文档内容
高考数学 基础知识篇
（核心基础知识背记手册）
目录
基础知识背记01 集合.......................................................................................................................2
基础知识背记02 常用逻辑用语.......................................................................................................2
基础知识背记03 复数.......................................................................................................................3
基础知识背记04 平面向量...............................................................................................................3
基础知识背记05 基本不等式...........................................................................................................4
基础知识背记06 三角函数与诱导公式、三角恒等变换...............................................................5
基础知识背记07 三角函数的图象及性质.......................................................................................6
基础知识背记08 解三角形...............................................................................................................8
基础知识背记09 函数的基本性质...................................................................................................9
基础知识背记10 指数对数幂函数.................................................................................................11
基础知识背记11 函数的零点与方程的根.....................................................................................14
基础知识背记12 导数.....................................................................................................................14
基础知识背记13 数列.....................................................................................................................15
基础知识背记14 立体几何.............................................................................................................16
基础知识背记15 直线与圆.............................................................................................................22
基础知识背记16 圆锥曲线.............................................................................................................26
基础知识背记17 排列组合与二项式定理.....................................................................................30
基础知识背记18 概率统计.............................................................................................................31
基础知识背记 01 集合
1. 集合有n个元素，子集有2n个，真子集有2n −1个，非空真子集个数为 个.
A∩B={x|x∈A且x∈B} A∪B={x|x∈A或x∈B}
2.
，C A={x|x∈U且x∉A}
3. U
基础知识背记 02 常用逻辑用语
1. 充分条件与必要条件
对于若p则q类型中，p为条件，q为结论
若
p⇒q
充分性成立，若
q⇒ p
必要性成立
若 p⇒q ， q⇒ p ，则p是q的充分必要条件（简称：充要条件）
若 p⇒q ， q⇒ p ，则p是q的充分非必要条件（充分不必要条件）
若 p⇒q ， q⇒ p ，则p是q的必要非充分条件（必要不充分条件）
若 p⇒q ， q⇒ p ，则p是q的既不充分也不必要条件
2. 全称量词命题与存在量词命题
全称量词：∀（任意，所有，全部），含有全称量词∀的命题，叫做全称量词命题
存在量词：∃：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词∃的命题，叫做存在量词命题
3. 全称量词命题和存在量词命题的否定
全称量词命题的否定
全称量词命题：∀x∈M
，
p(x) 否定为：∃x∈M
，
¬p(x)
，
存在量词命题的否定
存在量词命题：∃x∈M
，
p(x) 否定为：∀x∈M
，
¬p(x)
，
基础知识背记 03 复数
1. 虚数单位：i，规定i2 =−1
2. 虚数单位的周期T=4
3. 复数的代数形式：Z= ， 叫实部， 叫虚部
4. 复数的分类实数：b=0
{
{a=0
0：
b=0
z=a+bi
虚数：b≠0
{b≠0
纯虚数：
a=0
5. 复数相等：
Z =a+bi,Z =c+di,
若
Z =Z ,则a=c,b=d
1 2 1 2
6. 共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；
，
推广：z⋅z=(a+bi)(a−bi)=a2 −(bi) 2 =a2 +b2
结论：z⋅z=a2 +b2
7. 复数的几何意义：复数 复平面内的点
8. 复数的模：Z=a+bi(a,b∈R)， 则 ；
基础知识背记 04 平面向量
1. 向量的运算
（1）两点间的向量坐标公式：
A(x ,y )，B(x ,y )，⃗AB=终点坐标 始点坐标=(x −x ,y −y )
1 1 2 2 2 1 2 1
−
（2）向量的加减法
⃗a=(x ,y ) ⃗b=(x ,y )∴⃗a+ ⃗b=(x +x ，y +y ) ⃗a− ⃗b=(x −x ，y −y )
1 1 ， 2 2 1 2 1 2 ， 1 2 1 2
（3）向量的数乘运算
⃗a=(x,y)，则： λ⃗a=λ(x,y)=(λx,λy)
（4）向量的模
⃗a=(x,y) ⃗a |⃗a|= √x 2 +y 2
，则 的模
（5）相反向量
⃗a=(x,y) −⃗a=(−x,−y)
已知 ，则 ；已知
（6）单位向量
⃗a=(x,y)
x y
( )
同向单位向量为 ,
√x2 +y2 √x2 +y2
(−x −y
)
反向单位向量为 ,
√x2 +y2 √x2 +y2
（7）向量的数量积
⃗a⋅ ⃗b=|⃗a|⋅| ⃗b|⋅ cosθ,其中θ为⃗a与 ⃗b的夹角，记作 ⟨⃗a,⃗b⟩,且θ∈[0,π]⃗a=(x ,y ),⃗b=(x ,y )，∴⃗a⋅ ⃗b=x x +y y
1 1 2 2 1 2 1 2
（8）向量的夹角
⃗a⋅ ⃗b x x +y y
cosθ= = 1 2 1 2
|⃗a|⋅| ⃗b| √x2 +y2 ⋅ √x2 +y2
1 1 2 2
（9）向量的投影
⃗a⋅ ⃗b ⃗a⋅ ⃗b
⃗a在 ⃗b上的投影为|⃗a|⋅cosθ=|⃗a|⋅ =
|⃗a|⋅| ⃗b| | ⃗b|
⃗a⋅ ⃗b ⃗a⋅ ⃗b
⃗b在⃗a上的投影为| ⃗b|⋅cosθ=| ⃗b|⋅
=
|⃗a|⋅| ⃗b| |⃗a|
（10）向量的平行关系
⃗a//⃗b⇔⃗a=λ⃗b⇔x y =x y
1 2 2 1
（11）向量的垂直关系
⃗a⊥ ⃗b⇔⃗a⋅ ⃗b=0⇔x x +y y =0
1 2 1 2
（12）向量模的运算
⃗2 2
a =|⃗a|
基础知识背记 05 基本不等式
a+b
≥√ab
a∈R b∈R 2 ⇒a+b≥2√ab
1. +， +， （积定和最小）
(a+b) 2
ab≤
a∈R b∈R 4
2. +， +， （和定积最大）
3.
