考点3-5函数与导数应用：恒成立（存在）与不等式求参(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考点 3-5 函数与导数应用：恒成立（存在）与不等式求参 1．（2022·广东·红岭中学期中）若关于 的不等式 ，对 恒成立，则实数 的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 将不等式 ，对 恒成立，转化为 和 ， 恒成立，令 ，利用导数法求其最小值即可. 【详解】 因为不等式 ，对 恒成立， 当 时，显然成立， 当 ， 恒成立， 令 ，则 ， 令 ， 则 在 上成立， 所以 在 上递减， 则 ， 所以 在 上成立， 所以 在 上递减， 所以 ， 所以 ， 故选：A 2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校期中（文））已知 ，若 ，使 ，则实数 的取值范围为（ ） ∃ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 转化为不等式 在 内有解，构造函数 ， ，求出其最小值即可得解. 【详解】 依题意可得不等式 在 内有解，设 ， ， 则 ， 由 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 因为 ， ，所以 ，所以 .故选：A. 3．（2022·浙江·阶段练习）已知函数 ，若 对任意的 恒成立，则 实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据 即可得 ，进而可得 的取值范围 【详解】 在 恒成立. 当 ，记 ， 所以 在 单调递增， ， 故 故 ，所以 ， 故选：C 4.（2022·江苏省扬州市教育局期末）已知 ， ，若对 ， ， 使得 ，则实数 的最小值为_________. 【答案】 【分析】 依题意可知 ，分别求出 及 ，列式即可求解 【详解】 依题意可知 则 ，当 时， ；当 时， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减 所以 在 上单调递增，则 所以 ，所以 ，即 的最小值为 故答案为：5．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知函数 和函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 ________. 【答案】 【分析】 利用导数可求得 在 上的单调性，进而确定 在 上的值域；由正弦型函数值域的求法可 求得 在 上的值域；由能成立问题的求法可确定 ，解不等式组求得结果. 【详解】 当 时， ， 在 上单调递增，又 在 上单调递减， ， ， ； 当 时， ， ， ， 若存在 ，使得 成立，则 ， 即 ，解得： ， 实数 的取值范围为 . 故答案为： . 6．（江西省抚州市七校联考2021-2022学年下学期摸底考试数学（理）试题）已知 ， 则 A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】根据基本不等式可得 ，当且仅当 时取等号，从而可到 ，再构造函数分析 可得 ，从而得到 ，再根据基本不等式取得最值时的关系求解即可 【详解】 由题意得 ，因为 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 ，令 ，则 ，当 ， ， 单调递增； 当 时， 单调递减，所以 ，当且仅当 时取等号，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ． 故选：A 7．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校阶段练习）若存在两个正实数 ， 使等式 成立，其中 是自然对数的底数，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由条件转化为 ，换元 ，令 ，由导数确定函数的值域即可求解. 【详解】 ， 设 且 ，设 ，那么 ， 恒成立， 所以 是单调递减函数， 当 时， ，当 时， ，函数单调递增， 当 ， ，函数单调递减， 所以 在 时，取得最大值， ，即 ，解得： ，故选：D. 8．（2022·四川成都·期末（理））已知函数 ，若 对任意 恒成立， 则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 构造 ，求导分析函数的单调性与最值可得 ，故函数 在R上为 增函数，再根据 在R上恒成立求解即可 【详解】 设 ，则 ． 当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增． ∴ ，故 ． 又∵ 对任意 恒成立，∴函数 在R上为增函数， ∴ 在R上恒成立，∴ 在R上恒成立，即 ， ∴ ，∴实数 的取值范围为 ． 故选：A． 9．（2022·江苏省扬州市教育局期末）已知 ， ，若对 ， ， 使得 ，则实数 的最小值为_________. 【答案】 【分析】 依题意可知 ，分别求出 及 ，列式即可求解 【详解】 依题意可知 则 ，当 时， ；当 时， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减 所以 在 上单调递增，则 所以 ，所以 ，即 的最小值为 故答案为： 10．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知函数 和函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 ________. 【答案】 【分析】 利用导数可求得 在 上的单调性，进而确定 在 上的值域；由正弦型函数值域的求法可 求得 在 上的值域；由能成立问题的求法可确定 ，解不等式组求得结果. 【详解】当 时， ， 在 上单调递增，又 在 上单调递减， ， ， ； 当 时， ， ， ， 若存在 ，使得 成立，则 ， 即 ，解得： ， 实数 的取值范围为 . 故答案为： . 11．