2025年高考数学基础知识篇（核心知识背记手册）_02高考数学_2025年新高考资料_一轮复习_备战2025年高考数学一轮复习考点帮_备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）（完结）

高考数学 基础知识篇 （核心基础知识背记手册） 目录 基础知识背记 01 集合 ...................................................................................................................... 2 基础知识背记 02 常用逻辑用语 ...................................................................................................... 2 基础知识背记 03 复数 ...................................................................................................................... 3 基础知识背记 04 平面向量 .............................................................................................................. 3 基础知识背记 05 基本不等式 .......................................................................................................... 4 基础知识背记 06 三角函数与诱导公式、三角恒等变换 .............................................................. 5 基础知识背记 07 三角函数的图象及性质 ...................................................................................... 6 基础知识背记 08 解三角形 .............................................................................................................. 7 基础知识背记 09 函数的基本性质 .................................................................................................. 9 基础知识背记 10 指数对数幂函数 ................................................................................................ 11 基础知识背记 11 函数的零点与方程的根..................................................................................... 13 基础知识背记 12 导数 .................................................................................................................... 13 基础知识背记 13 数列 .................................................................................................................... 15 基础知识背记 14 立体几何 ............................................................................................................ 16 基础知识背记 15 直线与圆 ............................................................................................................ 22 基础知识背记 16 圆锥曲线 ............................................................................................................ 25 基础知识背记 17 排列组合与二项式定理 .................................................................................... 29 基础知识背记 18 概率统计 ............................................................................................................ 31 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}基础知识背记 01 集合 1. 集合有n个元素，子集有2n个，真子集有2n 1个，非空真子集个数为2n 2个.     2. A B xxA且xB A B xxA或xB   ，   3. C A xxU且xA U 基础知识背记 02 常用逻辑用语 1. 充分条件与必要条件 对于若 p则q类型中， p为条件，q为结论 若 pq充分性成立，若q p必要性成立 若 pq，q p，则 p是q的充分必要条件（简称：充要条件） 若 pq，q p，则 p是q的充分非必要条件（充分不必要条件） 若 p q，q p，则 p是q的必要非充分条件（必要不充分条件） 若 p q，q p，则 p是q的既不充分也不必要条件 2. 全称量词命题与存在量词命题 全称量词：（任意，所有，全部），含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 存在量词：：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 3. 全称量词命题和存在量词命题的否定 全称量词命题的否定 全称量词命题：xM ， px 否定为：xM ，px ， 存在量词命题的否定 存在量词命题：xM ， px 否定为：xM ，px ， 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}基础知识背记 03 复数 1. 虚数单位：i，规定i2 1 2. 虚数单位的周期T 4 3. 复数的代数形式：Z=abia,bR，a叫实部，b叫虚部 4. 