于A，等价于判断方程 的解的个数，等价于判断 与
交点个数，结合图象判断即可，
对于B，由弦长公式可得等价于判断方程 的解的个数，利用导数研究函数性质判断
即可，
对于C，等价于判断方程 的解，利用导数研究函数的性质即可判断，
对于D，等价于判断 或 的解的个数，解方程即可判断.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
对于A：设圆 过原点 ，则 ，
方程 的解的个数等价于函数 的图象与曲线 的交点个数，
作函数 与圆 的图象可得：
学科网（北京）股份有限公司 13所以函数 的图象与曲线 的交点个数为 ，
所以存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点，A正确；
对于B：圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等等价于 ，
即 ，即 ，
方程 的解的个数函数 和 的零点的个数和相等，
因为 ，又 ， ，
所以函数 在区间 上存在一个零点，即函数 存在一个零点，
因为 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
又 ，所以 ，故函数 没有零点，
所以方程 的解的个数为 ，
即存在一个a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等，B错误；
对于C：圆C的面积被直线 平分等价于 过圆心，
所以 ，令 ，
求导可得 ，令 ，可得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
又 ，所以函数 只有一个零点，
即方程 只有一解，
所以存在唯一的a，使得圆C的面积被直线 平分，C正确；
对于D：圆C与x轴或y轴相切等价于 或 ，
则 或a=0，共3解，
所以存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切，D正确；
故选：ACD.
【点睛】知识点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，方程与函数的综合问题，利用导数
研究函数的零点等知识，考查数形结合，逻辑推理的能力.
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足：当 时， ，
且 对任意 都成立，则方程 的实根个数是______．
学科网（北京）股份有限公司 14【答案】4
【分析】根据给定条件，探讨函数 的性质，变形给定方程，转化成求两个函数图
象的公共点个数作答
【详解】依题意，函数 是以4为周期的偶函数，当 时， ，
则当 时， ，
方程 ，
因此原方程的实根就是函数 与函数 的图象的交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数 与 的图象，如图，
观察图象知，当 时，两函数图象只有一个交点，
当 时，由 得 ，即当 时，两函数图象只有一个公
共点，
于是当 时，函数 与 的图象有2个公共点，
又函数 与 均为偶函数，则当 时，两个函数图象有2个公共点，
所以函数 与 的图象有4个公共点，即原方程有4个根．
故答案为：4
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：
作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出
这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数 的零点个数为
__________.
【答案】1
学科网（北京）股份有限公司 15【分析】在同一坐标系中作出 与 的图象，由图即可得出答案.
【详解】解：注意到 ，在同一坐标系中作出 与 的图象，
易知零点个数为1.
故答案为：1.
考法3：转化法判断函数零点个数
一、单选题
1．（2022秋·全国·高一专题练习）方程 解的情况是（ ）
A．有且只有一个根 B．不仅有根 还有其他根
C．有根 和另一个负根 D．有根 和另一个正根
【答案】A
【分析】化简有 ，再根据函数的单调性与特值求解即可
【详解】方程 等价为
设 ，则函数 在 上为减函数，
方程 有且只有一个根
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列关于函数 的
描述中，其中正确的是（ ）．
①当 时，函数 没有零点；
②当 时，函数 有两不同零点，它们互为倒数；
③当 时，函数 有两个不同零点；
④当 时，函数 有四个不同零点，且这四个零点之积为1．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】画出函数图象即可判断①，令 解方程即可判断③，将零点问题转化成函
学科网（北京）股份有限公司 16数图象交点的问题，利用数形结合即可判断②和④.
【详解】当 时， ，函数图象如下图所示，
由此可知该函数只有一个零点，故①不正确；
当 时，则函数 的零点为 和 ，
∵函数 有两个不同零点，
∴由函数 的图象可知 ，解得 ，
当 时，则函数 的零点为 和 ，此情况不存在 有
两不同零点，
则函数 有两不同零点时 的取值范围是 ，
设对应的两个零点为 ， ，即 或 ，解得 ， ，
则 ，所以它们互为倒数，故②正确；
当 时，函数解析式为 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，由此可知
函数有三个零点，故③不正确；
当 时，则函数 的零点为 和 ，
∵函数 有四个不同零点，
学科网（北京）股份有限公司 17∴由函数 的图象可知 ，解得 ，
当 时，则函数 的零点为 和 ，此情况不存在 有
两不同零点；
设对应的两个零点为 ， ， ， ，
即 或 ，解得 ， ，
当 时，整理得 ，当 时， ，
则该方程存在两个不等的实数根 和 ，由韦达定理得 ，
所以 ，则故④正确；
故选： .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由 的性质求出对应区间的值域及单调性，令 并将问题转化为 与
交点横坐标 对应 值的个数，结合数形结合法求零点个数即可.
