文档内容
重难点 02 不等式（5 种解题模型 5 种数学
思想）
【目录】
5种解题模型
一、一元二次型不等式恒成立问题
二、一元二次型不等式能成立问题
三、基本不等式中“1”的妙用
四、利用基本不等式求参数范围
五、作差法比较大小
5种数学思想
一、函数与方程思想
二、数形结合思想
三、分类与整合思想
四、转化与划归思想
五、特殊与一般思想
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022新高考2，第12题 基本不等式 利用基本不等式求最值
2020新高考1，第11题 不等式的概念和性质 比较大小
二、命题规律与备考策略
本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与
运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立
问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为 5分。对于不等式
及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。
三、题型解题技巧
1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较
法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.
2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特
学科网（北京）股份有限公司 1别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的
放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析
不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.
4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及
公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条
件和等号成立的条件.
5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把 a＜0的情况
转化为a＞0时的情形.
6.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系
数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是
利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值
来处理，一般后者比较简单.
四、题型方法
5种解题模型
一、一元二次型不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2023·福建·统考模拟预测）已知 ， 恒成立，则 的一个
充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先通过选项求出是什么条件，选出符合题目要求的充分不必要条件即可.
【详解】 ， ，得 ，A是 的必要不充分
条件，B是 的必要不充分条件，C： 是 的充要条件，D：
是 的充分不必要条件．
故选：D．
二、多选题
2．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知 ： ，
恒成立； ： ， 恒成立.则（ ）
学科网（北京）股份有限公司 2A．“ ”是 的充分不必要条件 B．“ ”是 的必要不充分条件
C．“ ”是 的充分不必要条件 D．“ ”是 的必要不充分条件
【答案】BC
【分析】根据含参不等式不等式恒成立分别求得实数 的取值范围，结合充分必要条件即
可得答案.
【详解】已知 ： ， 恒成立，则方程 无实根，
所以 恒成立，即 ，故“ ”是 的必要不充分条件，故A错误，
B正确；
又 ： ， 恒成立，所以 在 时恒成立，
又函数 的最大值为 ，
所以 ，故“ ”是 的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：BC.
三、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）设对一切实数 ，不等式
恒成立，则 的取值范围为________.
【答案】
【分析】不妨设 ，将不等式等价转化为 对一切实数 恒成立，
然后利用一元二次不等式恒成立列出不等式组，解之即可求解.
【详解】不妨设 ，则 ，则
，
即 ，
所以，原不等式可化为 ，它对一切实数 恒成立，
所以 ，解得 ，所以 ，即 ，则 ，解
得 .
故答案为： .
4．（2023·广西·统考模拟预测）若不等式 对 恒成立，则a的取值
范围是____________．
学科网（北京）股份有限公司 3【答案】
【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的
取值范围．
【详解】由不等式 对 恒成立，
可转化为 对 恒成立，即 ，
而 ，
当 时， 有最大值 ，所以 ，
故答案为： ．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不等式 在
R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】 ．
【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可
得答案.
【详解】令
因为 在区间 上是增函数，
所以
因此要使 在区间 上恒成立，应有 ，即所求实数m的取值范围为
．
故答案为： .
四、双空题
6．（2023·云南·高三校联考阶段练习）螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋
卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋烧而形成的曲线，如图甲所
示．如图乙所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形
ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F、G，H，作第2个正方形
EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，
依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案，设正方形ABCD的边长为 ，后续
各正方形的边长依次为 ；如图乙阴影部分，直角三角形AEH的面积为 ，后
续各直角三角形的面积依次为 ，则 ___；记数列 的前n项和为 ，
学科网（北京）股份有限公司 4若对于 恒成立，则 的最大值为___．
【答案】 / /
【分析】先求正方形边长的规律，再求三角形面积的规律，就可以求出数列 的通
项公式，从而就可以求出 的表达式，再用参数分离求 的最大值即可.
【详解】由题意，由外到内依次各正方形的边长分别为 ，则
，
，……，
，
于是数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，则 .
由题意可得： ，即 ……，
于是 .
所以 ，
，是关于 的增函数，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 5由 恒成立得 ，
令 ，
所以当 时 单调递增，所以 ，
所以 的最大值为 ，
故答案为： ；
【点睛】关键点点睛：本题关键是求出数列 的通项公式，先写出数列的前几项，
通过找规律发现递推关系从而得到通项公式.
五、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．若对任意的
， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】
【分析】首先不等式变形为 恒成立，讨论 的取值，利用参变分离，结
合基本不等式，转化为求函数最值问题.