复数的分类  实数：b0  a 0  0：   b0 z abi 虚数：b0   b0 纯虚数：   a 0 5. 复数相等：Z abi,Z cdi,若Z  Z ,则 a c,bd 1 2 1 2 6. 共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数； z abi,z abia,bR， 推广：zz abiabia2 bi2 a2 b2 结论：zz a2 b2 7. 复数的几何意义：复数z abia,bR 一一对应复平面内的点Z(a,b) 8. 复数的模：Z abia,bR ， 则 z |abi| a2 b2 ； 基础知识背记 04 平面向量 1. 向量的运算 （1）两点间的向量坐标公式： Ax ,y  ，Bx ,y  ，AB终点坐标始点坐标 x x ,y  y  1 1 2 2 2 1 2 1 （2）向量的加减法 a x ,y  ，b x ,y  ab x x，y  y  ，ab x x，y  y  1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 （3）向量的数乘运算 a x,y，则：a x,y   x,y （4）向量的模 a x,y ，则a的模 a  x2  y2 （5）相反向量 已知a(x,y)，则a(x,y)；已知 （6）单位向量 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}  a x,y   x y 同向单位向量为 ,   x2  y2 x2  y2      x  y 反向单位向量为 ,   x2  y2 x2  y2    （7）向量的数量积 ab a b cos,其中为a与b的夹角，记作 a,b ,且  0,  a x ,y ,b x ,y ，ab x x  y y 1 1 2 2 1 2 1 2 （8）向量的夹角 ab x x  y y cos  1 2 1 2 a b x2  y2  x2  y2 1 1 2 2 （9）向量的投影 ab ab a在b上的投影为a cos a   a b b ab ab b在a上的投影为b cos b   a b a （10）向量的平行关系 a//b ab x y  x y 1 2 2 1 （11）向量的垂直关系 abab0 x x  y y 0 1 2 1 2 （12）向量模的运算 2 2 a  a 基础知识背记 05 基本不等式 ab 1. aR ，bR ，  ab ab2 ab（积定和最小）   2 ab2 2. aR ，bR ，ab （和定积最大）   4 3. aR ，bR ，a2 b2 2ab   2 ab a2 b2 4. 推广公式：  ab   1 1 2 2  a b 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}基础知识背记 06 三角函数与诱导公式、三角恒等变换 1. 特殊角的三角函数值 2. 同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2cos21 sin 商数关系：tan cos 3. 正弦的和差公式 sinsincoscossin sinsincoscossin ， 4. 余弦的和差公式 coscoscossinsin coscoscossinsin ， 5. 正切的和差公式 tantan tantan tan tan 1tantan 1tantan ， 6. 正弦的倍角公式 1 sin22sincos sincos sin2 2 7. 余弦的倍角公式 cos2cos2sin2cossincossin 升幂公式：cos212sin2，cos22cos21 1cos2 1cos2 降幂公式：sin2 ，cos2 2 2 8. 正切的倍角公式 2tan tan2 1tan2 9. 推导公式 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}(sincos)2 (sincos)2 2 10. 辅助角公式 b   y asinxbcosx，(a 0)  y  a2 b2 sin(x)，其中tan ，( , ) a 2 2 基础知识背记 07 三角函数的图象及性质 1. 三角函数的图象与性质 函 y sinx y cosx y tanx 性 数 质 图 象 定    义 R R x xk ,k  2  域 值 1,1 1,1 R 域  当x2k 时， 2 当x2k时， 最  y 1；当x2k 既无最大值也无最小值 y 1；当x2k max 值 max 2 时，y 1． min 时，y 1． min 周 期 2 2  性 奇 偶 奇函数 偶函数 奇函数 性 单    在2k,2k上是增函    在  2k ,2k  在 k ,k  调  2 2  2 2 数； 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}2. 性 上是增函数； 在2k,2k上是减函 上是增函数．   3 在 2k ,2k 数．    2 2  上是减函数． 对 对称中心k,0    k  对称中心 k ,0  对称中心 ,0  称  2   2   对称轴xk 性 2 对称轴xk 无对称轴 三角函数型函数的图象和性质 （1）正弦型函数、余弦型函数性质 y  Asin(x)h，y  Acos(x)h   A振幅，决定函数的值域，值域为  A,A 2 决定函数的周期，T   x叫做相位，其中叫做初相 （2）正切型函数性质  y  Atan(x)h的周期公式为：T   3. 三角函数的伸缩平移变换 （1）伸缩变换（A，是伸缩量） y  Asin(x)h   A振幅，决定函数的值域，值域为  A,A ； 若A↗，纵坐标伸长；若A↘，纵坐标缩短； A与纵坐标的伸缩变换成正比 2 决定函数的周期，T   若 ↗，T ↘，横坐标缩短；若 ↘，T ↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 （2）平移变换（，h是平移量） 平移法则：左右，上下 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}基础知识背记 08 解三角形 1. 正弦定理 （1）基本公式： a b c   2R（其中R为ABC外接圆的半径） sin A sinB sinC （2）变形 ①a 2Rsin A, b2RsinB, c2RsinC a b c ②sin A , sinB  , sinC  , 2R 2R 2R ③a:b:csin A:sinB:sinC a b c abc ab ac bc ④   2R     sin A sinB sinC sin AsinBsinC sin AsinB sin AsinC sinBsinC （3）应用：边角互化 ①3a4b5c3sin A4sinB5sinC ②2a2 3b2 5c2 2sin2 A3sin2 B 5sin2C ③2asin AbcosCccosB2sin Asin AsinBcosCcosBsinC 1  5 2sin2 Asin(BC)sin Asin A 或sin A0（舍） A 或A 2 6 6 2. 