【详解】令 ，
当 时， 且递增，此时 ，
当 时， 且递减，此时 ，
当 时， 且递增，此时 ，
当 时， 且递增，此时 ，
所以， 的零点等价于 与 交点横坐标 对应的 值，如下图示：
学科网（北京）股份有限公司 18由图知： 与 有两个交点，横坐标 、 ：
当 ，即 时，在 、 、 上各有一个解；当 ，
即 时，在 有一个解.
综上， 的零点共有4个.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 则函数
的零点个数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】作出函数 的图象，换元 ，问题转化为 解得个数，分类
讨论 ，结合二次方程根个数的判断及数形结合求解.
【详解】函数 的图象如图，
令 ，则函数 的零点即方程组 的解．
设 ，则 ．
若 ，则 ， 有两个零点 ，且由
知 ，此时方程组有2个解；
若 ，则 ， 有一个零点 ，此时方程组有1个解；
学科网（北京）股份有限公司 19若 ，则 ， 没有零点，此时方程组无解；
若 ，则 ， 有一个零点 ，此时方程组有2个解；
若 ，则 ， 有两个零点 ，且由
知 ，此时方程组有4个解，
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）对于任意正实数 ，关于 的方程
的解集不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别将等式左侧和右侧看做函数的形式，可得函数的单调性和对称轴，并求得左
右两侧函数的最值；通过单调性和最值的大小关系可得解的个数有 个， 个或 个的情况，
由此可得结果.
【详解】 函数 是开口向上且关于直线 对称
的二次函数， ；
函数 关于直线 对称，且在 上单调递增，在 上单调
递减， ；
若 ，则方程 无解；
若 ，则方程 有唯一解 ；
若 ，则方程 有两解，且两解关于 对称；
综上所述：方程 的解集不可能是 .
故选：C.
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在R上的偶函数，且当 时，
，那么函数 在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】BC
学科网（北京）股份有限公司 20【分析】函数 在定义域的零点个数可转化成 的根的个数，根据偶函
数的图像关于 轴对称，只需考虑 时 的根的个数，从而可得结论.
【详解】当 时，
当 时，令 ，解得 或2共有两个解；
当 时，令 ，即 ，当 时，方程无解；
当 时， ，符合题意，方程有1解；
当 时， ，不符合题意，方程无解；
所以当 时， 有2个或3个根，而函数 是定义在R上的偶函数，所以函数
在定义域内的零点个数可能是4或6.
故选：BC
三、填空题
7．（2023·四川绵阳·统考二模）若函数 ， ，则函
数 的零点个数为______．
【答案】5
【分析】令 ，则有 ,即有 ，再分 ， 和
三种情况，利用图象求解 的零点个数即可.
【详解】解：令 ，则有 ，
所以 ，
当 时，则有 ，
即 ,
在同一坐标系中作出 与 的图象，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司 21由图可得此时两函数的图象有两个交点，
即当 时， 有2个零点；
当 时，则有 ，
即 ，
在同一坐标系中作出 与 的图象，如图所示：
由图可得此时两函数的图象有两个交点，
即当 时， 有2个零点；
当 时， ，
此时 ，有1个零点为 ，
综上所述， 共有5个零点.
故答案为：5
四、解答题
8．（2022·全国·高三专题练习）证明：函数 的图象与 的图象
有且仅有一个公共点．
【答案】证明见解析
【分析】把要证两函数的图象有且仅有一个公共点转化为证明方程 有且
仅有一个实根.易观察出 为其一根，再假设 是函数图象的另一个公共点，
然后得出矛盾即可.
【详解】要证明两函数 和 的图象有且仅有一个公共点，
只需证明方程 有且仅有一个实根，
观察上述方程，显然有 ，则两函数的图象必有交点 ．
设 是函数图象的另一个公共点．
则 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司 22∴ ，即 ，
令 ，易知函数 为指数型函数．
显然 在 内是减函数，且 ，
故方程 有唯一解 ，从而 ，与 矛盾，
从而知两函数图象仅有一个公共点．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在 上的偶函数，当 时，
（1）求 ， 的值；
（2）求 的解析式并画出函数的简图；
（3）讨论方程 的根的情况.