【详解】∵对任意的 ， 恒成立， 恒成立，
即 恒成立．当 时，不等式为 恒成立；当 时，
， ， ， ，当且仅当
时，即 ， 时取“=”． ．
当 时， ．
∵ ， ．令 ，则 ，∵函数 在 上单调递
增，
∴当 ，即 时，函数 取到最大值 ， ．
综上所述， 的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司 6二、一元二次型不等式能成立问题
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知 .若存在 ，使
不等式 有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦两角和公式化简函数，然后将问题转化为函数
在区间上成立问题，求出最值，解不等式即可.
【详解】
，
若存在 ，使不等式 有解，
则问题转化为在 上
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得： 或
即实数m的取值范围为： ，
故选：B.
学科网（北京）股份有限公司 72．（2023·河南安阳·统考二模）已知集合 ，
，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题得 ，解出 的范围，再根据交集含义即可得到答案.
【详解】因为 ， ，
所以 ，所以 或 ，
所以 或 ，
所以 ．
故选：D.
3．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知 ，q：任意 ，则p
是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式恒成立解得 ： ，结合充分、必要条件的概念即可
求解.
【详解】命题 ：一元二次不等式 对一切实数x都成立，
当 时， ,符合题意；
当 时，有 ，即 ，解为 ，
∴ ： ．又 ： ，
设 ，则 是 的真子集，
所以p是q成立的充分非必要条件，
故选：A．
4．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“ ， ”为
真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知 时， ，再根据二次函数求最值即可得答案.
学科网（北京）股份有限公司 8【详解】解：因为命题“ ， ”为真命题，
所以，命题“ ， ”为真命题，
所以， 时， ，
因为， ，
所以，当 时， ，当且仅当 时取得等号.
所以， 时， ，即实数 的取值范围是
故选：C
二、双空题
5．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式 对 恒成立，则a的取值范围
是__________， 的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得 ，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】当 时，不等式 对 不恒成立，不符合题意（舍去）；
当 时，要使得 对 恒成立，
则满足 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 .
因为 ，可得 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 ．
故答案为： ； .
三、填空题
6．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）若关于x的不等式 在区间 上
有解，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到 ，求出 在给定区间的最大
值，进而可求出结果.
【详解】因为 ，所以由 得 ，
学科网（北京）股份有限公司 9因为关于 的不等式 在区间 上有解，
所以只需 小于等于 的最大值，
当 时， ，
当 时， ，当且仅当 时等号成立，即当且仅当 时
取等号，故 的最大值为 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
7．（2023·全国·高三专题练习）设函数 的定义域为D，若 ，使得 ，
则称 是函数 的不动点．若函数 在区间 上存在不动点，
则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】采用换元法令 ，将问题转化为关于t的方程 在 上有解，
再分离参数即可求出a的范围.
【详解】设 ，由题可知 有解，
即 有解，
即 有解，
即 有解，
令 ，则 有解，
即 在 时有解.
易知 在 时单调递减，在 时单调递增，
且 ， ，
故 ，则 .
学科网（北京）股份有限公司 10故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题关键是将对数方程化为指数方程，并采用换元法将问题转化为关
于t的二次方程在特定区间上有解的问题.
四、解答题
8．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题 ：任意 ，
成立；命题 ：存在 ， + 成立.
(1)若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
(2)若命题 和 有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或 或
【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；
（2）求得p真的条件，由 和 有且只有一个为真命题，得到 真 假，或 假 真，然
后分别求的m的取值范围，再取并集即得.
【详解】（1）由q真： ，得 或 ，
所以q假： ；
（2）p真： 推出 ，
由 和 有且只有一个为真命题，
真 假，或 假 真，
或 ，
或 或 .
三、基本不等式中“1”的妙用
一、单选题
1．已知点 在直线 上，若关于 的不等式 恒成立，
学科网（北京）股份有限公司 11则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】宁夏中卫市2023届高三二模数学（理）试题
【答案】A
【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得 的最小值，从而将问题转化
，解之即可.
【详解】因为点 在直线 上，
所以 ，
故 ，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
因为关于 的不等式 恒成立，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：A
2．已知正实数 ， ，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【来源】河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题
【答案】C
【分析】根据题意可得 ，结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意得 ，且 ，
故 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立.
故选：C.
3．已知正实数 ， ，满足 ，则 的最小值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 12A．5 B． C． D．
【来源】河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考理科数学试题
【答案】D
【分析】先根据基本不等式求出 .然后即可根据不等式的性质得出
，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.