a∈R
+，
b∈R
+，
a2 +b2 ≥2ab
2 a+b √a2 +b2
≤√ab≤ ≤
1 1 2 2
+
a b
4. 推广公式：
基础知识背记 06 三角函数与诱导公式、三角恒等变换
1. 特殊角的三角函数值2. 同角三角函数的基本关系
平方关系：
sin2α+cos2α=1
sinα
tanα=
cosα
商数关系：
3. 正弦的和差公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
，
4. 余弦的和差公式
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
，
5. 正切的和差公式
tanα+tanβ tanα−tanβ
tan(α+β)= tan(α−β)=
1−tanαtanβ 1+tanαtanβ
，
6. 正弦的倍角公式
1
sinαcosα= sin2α
sin2α=2sinαcosα⇒ 2
7. 余弦的倍角公式
cos2α=cos2α−sin2α=(cosα+sinα)(cosα−sinα)
升幂公式：cos2α=1−2sin2α，cos2α=2cos2α−1
1−cos2α 1+cos2α
降幂公式：
sin2α=
，
cos2α=
2 2
8. 正切的倍角公式
2tanα
tan2α=
1−tan2α
9. 推导公式
(sinα+cosα) 2 +(sinα−cosα) 2 =2
10. 辅助角公式
b π π
y=asinx+bcosx (a>0)⇒ y= √a2 +b2sin(x+ϕ) tanϕ= a ϕ∈(− 2 , 2 )
， ，其中 ，基础知识背记 07 三角函数的图象及性质
1. 三角函数的图象与性质2.
函
性 数 三
质
角 函
数 型
图
函 数
象
的 图
象 和
性 定 质
（ 1 义 ）
正 域 弦
型 值 函
数 、 域 余
弦 型
函 当 时， 数
当 时，
性 质
最 ；当
；当 既无最大值也无最小值
值
时， ．
时， ．
周
期
性
奇
偶 奇函数 偶函数 奇函数
性
在 在 上是增函
单
上是增函数； 数；
调 在
性 在 上是减函 上是增函数．
在
数．
上是减函数．
对
对称中心
称 对称中心 对称中心
性 对称轴 对称轴 无对称轴
y=Asin(ωx+ϕ)+h y=Acos(ωx+ϕ)+h
，
A振幅，决定函数的值域，值域为
[−A,A]2π
T=
|ω|
ω决定函数的周期，
ωx+ϕ 叫做相位，其中ϕ叫做初相
（2）正切型函数性质
π
T=
y=Atan(ωx+ϕ)+h |ω|
的周期公式为：
3. 三角函数的伸缩平移变换
（1）伸缩变换（A，ω是伸缩量）
y=Asin(ωx+ϕ)+h
A振幅，决定函数的值域，值域为[−A,A]；
若A↗，纵坐标伸长；若A↘，纵坐标缩短；∴ A与纵坐标的伸缩变换成正比
2π
决定函数的周期，
T=
|ω|
ω
若ω↗，T ↘，横坐标缩短；若ω↘，T ↗，横坐标伸长；∴ω与横坐标的伸缩变换成反比
（2）平移变换（ϕ，h是平移量）
平移法则：左+右 ，上+下
− −
基础知识背记 08 解三角形
1. 正弦定理
（1）基本公式：
a b c
= = =2R（其中 为 外接圆的半径）
sinA sinB sinC R ΔABC
（2）变形
①a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
a b c
② sinA= , sinB= , sinC= ,
2R 2R 2R
③a:b:c=sinA:sinB:sinC
a b c a+b+c a+b a+c b+c
④ = = =2R= = = =
sinA sinB sinC sinA+sinB+sinC sinA+sinB sinA+sinC sinB+sinC
（3）应用：边角互化①
3a+4b=5c⇒3sinA+4sinB=5sinC
②
2a2 +3b2 =5c2 ⇒2sin2A+3sin2B=5sin2C
③
2asinA=bcosC+ccosB⇒2sinA⋅sinA=sinBcosC+cosBsinC
1 π 5π
⇒2sin2A=sin(B+C)=sinA⇒sinA= 或 （舍）⇒A= 或A=
2 sinA=0 6 6
2. 三角形中三个内角的关系
∵A+B+C=π
∴sin(B+C)=sinA cos(B+C)=−cosA tan(B+C)=−tanA
， ，
3. 余弦定理
（1）边的余弦定理
a2 =b2 +c2 −2bccosA
，
b2 =a2 +c2 −2accosB
，
c2 =a2 +b2 −2abcosC
（2）角的余弦定理
b2 +c2 −a2 a2 +c2 −b2 a2 +b2 −c2
cosA= cosB= cosC=
2bc 2ac 2ab
， ，
（3）应用1.求值，求角
①在 ΔABC 中，已知 b2 +c2 −bc=a2 ，求A
b2 +c2 −a2 bc 1 π
∴cosA= = = ⇒B=
∵b2 +c2 −bc=a2 ⇒b2 +c2 −a2 =bc
，
2bc 2bc 2 3
1
a2
+
ac=b2 −c2
ΔABC 4 cosB
②在 中，已知 ，求
1
− ac
∵a2 +
1
ac=b2 −c2 ⇒a2 +c2 −b2 =−
1
ac ∴cosB=
a2 +c2 −b2
=
4
=−
1
4 4 2ac 2ac 8
，
（4）应用2.判断三角形的形状
设a为最大边，则A为最大角
A>90° 钝角三角形 cosA<0 b2 +c2 0 b2 +c2 >a2
4. 三角形的面积公式
1
S = ah
ΔABC 2
1 1 1
S = absinC= acsinB= bcsinA
ΔABC 2 2 2基础知识背记 09 函数的基本性质
1. 定义域
g(x)
y= (f(x)≠0)
f(x)
①分式函数定义域：
y=√f (x) (f (x)≥0)
②偶次根式函数的定义域：
0 y=f (x) 0 (f (x)≠0)
③ 次幂型函数的定义域：
y=log f (x) (f (x)>0)