【答案】（1） ；（2） ，图像见解析；（3）当
，方程无实根、当 或 ，有2个根、当 ，有3个根、 当 ，有4
个根；
【分析】（1）函数求值只需将自变量值代入函数式计算即可；
（2）求 时的解析式时，转化为 ，将其代入已知关系式，再借助于偶函数
得到函数解析式，最后将解析式化成分段函数形式；
（3）结合做出的函数图像可知函数值 取不同值时对应的自变量个数是不同的，本题求解
主要利用数形结合法
【详解】解：（1）
是定义在R上的偶函数，
（2）当 时， 于是
是定义在 上的偶函数，
，
图像如图所示：
学科网（北京）股份有限公司 23（3）数形结合易知：当 ，方程无实根；当 或 ，有2个根；当 ，有3个
根； 当 ，有4个根；
【点睛】本题考查根据奇偶函数性质求函数解析式，数形结合解决方程根的个数问题，考
查运算求解能力，数形结合思想，是中档题.本题解题的关键在于利用数形结合思想求解.
考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数定义在 上的奇函数 满足在 ，
则 在 上的零点至少有（ ）个
A．6 B．7
C．12 D．13
【答案】D
【分析】根据奇函数可得 ，然后利用周
期性和奇偶性结合可得函数 ，进而可得所有可能的零点.
【详解】 是奇函数，故 ，又由 得周期为1，故
，又 ， ，因此
，再由周期为1，总之，有 ，共13个
零点，
故选:D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】应用导数研究 的单调性、极值，再结合零点存在性定理判断区间零点个数，
即可确定答案.
学科网（北京）股份有限公司 24【详解】由题设， 且 定义域为 ，
所以在 上 ，在 上 ，即 在 上递减，在 上递增，
所以 的极小值为 ，又 ， ，
则 在 、 上各有一个零点，共有2个零点.
故选：B
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知四个函数：（1） ，（2） ，
（3） ，（4） ，从中任选 个，则事件“所选 个函数的图象有且
仅有一个公共点”的概率为___________.
【答案】
【分析】由四个函数在同一平面直角坐标系内的图象进行求解即可.
【详解】
如图所示， 与 ， 与 ， 与
， 与 均有多个公共点，
令 ，则 ，∴ 在 上单调递增，
又∵ ，∴ 有唯一零点，
∴ 与 的图象有且仅有一个公共点；
令 ，则 ，∴ 在 上单调递增，
又∵ ，
∴存在 ，使 ，且 是 的唯一零点，
学科网（北京）股份有限公司 25∴ 与 的图象有且仅有一个公共点.
∴从四个函数中任选 个，共有 种可能，
“所选 个函数的图象有且仅有一个公共点的有 与 和 与
共 种可能，
∴“所选 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .
故答案为： .
三、解答题
4．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数 是自然对数的底数
.
(1)讨论函数 的极值点的个数；
(2)证明：函数 在区间 内有且只有一个零点.
【答案】(1) 在 上有且仅有3个极值点.
(2)证明见解析
【分析】（1）求导并利用 ，得到 或 ，根据根的个数可得极值点的
个数，设 ，利用导数分析单调性并利用零点存在定理求出根的个数即可.
（2）根据导函数零点 ，分析 的单调性，可得 在区间 内的极
大值为 ，极小值为 ，再利用零点存在定理分析可证.
【详解】（1） ，令 或 .
设 ，则 ，
令 ，
且 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
所以 ，
因为 ，则 ，此时 在 上有且仅有两个零点，记为 ，
因为 ， ， 时 ，所以 ，
所以 在 上有且仅有3个极值点.
学科网（北京）股份有限公司 26（2） ，当 时，
在 上有3个极值点： ， ， ，其中 ，
且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增；
当 时， ，则 ， 单调递减；
当 时， ，则 ， 单调递增.
所以 在区间 内的极大值为 ，极小值为 ，
且 .
所以
同理 ，而当 时 ，
因此函数 在区间 内无零点，在区间 上有且只有一个零点.
综上所述， 时， 在区间 内有且仅有一个零点.
考向二：利用零点求参数的值（范围）
考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若将函数
的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若关于 的方程 在
上有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象平移的原则得 的表达式，根据 的范围得出 的范
围，结合余弦函数的性质列出不等式即可得结果.