【详解】由已知可得， ， ， .
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以， ，
当且仅当 ，即 时，两个等号同时成立.
所以， .
故选：D.
4．已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【来源】江西省南昌市稳派2023届高三二轮复习验收考试（4月联考）数学（理）试题
【答案】B
【分析】条件等式两边取对数后，得 ，再结合换底公式，以及基本不等式
“1”的妙用，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最小值为6.
学科网（北京）股份有限公司 13故选：B.
二、多选题
5．已知 ，直线 与曲线 相切，则（ ）
A．ab的最大值为 B． 的最小值为25
C． 的最小值为 D． 的最大值为2
【来源】安徽省省十联考2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题
【答案】BC
【分析】根据导数几何意义，得到 ，再结合基本不等式可判断ABD的正误，利用
换元法可解选项C.
【详解】设切点为 ，因为 ，所以 ，得 ，
所以 ，所数 ．
对于A， ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，故A不正确；
对于B， ＋ ，
当且仅当 时，等号成立，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对于D， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最大值为 ，故D错误.
故选：BC
6．直角三角形 中， 是斜边 上一点，且满足 ，点 在过点 的直线
上，若 ，则下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 14A． 为常数 B． 的值可以为：
C． 的最小值为3 D． 的最小值为
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三第四次高考模拟考试数学试卷
【答案】ACD
【分析】作出图形，由 可得出 ，根据三点共线的结论得出
，由此判断A，B，结合基本不等式可判断CD.
【详解】如下图所示：
由 ，可得 ，
，
若 ， ， ，
则 ， ，
，
、 、 三点共线，
， ，
故A正确；
当 ， 时， ，所以B错误；
，
当且仅当 时，等号成立，C正确；
学科网（北京）股份有限公司 15的面积 ， 的面积 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，当且仅当 时等号成立，
所以当 时， 取最小值，最小值为 ，
所以 的最小值为 ，D正确；
故选：ACD.
三、填空题
7．在 中，已知 ， ， ， 为线段 上的点，且
，则 的最小值为___________．
【来源】天津市2023届高三一模数学试题
【答案】
【分析】首先由 及 得出 ，再由 得出
，由 得出 ，设 ， ，结合已知得出
，根据基本不等式求解即可．
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，由 得 ，
由 得 ，
因为 ，
学科网（北京）股份有限公司 16所以 ，即 ，
由 及 得 ，
设 ， ，
因为 ，
所以 ， ，
所以
将 ， 代入得， ，即 ，
所以 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，
故答案为： ．
8．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且∠BAC的平分
线交BC于D，若 ，则 的最小值为________．
【来源】新疆喀什地区普通高考2023届高三适应性检测数学（理）试题
【答案】9
【分析】先根据三角形面积关系列 等量关系，再根据基本不等式求最值.
【详解】因为AD平分∠BAC，所以 ， ，
即 ，又 ，
整理得 ，故
学科网（北京）股份有限公司 17所以 ，
当且仅当 ， ，即 ， 时等号成立，
则 的最小值是9．
故答案为： .
9．正数a，b满足 ，若不等式 恒成立，则实数m的取值范围
________．
【来源】贵州省凯里市第一中学2023届高三三模数学（理）试题
【答案】
【分析】由均值不等式“1”的代换求出 ，则 ，解不等式即可求出答案.
【详解】解析：由题 ，
则 ，
∴ ，
解得: ．
故答案为： .
四、解答题
10．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)设 的最小值为m，若正数a，b满足 ，求 的最小值.
【来源】陕西省宝鸡中学2023届高三月考（七）文科数学试题
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分情况去掉绝对值的符号，分类讨论解不等式；
（2）先根据绝对值三角不等式算出 ，然后根据基本不等式求解.
【详解】（1）当 时，原不等式等价于 ，解得 .
当 时，原不等式等价于 ，恒成立.
学科网（北京）股份有限公司 18当 时，原不等式等价于 ，解得 .
综上所述，不等式 的解集为 .
（2）因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 .
，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 .
四、利用基本不等式求参数范围
一、单选题
1．（2023·广东湛江·统考二模）当 ， 时， 恒成立，则m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将左侧分式的分子因式分解成 的形式，再利用均值不等式的结
论进行计算即可以得到结果.
【详解】当 ， 时，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ．
所以 ，即 ．
故选：A.
二、多选题
2．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 19A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据基本不等式判断A,B选项，特殊值法判断C,D选项即可.