④对数函数的定义域： a
π
y=tan(f(x)) (f(x)≠ +kπ)(k∈Z)
2
正切函数的定义域：
⑤
2. 单调性
（1）单调性的运算
①增函数（↗）+增函数（↗）=增函数↗
②减函数（↘）+减函数（↘）=减函数↘
1
f (x) −f(x) f (x)
③ 为↗，则 为↘， 为↘
④增函数（↗）
−
减函数（↘）=增函数↗
⑤减函数（↘）
−
增函数（↗）=减函数↘
⑥增函数（↗）+减函数（↘）=未知（导数）
（2）复合函数的单调性
函数f (x)=h(g(x)),设u=g(x),叫做内函数，则f (x)=h(u)叫做外函数，
内函数↑，外函数↑，⇒复合函数↑
{
内函数↓，外函数↓，⇒复合函数↑
⇒结论：同增异减
内函数↑，外函数↓，⇒复合函数↓
内函数↓，外函数↑，⇒复合函数↓
3. 奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：f (−x)=−f(x)，图象关于原点对称
偶函数：f (−x)=f (x)，图象关于y轴对称③奇偶性的四则运算
奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇±偶=非奇非偶函数
奇 偶 奇
奇⋅奇=偶， =偶， 偶⋅偶=偶， =偶， 奇⋅偶=奇， =奇
奇 偶 偶
4. 周期性（差为常数有周期）
f (x+a)=f (x) f (x)
T=|a|
①若 ，则 的周期为：
f (x+a)=f (x+b) f (x)
T=|a−b|
②若 ，则 的周期为：
f (x+a)=−f (x) f (x)
T=|2a|
③若 ，则 的周期为： （周期扩倍问题）
1
f (x+a)=±
f (x) f (x)
T=|2a|
④若 ，则 的周期为： （周期扩倍问题）
5. 对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
a
x=
f (x+a)=f (−x) f (x) 2
①若 ，则 的对称轴为
a+b
x=
f (x+a)=f (−x+b) f (x) 2
②若 ，则 的对称轴为
点对称
(a )
, 0
f (x+a)=−f (−x) f (x) 2
①若 ，则 的对称中心为
(a+b c)
,
f (x+a)+f (−x+b)=c f (x) 2 2
若 ，则 的对称中心为
②
6. 周期性对称性综合问题
①若
f (a+x)=f (a−x)
，
f (b+x)=f (b−x)
，其中
a≠b
，则
f (x)
的周期为：
T=2|a−b|
②若
f (a+x)=−f (a−x)
，
f (b+x)=−f (b−x)
，其中
a≠b
，则
f (x)
的周期为：
T=2|a−b|
③若
f (a+x)=f (a−x)
，
f (b+x)=−f (b−x)
，其中
a≠b
，则
f (x)
的周期为：
T=4|a−b|
7. 奇偶性对称性综合问题
f (x) f (x+a) f (x)
T=4|a|
①已知 为偶函数， 为奇函数，则 的周期为：
f (x) f (x+a) f (x)
T=4|a|
②已知 为奇函数， 为偶函数，则 的周期为：基础知识背记 10 指数对数幂函数
1.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1 00 时， (2) 当 x>0 时 ，
y>1; x<0时,01
性质
(3)在（- ，+ ） （3）在（- ，+ ）
上是增函数 上是减函数
2.指数和对数的互化公式
ax =N⇔x=log N(a>0且a≠1)
a
3.对数的性质与运算法则
两个基本对数：
（1）
log 1=0 log a=1
a ，② a
①
（2）对数恒等式：
log N log aN =N
①a a =N，② a
（3）幂的对数：
log bm =mlog b
： a a
①1
log b= log b
an n a
：
②
m
log bm = log b
an n a
③：
log (MN)=log M+log N
（4）积的对数： a a a
M
log =log M−log N
a N a a
（5）商的对数：
4.换底公式：
log b lgb lnb
log b= c = =
a log a lga lna
c ；
推广1：对数的倒数式
1
log b=
a log a ⇒log b⋅log a=1
b a b
推广2：
log blog clog a=1⇒log blog clog d=log d
a b c a b c a
5.对数函数的图象与性质
a 1 0a1
图
象
（1）定义域：（0,+）
（2）值域：R
（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）
x1
（4）当 时，
0 x1
性 （4）当 时，
y(,0)
；
质 y(,0)
；
0 x1
当 时，
x1 y(0,)
当 时，
y(0,)
（5）在（0,+）上为 （5）在（0,+）上
增函数 为减函数
6.幂函数
(1,1)
恒过定点
（1）幂函数的单调性{α＞0时，f(x)在第一象限单调递增
f(x)=xα
α＜0时，f(x)在第一象限单调递减
（2）幂函数的奇偶性
{ α为整数
{α为偶数，f(x)为偶函数
α为奇数，f(x)为奇函数
f(x)=xα
{ p为偶数时，f(x)为非奇非偶函数
q
α为分数，设α= {q为奇数，f(x)为奇函数
p p为奇数时
q为偶数，f(x)为偶函数
基础知识背记 11 函数的零点与方程的根
1. 函数的零点
y=f (x) f (x)=0 y=f (x)
对于函数 ，我们把 的实数x叫做函数 的零点
2. 函数的零点与方程的根和图象与x轴交点的关系
y=f (x) f (x)=0 y=f (x)
函数 的零点就是方程 的实数解，也就是函数 的图象与x轴交点的横坐标
f (x)=0
方程 的实数解
y=f (x)
⇔函数 的零点
y=f (x)
⇔函数 的图象与x轴有交点
