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专题 24.5 圆内接四边形【六大题型】
【人教版】
【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】.......................................................................................................1
【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】................................................................................................2
【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】.......................................................................................................3
【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】........................................................................................4
【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】...................................................................................................5
【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】............................................................................7
【知识点1 圆内接四边形】
D 四边形 是 的内接四边形
C
圆的内接四边形对角互补
B
A E
【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】
【例1】（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于 O，AB是 O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度
数是（ ） ⊙ ⊙
A．90° B．100° C．110° D．120°
【变式1-1】（2022•云州区一模）如图，四边形ABCD内接于 O，连接OB，OD．当四边形OBCD是菱
⊙形时，则∠OBA+∠ODA的度数是（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【变式1-2】（2022•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，BE是 O的直径，连接
AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是 ⊙ ． ⊙
【变式1-3】（2022秋•包河区期末）如图，四边形ABCD内接于 O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝ °．
⊙
【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】
【例2】（2022•碑林区校级四模）如图所示，四边形 ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，
CD＝2√2，则弦BD的长为（ ）A．2√5 B．3√5 C．√10 D．2√10
【变式2-1】（2022•延边州二模）如图，四边形ABCD内接于 O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD
＝135°，AB＝4，则BH的长度为（ ） ⊙
A．√2 B．2√2 C．3√2 D．不能确定
【变式2-2】（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正
半轴上， D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（ ）
⊙
A．(√3，1) B．(-√3，1) C．(-1，√3) D．(-2，2√3)
【变式2-3】（2022秋•汉川市期中）已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为
x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是 ．（用含有x的代数式表示）
【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】
【例3】（2022•贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于 O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为^BD
的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则 O⊙的面积是（ ）
⊙A． B．2 C．3 D．4
【变式π3-1】（2022秋•青山区π期中）如图，四边形AπBCD为 O的内接四π边形，∠AOD+∠BOC＝180°．
若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（ ） ⊙
A．3 B．6 C．9 D．12
【变式3-2】（2022•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的
延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为 ．
【变式3-3】（2022•碑林区校级一模）如图，已知 AC＝2√2，以AC为弦的 O上有B、D两点，且
∠BAC＝∠DAC，则四边形ABCD的面积最大值为 ． ⊙【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】
【例4】（2022•银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用
下列关于角的等量关系不一定成立的是（ ）
A．∠1＝∠4 B．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°
C．∠4＝∠7 D．∠ADC＝∠2+∠5
【变式4-1】（2022秋•西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（
）
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4 B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4
C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4 D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1
【变式4-2】（2022•南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于 O，点D在AC的延长线上，CE平分
∠BCD交 O于点E，则下列结论中一定正确的是（ ） ⊙
⊙
A．AB＝AE B．AB＝BE C．AE＝BE D．AB＝AC
【变式4-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，A，P，B，C是 O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，CP
交AB于点E．（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；⊙（2）①若P是^AB的中点，求证：PC＝
PA+PB；②若点P在^AB上移动，判断PC＝PA+PB是否成立，证明你的结论
【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】
【例5】（2022•思明区校级一模）已知四边形ABCD内接于 O，∠D＝90°，P为C^D上一动点（不与点
⊙C，D重合）．
（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求 O的半径；
（2）若∠A＝90°，^AD=^AB，求⊙证：PB﹣PD=√2PC．
【变式5-1】（2022秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相
交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于 O，^AD=^BD，四边形ABCD的
外角平分线DF交 O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．⊙
求证：∠BEC是△⊙ABC中∠BAC的遥望角．
【变式5-2】（2022•龙岩模拟）如图，四边形ABCD内接于 O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长
线于点E． ⊙
（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．
【变式5-3】（2022•天津）如图， O和 O′都经过A、B两点，过B作直线交 O于C，交 O′于
D，G为圆外一点，GC交 O于⊙E，GD⊙交 O′于F． ⊙ ⊙
求证：∠EAF+∠G＝180°．⊙ ⊙【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】
【例6】（2022春•涟水县校级期末）如图1，已知△ABC，AB＝AC，以边AB为直径的 O交BC于点
D，交AC于点E，连接DE． ⊙
（1）求证：DE＝DC．
（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC
的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．
【变式6-1】（2022•赤峰）如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，AB＝AC．
（1）若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数； ⊙
（2）若BD⊥AC交AC于点E，请判断∠BAC 和∠DAC之间的数量关系，并证明．
【变式6-2】（2022秋•香洲区校级期中）画∠A，在∠A的两边分别取点B，点C，在∠A的内部取一点
P，连接PB，PC．探索BPC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式6-3】（2022•阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补．下
面我们进一步研究．
（1）在图（1）中．∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角．请你探究∠DCE与∠A的关系．并说
明理由．
（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD 延长
线上的点．如果DE平分∠FDC．求证：AB＝AC．
