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专题24.5 垂径定理（分层练习）
一、单选题
1．某桥是典型的圆弧形石拱桥，如图，小雅同学测得水面 宽为8m，拱顶 到水面 的距离也为
8m，则这座桥的桥拱半径为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．8m
2．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AM=BM B．CM=DM C． D．
3．如图， 是 的直径， ，点D是弦 的中点，则 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
4．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：
“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
5．小明想知道一块扇形铁片 中的 的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量
工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由 的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形
按如图方式摆放，点 恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作， 的拱高约是（ ）
A． B． C． D．
6．如图， 是 的直径，弦 于E，若 ， ，则 的长是（ ）
A．12 B．16 C． D．
7．如图，点 ， ， ， 在圆上，弦 和 交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 平分 ，则 B．若 ，则 平分
C．若 垂直平分 ，则圆心在 上 D．若圆心在 上，则 垂直平分8．如图， ， ， 分别交 ， 于点E，F，连接 ，则下列结论中不一定正
确的是（ ）
A． B． ，
C． 为等腰三角形 D． 为等边三角形
9．如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：
cm），则液面宽度 （ ）
A．8cm B．4cm C． D．
10．温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的圆弧形石拱桥（如图），现测得
桥拱水面宽 为 ，石拱桥的桥顶到水面的距离 为 ，则拱桥半径 长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在半径为1的 中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°那么以这三条弦
长为边长的三角形的面积是（ ）A． B．1 C． D．
12．如图，点P在 的直径 上，作正方形 和正方形 ，其中点D，G在直径所在直
线上，点C，E，F，H都在 上．若两个正方形的面积之和为16， ，则DG的长是（ ）
A． B． C．7 D．
13．如图，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝ ．当EO＝ BE且∠OEC＝45°时，
弦BC的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
14．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确
的是（ ）A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝
B．若CD＝ ，则⊙O的半径是1
C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形
D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°
15．如图，在位于 轴右侧且半径为6的 ，从 的位置沿直线 向上平移，交直线 于
点，且 是 与 轴的一个公共点，若 ，则四边形 的面积是（ ）
A．42 B．64 C．68 D．48
二、填空题
16．如图， 、 、 都是 的弦， ， ，垂足分别为 、 ，若 ，
则 的长为 ．17．已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标
是 ．
19．如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水
管中的水最大深度为 cm．
20．在进行垂径定理的证明教学中，老师设计了如下活动：先让同学们在圆中作了一条直径MN，然
后任意作了一条弦（非直径）．如图1，接下来老师提出问题：在保证弦AB长度不变的情况下，如何
能找到它的中点？在同学们思考作图验证后，小华说了自己的一种想法：只要将弦AB与直径MN保
持垂直关系，如图2，它们的交点就是弦AB的中点，请你说出小华此想法的依据是 ．
21．如图，在 中，弦 ，点C在 上移动，连接 ，过点C作 ，交 于点
D，则 长的最大值为 ．22．如图，在⊙O中，弦 的长为4，圆心 到弦 的距离为2，则 的度数为 ．
23．如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若 经过其顶点A、B、C，则圆心O到 的
距离为 ．
24．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两
点 ， ，连接 ，再作出 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，测出 ， 的长度，
即可计算得出轮子的半径．现测出 cm， cm，则轮子的半径为 cm．
25．课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径．嘉嘉经过思考找到了测量方法：如
图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高 ，底面内径 ，球的最高点 到瓶底的距
离为 ，则球的半径为 ．26．《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆
术”，如图，弧 是以点 为圆心， 为半径的圆弧， 是弦 的中点， 在弧 上，且
．“会圆术”给出弧 的弧长的近似值 的计算公式： ．当 ，
时， ．
27．在 中， 是直径， 是弦， ，将圆沿着 翻折，使弧 与直径 相交于点E
和F，且 ， 的长为 ．
28．如图，点M是半圆 的中点，点A、C分别在半径OM和 上， ， ，
，则 的半径为 ．29．如图， 两点是线段 的三等分点，以 为直径作 ，点 为 上一点，连接 ，交
于点 ，连接 ，若点 恰为线段 中点且 ，则 周长为 ．
30．如图，已知A为半径为3的 上的一个定点，B为 上的一个动点（点B与A不重合），连接
AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大
值是 ．
三、解答题
31．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足： ，AD交OC于点E．已知OE
＝3，EC＝2
（1）求弦AD的长；
（2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．32．已知，如图， 为 上点， 为 的直径．
(1) 尺规作图：过 点作直线 ，交 于点 ，交 于点 ；(保留作图痕迹，不写作法)
(2) 连接 ，若 ，求 的长.