【详解】选项A：因为 ，所以 ，所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，故A正确；
选项B： ，当且仅当 时等号成立，故B正确；
选项C：因为 , , ，故C错误；
选项D：因为 , , ,故D错误．
故选:AB．
三、填空题
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 为偶函数， 为奇函数， ，
若不等式 恒成立，则实数 的最大值为______．
【答案】6
【分析】根据奇偶性得到 ，再联立求解得 ，
，从而原不等式等价于 ，设 ，分离
参数结合基本不等式即可求解.
【详解】因为 为偶函数， 为奇函数， ①，
所以 ，即 ②，
由①②得 ， ．
则不等式
等价于 ，
整理得 ．
令 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
学科网（北京）股份有限公司 20于是原不等式等价于 ，
而 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，所以实数 的最大值为6．
故答案为：
【点睛】方法点睛：
求有关不等式恒成立问题，一般有三种方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数
的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条
件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两
个函数，通过两个函数的图象求解．
4．（2023·天津和平·统考二模）设 ， ， ，若 ， ，则
的最大值为__________．
【答案】3
【分析】由已知可解得 ， .根据换底公式可得 ， .根据
基本不等式得出 ，然后根据对数运算性质即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ， .
又 ， ，
所以 ， .
因为 ， ，根据基本不等式有 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 .
则 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
5．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知 ，若不等式 恒成
学科网（北京）股份有限公司 21立，则实数 的最小值为 ______
【答案】
【分析】原不等式可转化为 ，t 恒成立，利用基本不等式可求得
∀
的最大值，从而可得答案．
【详解】因为 ，
∀
∴sinx＞0，cosx＞0，
∴不等式sin2x﹣tsin2x t恒成立 t 恒成立，
⇔
∵ ＝
（当且仅当 ，即tanx＝ 时取等号），
∴t ．
故答案为： ．
四、双空题
6．（2023·辽宁锦州·统考二模）在 中， ，若空间点 满足
，则 的最小值为___________；直线 与平面 所成角的正切的最
大值是___________.
【答案】
【分析】以 所在平面为 ，建立 空间直角坐标，求平面 的法向量，
利用线面角结合换元法可得 ，又 ，则 的最大值为 ，由此即可求出答
案.
学科网（北京）股份有限公司 22【详解】
过点 作 与点 ，过点 作 与点 ，
设 ，则 ，
又 ，则 ，
则点 在以 为旋转轴，底面圆半径为 的圆柱上，
当点 与点 三点共线时， 最小；且最小值为 ；
如图所示：以 所在平面为 ，建立 空间直角坐标，则平面 的法向量为：
，
，
设 ，
则 ，
当 ，且 时， 最小，
即当点 与点 三点共线时， 最小，且最小值为 ；
记直线 与平面 所成角为 ,
则 ，
因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 23则 ， ，
又 ，在 上单调递减。在 上单调递增，
则 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
又 ，
所以直线 与平面 所成角的最大值为 ，
此时 ，
故答案为： ；
五、解答题
7．（2023春·山东·高一滨州一中校联考期中）记 的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且 .
(1)求 外接圆的周长；
(2)若 ， ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式及正弦定理求得 外接圆的半径；
（2）根据余弦定理结合基本不等式、面积公式求得结果.
【详解】（1）由 ，
得 ，
因为 ，所以 ，则 外接圆的半径 ，
故 外接圆的周长为 .
（2）由（1）得 ，因为 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司 24由余弦定理 ，得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立.
所以 ，
故 面积的最大值为 .
五、作差法比较大小
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知 ，则下列不等式不一定
成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A选项，根据不等式基本性质得到 ；B选项，利用基本不等式求解；C选
项，利用作差法比较大小；D选项，可举出反例.
【详解】A选项，因为 ，所以 ，不等式两边同时乘以 ，可得
，故A正确；
B选项，因为 ，所以 ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，但 ，故等号取不到， ，B正确；
C选项， ，
因为 ， ，故 ，故 ，C正确；
D选项，不妨设 ，则
故选：D
2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知 ， ， ，则 、 、
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 25【答案】C
【分析】利用作差法结合基本不等式可得出 、 的大小关系，利用中间值 结合指数函
数、对数函数的单调性可得出 、 的大小关系，综合可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ，所以， ，则 ，
因为 ，
所以， ，则 ，所以
因为
，即 ，因此， .
故选：C.
3．（2023·吉林·统考三模）已知 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；B选项，利用基本不等式求出 ；
C选项，作差法比较出大小关系；D选项，举出反例即可.