3. 零点存在性定理
y=f (x) [a, b] f (a)f (b)<0 y=f (x)
如果函数 在区间 的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么函数 在
(a, b) c∈(a, b) f (c)=0 f (x)=0
区间 至少有一个零点，即存在 ，使得 ，这个c也是方程 的解
基础知识背记 12 导数
1. 八大常用函数的求导公式
（1）C' =0（ C 为常数）
2 3 1 1
2 − 1 −
（2）
(xn
)
' =nxn−1
例：
(x5
)
' =5x4
，
(x5 ) ' =
5
x 5
，
(x−6 )=−6x−7
，
(√x) ' =(x2 ) ' =
2
x 2
，
(ex
)
' =ex
（3）
(ax
)
' =axlna
（4）
1
(lnx) ' =
x
（5）1
(log x) ' =
a xlna
（6）
（7）(sinx) ' =cosx
（8）(cosx) ' =−sinx
2. 导数的四则运算
[f(x)+g(x)] ′ =f' (x)+g' (x)
（1）和的导数：
[f(x)−g(x)] ′ =f' (x)−g' (x)
（2）差的导数：
（3）积的导数：[f(x)g(x)] ′ =f' (x)g(x)+f(x)g' (x)（前导后不导 前不导后导）
+
[f(x)] ′ f' (x)g(x)−f(x)g' (x)
（4）商的导数： = ，
g(x) g2 (x) g(x)≠0
3. 复合函数的求导公式
∴y' =y ⋅u
y=f(g(x)) u=g(x) y=f (u) ′ ′
中，设 （内函数），则 （外函数） u x
函数
4. 导数的几何意义
（1）导数的几何意义
导数
f' (x)的几何意义是曲线 f (x)
在点
P(x
0
,y
0
)
处切线的斜率
（2）直线的点斜式方程
P(x ,y ) k y−y =k(x−x )
0 0 ，斜率为 ，则直线的点斜式方程为： 0 0
直线的点斜式方程：已知直线过点
5. 导函数与原函数的关系
f' (x)>0,k>0,f (x)单调递增
f' (x)<0,k<0,f (x)单调递减
6. 极值
（1）极值的定义
f (x) x=x f (x) x=x
在 0处先↗后↘， 在 0处取得极大值
f (x) x=x f (x) x=x
在 0处先↘后↗， 在 0处取得极小值
（2）极值与导数的关系
f (x) 是极值点⇒f' (x)=0
f' (x)=0⇒f (x)
是极值点，即：
f' (x)=0
是
f (x)
为极值点的必要非充分条件基础知识背记 13 数列
1. 等差数列通项公式： a =a +(n−1)d (n∈N )或 a =a +(n−m) d (n∈N )
n 1 + n m +
2. 等差中项：若A，B，C三个数成等差数列，则2B=A+C，其中B叫做A，C的等差中项
3. 若 {a } ， {b } 为等差数列，则 {a ±b } ，{ma±kb }仍为等差数列
n n n n n n
n(a +a ) n(n−1)d
4. 等差数列前n项和公式：s = 1 n 或s =na+
n 2 n 1 2
S =na
5. 等差数列的前 项和中， n n+1，（ 为奇数）
n 2 n
6. 等比数列通项公式：a =a⋅qn−1 或a =a ⋅qn−m.(n∈N¿)
n 1 n m
7. 等比中项：若A，B，C三个数成等比数列，则B2 =AC⇒B=±√AC,其中B叫做A，C的等比
中项
{a }
n
8. 若 ， 为等比数列，则 ， 仍为等比数列
{a } {b } {a ⋅b } b
n n n n n
{ na ,(q=1)
1
9. 等比数列前 项和公式：s
n
= a
1
(1−qn) a
1
−a
n
q (q≠1)
=
n
1−q 1−q
{a } {S }
10.已知 与 的关系
n n
{ s ,n=1
a = 1
n
s −s (n≥2)
n n−1
11. 分组求和
若{a }为等差数列，{b }为等比数列，则{a ±b }可用分组求和
n n n n
12. 裂项相消求和
1 1 1
a = = −
n n(n+1) n n+1
1 1 1
a = = −
n (n+1)(n+2) n+1 n+2
1 1( 1 1 )
a = = −
n (2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1
4 1( 4 4 ) 1 1
a = = − = −
n (2n−1)(2n+3) 4 2n−1 2n+3 2n−1 2n+3
4n 1 1 1
a = = ( − )
n (4n −1)(4n+1 −1) 3 4n −1 4n+1 −1
1
a = =√n+1−√n
n √n+1+√n基础知识背记 14 立体几何
1. 平面初等几何基础
1
S= ah
2
（1）三角形的面积公式：
（2）正方形的面积公式：
S=a2
（3）长方形的面积公式：
S=ab
（4）平行四边形的面积公式：
S=ah
1
S= ab
（5）菱形的面积公式： 2 （a， b 为菱形的对角线）
(a+b)h
S=
（6）梯形的面积公式： 2 （a为上底， b 为下底， h 为高）
（7）圆的周长和面积公式：
C=2πr
，
S=πr2
2. 立体几何基础公式
1
V= sh
3
（1）所有椎体体积公式：
（2）所有柱体体积公式：
V=sh
4
V= πR3
3
（3）球体体积公式：
（4）球体表面积公式：
S=4πR2
V=sh,s =s +s =2πr2 +2πrh
（5）圆柱： 表 底 侧
1
V= sh,s =s +s =πr2 +πrl
3 表 底 侧
（6）圆锥：
3. 平面图形的判定定理
（1）高中常用的平行四边形的判定定理
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
②两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）菱形的判定定理