三角形中三个内角的关系 ABC   sin(BC)sin A，cos(BC)cosA，tan(BC)tan A 3. 余弦定理 （1）边的余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA，b2 a2 c2 2accosB，c2 a2 b2 2abcosC （2）角的余弦定理 b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 cosA cosB cosC  2bc ， 2ac ， 2ab （3）应用1.求值，求角 ①在ABC中，已知b2 c2 bca2，求A 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}b2 c2 a2 bc 1  b2 c2 bca2 b2 c2 a2 bc，cosA    B  2bc 2bc 2 3 1 ②在ABC中，已知a2  acb2 c2，求cosB 4 1  ac 1 1 a2 c2 b2 1 a2  acb2 c2 a2 c2 b2  ac，cosB  4   4 4 2ac 2ac 8 （4）应用2.判断三角形的形状 设a为最大边，则A为最大角 A90 钝角三角形 cosA0 b2 c2 a2 A90 直角三角形 cosA0 b2 c2 a2 A90 锐角三角形 cosA0 b2 c2 a2 4. 三角形的面积公式 1 S  ah ABC 2 1 1 1 S  absinC  acsinB  bcsin A ABC 2 2 2 基础知识背记 09 函数的基本性质 1. 定义域 g(x) ①分式函数定义域：y  (f(x)0) f(x) ②偶次根式函数的定义域： y  f(x) (f(x)0) ③0次幂型函数的定义域：y  f(x)0 (f(x)0) ④对数函数的定义域：y log f(x) (f(x)0) a  ⑤正切函数的定义域：y  tan(f(x)) (f(x) k)(kZ) 2 2. 单调性 （1）单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}1 ③ f(x)为↗，则 f(x)为↘， 为↘ f(x) ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2）复合函数的单调性 函数f  x  h  g  x  ,设u  g  x  ,叫做内函数，则f  x  h  u 叫做外函数， 内函数，外函数，复合函数  内函数，外函数，复合函数  结论：同增异减 内函数，外函数，复合函数    内函数，外函数，复合函数 3. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数： f x f(x)，图象关于原点对称 偶函数： f x  fx ，图象关于y轴对称 ③奇偶性的四则运算 奇奇奇，偶偶偶，奇偶非奇非偶函数 奇 偶 奇 奇奇偶， 偶，偶偶偶， 偶， 奇偶奇， 奇 奇 偶 偶 4. 周期性（差为常数有周期） ①若 fxa  fx ，则 fx 的周期为：T  a ②若 fxa  fxb ，则 fx 的周期为：T  ab ③若 fxa fx ，则 fx 的周期为：T  2a （周期扩倍问题） 1 ④若 fxa  ，则 fx 的周期为：T  2a （周期扩倍问题） fx 5. 对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 a ①若 fxa  f x ，则 fx 的对称轴为x 2 ab ②若 fxa  f xb ，则 fx 的对称轴为x 2 点对称 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}a  ①若 fxa f x ，则 fx 的对称中心为 , 0 2  ab c ②若 fxa  f xb c，则 fx 的对称中心为 ,   2 2 6. 周期性对称性综合问题 ①若 fax  fax ， fbx  fbx ，其中a b，则 fx 的周期为：T 2ab ②若 fax fax ， fbx fbx ，其中a b，则 fx 的周期为： T 2ab ③若 fax  fax ， fbx fbx ，其中a b，则 fx 的周期为： T 4ab 7. 奇偶性对称性综合问题 ①已知 fx 为偶函数， fxa 为奇函数，则 fx 的周期为：T 4a ②已知 fx 为奇函数， fxa 为偶函数，则 fx 的周期为：T 4a 基础知识背记 10 指数对数幂函数 1.指数函数的图象与性质 y ax a>1 00时，y>1; (2)当x>0时，01 (3)在（-，+） （3）在（-，+） 上是增函数 上是减函数 2.指数和对数的互化公式 ax  N  xlog N  a 0且a 1  a 3.对数的性质与运算法则 两个基本对数： （1） ①log 10，②log a1 a a （2）对数恒等式： ①alog a N  N ，②log aN  N a （3）幂的对数： ①：log bm mlog b a a 1 ②：log b log b an n a m ③：log bm  log b an n a （4）积的对数：log MN log M log N a a a M （5）商的对数：log log M log N a N a a 4.换底公式： log b lgb lnb log b c   ； a log a lga lna c 推广1：对数的倒数式 1 log b a log a log blog a1 b a b 推广2： log blog clog a1log blog clog d log d a b c a b c a 5.对数函数的图象与性质 图 a1 0a1 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}象 （1）定义域：（0,+） （2）值域：R （3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当x1时， 性 （4）当0 x1时， y(,0)； 质 y(,0)； 当0 x1时， 当x1时，y(0,) y(0,) （5）在（0,+）上为增 （5）在（0,+）上 函数 为减函数 6.幂函数 恒过定点(1,1) （1）幂函数的单调性 ＞0时，fx在第一象限单调递增 fxx  ＜0时，fx在第一象限单调递减 （2）幂函数的奇偶性  为偶数，fx为偶函数  为整数   为奇数，fx为奇函数 fxx  p为偶数时，fx为非奇非偶函数  为分数，设 q  q为奇数，fx为奇函数  p p为奇数时    q为偶数，fx为偶函数 基础知识背记 11 函数的零点与方程的根 1. 函数的零点 对于函数y  fx ，我们把 fx 0的实数x叫做函数y  fx 的零点 x 2. 函数的零点与方程的根和图象与 轴交点的关系 函数y  fx 的零点就是方程 fx 0的实数解，也就是函数y  fx 的图象与x轴交点的横坐标 方程 fx 0的实数解 函数y  fx 的零点 函数y  fx 的图象与x轴有交点 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}3. 