【详解】A选项， ，故 ，所以 ，
两边同乘以 得， ，A成立；
B选项，因为 ，所以 ，且 ，
由基本不等式得 ，故B成立；
C选项，因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，C成立；
学科网（北京）股份有限公司 26D选项，不妨取 ，满足 ，此时 ，故D不一定成立.
故选：D
二、多选题
4．（2023·广东惠州·统考一模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用条件进行指对数转换，得到 ，从而有 ，再对各个
选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为 ，所以 ，则 ，
选项A， ，故 正确；
选项B，因为 ，且 ，所以 ，故
B正确；
选项C，因为 ，故C错误；
选项D，因为 ，故D正确，
故选：ABD．
5．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知 ∈R，则下
列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】对于ABC项：根据不等式的性质逐项判断.对于D项，使用作差法比大小.
【详解】对于A：因为 ，所以 ，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，两边同乘以 得 ，故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，所以 ，又 ，两
学科网（北京）股份有限公司 27式相乘得 ，故C错误；
对于D： ,
因为 ，所以 ,所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ABD
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知
，且 ，则下列不等式成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用对数运算性质化简整理得 ，结合已知及对数函数的性质
可得 ，再应用作差法、放缩、基本不等式判断各项正误即可.
【详解】由题设 ，
由 ，则 ，且 ，
所以 ，则 ，故 ，A错误；
由 ，故 ，B正确；
由 ，仅当 ，即 时等号成立，
所以等号取不到，则 ，而 ，但不一定有 ，
故 不一定成立，C错误；
由 ，其中等号成立条件为 ，即 时等号成立，
所以等号取不到，则 ，D正确.
故选：BD
学科网（北京）股份有限公司 28三、解答题
7．（2020秋·河北·高三统考学业考试）已知函数 在区间
上是增函数．
(1)求实数 的取值范围；
(2)设 ，试比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分 和 两种情况，结合二次函数的单调性求解即可；
（2）作差法比较大小即可.
【详解】（1）解：当 时， 在 上单调递减，不满足题意；
所以， ，
因为函数 在区间 上是增函数，
所以 ，解得
所以实数 的取值范围为 .
（2）解：由题知 ，
，
所以
因为 ， ，
所以 ，即
8．（2023·全国·高三专题练习）已知实系数多项式 有三个正根，且
求证：
学科网（北京）股份有限公司 29【答案】证明见解析.
【分析】设实系数多项式 的三个正根为 、 、 ，可得出
，将所证不等式转化为证明
，利用作差法结合不等式的基本性质可
证得结论成立.
【详解】证明：设实系数多项式 的三个正根为 、 、 ，
则 ，
所以，
由 可得 ，
因为 ，所以
要证明 ，即要证明
即证明
即证明
即证明
因为
所以即证明
即证明 （*）
因为 所以
即
同理 三个不等式相加得证（*）成立．
所以
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的证明，证题的关键在于根据根与系数的关系，将
所证不等式转化为与零点相关的不等式，结合作差法来进行证明.
5种数学思想
一、函数与方程思想
学科网（北京）股份有限公司 30一、解答题
1．（2022秋·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）由中国发起成立的全球能源互联
网发展合作组织在京举办研讨会．会议发布了中国2030年前碳达峰、2060年前碳中和、
2030年能源电力发展规划及2060年展望等研究成果，在国内首次提出通过建设中国能源
互联网实现碳减排目标的系统方案．为积极响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新
能源汽车生产设备，通过市场调查分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产 （百
辆）新能源汽车，需另投入成本 万元，且 ，由市场
调研知，每辆车售价15万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式.（利润＝收入－成本）
(2)当年产量为多少百辆时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)年生产50百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为9800万元．
【分析】（1）分 和 ，讨论求得利润 （万元）关于年产量 （百辆）
的函数关系式．
（2）分 和 ，根据二次函数的性质和基本不等式可求得最值，比较得最大
利润.
【详解】（1）当 时， ；
当 时， ；
所以 ．
（2）当 时， ，开口向下，对称轴为
当 时， ；
当 时， ；
当且仅当 ，即 时，等号成立．
因 ，所以当 时，即年生产50百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润
为9800万元．
学科网（北京）股份有限公司 312．（2022秋·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）设 （常数
），且已知 是方程 的根.
(1)求 的值；
(2)设常数 ，解关于 的不等式： .
【答案】(1) ；
(2)见解析.
【分析】（1）将 代入方程即可答案.
（2）将 代入整理得 ，对 进行分类讨论即可.
（1）
由题意得 ,故 ,解得 .
