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第一篇 热点、难点突破篇
专题01 不等式综合问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）已知命题 ： ， 是假命题，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数 的取值范围.
【详解】由题意得 是真命题，即 ， ，
当 时， 符合题意；
当 时，有 ，且 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选:D.
2．（2022·全国·高三专题练习）不等式 的解集为 ,则函数 的图像大致为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，可得方程 的两个根为 和 ，且 ，结合二次方程根与系数的关系
得到 、 、 的关系，再结合二次函数的性质判断即可．【详解】根据题意， 的解集为 ，则方程 的两个根为 和 ，
且 .
则有 ，变形可得 ，
故函数 是开口向下的二次函数，且与 轴的交点坐标为 和
.
对照四个选项，只有C符合.
故选：C．
3．（2022·重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））关于 的不等式 恒成立的一个充分不
必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次不等式恒成立得 ，再根据充分不必要条件的概念求解即可.
【详解】解：当 时， ，该不等式成立；
当 ，即 时，该不等式成立；
综上，得当 时， 关于 的不等式 恒成立，
所以，关于 的不等式 恒成立的一个充分不必要条件是 ．
故选：D．
4．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在
实际生活中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确
的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买 黄金，售货员先将 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得
黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【详解】由于天平两臂不相等，
故可设天平左臂长为 ，右臂长为 （不妨设 ，
第一次称出的黄金重为 ，第二次称出的黄金重为 ，
由杠杆平衡定理可得， ， ，
则 ， ， ，
故顾客实际所得黄金大于 ．
故选： ．
5．（2022·湖北·高三阶段练习）已知随机变量 ，且 ，则 的
最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．6
【答案】B
【分析】由正态曲线的对称轴得出 ，再由基本不等式得出最小值.
【详解】由随机变量 ，则正态分布的曲线的对称轴为 ，
又因为 ，所以 ，所以 .
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故最小值为 .
故选：B
二、多选题
6．（2020·山东·青岛二中高三期中）设 ， ，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】结合已知条件，可得到 ，对于选项A：对 两边同时平方，并利用不等式性质
即可判断；对于B：利用不等式性质即可判断；对于CD：结合均值不等式即可判断.
【详解】由 ， ，则 ， ，
对于A：由 两边平方并整理得， ，故A错误；
对于B： ，故B正确；
对于C：由选项B知， ，又 ，故C正确；
对于D：因为 ，又 ， ，故D正确.
故选：BCD.
7．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由题可得 ，进而可得 可判断A，根据特值可判断B，根据基本不等式可判
断C，利用二次函数的性质可判断D.
【详解】由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故A正确；取 ， ，而 ，故B错误；
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，故C正确；
由 ，可得 ，
，当 时等号成立，故D正确.
故选：ACD.
8．（2022·河北·开滦第一中学高三阶段练习）若 对任意 恒成立，其中 ， 是整
数，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】对 分类讨论，当 时，由 可得 ，由一次函数的图象知不存在；当
时，由 ，利用数形结合的思想可得出 的整数解.
【详解】当 时，由 可得 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，此时 不存在；
当 时，由 对任意 恒成立，
可设 ， ，作出 的图象如下，由题意可知 ，再由 ， 是整数可得 或 或
所以 的可能取值为 或 或
故选：BCD
三、填空题
9．（2022·广西南宁·模拟预测（文））若直线 平分圆 的周长，则ab
的最大值为 ________
【答案】
【分析】因为直线平分圆，则直线过圆心，再利用基本不等式求出ab的最大值.
【详解】由题意得，直线 过圆心 ，所以 ，
所以 ，（当且仅当 ，即 ，取“=”），
又 ，所以ab的最大值为 .
故答案为： .
10．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知点P（m，n）是函数 图象上的点，当 时，
2m＋n的最小值为______．
【答案】
【分析】根据基本不等式即可求解最小值.
【详解】P（m，n）是函数 图象上的点，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故 的
最小值为 .
故答案为：【冲刺提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知m，n，s，t为正数， ， ，其中m，n是常数，且 的
最小值是 ，点 是曲线 的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知得 ，化简后利用基本不等式可求出其最小值，再结合其最小值为 和
可求出 ，从而可得点 的坐标，再利用点差法可求出直线AB的斜率，从而可求出直线方程.
【详解】因为m，n，s，t为正数， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，又 ，
又 为正数，所以解得 ，即 ，
设弦两端点分别为 ，则 ，
两式相减得 ，
因为 ，
所以直线的斜率为 ，
所以直线方程为 ，即 .经检验直线 与椭圆 有两个交点，
所以直线方程为 ，
故选：D
2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱
锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为 ，所以球的半径 ,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以 当且仅当 取到 ，
当 时，得 ，则
当 时，球心在正四棱锥高线上，此时 ，
，正四棱锥体积 ，故该正四棱锥体积的取值范围是
二、多选题
17．（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算
的核心素养.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，
则（ ）
A． B．若 ，则 的最小值为
C． 取到最大值时， D．设 ，则数列 的最小项为
【答案】AD
【分析】求得等差数列 的通项公式判断选项A；求得 的最小值判断选项B；求得 取到最大值时n
的值判断选项C；求得数列 的最小项判断选项D.