零点存在性定理 如果函数y  fx 在区间  a,b  的图象是一条连续不断的曲线，且有 fafb 0，那么函数y  fx 在 区间 a,b 至少有一个零点，即存在c a,b ，使得 fc 0，这个c也是方程 fx 0的解 基础知识背记 12 导数 1. 八大常用函数的求导公式 （1）C0（C为常数） 2 2  3 1 1  1 （2）(xn)nxn1 例：(x5)5x4，(x5) x 5，(x6)6x7，( x)(x2) x 2 ， 5 2 （3）(ex)ex （4）(ax)axlna 1 （5）(lnx) x 1 （6）(log x) a xlna （7）(sinx)cosx （8）(cosx)sinx 2. 导数的四则运算  f(x)g(x)   f(x)g(x) （1）和的导数：  f(x)g(x)   f(x)g(x) （2）差的导数： （3）积的导数： f(x)g(x)   f(x)g(x) f(x)g(x)（前导后不导前不导后导）   f(x) f(x)g(x) f(x)g(x) （4）商的导数：  ，g(x)0   g(x) g2(x) 3. 复合函数的求导公式   函数y  f(g(x))中，设u  g(x)（内函数），则y  f(u)（外函数）y y u u x 4. 导数的几何意义 （1）导数的几何意义 导数 f(x)的几何意义是曲线 f(x)在点P(x ,y )处切线的斜率 0 0 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}（2）直线的点斜式方程 直线的点斜式方程：已知直线过点P(x ,y )，斜率为k，则直线的点斜式方程为：y y kxx  0 0 0 0 5. 导函数与原函数的关系 f(x)0,k 0, f(x)单调递增 f(x)0,k 0, f(x)单调递减 6. 极值 （1）极值的定义 f(x)在x x 处先↗后↘， f(x)在x x 处取得极大值 0 0 f(x)在x x 处先↘后↗， f(x)在x x 处取得极小值 0 0 （2）极值与导数的关系 f(x)是极值点 f(x)0 f(x)0  f(x)是极值点，即： f(x)0是 f(x)为极值点的必要非充分条件 基础知识背记 13 数列 1. 等差数列通项公式：a a  n1d nN  或a a  nmd nN  n 1  n m  2. 等差中项：若A，B，C三个数成等差数列，则2B  AC，其中B叫做A，C的等差中项 3. 若 a  ， b  为等差数列，则 a b  ， ma kb  仍为等差数列 n n n n n n n  a a  nn1d 4. 等差数列前n项和公式：s  1 n 或s na  n 2 n 1 2 S na 5. 等差数列的前n项和中， n n1，（n为奇数） 2   6. 等比数列通项公式：a a qn1或a a qnm.nN n 1 n m 7. 等比中项：若A，B，C三个数成等比数列，则B2  AC  B AC ,其中B叫做A，C的等比中 项 a  8. 若 a  ， b  为等比数列，则 a b  ， n仍为等比数列 n n n n b   n    na , q 1 9. 等比数列前n项和公式：s   a  1q 1 n  a a q q 1  n 1  1 n   1q 1q 10. 已知 a  与 S  的关系 n n  s ,n1 a  1 n s s n2  n n1 11. 分组求和 15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}若 a  为等差数列， b  为等比数列，则 a b  可用分组求和 n n n n 12. 裂项相消求和 1 1 1 a    n nn1 n n1 1 1 1 a    n n1n2 n1 n2 1 1 1 1  a      n  2n1  2n1  22n1 2n1 4 1 4 4  1 1 a       n  2n1  2n3  42n1 2n3 2n1 2n3 4n 1 1 1 a   (  ) n (4n 1)(4n11) 3 4n 1 4n11 1 a   n1 n n n1 n 基础知识背记 14 立体几何 1. 平面初等几何基础 1 （1）三角形的面积公式：S  ah 2 （2）正方形的面积公式：S a2 （3）长方形的面积公式：S ab （4）平行四边形的面积公式：S ah 1 （5）菱形的面积公式：S  ab（a，b为菱形的对角线） 2 (ab)h （6）梯形的面积公式：S  （a为上底，b为下底，h为高） 2 （7）圆的周长和面积公式：C 2r，S r2 2. 立体几何基础公式 1 （1）所有椎体体积公式：V  sh 3 （2）所有柱体体积公式：V  sh 4 （3）球体体积公式：V  R3 3 （4）球体表面积公式：S 4R2 16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}（5）圆柱：V  sh,s s s 2r2 2rh 表 底 侧 1 （6）圆锥：V  sh,s s s r2 rl 3 表 底 侧 3. 平面图形的判定定理 （1）高中常用的平行四边形的判定定理 ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ②两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）菱形的判定定理 ①四边相等的四边形是菱形 ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） ③一组邻边相等的平行四边形是菱形 （3）正方形的判定定理 ①有一个角是直角的菱形是正方形 ②一组邻边相等的矩形是正方形 ③对角线互相垂直的矩形是正方形 （4）矩形的判定定理 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 4. 平面图形的对角线 平行四边形的对角线互相平分 菱形的对角线互相垂直平分 矩形的对角线相等且互相平分 正方形的对角线互相垂直平分且相等 5. 常见立体几何的定义、性质及其关系 （1）棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四边形（即侧棱平行且相等） （2）斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱 （3）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 （4）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 （5）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形 6. 四个公理与一个定理 17 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 7. 