33．如图， 为 的外接圆，请用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1) 在劣弧 上找一点 ，使 ；
(2) 作出一点 ，使得 ．34．如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ，与 轴相交于点 ．连接 ，过点 作
于点 ．
(1) 求证：四边形 为矩形．
(2) 已知 的半径为4， ，求弦 的长．
35．如图， 是 外一点， 分别与 相交于 ．
（1） 平分 ； （2） ；
（3） ； （4） ．
从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明．36．如图1， 是 的弦，点C在 外，连接 、 分别交 于D、E，
(1) 求证： ．
(2) 如图2，过圆心O作 ，交 于P、Q两点，交 、 于M、N两点，求证： ．
(3) 如图3，在（2）的条件下，连接 、 ， ，若 ， ，求弦
的长．
参考答案
1．B
【分析】连接 ，设 ，则 ，根据垂径定理得出 ，然后根据勾股定理得出关
于x的方程，解方程即可得出答案．
解：连接 ，
由题意可得： ，设半径 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
解得： ．
则桥拱半径 为 ．
故选：B．
【点拨】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股
定理．
2．B
【分析】根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．
解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AM=BM， ， ，
即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，
当根据已知条件得CM和DM不一定相等，
故选B．
【点拨】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．
3．A
【分析】根据等腰三角形的性质求出 ，由垂径定理得 ，求出
，即可求出答案．
解：∵ ，
∴ ，
∵点D是弦 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
4．D
【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．
解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．
【点拨】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
5．D
【分析】如图所示，通过数瓷砖的个数，可以得到OC=30cm，AB=40cm，由垂径定理得OC垂直且平
分AB，则BC=20cm，再由勾股定理得 ,从而CD=OD-OC,即得到拱高CD的长．
解：如图所示，通过数瓷砖的个数，可以得到OC=30cm，AB=40cm，
∵D为 中点，
∴由垂径定理得OC垂直且平分AB，
∴BC=20cm，
∴ cm，
∵OD=OB= cm，
∴CD=OD-OC= cm，
即拱高为 cm，
故选D．
【点拨】此题考查了垂径定理和勾股定理，根据题意做出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．A
【分析】连接 ，设 ，则 ，然后根据垂径定理及勾股定理可列方程进行求解．
解：连接 ，如图所示：∵ ， 是 的直径， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ ；
故选A．
【点拨】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
7．C
【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．
解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；
D、 若也是直径，则原说法不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．
8．D
【分析】根据 ， ，即可判断出 ，从而进行判断A．
根据 ，利用垂径定理的推论，进行判断即可B．
根据垂径定理的推论，得到 ，从而可得结论，即可判断C、D．
解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，A正确
∵ ，
∴ ， ，B正确
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，不一定是等边三角形，
∴C正确，D错误．
故选：D．
【点拨】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定、等边三角形的判定．
9．D
【分析】过圆心 ，作 ，根据垂径定理得出 ，根据图示得出 ，
勾股定理即可求解．
解：如图，过圆心 ，作 ，则
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ,
故选：D．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
10．C【分析】连接 ，得 ；根据垂径定理，得 ；设 ，根据 ，