学科网（北京）股份有限公司 27【详解】将函数 向左平移 个单位长度后得到函数 ，
即 ，
∵ ，∴ ，
∵ 在 上有且仅有两个不相等的实根，
∴ ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ，
故选：B.
2．（2023·山西阳泉·统考三模）函数 在区间 存在零点．则实数
m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】由 在 上单调递增， 在 上单调递增，得函数
在区间 上单调递增，
因为函数 在区间 存在零点，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 .
故选：B.
3．（2023·陕西商洛·统考二模）已知函数 ，若函数 有
个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数可求得 单调性和最值，由此可得 图象，根据函数零点个数可
学科网（北京）股份有限公司 28直接构造不等式求得结果.
【详解】 定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增； ，
可得 图象如下图所示，
有 个零点， ，解得： ，即实数 的取值范围为 .
故选：D.
4．（2023·四川自贡·统考三模）设函数 有唯一的零点，则实数
m为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】令 ，通过换元法将函数 转化为 , 易得函数
是偶函数，再根据题意可得 ，即可求解.
【详解】令 ，则 ，
因为 ，
所以函数 是偶函数.
因为函数 有唯一的零点，所以函数 有唯一的零点.
则 ，即 ，解得 .
故选：B
【点睛】关键点睛：
学科网（北京）股份有限公司 29这道题的关键能通过换元法将函数 转化为 ，从而利用偶函数
有唯一零点得到 ，从而求解.
5．（2023·陕西商洛·统考三模）记函数 的最小正周期为 ，
且 ，若 在 上恰有3个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 求得 ，使用整体换元法求得 的范围， 根据 在
上恰有3个零点列出满足的不等式关系求解即可.
【详解】因为 的最小正周期为T，所以 ．
又 ，所以 ，
当 时， ，
由 在 上恰有3个零点，得 ，
解得 ．
故选：A
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是函数 和 的零
点，则（ ）
A． B． C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用函数与方程思想，得到两根满足的方程关系，然后根据结构构造函数
，求导，研究单调性，得到 及 ，结合指对互化即可判断选项A、
B、C，最后再通过对勾函数单调性求解范围即可判断选项D.
【详解】令 ，得 ，即 ， ，
学科网（北京）股份有限公司 30令 ，得 ，即 ，即 ， ，
记函数 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
因为 ， ，所以 ，故A错误；
又 ，所以 ， ，
所以 ，故B正确；
所以 ，故C正确；
又 ，所以 ，结合 ，得 ，
因为 ，所以 ，且 ，
因为 在区间 上单调递减，所以 ，
即 ，故D正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题方法是把函数的零点转化为方程的
根，通过结构构造函数，利用函数单调性及指对互化找到根的关系得出结论.
三、填空题
7．（2023·四川凉山·三模）若函数 有两个零点，则实数a的取值
范围为______．
【答案】
【分析】由函数 有两个零点等价于则函数 图象与直线 有两个交
点，如图，当直线 在 之间平移时满足题意，利用导数的几何意义求出曲线
的切线方程，即可.
【详解】由题意得，令 ，
则函数 图象与直线 有两个交点.
由 ，得 ，左顶点为B ，
学科网（北京）股份有限公司 31即曲线 表示焦点在y轴的椭圆的上半部分，如图，
当直线 在 之间平移时，直线与曲线有两个交点.
当直线 为直线 时， ，解得 ；
当直线 为直线 时， 与椭圆相切，设切点为 ，
则 ，得切线的斜率为 ，
解得 ，代入 得 ，
所以切线 的方程为 ，令 ，得 ，
则 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 ，
故答案为： .
8．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数 ，当 时， 的
零点个数为_____________；若 恰有4个零点，则 的取值范围是______________.
【答案】 1
【分析】第一空：当 时 、 时 可得答案；第二空：
至多有2个零点，故 在 上至少有2个零点，所以
；分 、 、 讨论结合图象可得答案.
【详解】第一空：当 时，当 时， ，解得 ；
学科网（北京）股份有限公司 32当 时， ，无零点，
故此时 的零点个数是1；
第二空：显然， 至多有2个零点，故 在 上至少有2个
零点，所以 ；
①
若 恰有2个零点，则 ，此时 恰有两个零
点，所以 ，解得 ，
此时 ；
②
若 恰有3个零点，则 ，此时 ，
所以 恰有1个零点，符合要求；
③当 时， ，所以 恰有1个零点，
而 至少有4个零点，
此时 至少有5个零点，不符合要求，舍去.