空间中点线面的位置关系 点在直线上 点不在直线上 点与直线的位置关系 Aa Ba 点在平面上 点不在平面上 点与面的位置关系 A B 线与线的位置关系 平行，a//b 相交，a  bo l，m异面 线与面的位置关系 a a   A a// 面与面的位置关系 平行，// 相交， a 与重合  8. 长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式 （1）已知长宽高求体对角线：l2 a2 b2 c2 l2 l2 l2 （2）已知三条面对角线求体对角线：l2  1 2 3 2 9. 球体问题 4 （1）球体体积公式：V  R3，球体表面积公式：S 4R2 3 （2）正方体、长方体、正四棱锥的外接球问题（类型Ⅰ） 球心体心，直径体对角线 18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}已知长宽高a，b，c求体对角线l，公式为：l2 a2 b2 c2 l l l2 D l，R  s 4R2 4( )2 4 l2 2 2 4 （3）直棱柱的外接球问题（类型Ⅱ） h R2 ( )2 r2，其中h为直棱柱的高，r为底面外接圆半径（可用正弦定理求解） 2 （4）墙角问题可转化为类型Ⅰ （5）侧棱底面问题可转化为类型Ⅱ 10. 空间中的平行关系 （1）线线平行 ①三角形、四边形中位线，②平行四边形的性质（对边平行且相等） ③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 （2）线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 图形语言 符号语言 l//b   l  l//  b  （3）线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 图形语言 符号语言 l//   l  l//b   b   （4）面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 图形语言 符号语言 19 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}a//   b//  // a b A   a,b  判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 图形语言 符号语言 a//n   b//m  a b A  // m n B   a,b   m,n  （5）面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 11. 空间中的垂直关系 （1）线线垂直 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 （2）线面垂直的判定定理 判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 图形语言 符号语言 l a   l b  l  a b A   a,b  （3）线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 图形语言 符号语言 20 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}l  l  a 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 a a//b b （4）面面垂直的判定定理 判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） 图形语言 符号语言 a  a （5）面面垂直的性质定理 性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一 个平面 图形语言 符号语言      CD  AB ABCD  AB   21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}12. 异面直线所成角     |ab| |x x  y y z z | cos|cos a,b |=    1 2 1 2 1 2 |a||b| x2  y2 z2  x 2  y 2 z 2 1 1 1 2 2 2   （其中（0 90）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量） 13. 线面角   ABm  直线AB与平面所成角，sin   (m为平面的法向量). | AB||m| 14. 二面角l的平面角   mn   cos   （m，n为平面，的法向量）. |m||n| 15. 点B到平面的距离   | ABn|  d   （n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. |n| 基础知识背记 15 直线与圆 1.两点间的距离公式 Ax ,y  ，Bx ,y  ， AB   x x 2   y  y 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2.中点坐标公式  x x x  1 2 Ax ,y  ，Bx ,y  ，Mx ,y  为AB的中点，则：   0 2 1 1 2 2 0 0 y  y y  1 2  0 2 3.三角形重心坐标公式 Ax ,y ,Bx ,y ,Cx ,y ,Mx ,y 为ABC重心 1 1 2 2 3 3 0 0  x x x  x 0  1 3 2 3  y  y  y y  1 2 3  0 3 4.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系 （1）斜率：表示直线的变化快慢的程度；k 0，直线递增，k 0，直线递减， （2）倾斜角：直线向上的部分与x轴正方向的夹角，范围为  0,  22 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}（3）直线的斜率与倾斜角的关系：k  tan  0 30 45 60 90 120 135 150 3 3 tan 0 1 3 不存在  3 1  3 3 5.两点间的斜率公式 y  y Ax ,y  ，Bx ,y  ，k  2 1 1 1 2 2 AB x x 2 1 6.直线的斜截式方程 y kxb 其中k为斜率，b为y轴上的截距 ， 7.直线的点斜式方程 已知点Px ,y  ，直线的斜率k，则直线方程为：y y kxx  0 0 0 0 8.直线的一般式方程   AxByC 0 A2 B2 0 9.