①四边相等的四边形是菱形
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
③一组邻边相等的平行四边形是菱形
（3）正方形的判定定理
①有一个角是直角的菱形是正方形②一组邻边相等的矩形是正方形
③对角线互相垂直的矩形是正方形
（4）矩形的判定定理
对角线相等且互相平分的四边形是矩形
4. 平面图形的对角线
平行四边形的对角线互相平分
菱形的对角线互相垂直平分
矩形的对角线相等且互相平分
正方形的对角线互相垂直平分且相等
5. 常见立体几何的定义、性质及其关系
（1）棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四边形（即侧棱平行且相等）
（2）斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱
（3）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
（4）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
（5）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形
6. 四个公理与一个定理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
7. 空间中点线面的位置关系
点在直线上 点不在直线上
点与直线的位置关系
A∈a B∉a
点在平面上 点不在平面上
点与面的位置关系
A∈α B∉α
线与线的位置关系平行， a//b 相交， a∩b=o l ，m异面
线与面的位置关系
a⊂α a∩α=A a//α
面与面的位置关系
平行，
α//β
相交，
α∩β=a
α 与
β
重合
8. 长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式
（1）已知长宽高求体对角线：
l2 =a2 +b2 +c2
l2 +l2 +l2
l2
=
1 2 3
（2）已知三条面对角线求体对角线： 2
9. 球体问题
4
（1）球体体积公式：
V= πR3
，球体表面积公式：
3 S=4πR2
（2）正方体、长方体、正四棱锥的外接球问题（类型Ⅰ）
球心⇔体心，直径⇔体对角线
已知长宽高a，b，c求体对角线l，公式为：l2 =a2 +b2 +c2
l l l2
，R= ⇒s=4πR2 =4π( ) 2 =4π⋅ =l2π
D=l 2 2 4
（3）直棱柱的外接球问题（类型Ⅱ）
h
R2
=( )
2 +r2
，其中 为直棱柱的高， 为底面外接圆半径（可用正弦定理求解）
2 h
r
（4）墙角问题⇒可转化为类型Ⅰ
（5）侧棱¿底面问题⇒可转化为类型Ⅱ
10.空间中的平行关系
（1）线线平行
①三角形、四边形中位线，②平行四边形的性质（对边平行且相等）
③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
（2）线面平行的判定定理：
平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行
图形语言 符号语言l//b
}
l⊂α ⇒l//α
b⊂α
（3）线面平行的性质定理
若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行
图形语言 符号语言
l//α
}
l⊂β ⇒l//b
α∩β=b
（4）面面平行的判定定理
判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行
图形语言 符号语言
a//α
}
b//β
⇒α//β
a∩b=A
a⊂α,b⊂α
判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平
行
图形语言 符号语言
a//n
}
b//m
a∩b=A
⇒α//β
m∩n=B
a,b⊂α
m,n⊂β
（5）面面平行的性质定理
性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面
性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行
11.空间中的垂直关系
（1）线线垂直①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
（2）线面垂直的判定定理
判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
图形语言 符号语言
l⊥a
}
l⊥b
⇒l⊥α
a∩b=A
a,b⊂α
（3）线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
图形语言 符号语言
l⊥α }
⇒l⊥α
a⊂α
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言 符号语言
a⊥α}
⇒a//b
b⊥α
（4）面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直
（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）
图形语言 符号语言a⊥α }
⇒α⊥β
a⊂β
（5）面面垂直的性质定理
性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一
个平面
图形语言 符号语言
α⊥β
}
α∩β=CD
⇒AB⊥β
AB⊥CD
AB⊂α
12.异面直线所成角
=
（其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量）
13.线面角
直线 与平面所成角， ( 为平面 的法向量).