学科网（北京）股份有限公司 33综上， 或 .
故答案为：1； .
【点睛】方法点睛：求零点的常用方法：①解方程；②数形结合；③零点存在定理；④单
调+存在求零点个数，复杂的函数求零点，先将复杂零点转化为较简单函数零点问题.
9．（2023·全国·校联考二模）已知函数 ，若关于 的方程
有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是______.
【答案】 或 或
【分析】借助导数求得 的取值范围，再换元，数形结合求a的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以在 上单调递增，在 上单调递减，
，如图，
设 ，则 ，
显然 不是方程 的解，
则 （ 且 ），
如下图所示，
（1）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）无交点，
则方程 无实数解，
（2）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）有唯一交点，其横坐标
为 ，
学科网（北京）股份有限公司 34此时直线 与曲线 有唯一交点，即方程 有唯
一实数解
（3）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）有唯一交点，其横坐标
为 ，
此时直线 与曲线 有两个交点，即方程 有两
个实数解，
（4）当 ，直线 与曲线 （ 且 ）有两个交点，
设其横坐标分别为 ， （ ），
此时直线 和直线 与曲线 各有两个交点，
即方程 有四个实数解，
（5）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）有两个交点，
设其横坐标分别为 （ ）， ，此时直线 与曲线 各有两个交
点，
直线 与曲线 有唯一的交点，即方程 有三个实
数解，
（6）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）有唯一个交点，
设其横坐标分别为 （ ），此时直线 与曲线 有两个交点，
即方程 有两个实数解，
（7）当 时，直线 与曲线有两个公共点，对应的t有两个负值，设为 ，
此时直线 和直线 与曲线 各有一个交点，
即方程 有两个实数解，
综上，当 或 或 时，方程 有两个不同的实数根.
学科网（北京）股份有限公司 35【点睛】关键点点睛：复合方程解的个数问题的解题策略为：首先要能观察出复合的形式，
分清内外层；其次要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；最
后通过数形结合的方式解决问题.
10．（2023·天津河西·统考一模）已知 ，且函数 恰有
个不同的零点，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】当 时，由 得 ，可转化为当 时， 恰有 个不
同的零点，利用根的分布可得答案.
【详解】当 时， ，
所以由 得 ，
所以当 时， 恰有 个不同的零点，
令 ，则 在 时恰有 个不同的零点，
可得 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
学科网（北京）股份有限公司 36出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数．
(1)求实数k的值．
(2)当 时，函数 存在零点，求实数a的取值范围．
(3)函数 （ 且 ），函数 有2个零点，
求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）函数 是偶函数，所以 ，计算可得；
（2）依题意问题转化为 在 上有实数解，求出
的值域即可得解；
（3）因为函数 与 的图像有两个公共点，所以关于 的方程
有两个解，所以 ，换元，研究二
次函数图像及性质即可得出实数 的取值范围.
【详解】（1）因为函数 是偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，得
（2）由（1）可知 ，则 ，
当 时，函数 存在零点，即关于x的方程 在
上有实数解，即关于x的方程 在 上有实数解．
令 ， ，
学科网（北京）股份有限公司 37因为 ，则 ，所以 ，则 ，
所以 ，即 ，所以 ，
故实数a的取值范围为 ．
（3）函数 有2个零点，即关于x的方程
有2个不相等的实数根，
化简上述方程得 ，即 ，
所以 ，所以 ．
令 ，得关于t的方程 ．
记 ．
①当 时，函数p（t）的图像开口向上，图像恒过点 ，方程（*）只有一个正
实根，不符合题意．
②当 时，函数p（t）的图像开口向下，图像恒过点 ，因为 ，
要满足题意，则方程（*）应有两个正实根，即 ，解得 或
，又 ，所以 ．综上，m的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛:
（1）构造新函数法：求函数F（x）的零点，考虑将函数F（x）变形成两个新函数的差，
即 ，将原问题转化为函数f（x）与g（x）图像的交点问题．
（2）参变分离法：求函数f（x）的零点，由 分离变量得出 ，将原问题等价
转化为直线 与曲线 的交点问题．
12．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求 的单调性；
(2)若函数 在 上有唯一零点，求实数a的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 38【答案】(1)单调增区间为 ，单调减区间为 ，
(2)
【分析】（1）先写出 定义域，然后求导，解不等式得出单调性；
（2） 时可证明 在 上单调并无零点， 时可根据零点存在定理结合函数
单调性进行判断
【详解】（1） ， ，则 ，
又因为函数 的定义域为 ，
所以 的单调增区间为 ，
单调减区间为 ， ．
（2）先证明两个结论： 时， .