（2）
由 可得 ,即
,其中 ,
当 时,则有 ,解得 ;
当 时, ,解 可得 或 ；
当 时, ,解
可得1 ;
当 时, ,原不等式即为 ,该不等式无解;
当 时, ,解 可得 .
综上所述,当 时,原不等式的解集为 ，
当 时,原不等式的解集为 或 ，
当 时,原不等式的解集为 ;
当 时,原不等式的解集为 ;
当 时,原不等式的解集为 .
学科网（北京）股份有限公司 323．（2022秋·江西九江·高一瑞昌市第一中学校考阶段练习）已知 .
(1)若x､ ，求 的最大值；
(2)若x､ ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由已知条件，利用基本不等式求得 ，即可确定最大值，注意取
值条件.
（2）由 且 得到 ，并代入目标式，应用二次函数性质
求范围.
（1）
由x､ ，则 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 .
（2）
由 ，则 ，又 ，
所以 ，
由 ，
所以 .
4．（2022·全国·高三专题练习）某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的
准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期
的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记
生产 件产品的总费用为y元.当 时，成本费用为3000元，仓储费用为450
元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？
学科网（北京）股份有限公司 33【答案】(1)
(2)当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元
【分析】（1）根据已知设成本费用为 ，仓储费用为 元，则 ， ，当
时， ， ，代入即可求得解析式.
（2）平均费用为 ，利用基本不等式计算即可.
（1）
设成本费用为 ，仓储费用为 元，则 ， ，
当 时， ， ，可得 ， ，
故 .
（2）
平均费用 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元.
二、数形结合思想
一、单选题
1．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知集合 ，则满足
的非空集合B的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】A
【分析】先化简集合 ，然后利用子集的定义进行求解即可
【详解】
所以满足 的非空集合B有 ， ， ，故个数为3，
故选：A
2．（2022秋·安徽滁州·高三校考期中）无字证明是指利用图象而无需文字解释就能不证自
明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅
与条理，观察此图象，同学们能无字证明的结论是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 34A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判断 中的不等式不成立，观察图形：大正方形的面积比 个直角三角形的面
积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等，因此
（当且仅当 时等号成立），整理即可判断D;结合D的分析可判断C.
【详解】对于A，取 ，则 ，说明不等式 错误，故A
错误；
对于B，取 ，则 ，即 错误，故B错误；
对于D,从图形可以看出大正方形的面积比 个直角三角形的面积和要大，
当中心小正方形缩为一个点时，即 时，两个面积相等，
因此 ，所以 ，（当且仅当 时等号成立），
对于C，由D的分析可知 ，即 ，
时， ，故C错误；
故选：D．
二、填空题
3．（2023·高三课时练习）不等式 的解集为______．
【答案】
【分析】求得不等式对应的方程的解，即可求得一元二次不等式的解集.
【详解】不等式 即 ，
学科网（北京）股份有限公司 35的根为 ，
故 的解集为 ，
即不等式 的解集为 ，
故答案为：
4．（2023·全国·高三对口高考）已知集合 ，则 ________．
【答案】
【分析】根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】解：原不等式等价于 ，化简得 ，
所以，又等价于 ，解得：
所以，
故答案为： ．
5．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）若关于 的不等式 的解集为空集，则
实数 的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据二次不等式的解法即得.
【详解】因为关于 的不等式 的解集为空集，
所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
三、解答题
6．（2021秋·广西桂林·高二校考期中）求下列不等式的解集：
(1) ；
(2)
【答案】(1) 或
学科网（北京）股份有限公司 36(2)
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）原不等式整理得， ，
即 ，解得 或 ，
原不等式的解集为 或
（2）原不等式整理得， ，
，
原不等式的解集为 .
三、分类与整合思想
一、单选题
1．（2023·安徽淮北·高三校考开学考试）集合 ， ，若
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D．{ 或 }
【答案】A
【分析】解分式不等式求出集合 ，依题意可得 ，分 、 、 三种情况讨
论，分别求出参数的取值范围，即可得解.
【详解】由 等价于 ，解得 或 ，
所以 或 ，又 ，所以 ，
①当 时，即 无解，此时 ，满足题意.
②当 时，即 有解，
当 时，可得 ，即 ，要使 ，则需要 ，
解得 .
当 时，可得 ，即 ，要使 ，则需要 ，
学科网（北京）股份有限公司 37解得 .
综上，实数 的取值范围是 .
故选：A
二、解答题
2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式 ．
【答案】见解析
【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可.