两条直线的位置关系 （1）平行的条件 k k ①斜截式方程：l y k xb ，l y k xb ，l //l  1 2 1: 1 1 2: 2 2 1 2 b b  1 2 AB  A B ②一般式方程：l : AxB yC 0，l : A xB yC 0，l //l   1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 AC  AC  1 2 2 1 （2）重合的条件 k k ①斜截式方程：l y k xb ，l y k xb ，l ,l 重合  1 2 1: 1 1 2: 2 2 1 2 b b  1 2 ②一般式方程： AB  A B l : AxB yC 0，l : A xB yC 0，l ,l 重合  1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 AC  AC  1 2 2 1 （3）垂直的条件 ①斜截式方程：l y k xb ，l y k xb ，l l  k k 1 1: 1 1 2: 2 2 1 2 1 2 ②一般式方程： l : AxB yC 0，l : A xB yC 0，l l  AA BB 0 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 10.点到直线的距离公式 23 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}Ax By C 点Px ,y  ，直线l: AxByC 0，点到直线的距离为：d  0 0 0 0 A2 B2 11.两条平行线间的距离公式 C C l : AxByC 0，l : AxByC 0，d  1 2 1 1 2 2 A2 B2 12.圆的标准方程 xa2 yb2 r2，其中圆心坐标为 a,b ，半径为r 13.圆的一般方程 x2  y2 DxEyF 0（D2 E2 4F 0）  D 2  E 2 D2 E2 4F 配方可得：x  y   ，  2   2  4 D E D2 E2 4F 圆心坐标为( , )，半径为r  2 2 2 14.表示圆的充要条件： D2 E2 4F 0 15.点与圆的位置关系 已知点P(x ,y )，圆的方程为：xa2 yb2 r2 0 0 若  x a 2   y b 2 r2，点P在圆内 0 0 若  x a 2   y b  r2，点P在圆上 0 0 若  x a 2   y b 2 r2，点P在圆外 0 0 16.直线与圆的位置关系 直线l: y kxb，圆C：xa2 yb2 r2 0,相交  代数关系0,相切，其中为联立方程根的个数，  0,相离  d r，相交  几何关系d r，相切，其中d 为圆心到直线的距离  d r，相离  17.圆上一点的切线方程 x2  y2 r2在px , y 处的切线方程为：xx  yy r2 0 0 0 0  xa 2   yb 2 r2在p  x , y 处的切线方程为： xx  xa    y y  yb  r2 0 0 0 0 24 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}18.圆与圆的位置关系 设圆C 的半径为r ，设圆C 的半径为r ，两圆的圆心距为d 1 1 2 2 若d r r ，两圆外离，若d r r ，两圆外切，若d  r r ，两圆内切 1 2 1 2 1 2 若 r r d r r ，两圆相交，若0d  r r ，两圆内含，若d 0，同心圆 1 2 1 2 1 2 两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条； 两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条； 两圆内含，公切线的条数为0条； 19.弦长公式 设A(x ,y )，B(x ,y )， 1 1 2 2 则 AB  1k2  x x  1k2  (x x )2 4x x 1 2 1 2 1 2 1 1 或： AB  1  y  y  1  (y  y )2 4y y k2 1 2 k2 1 2 1 2 20.圆上一点到圆外一点的距离的最值 d 点到圆心的距离半径 max d 点到圆心的距离半径 min 21.圆上一点到圆上一点的距离的最值 d 圆心到圆心的距离2半径 max d 圆心到圆心的距离2半径 min 22.圆上一点到直线距离的最值 d 圆心到直线的距离半径 max d 圆心到直线的距离半径 min 23.过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径；最短弦：垂直于直径 基础知识背记 16 圆锥曲线 1. 椭圆的定义 平面上一动点Mx, y到两定点F c,0,F c,0的距离的和为定值2a 1 2   且大于FF 的点的轨迹叫做椭圆 1 2 这两个定点F,F叫做椭圆的焦点,两焦点的距离FF 叫做椭圆的焦距 1 2 1 2 25 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}2. 数学表达式 MF  MF 2a FF 2c 1 2 1 2 3. 椭圆的标准方程 焦点在x轴上的标准方程？ x2 y2 椭圆标准方程为：  1 (ab0) a2 b2 焦点在y轴上的标准方程？ y2 x2 椭圆标准方程为：  1 (ab0) a2 b2 4. 椭圆中a，b，c的基本关系 (a2 b2 c2) 5. 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 x2 y2 y2 x2 标准方程  1 (ab0)  1 (ab0) a2 b2 a2 b2 a xa b xb 范围 b yb a ya A(a,0)，A (a,0) A(0,b)，A (0,b) 1 2 1 2 顶点坐标 B (0,b)，B (0,b) B (b,0)，B (b,0) 1 2 1 2 长轴 AA 2a长轴长， AO  AO a长半轴长 1 2 1 2 短轴 BB 2b短轴长， BO  B O b短半轴长 1 2 1 2 26 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}焦点 F(c,0)，F (c,0) F(0,c)，F (0,c) 1 2 1 2 焦距 FF 2c焦距， FO  FO c半焦距 1 2 1 2 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0) c e (0e1) a 离心率 c2 a2 b2 b2 b 2 b 2 e2   1 1  e 1  a2 a2 a2 a a e越大，椭圆越扁 离心率对椭圆的影响 e越小，椭圆越圆 e0，圆 6. 双曲线的定义 平面上一动点Mx, y到两定点F c,0,F c,0的距离的差的绝对值 1 2   为定值2a 且小于FF 2c的点的轨迹叫做双曲线 1 2 这两个定点F,F叫做双曲线的焦点,两焦点的距离FF 叫做双曲线的焦距 1 2 1 2 7. 数学表达式： MF  MF 2a FF 2c 1 2 1 2 8. 双曲线的标准方程 焦点在x轴上的标准方程？ 焦点在y轴上的标准方程？ x2 y2 标 准 方 程 为 ：  1 (a0,b0) a2 b2 y2 x2 标准方程为：  1 (a0,b0) a2 b2 a b c 9. 双曲线中 ， ， 的基本关系 (c2 a2 b2) 10. 