设 ，则 ，于是 在 上递减，
故 ，即 时 ；
设 ， ，即 在 上递增，
故 ，即 时， .
令 ， ， ．
①当 时， ，
当 时， ，
所以当 时， 在 上无零点，舍去．
②当 时， ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增．
学科网（北京）股份有限公司 39而 ， ，
所以 在 上存在唯一 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又 ，所以 仅在 上存在唯一零点．
综上，a的取值范围为
考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数
一、单选题
1．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）函数 ，若
，有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的对称性和对数函数的性质求解.
【详解】
依题意作函数 的图象如图， 关于 轴对称，所以 ，
又由 ，∴ ，∴
，
时， ， ，∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 40∴ ，
故选：C.
2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数 且 有两个
零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将解：函数 且 有两个零点，转化为函数 的
图像与直线 有两个公共点求解.
【详解】解：因为函数 且 有两个零点，
所以 且 有两个零点，
即函数 的图像与直线 有两个公共点，
当 时，由图①得 1，故 ；
当 时，由图②得 ，不符合题意.
，
故选：A
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象与函数 的图象所
有交点的横坐标之和等于______.
【答案】8
【分析】根据正弦型函数的性质判断 的对称性，由 解析式判断单调性、
值域、对称性，并确定两函数的交点情况，画出它们的图象，根据对称性求交点坐标之和.
【详解】由 ，则 ，即
学科网（北京）股份有限公司 41关于 对称；
由 在 上递增且值域为 、 上递增且值域为 ，且关
于 对称；
又 ，根据对称性知： ，
所以 、 且 的图象如下，
所以，在 的两侧各有4个交点，且4对交点分别关于 对称，
故任意两个对称的交点横坐标之和为2，所有交点的横坐标之和为8.
故答案为：8
4．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知 ，函数
，若存在不相等的三个实数 ，使得 ，
则实数 的取值范围是________.
【答案】
【分析】对 分别讨论 ， 的情况，则原命题等价为方程 在
上有两个不等根，参变分离后等价 与 在 上有两
个不同交点，由数形结合结合基本不等式讨论 的值域即可.
【详解】当 时，令 ，解得 ，
所以只需方程 在 上有两个不等根即可，
整理得 ， 有两个根．
学科网（北京）股份有限公司 42只需 与 在 上有两个不同交点即可．
所以 且 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： .
三、解答题
5．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数 在区间 上恰有3个零点，
其中 为正整数.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，求函数 的单
调区间.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，求出 的范围，再结合正弦函数的零点情况列出不等式
求解作答.
（2）由（1）求出函数 的解析式，进而求出 ，再利用正切函数的单调性求解作
答.
【详解】（1）由 ，得 ，
因为函数 在区间 上恰有3个零点，
于是 ，解得 ，而 为正整数，因此 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，
由 ，得 ，即有 ，
学科网（北京）股份有限公司 43因此 ，
由 ，解得 ，
所以函数 的单调减区间为 .
6．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最值；
(2)当 时，函数 的图像与 的图像有两个不同的交点，
求实数 的取值范围．
【答案】(1) ，无最大值．
(2)
【分析】（1）求导，根据导函数的符号求解；
（2）构造函数 ，求导，研究 的单调性，对a分类讨论.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 时， ， 在 上单调递减，
时， ， 单调递增，
所以 ，无最大值；
（2）令 ，原问题等价于 有2个零点，
，
令 ，则 ，
显然 在 上单调递增，所以 ．
当 时， ， 在 上单调递增， ，即 ，
则 在 上单调递增，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 44所以 有且仅有1个零点，不符合题意；
当 时， ， ，
， ，
所以存在唯一 ，使得 ．
当 时， ， 单调递减，则 ，
当 时， ， 单调递增，
又 ，
所以当x趋于 时， 也趋于 ，存在唯一的 ，使得 ．
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
因为 ，且当x趋于 时， 也趋于 ，则 在 上有两个零点，
所以实数 的取值范围是 ；
综上， 的最小值是 ，无最大值；a的取值范围是 .
【点睛】本题难点在于二次，三次求导，并对a的分类讨论，注意利用特殊值 和
来判断 的符号.
学科网（北京）股份有限公司 45