【详解】方程： 且
解得方程两根： ；
当 时，原不等式的解集为：
当 时，原不等式的解集为：
综上所述, 当 时，原不等式的解集为：
当 时，原不等式的解集为：
3．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式
【答案】答案见解析
【分析】讨论 大小关系求一元二次不等式的解集.
【详解】由 ，可得 或 ，则：
当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为 ；
学科网（北京）股份有限公司 384．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知集合 ，函数
．
(1)求关于 的不等式 的解集；
(2)若命题“存在 ，使得 ”为假命题，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）将 代入不等式可整理成 ，分 ， 和 进行
分类讨论，即可求得答案；
（2）利用含量词的命题的否定得到命题“任意 ，使得 ”是真命题，
则 ，令 ，则 ，利用基本不等式求解最
值即可
【详解】（1）因为 ，且 ，
所以 即 ，
因为 的实数根为 或 ，
当 时，此时 ，所以不等式的解集为 ；
当 时，此时 ，所以不等式的解集为 或 ；
当 时，此时 ，所以不等式的解集为 或 ；
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 或
；当 时，不等式的解集为 或 ；
（2）因为 ，
所以命题“存在 ，使得 ”的否定为命题“任意 ，使得
”是真命题，
所以可整理成 ，
令 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 39因为 ，
当且仅当 即 时，取等号，
则 ，故实数 的取值范围
四、转化与划归思想
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则下列中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设法构造一个一元二次方程，使 以其系数或常数项的形式出现，再由 得
到不等式.
【详解】由题意可得：
设 ， 则 ，
显然 ，则 ，
可得 就是方程 的两个实根，
所以 ，
则 或 ，解得 ，
即 .
故选：C.
2．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数 ，若 ，则
的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．8
【答案】A
【分析】构造基本不等式，利用基本不等式即可.
【详解】由 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司 40所以
，
当且仅当 时，取等号，
所以 的最小值为：12，
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ，则“ 或 ”是“ ”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由原命题和逆否命题同真假，把问题转化为判断“ ”是“ 且 ”
的什么条件，利用充分条件和必要条件的定义验证即可.
【详解】问题可等价转化为判断“ ”是“ 且 ”的什么条件．
时，可以 ，不能推出 且 ；
反之，当 且 时，一定有 .
因此“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件，
从而“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B．
二、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）设 且 ， ，则 的范围
为______________.
【答案】
【分析】根据题意整理可得 ， ，分析可得 ， 是方程
的两个不等的实根，利用 判别式分析运算.
【详解】由 且 ，得 ， ，且 ①，
又因为 ，可得 ②，
学科网（北京）股份有限公司 41由①②可知： ， 是方程 的两个不等的实根，
于是 ，解得： ，
且 ，则 ，
则 ，
所以 的范围为 .
故答案为： .
5．（2023·高三课时练习）已知关于x的不等式 的解集是 ，
则关于x的不等式 的解集为______．
【答案】
【分析】根据不等式的解集，利用韦达定理可求出 的关系，再代入新的不等式可求得
答案.
【详解】因为不等式 的解集是 ，
所以 和2为方程 的两个根，且 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 转化为 ，
即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
三、解答题
6．（四川省资阳市2023届高考适应性考试数学（理科）试题）已知 ， ，且
．
学科网（北京）股份有限公司 42(1)求 的最小值；
(2)证明： ．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式即可求出 的最小值．
（2）化简已知得 ，即 ，利用
基本不等式即可得证.
【详解】（1）（2）因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，即 的最小值是2．
（2）证明：因为 ，当且仅当 时，等号成立，
，当且仅当 时，等号成立，
所以 ．当且仅当 时，等号成立
则 ，即 ，当且仅当 时，等号成立．
【点睛】关键点睛：本题第二小问中用配凑法将 的证明转化为
的证明，其中 是解题关键，本题考查不等式的证明，基
本不等式的应用，属于较难题.
7．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，求数列的通项
公式，并计算
【答案】 (其中 )，
【分析】根据两角和的正切公式猜想数列的通项公式为 ，再
用数学归纳法证明即可得数列的通项公式；再利用数列的周期求解即可.
【详解】解：令 则
学科网（北京）股份有限公司 43于是猜想 ，
设当 时，有 ，
则当 时，有
所以数列的通项为： (其中 )，且以4为周期，
于是有1，5，9 …1997是以4为公差的等差数列，
，由 ，得 ，即总项数为500项，
8．（2023·全国·高三专题练习）设正实数a、b、c满足： ，求证：对于整数 ，
有 ．
【答案】证明见解析
【分析】本不等式是对称不等式，显然当 时取等号．从不等式局部入手，当
时， ，用 元均值不等式即可求解．
【详解】因为 ，
所以 .