14.二面角 的平面角
（ ， 为平面 ， 的法向量）.
15.点 到平面 的距离
（ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）.基础知识背记 15 直线与圆
1.两点间的距离公式
A(x ,y )，B(x ,y )，|AB|= √ (x −x ) 2 +(y −y ) 2
1 1 2 2 2 1 2 1
2.中点坐标公式
{ x =
x
1
+x
2
0 2
， ， 为 的中点，则：
y +y
y = 1 2
A(x ,y ) B(x ,y ) M(x ,y ) AB 0 2
1 1 2 2 0 0
3.三角形重心坐标公式
A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ),M(x ,y )为ΔABC重心
1 1 2 2 3 3 0 0
{ x =
x
1
+x
2
+x
3
0 3
⇒
y +y +y
y = 1 2 3
0 3
4.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系
（1）斜率：表示直线的变化快慢的程度；
k>0
，直线递增，
k<0
，直线递减，
[0,π)
（2）倾斜角：直线向上的部分与x轴正方向的夹角，范围为
（3）直线的斜率与倾斜角的关系：
k=tanθ
θ 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
√3 √3
tanθ 0 1 √3 不存在 −√3 −1 −
3 3
5.两点间的斜率公式
y −y
， ，k = 2 1
A(x ,y ) B(x ,y ) AB x −x
1 1 2 2 2 1
6.直线的斜截式方程
y=kx+b 其中k为斜率，b为y轴上的截距
，
7.直线的点斜式方程
已知点P(x ,y )，直线的斜率k，则直线方程为：y−y =k(x−x )
0 0 0 0
8.直线的一般式方程
Ax+By+C=0 (A2 +B2 ≠0)9.两条直线的位置关系
（1）平行的条件
{k =k
l //l ⇔ 1 2
①斜截式方程： l y=k x+b ， l y=k x+b ， 1 2 b ≠b
1: 1 1 2: 2 2 1 2
{A B =A B
l //l ⇔ 1 2 2 1
②一般式方程： l : A x+B y+C =0 ， l : A x+B y+C =0 ， 1 2 A C ≠A C
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1
（2）重合的条件
{k =k
l ,l 重合⇔ 1 2
①斜截式方程： ， ， 1 2
l y=k x+b l y=k x+b b =b
1: 1 1 2: 2 2 1 2
②一般式方程：
{A B =A B
l ,l 重合⇔ 1 2 2 1
， ， 1 2
l : A x+B y+C =0 l : A x+B y+C =0 A C =A C
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1
（3）垂直的条件
①斜截式方程： l y=k x+b ， l y=k x+b ，l ⊥l ⇔k k =−1
1: 1 1 2: 2 2 1 2 1 2
②一般式方程：
l : A x+B y+C =0
，
l : A x+B y+C =0
，
l ⊥l ⇔A A +B B =0
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
10.点到直线的距离公式
|Ax +By +C|
0 0
点 ，直线 ，点到直线的距离为：d=
P(x
0
,y
0
) l: Ax+By+C=0 √A2 +B2
11.两条平行线间的距离公式
|C −C |
1 2
， ，d=
l
1
: Ax+By+C
1
=0 l
2
: Ax+By+C
2
=0 √A2 +B2
12.圆的标准方程
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 ，其中圆心坐标为(a, b)，半径为
r
13.圆的一般方程
x2 +y2 +Dx+Ey+F=0（D2 +E2 −4F>0）
( D) 2 ( E) 2 D2 +E2 −4F
配方可得： x+ + y+ = ，
2 2 4
D E √D2 +E2 −4F
(− ,− ) r=
2 2 ，半径为 2
圆心坐标为14.表示圆的充要条件：
D2 +E2 −4F>0
15.点与圆的位置关系
已知点 P(x ,y )，圆的方程为：(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2
0 0
若(x
0
−a) 2 +(y
0
−b) 2 r2 ，点P在圆外
16.直线与圆的位置关系
l: y=kx+b C：(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2
直线 ，圆
{
Δ>0, 相交
Δ=0, 相切
Δ<0, 相离
代数关系 ，其中Δ为联立方程根的个数，
{
dr，相离
d
几何关系 ，其中 为圆心到直线的距离
17.圆上一点的切线方程
x2 +y2 =r2在p(x , y )处的切线方程为：xx +yy =r2
0 0 0 0