双曲线的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 27 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}图形 x2 y2 y2 x2 标准方程  1 (a0,b0)  1 (a0,b0) a2 b2 a2 b2 xa或xa ya或ya 范围 yR xR A(a,0)，A (a,0) A(0,a)，A (0,a) 1 2 1 2 顶点坐标 B (0,b)，B (0,b) B (b,0)，B (b,0) 1 2 1 2 实轴 AA 2a实轴长， AO  AO a实半轴长 1 2 1 2 虚轴 BB 2b虚轴长， BO  B O b虚半轴长 1 2 1 2 焦点 F(c,0)，F (c,0) F(0,c)，F (0,c) 1 2 1 2 焦距 FF 2c焦距， FO  FO c半焦距 1 2 1 2 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0) b a 渐近线方程 y  x y  x a b c e (e1) a 离心率 c2 a2 b2 b2 b 2 b 2 e2   1 1  e 1  a2 a2 a2 a a 离心率对双曲线的影 e越大，双曲线开口越阔 响 e越小，双曲线开口越窄 11. 抛物线的定义 p p 平面上一动点P(x,y)到定点F( ,0)的距离与到定直线l：x 的点的轨迹叫做抛物线 2 2 12. 图形 13. 数学表达式 28 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}PF  PP 1 14. 标准方程的推导 p p 设 px,y，由定义可知： PF  PP  (x )2  y2  x ，等式两边同时平方得： 1 2 2 p p p2 p2 (x )2y2(x )2x2px y2x2px y22px 2 2 4 4 15. 抛物线的标准方程及其几何性质 焦点 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴 位置 图形 标准 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py 方程 焦点 p p p p ( ,0) ( ,0) (0, ) (0, ) 坐标 2 2 2 2 准线 p p p p x x y  y  方程 2 2 2 2 16. 通径 通径长：2p，半通径长： p 17. 焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）  p 横轴：PF  x  焦半径   0 2 p 纵轴：PF  y   0 2 基础知识背记 17 排列组合与二项式定理 1.分类计数原理（加法原理） 29 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}N m m  m . 1 2  n 2.分步计数原理（乘法原理） N m m  m . 1 2  n 3.排列数公式 n！ Am=n(n1) (nm1)= .(n，m∈N*，且mn)．注:规定0!1. n  (nm)！ 4.组合数公式 Am n(n1) (nm1) n！ Cm= n =  = (n∈N*，mN ，且mn). n Am 12 m m！(nm)！ m  5.排列数与组合数的关系 Am m！Cm . n n 6．单条件排列 以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有Am1种； n1 ②某（特）元不在某位有Am  Am1（补集思想） A1 Am1（着眼位置） Am  A1 Am1（着眼 n n1 n1 n1 n1 m1 n1 元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：k(k mn)个元在固定位的排列有AkAmk种. k nk ②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Ank1Ak 种.注：此类问题常用捆绑法； nk1 k ③插空：两组元素分别有k、h个（k h1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的 所有排列数有AhAk 种. h h1 （3）两组元素各相同的插空 m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ An 当n  m1时，无解；当nm1时，有 m1 Cn 种排法. An m1 n （4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cn . mn 7．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有 (mn)! N Cn Cn Cn  Cn Cn  . mn mnn mn2n  2n n (n!)m （2）(平均分组无归属问题)将相异的m n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有 · Cn Cn Cn ...Cn Cn (mn)! N  mn mnn mn2n 2n n  . m! m!(n!)m 8.二项式定理 (ab)n C0an C1an1bC2an2b2  Cranrbr  Cnbn ; n n n  n  n 二项展开式的通项公式 T Cranrbr (r 0，1，2 ，n). r1 n  30 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}基础知识背记 18 概率统计 m 1. 等可能性事件的概率P(A) . n 2. 互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 3. n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1 ＋A2 ＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 4. 独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B). 5. n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 6. n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率P (k)CkPk(1P)nk. n n 7.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）P 0(i 1,2, ); i  （2）P P  1. 1 2  8. 数学期望E x P x P  x P  1 1 2 2  n n  9. 数学期望的性质 （1）E(ab)aE()b. （2）若～B(n,p),则Enp. 1 (3) 若服从几何分布,且P(k) g(k, p)qk1p，则E . p 10. 