（2022·全国·高考真题（理））已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小 值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】 由 分别是函数 的极小值点和极大值点，可得 时， ， 时， ，再分 和 两种情况讨论，方程 的两个根为 ，即 函数 与函数 的图象有两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和 图象变换得到 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】 解： ， 因为 分别是函数 的极小值点和极大值点， 所以函数 在 和 上递减，在 上递增， 所以当 时， ，当 时， ， 若 时，当 时， ，则此时 ，与前面矛盾， 故 不符合题意， 若 时，则方程 的两个根为 ， 即方程 的两个根为 ， 即函数 与函数 的图象有两个不同的交点， ∵ ,∴函数 的图象是单调递减的指数函数， 又∵ ,∴ 的图象由指数函数 向下关于 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横 坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的 倍得到，如图所示：设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ， 则切线的斜率为 ， 故切线方程为 ， 则有 ，解得 ， 则切线的斜率为 ， 因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点， 所以 ，解得 ， 又 ，所以 ， 综上所述， 的范围为 . 12．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数 ，若 的解集中恰有一个 整数，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】 由 且 ，得出 ，构造函数 ，利用导数研究 的单调性，画出 和 的大致图象，由图可知 ，设 为 和 的交点的横 坐标，结合题意可知该整数为1，即 ，当直线 过 和 时，即可求出 求出 的值，从而得出 的取值范围. 【详解】 由题可知， ， ， 由于 的解集中恰有一个整数， 即 ，即 ， 因为 ，所以 的解集中恰有一个整数，令 ，则 ， 当 时， ；当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 画出 和 的大致图象，如图所示： 要使得 ，可知 ， 设 为 和 的交点的横坐标， 而 的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即 ， 当 时，得 ；当 时，得 ， 即 ， ， 当直线 过点 时，得 ， 当直线 过点 时，得 ， 所以 的取值范围为 . 故答案为： 13．（2019·天津·高考真题（理））已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C先判断 时， 在 上恒成立；若 在 上恒成立，转化为 在 上恒成立． 【详解】 ∵ ，即 ， （1）当 时， ， 当 时， ， 故当 时， 在 上恒成立； 若 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 令 ，则 ， 当 函数单增，当 函数单减， 故 ，所以 ．当 时， 在 上恒成立； 综上可知， 的取值范围是 ， 故选C． 14．（江西省上饶市六校2021-2022学年联考数学（文）试题）若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 将所求不等式变形为 ，构造函数 ，分析出函数 在 上 为增函数，可得出 ，利用导数求出函数 的最小值，可得出关于 的不等式，即 可求得实数 的最大值. 【详解】 由已知可得 ， ，由 可得 ， 所以， ， 构造函数 ，其中 ，则 ， 故函数 在 上为增函数，由 可得 ， 所以， ，即 ， 令 ，其中 ，则 . 当 时， ，此时函数 单调递减， 当 时， ，此时函数 单调递增，则 ， ，解得 ，故实数 的最大值为 . 故选：A. 15．（2022·云南师大附中高三阶段练习）若在 上，函数 的图象恒在函数 的图象上方，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先由 时， 求得 ，再结合放缩法证明 时， 对任意实数 恒成立即可.【详解】 由题对任意实数 ， ，即 恒成立，一方面，当 时， ， 令 ，易知 是增函数， ，所以 ，得 ；当 时，则 ， 即 ，于是 对 不成立，与题设矛盾； 另一方面，当 时， ，令 ，则 ， 易得当 时， ， 单减，当 时， ， 单增，则 ，即 ； 令 ， ，当 时， ， 单增，当 时， ， 单减， 则 ，即 ，则 ，则 ，所以当 时， 恒成立. 故选：C． 16．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知函数 ，若存在 ，使得 ，则 的最小值为__________. 【答案】 【分析】 根据分段函数解析式画出函数 的简图，设 ，根据图像确定 的取值范围，将 化 成只含有一个变量 的二次函数，由定区间内二次函数的性质，从而确定 的最小值. 【详解】 当 时， ， ， 当 时， ，当 时， ， 即当 时， 取得极小值为 . 当 时， 为增函数，且 ， 函数 的图像如图： 设 ，由题可知 ，由 得 ，则 ， 则 ， ，所以当 时， 取得最小值为 . 故答案为： . 17．（2022·重庆八中高三阶段练习）当 时，不等式 恒成立，则实数a的取值 范围是_________. 【答案】【分析】 根据题意，分离参数得 ，构造函数 ，求 的最小值即可求出实数a的取 值范围. 【详解】 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ， 设函数 ， ， ， ， 当 时， ， 单调递增， 所以 时， ， 所以，当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以 ， 所以 ， 故答案为： .