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2在p(x , y )处的切线方程为：(x−x )(x−a)+(y−y )(y−b)=r2
0 0 0 0
18.圆与圆的位置关系
C r C r d
设圆 1的半径为 1，设圆 2的半径为 2，两圆的圆心距为
d>r +r d=r +r d=|r −r |
若 1 2，两圆外离，若 1 2，两圆外切，若 1 2 ，两圆内切
|r −r ||F F |=2c
1 2 1 2
3. 椭圆的标准方程
焦点在x轴上的标准方程？
x2 y2
+ =1 (a>b>0)
a2 b2
椭圆标准方程为：
焦点在y轴上的标准方程？
y2 x2
+ =1 (a>b>0)
a2 b2
椭圆标准方程为：4. 椭圆中a，b，c的基本关系
(a2 =b2 +c2
)
5. 椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
x2 y2 y2 x2
标准方程 + =1 (a>b>0) + =1 (a>b>0)
a2 b2 a2 b2
−a≤x≤a −b≤x≤b
范围
−b≤y≤b −a≤y≤a
A (−a,0) A (a,0) A (0,−b) A (0,b)
1 ， 2 1 ， 2
顶点坐标
B (0,−b) B (0,b) B (−b,0) B (b,0)
1 ， 2 1 ， 2
|A A |=2a |A O|=|A O|=a
长轴
1 2 长轴长， 1 2 长半轴长
|B B |=2b |B O|=|B O|=b
短轴
1 2 短轴长， 1 2 短半轴长
焦点
F (−c,0) F (c,0) F (0,−c) F (0,c)
1 ， 2 1 ， 2
|F F |=2c |F O|=|F O|=c
焦距
1 2 焦距， 1 2 半焦距
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)
c
e= (00,b>0)
a2 b2
标 准 方 程 为 ：
y2 x2
− =1 (a>0,b>0)
a2 b2
标准方程为：
9. 双曲线中a， b ，c的基本关系
(c2 =a2 +b2
)
10.双曲线的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
x2 y2 y2 x2
标准方程 − =1 (a>0,b>0) − =1 (a>0,b>0)
a2 b2 a2 b2
x≤−a或x≥a y≤−a或y≥a
范围
y∈R x∈R
A (−a,0) A (a,0) A (0,−a) A (0,a)
1 ， 2 1 ， 2
顶点坐标
B (0,−b) B (0,b) B (−b,0) B (b,0)
1 ， 2 1 ， 2
实轴 |A A |=2a 实轴长， |A O|=|A O|=a 实半轴长
1 2 1 2|B B |=2b |B O|=|B O|=b
虚轴 虚轴长， 虚半轴长
1 2 1 2
焦点
F (−c,0) F (c,0) F (0,−c) F (0,c)
1 ， 2 1 ， 2
|F F |=2c |F O|=|F O|=c
焦距
1 2 焦距， 1 2 半焦距
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)
b a
渐近线方程 y=± x y=± x
a b
c
e= (e>1)
a
离心率
e2 =
c2
=
a2 +b2
=1+
b2
=1+
(b) 2
⇒e=
√
1+
(b) 2
a2 a2 a2 a a
离心率对双曲线的影 e越大，双曲线开口越阔
响 e越小，双曲线开口越窄
11. 抛物线的定义
p p
F( ,0) x=−
P(x,y) 2 l 2
平面上一动点 到定点 的距离与到定直线 ： 的点的轨迹叫做抛物线
12.图形
13.数学表达式
|PF|=|PP|
1
14.标准方程的推导
p(x,y)
|PF|=|PP|
设 ， 由 定 义 可 知 ： 1
√ p p
∴ (x− ) 2 +y2 =|x+ |
2 2
，等式两边同时平方得：
p p p2 p2
∴(x− ) 2 +y2 =(x+ ) 2 ⇒x2 −px+ +y2 =x2 +px+ ⇒y2 =2px
2 2 4 4
15.抛物线的标准方程及其几何性质
焦点
x x y y
轴正半轴 轴负半轴 轴正半轴 轴负半轴
位置
图形标准
y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py
方程
焦点 p p p p
( ,0) ( ,0) (0, ) (0, )
坐标 2 2 2 2
准线 p p p p
x x y y
方程 2 2 2 2
16.通径
2p ，半通径长：p
通径长：
17.焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）
p
{横轴：|PF|=|x
|+
0 2
焦半径
p
纵轴：|PF|=|y |+
0 2
基础知识背记 17 排列组合与二项式定理
1.分类计数原理（加法原理）
.
2.分步计数原理（乘法原理）
.
3.排列数公式
n！
=
n(n−1)⋯(n−m+1)
=
(n−m)！
.( ， ∈N*，且 )．注:规定
0!=1
.
4.组合数公式
n(n−1)⋯(n−m+1) n！
C
n
m
= =
1×2×⋯×m
=
m！⋅(n−m)！
( ∈N*， ，且 ).
5.排列数与组合数的关系
.