方差Dx E2 p x E2 p  x E2 p  1 1 2 2  n n  11. 标准差= D. 12.方差的性质 (1)Daba2D； (2）若～B(n,p)，则Dnp(1 p). q (3) 若服从几何分布,且P(k) g(k, p)qk1p，则D . p2 13.方差与期望的关系 D E2 E2 . 14.正态分布密度函数 31 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}x2 1  f x e 262 ,x,，式中的实数 μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数 26 与标准差. 15.对于N(,2)，取值小于x的概率  x Fx  .     x   x  Px  x  x   Px  x  Px  x  Fx Fx    2    1 . 1 0 2 2 1 2 1       16. 条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． (1)0≤P(B|A)≤1， PA∩B (2)如果B和C是两 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝ .(其中，A∩B也可以记成AB) PB 个互斥事件，则P(B PAB ∪C|A)＝P(B|A)＋ 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ PA P(C|A) P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率． 17. 条件概率的三种求法 PAB 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝ 求P(B|A) PA 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事 基本事件法 nAB 件数n(AB)，得P(B|A)＝ nA 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解， 缩样法 它能化繁为简 18. 全概率公式 一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A ∪A ∪…∪A ＝Ω，且P(A)＞0，i＝1，2，…，n， 1 2 n 1 2 n i n 则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A ＋A ＋…＋A )＝BA ＋BA ＋…＋BA ，有P(B)＝PA PB∣A  1 2 n 1 2 n i i i1 ，此公式为全概率公式. P（AB） n（AB） （1）计算条件概率除了应用公式 P(B|A)＝ 外，还可以利用缩减公式法，即 P(B|A)＝ ，其 P（A） n（A） 中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况 下发生的简单事件的概率的求和问题. 19. 贝叶斯公式 一般地,设 A,A , ,A 是一组两两互斥的事件,有 A A A 且PA0,i1,2,,n,则对 1 2  n 1 2 n i 32 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}任意的事件B P(B)0有 PAPB∣A PA PB∣A  PB∣A  i i  i i ,i 1,2,,n i P(B) n PAPB∣A  i i i1 20. 数字样本特征 （1）众数：在一组数据中出现次数最多的数 （2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为 偶数个，中位数为中间两个数的平均数 x x  x （3）平均数：x  1 2  n ，反映样本的平均水平 n (x x)2 (x x)2  (x x)2 （4）方差：s2  1 2  n n 反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度； s2越大，样本波动越大，越不稳定；s2越小，样本波动越小，越稳定； （5）标准差： s2 ，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样 （6）极差：等于样本的最大值最小值 21. 求随机变量X的分布列的步骤： (1)理解X的意义，写出X可能取得全部值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)根据分布列的性质对结果进行检验. 还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布. （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解； （2）已知随机变量 X 的期望、方差，求aX ba,bR 的期望与方差，利用期望和方差的性质 （EaX baEXb，DaX ba2DX）进行计算； （3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列 的期望和方差公式进行计算，若～B(n,p),则Enp，Dnp(1 p). PkPk1 23. 求解概率最大问题的关键是能够通过 构造出不等关系，结合组合数公式求解结  PkPk1 果 24. 线性回归分析解题方法： n n （1）计算x,y,x2,x y 的值；（2）计算回归系数a,b；（3）写出回归直线方程ybxa. i i i i1 i1 33 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}n n x xy  y x y nxy i i i i 线性回归直线方程为：yˆ b ˆ xaˆ b ˆ  i1  i1 aˆ  yb ˆ x ， n n  x x 2 x2 nx2 i i i1 i1 ， 其中 x,y 为样本中心，回归直线必过该点 （4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱） n n x xy  y x y nxy i i i i r  i1  i1 n n  n  n  x x2 y  y2 x2 nx2y2 ny2 i i i i i1 i1  i1  i1  r 0，正相关；r 0，负相关 r 1,且r越接近于1，线性相关性越强； r越接近于0，线性相关性越弱，几乎不存在线性相关性 25.独立性检验解题方法： （1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性 nad bc2 独立性检验计算公式：K2  abcdacbd 34 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ {#{QQABaQSQoggIABAAAAhCQQ1ACAAQkgGCCSgORAAEIAAACQFABAA=}#}