则 ，等量代换，再根据勾股定理列方程，即可得答案．
解：连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在直角三角形 中， ，
∴ ，
∴
故选：C．
【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理的知识，解题的关键是掌握垂径定理的运用．
11．D
【分析】连接 、 、 、 、 、 ，则 、 分别为等边三角形，等腰直角三
角形，进而可得到 、 长；再过点 作 于点 ，根据垂径定理可得 ，
，根据锐角三角形函数可求出 ，进而可得 ；再根据 可判断以
、 、 为边的三角形为直角三角形，即可求出其面积．
解：解：如图，连接 、 、 、 、 、 ，则 ， ，
，在 中， ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
过点 作 于点 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴以 、 、 为边的三角形为直角三角形，
∴其面积为： ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查垂径定理和勾股定理的逆定理，解题关键是熟练应用垂径定理求弦长．
12．B
【分析】作 于K，设正方形 的边长是x，由条件得到 ，从而求出正方
形 的边长，得到正方形 的边长，进一步求出 ， 的长，即可求出 的长．
解：作 于K，设正方形 的边长是x，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵两个正方形的面积之和为16，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题考查正方形的性质，垂径定理，解题的关键是由条件列出关于小正方形边长的方程，求
出小正方形边长．
13．B
【分析】作OH⊥BC于H，连接OB，可知△OEH是等腰直角三角形，设EH＝OH＝a，则OE＝
，BE＝a，利用勾股定理得OB＝ ，从而解决问题．
解：作OH⊥BC于H，连接OB，∵∠OEC＝45°，∠OHE＝90°，
∴∠OEC＝∠EOH＝45°，
∴EH＝OH，
设EH＝OH＝a，则OE＝ ，
∵EO＝ BE，
∴BE＝a，
∴BH＝2a，
由勾股定理得，OB＝ ＝OA= ，
∴a＝1，
∴BH＝2，
∵OH⊥BC，
∴BC＝2BH＝4，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，
判断出BH=2OH是解题的关键．
14．C
【分析】根据垂径定理，解直角三角形知识，一一求解判断即可．
解：A、∵OC＝OB＝2，
∵点E是OB的中点，
∴OE＝1，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO＝90°，CD＝2CE，
∴ ，∴ ，本选项错误不符合题意；
B、根据 ，缺少条件，无法得出半径是1，本选项错误，不符合题意；
C、∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴BC＝OC，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴BC＝BD，
∴OC＝OD＝BC＝BD，
∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意．
D、∵四边形OCBD是平行四边形，OC=OD，
所以四边形OCBD是菱形
∴OC＝BC，
∵OC＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∴∠BOC＝60°，
∴ ，故本选项错误不符合题意．．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的
理解题意是解题的关键．
15．D
【分析】作 轴交 轴于 ，作 交 于 ， 与 相交于点 ，连接 ，根据题意可得四边形 为矩形， 为等腰直角三角形，从而得到 ，进
而得到 ，再由垂径定理结合勾股定理即可得到 ，设点 的坐标为 ，则 ，
列出方程 ，求出 的值，即可求出面积．
解：如图所示，作 轴交 轴于 ，作 交 于 ， 与 相交于点 ，连接 ，
，
根据题意可得： 轴， 轴，
四边形 为矩形，
点 在直线 上，
设点 的坐标为 ，即 ，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
设点 的坐标为 ，
由图象可知 ，
则 ，，
，
点 坐标为 ，
四边形 的面积为 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，
熟练掌握矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理等知识点，添加恰当的辅助线是解
题的关键．
16．
【分析】根据垂直定理得出 ， ，根据三角形的中位线性质得出 ，再求
出 即可．
解： ， ，垂足分别为 、 、 过圆心 ， 过圆心 ，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的中位线和垂直定理，能根据垂径定理求出 和 是解题
的关键．
17．1或5．
【分析】分两种情况：两条平行弦在圆心的同侧时和两条平行弦在圆心的两侧时，分情况进行讨论即
可.