6．单条件排列
以下各条的大前提是从 个元素中取 个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
Am−1
①某（特）元必在某位有 n−1种；
Am −Am−1 =A1 Am−1 =Am +A1 Am−1
②某（特）元不在某位有 n n−1（补集思想） n−1 n−1（着眼位置） n−1 m−1 n−1（着眼
元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
k(k≤m≤n)
AkAm−k
①定位紧贴： 个元在固定位的排列有 k n−k 种.
An−k+1Ak
②浮动紧贴： 个元素的全排列把k个元排在一起的排法有 n−k+1 k种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k、h个（
k≤h+1
），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近
AhAk
的所有排列数有 h h+1种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
An
m+1 =Cn
当
n>m+1
时，无解；当
n≤m+1
时，有
A
n
n m+1
种排法.
Cn
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为 m+n.
7．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的 、 个物件等分给 个人，各得 件，其分配方法数共有
(mn)!
N=Cn ⋅Cn ⋅Cn ⋅⋯⋅Cn ⋅Cn
=
mn mn−n mn−2n 2n n (n!) m
.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的 个物体等分为无记号或无顺序的 堆，其分配方法数共有
·
N=
C
m
n
n
⋅C
m
n
n−n
⋅C
m
n
n−2n
...⋅C
2
n
n
⋅C
n
n
=
(mn)!
m! m!(n!) m
.
(a+b) n =C0an +C1an−1b+C2an−2b2 +⋯+Cran−rbr +⋯+Cnbn
8.二项式定理 n n n n n ;
二项展开式的通项公式
T =Cran−rbr (r=0，1，2⋯，n)
r+1 n .
基础知识背记 18 概率统计
1. 等可能性事件的概率 .
2. 互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
3. 个互斥事件分别发生的概率的和P(A ＋A ＋…＋A )=P(A )＋P(A )＋…＋P(A )．
1 2 n 1 2 n
4. 独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
5. 个独立事件同时发生的概率 P(A · A ·…· A )=P(A )· P(A )·…· P(A )．
1 2 n 1 2 n
6. 次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
7.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1） ;
（2） .
8. 数学期望
9. 数学期望的性质
（1） .（2）若 ～ ,则 .
(3) 若 服从几何分布,且 ，则 .
10. 方差
√Dξ
11. 标准差 = .
12.方差的性质
(1) ；
(2）若 ～ ，则 .
(3) 若 服从几何分布,且 ，则 .
13.方差与期望的关系
.
14.正态分布密度函数
，式中的实数μ，σ （σ >0）是参数，分别表示个体的平均数
与标准差.
15.对于 ，取值小于x的概率
.
P(x 0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB)
P(B∪C|A)＝P(B|A)
类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝
＋P(C|A)
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
17.条件概率的三种求法
定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本
基本事件法
事件数n(AB)，得P(B|A)＝缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求
缩样法
解，它能化繁为简
18.全概率公式
一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)＞0，i＝1，2，…，n，
1 2 n 1 2 n i
则对任意的事件B Ω，BΩ＝B(A＋A＋…＋A)＝BA＋BA＋…＋BA，有P(B)＝
1 2 n 1 2 n
，此公式为全概率公式.
⊆
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包
含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情
况下发生的简单事件的概率的求和问题.
19.贝叶斯公式
一般地,设 是一组两两互斥的事件,有 且 ,则对
任意的事件 有
20.数字样本特征
（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若
为偶数个，中位数为中间两个数的平均数
x +x +⋯⋯+x
¯x= 1 2 n
（3）平均数： n ，反映样本的平均水平
(x −¯x) 2 +(x −¯x) 2 +⋯⋯(x −¯x) 2
s2
=
1 2 n
（4）方差： n
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
s2 越大，样本波动越大，越不稳定；s2
越小，样本波动越小，越稳定；
σ= √s2
（5）标准差： ，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
（6）极差：等于样本的最大值 最小值
−
21.求随机变量X的分布列的步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量 的期望、方差，求 的期望与方差，利用期望和方差的性质（
， ）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布
列的期望和方差公式进行计算，若 ～ ,则 ， .
23. 求解概率最大问题的关键是能够通过 构造出不等关系，结合组合数公式求解结
果
24. 线性回归分析解题方法：
（1）计算 的值；（2）计算回归系数 ；（3）写出回归直线方程 .
n n
∑(x −¯x)(y −¯y) ∑x y −n¯x¯y
i i i i
b^
=
i=1
=
i=1
n n
线性回归直线方程为：
y^=b^ x+a^
∑
i=1
(x
i
−¯x) 2 ∑
i=1
x
i
2
−n¯x2
a^=¯y−b^ ¯x
，
，
其中(¯x,¯y)为样本中心，回归直线必过该点
（4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱）
n n
∑(x −¯x)(y −¯y) ∑ x y −n¯x¯y
i i i i
r= i=1 = i=1
√ n √ n √ n n
∑(x
i
−¯x) 2 ∑(y
i
−¯y) 2 ( ∑ x
2
−n¯x2 )( ∑ y
2
−n¯y2 )
i=1 i=1 i=1 i i=1 i
r>0，正相关；r<0，负相关
|r|≤1,且|r|越接近于1，线性相关性越强；
|r|越接近于0，线性相关性越弱，几乎不存在线性相关性
25.独立性检验解题方法：
（1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性
独立性检验计算公式：