同理可得 .
学科网（北京）股份有限公司 44三式相加可得：
【点睛】对于对称型不等式, 有时从整体考虑较难入手, 故比较管用的手法是从局部入手,
从局部导出一些性质为整体服务, 这里的局部可以是某一单项也可以是其中的若干项.
五、特殊与一般思想
一、单选题
1．（2022秋·河南焦作·高三统考期中）如图，面点师傅把一个面团搓成1.6米长的圆柱形
面棍，对折1次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到3根面条，如果连续对折2次后
重新拉长，从中间切一刀，则可以得到5根面条，以此类推，若连续对折8次后重新拉长
到1.6米，从中间切一刀，弯折处的长度忽略不计，则可得到长度为1.6米的面条的根数为
（ ）
A．256 B．255 C．127 D．126
【答案】B
【分析】从对折中找到规律，发现对折 次，面条的根数为 ，而且都会有两根面条的
长度为0.8米，即可得到答案
【详解】对折1次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到 根面条，其中由两根
面条的长度为0.8米，故长度为1.6米的面条的根数为1；
对折2次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到 根面条，其中由两根面条的长
度为0.8米，故长度为1.6米的面条的根数为3；
对折3次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到 根面条，其中由两根面条的长
度为0.8米，故长度为1.6米的面条的根数为7；
以此类推，
对折8次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到 根面条，其中由两根面条的
长度为0.8米，故长度为1.6米的面条的根数为255；
故选：B
2．（2022·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）观察下列等式， ， ，
， ，根据上述规律，
（ ）
学科网（北京）股份有限公司 45A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 ， ， ， ，观察其规律，可
得 .
【详解】 ，
，
，
，
根据上述规律，得
.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）观察按下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，
9×2+3=21，9×3+4=31， ，猜想第n（n∈N ）个等式应为（ ）
+
A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n－1）+n=10n－9
C．9n+（n－1）=10n－9 D．9（n－1）+（n－1）=10n－10
【答案】B
【分析】根据所给的四个式子依次归纳出规律，从而可得结论
【详解】解：第1个等式： 化为 ，
第2个等式： 化为 ，
第3个等式： 化为 ，
第4个等式： 化为 ，
……，
由此可得第n（n∈N ）个等式应为 ，
+
故选：B
二、填空题
4．（2023春·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）设
，利用三角变换，估计 在 时的取
值情况，猜想对x取一般值时 的取值范围是____________．
学科网（北京）股份有限公司 46【答案】
【分析】分别计算 的取
值范围，数学归纳，猜想对任意x时 的取值范围.
【详解】当 时， ；
当 时，
， ；
当 时，
，
；
由以上规律可以猜想：当 时， 的取值范围是 ；
故答案为： .
5．（2022·全国·高三专题练习）观察等式： ； ；
； ；…由以上几
个等式的规律可猜想 ___________.
【答案】
【分析】通过对题中几组等式进行分析，找出规律，即可求得答案.
【详解】因为 ； ；
； .
所以可得，此类等式结果为“分母为 ，分子与左边最后一项的自变量分子相等”的分数.
故 .
故答案为:
三、解答题
6．（2022·全国·高三专题练习）已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列
学科网（北京）股份有限公司 47的前n项之积为n2.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）写出这个数列的通项公式并加以证明.
【答案】（1）1，4， ， ， ；（2）
【分析】（1）由 和 ，依次可求出 的值，
（2）观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：an＝ 然后利用数
学归纳法证明即可
【详解】(1)已知a＝1，由题意，得a·a＝22，∴a＝22.
1 1 2 2
∵a·a·a＝32，∴a＝ .
1 2 3 3
同理，可得a＝ ，a＝ .
4 5
因此这个数列的前5项分别为1，4， ， ， .
(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：
an＝
下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝ .
①当n＝2时，a＝ ＝22，结论成立.
2
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，
即ak＝ .
∵a·a·…·ak ＝(k－1)2，a·a·…·ak ·ak·ak ＝(k＋1)2，
1 2 －1 1 2 －1 ＋1
∴ak ＝ ＝ · ＝ ＝ .
＋1
这就是说当n＝k＋1时，结论也成立.
根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是
学科网（北京）股份有限公司 48an＝ .
∴这个数列的通项公式为an＝
学科网（北京）股份有限公司 49