【详解】由 ，可得 ，
则等差数列 的通项公式为 ，则选项A判断正确；
若 ，则
则
（当且仅当 时等号成立）
又 ，则 的最小值为不为 .则选项B判断错误；等差数列 中，
则等差数列 的前 项和 取到最大值时， 或 .则选项C判断错误；
设 ，则 ，则
则
则数列 的最小项为 .则选项D判断正确
故选：AD
4．（2022·广东·广州大学附属中学高三阶段练习）已知 的左，右焦点分别为 ， ，
长轴长为4，点 在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则下列说法中正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率的取值范围是
B．已知 ，当椭圆C的离心率为 时， 的最大值为3
C．存在点Q使得
D． 的最小值为1
【答案】ACD
【分析】易得 ，再根据点 在椭圆C外，可得 ，从而可求得 的范围，再根据离心率公
式即可判断A；根据离心率求出椭圆方程，设点 ，根据两点的距离公式结合椭圆的有界性即可判断
B；当点Q位于椭圆的上下顶点时 取得最大值，结合余弦定理判断 是否大于等于 即可判断C；根据 结合基本不等式即可判断D.
【详解】解：根据题意可知 ，
则椭圆方程为 ，
因为点 在椭圆C外，
所以 ，所以 ，
所以 ，
则离心率 ，故A正确；
对于B，当椭圆C的离心率为 时， ，
所以 ，
所以椭圆方程为 ，
设点 ，
则 ，
当 时， ，故B错误；
对于C，当点Q位于椭圆的上下顶点时 取得最大值，
此时 ，
，
即当点Q位于椭圆的上下顶点时 为钝角，所以存在点Q使得 为直角，
所以存在点Q使得 ，故C正确；
对于D， ，
则
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为1，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
5．（2022·重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））已知 且 ， 则 的
最小值为___________
【答案】【分析】由题知 ，进而令 ，将 的最小值转化为 的最小值，
再根据基本不等式求解即可.
【详解】解：由 得 ，
所以，整理得 ，
令 ，则 ，
所以
，
当且仅当 时取等号， 此时 .
故答案为：
6．（2022·黑龙江·铁人中学高三阶段练习）已知 ， ，不等式 对于 恒成立，
且方程 有实根，则 的最小值为______.
【答案】
【分析】根据题意结合一元二次不等式在R上恒成立可得 ，消b整理得
，注意到 ，结合基本不等式求最值.
【详解】由题意可得：
不等式 对于 恒成立，则
方程 有实根，则
∴ ，即 ，则∵ ，
则
当且仅当 时等号成立
∴ ，则
故答案为： .
7．（2021·天津·高考真题）若 ，则 的最小值为____________．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】 ，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
8．（2019·天津·高考真题（理））设 ，则 的最小值为______.
【答案】
【分析】把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值．
【详解】，
当且仅当 ，即 时成立，
故所求的最小值为 ．
9．（2022·河北·唐山市第十一中学高三阶段练习）已知函数 ，若对任意 恒有
，则 的最大值为___________.
【答案】
【分析】根据分段函数的性质，结合对任意 恒有 ，求得实数 的取值范围，在根据对数函数
与指数函数的单调性得函数 的单调性，从而可求解 的最大值.
【详解】解：由已知函数 ，
则 时， ，当且仅当 时，取到最小值 ；
时，若对任意 恒有 ，则此时 单调递减，
则对称轴 即 ，所以 ；
结合可知对任意 恒有 ，则有 ，所以 .
又 ，其中 在 时是增函数， 在 时是减函
数，故 在 时是增函数，故 .
故答案为： .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知P是曲线 上的一动点，曲线C在P点处的切
线的倾斜角为 ，若 ，则实数a的取值范围是___________
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，求导表示出切线斜率，根据倾斜角与斜率的变化关系，将问题等价转化为含参
不等式恒成立，利用参变分离以及基本不等式，可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
因为曲线在M处的切线的倾斜角 ，所以 对于任意的 恒成立，
即 对任意 恒成立，即 ，又 ，当且仅当 ，即 时，
等号成立，
故 ，所以a的取值范围是 ．
故答案为： .
四、解答题
11．（2022·安徽·高三阶段练习）若正数 满足 .
(1)求 的最大值；(2)求 的最小值.
【答案】(1)
(2)最小值 .
【分析】（1）由基本不等式和定，积最大求解.
（2）根据已知 条件，通过 变形构造出能用基本不等式的表达式，然后利用基本不等式求解.
（1）
因为 ，又 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，所以当 ， 时，
.
即 的最大值为 .
（2）
.
当且仅当 时等号成立，
即当 ， 时取最小值 .
故 的最小值为： .
12．（2020·山东·青岛三十九中高三期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2这三个条件中任选一个，补充
在下面问题中，求△ABC的面积的值（或最大值）．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
三边a，b，c与面积S满足关系式： ，且______，求△ABC的面积的值（或最大值）．
【答案】选①时， ；
选②时， ；选③时， .
【分析】由 及面积公式、余弦定理解得 ，
选择条件①：使用余弦定理及基本不等式可求出 ，从而求出△ABC的面积最大值.
选择条件②：已知 可求出 ，进一步可求得△ABC的面积的值.
选择条件③：已知两边 及夹角 ，直接可求△ABC的面积的值.
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
选择条件①：当a＝2时，根据余弦定理， ，∴ ，
∵ ，
∴ （当且仅当b＝c=4+22时取等），
∴ ；
选择条件②：当a＝b＝2时，∵ ，
∴ ，∴ ；
选择条件③：当b＝c＝2， ．