解：两条平行弦在圆心的同侧时，则两条平行弦间的距离＝3﹣2＝1；
当两条平行弦在圆心的两侧时，则两条平行弦间的距离＝3+2＝5．
故答案为:1或5．
【点拨】本题主要考查两条平行弦之间的距离，注意分情况讨论.
18．（2，1）
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即
为圆心．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点拨】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
19．8
【分析】连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D．根据垂径定理得到
，然后根据勾股定理求出CO的长度，即可求出水管中的水最大深度CD的长度．
解：如图所示，连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D．
∵ AB是圆的一条弦，
∴ ，
∴在△AOC中， ，
∴ ，
∴水管中的水最大深度为8cm．
故答案为：8．
【点拨】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识的运用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，勾股定理．
20．等腰三角形三线合一的性质
【分析】连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，依据等腰三角形的性质判断．
解：连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，当MN⊥AB时，一定有MB过AB的中点，依据三线合一的性质可得．
故答案是：等腰三角形三线合一的性质．
【点拨】本题考查了垂径定理，正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键．
21．2
【分析】根据勾股定理求出 ，利用垂线段最短得到当 时， 最小，根据垂径定理计算即
可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 的值最小时， 的值最大，
时， 最小，此时D、B两点重合，
∴ ，
即 的最大值为2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两
条弧是解题的关键．
22．
【分析】先根据垂径定理可得 ，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
解：由题意得： ， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
23． /
【分析】取 的中点D，过点D作 交 于点D，交 于点E，则圆心O在 上，在取
上取圆心O，连接 ，根据题意可得 ， ， ， ，再
由勾股定理可得 ，即可求解．
解：如图，取 的中点，过点D作 交 于点D，交 于点E，则圆心O在 上，在取
上取圆心O，连接 ，
根据题意得： ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即圆心O到 的距离为 ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得到圆心的位置是解题的关键．24． /2.5
【分析】连接OB，在Rt△OBC中，根据勾股定理即可求得半径．
解： 垂直平分 ，
的圆心在 上，
设 的圆心为 ，连接 ，设
，
在 中，
解得
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
25．
【分析】连接 ，构造相应的直角三角形，利用勾股定理即可求得 长．
解：如图所示，连接 ，设圆的半径为 ，，
，
， ，
，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了垂径定理的应用，在圆内利用垂直于弦的直径构造直角三角形是常用的辅助
线方法．
26．3
【分析】连接 ，根据 计算 ，证明O、C、D三点共线，结合等腰直角三角形的性质，
得 ，代入计算即可．
解：连接 ，
∵ ， ， 是弦 的中点，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴O、C、D三点共线，∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，等腰直角三
角形的性质，勾股定理是解题的关键．
27．
【分析】设翻折前与 对应的弦为 ，过圆心O作 于点M，交 于点N，连接 、
，根据垂径定理以及翻折的性质，勾股定理即可求解．
解：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
设翻折前与 对应的弦为 ，过圆心O作 于点M，交 于点N，连接 、 ，如
图：
则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
由翻折可知： ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得，
，
∴ ，
即 的长为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理、翻折性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握垂径定理和翻折性质
是解答的关键．
28．
【分析】连接 ，易得点A在 上，在 中根据勾股定理求出 ，根据垂径定理得到
，在 中可得直径，即可得到半径．
解：连接 ，
∵ 是圆的直径，
∴ ，
∵ ，
∴点A在 上，
∵点M是半圆 的中点，
∴ ，∴ ，
在 中
∵ ， ，
∴ ，
∴
在 中
，
的半径为 ,
故答案为 ．
【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理及直径所对圆周角是直角，解题关键是得到点A在 上．
29．
【分析】连接 ，交 为 ，如图所示， 两点是线段 的三等分点，点 恰为线段 中
点，由中位线的定义及性质可知 ，从而得到 ，从而由 得到 ，
，再由垂径定理得到 垂直平分 ，进而 ，在 中， ，
在 中， ，最后 周长为
，代入线段长即可得到答案．
解：连接 ，交 为 ，如图所示：两点是线段 的三等分点，点 恰为线段 中点，即 、 ，
在 中， 是边 的中点、 是边 中点，
由三角形中位线定义可知 是 的中位线，即 ，
，
，
，
是 直径，
，
，
，即 ，
， ，
在 中， 是边 的中点， 是边 的中点，
是 的中位线， ，
由垂直平分线上的性质可知 ，
，
在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
周长为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查圆中求线段长，涉及中位线判定与性质、垂径定理的推论、勾股定理等知识，熟练
掌握中位线的判定与性质、垂径定理的推论是解决问题的关键．
30．
【分析】连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．证明 BAO≌△CAN（SAS），推出
OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得结论． △
解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．∵OA=ON，OA=AN，
∴AO=ON=AN，
∴△OAN是等边三角形，
∴∠OAN=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BAC=∠OAN=60°，
∴∠BAO=∠CAN，
∴△BAO≌△CAN（SAS），
∴OB=CN=3，
∵OC≤ON+CN=6，
∴OC的最大值为6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的
解题关键．
31．（1）8；（2）
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到CO⊥AD，AE＝DE，然后根据勾股定理即可求得AE，
进而求得AD；
（2）根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．
解：（1） ，得CO⊥AD，AE＝DE．
在△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝3，OA＝OC＝OE＋CE＝5，
得AE＝ ，
所以AD＝AE＋DE＝8；（2）由CF AB，得 ，
则 ．
【点拨】此题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性
质定理是解题的关键．
32．（1）见分析；（2）
【分析】(1)利于基本作图，过点C作AB的垂线得到弦CD；
(2)利用垂径定理结合勾股定理可求得 的半径，再在Rt 中，利用勾股定理即可求解.
解：(1)直线CD如图所示：
连接 ，
设 的半径为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
解得： ，
在Rt 中， 2 ，
∴ .
【点拨】本题考查了考查了作图-复杂作图，圆的有关知识，勾股定理，灵活运用勾股定理求出半径的
长是正确解决本题的关键．
33．(1)见分析；(2)见分析
【分析】（1）作弦 的垂直平分线即可；
（2）延长 至点E，使 即可．
解：（1）如图，点D即为所求．
∵ ，
∴ ；
（2）延长 至点E，使 ，则点E即为所求．连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【点拨】本题考查尺规作图，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握垂
径定理是解答本题的关键．
34．(1)见分析；(2)
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
解：（1）证明：∵ 与 轴相切于点 ，
∴ 轴．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）如图，连接 ．
四边形 是矩形，．
在 中， ，
．
点 为圆心， ，
．
【点拨】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关
键．
35．见分析
【分析】可选条件为③④，结论为①②，由垂径定理可得 ，再证
可得 即可得到 即证明②；再证 可得
即可证明②．
解：选条件为③④，结论为①②，证明如下：
证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∵ ,
∴
∴ ,
∴ 平分 ．
【点拨】本题主要考查了垂径定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，本题为开
放性题目、可有多种组合，只要符合这四个已知条件即可．
36．(1)见分析；(2)见分析；(3)13
【分析】(1)连接 ，利用圆内接四边形的性质，等腰三角形的两个底角相等的性质证明即可．(2) 连接 ，证 ，得 ，得 ，可证明 ．
(3) 连接 ，证 ， ，结合已知，得 ，等边 ，
， ，作 于点G，设 ，可得 ， ， ，
， ， 中勾股得 ，计算即可．
解：（1）如图，连接 ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∴ ；
∴ ．
（2）连接 ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）连接 ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴等边 ， ， ，
作 于点G，则 ，
∵ ， ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
中，根据勾股定理，得 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了圆的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆的内接
四边形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练掌握圆的性质，勾股定理，一元二次方程的解法是
解题的关键．
