文档内容
阶段性检测 2.3（难）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知 ， ，若 ，则实数m的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解不等式可得集合A，根据 可得 在 上恒成立，结合二次函数的单调性即可
求得答案.
【详解】解不等式 ，即 ，
即 ，
又 ， ，
故 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，而 在 上单调递减，
故 ，故 ，
即实数m的取值范围为 ，
故选：B
2．已知a，b均为实数，复数： ，其中i为虚数单位，若 ，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可.
【详解】由题 ，所以 为实数，即 ，
则有 ，解得 ，即a的取值范围为 .
故选：A
3．在 中，点 ， 分别是 ， 边上的中点，线段 ， 交于点D，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：由三角形重心的性质求解；方法二：设 ，根据题意计算可得 ，
再由 共线可求出 的值.
【详解】方法一：可由三角形重心的性质知：
方法二：设 ，则 ，
由 共线可知， ， ，故 ，
故选：C．
4．设 ， ， ，则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用对数的运算法则把 化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性即可求解.
【详解】 ， ， ，
因为 在定义域上是增函数，且 ，故 .
故选：C.
5．已知函数 （ 且 ），若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据条件判断函数 为偶函数，同时 ，再利用单调性即可求出结果.
【详解】因为函数 定义域为 ，且 ，
所以函数 为偶函数，
则 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以 可以转化为 ，
则 ，
所以 ，
故选：B.
6．函数 的图象可能是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用 为奇函数排除 ；利用 时， ，排除C，从而
可求解.
【详解】因为 定义域为 ，
对于AB， ，
所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故 都不正确；
对于C， 时， ，所以 ，
所以 ，故C不正确；
对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合 时， ，故D正确.
故选：D.
7．如图，函数 的图象与坐标轴交于点 ，直线 交 的图
象于点 ， 坐标原点 为 的重心 三条边中线的交点 ，其中 ，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数 的图象与直线的位置关系，利用重心坐标公式可求得 ，再利用周期公式以
及 即可求得 ，代入计算可得 .
【详解】根据题意可知，点 是 的一个对称中心，
又直线 交 的图象于点 ，利用对称性可知 两点关于 点对称；
不妨设 ，
由重心坐标公式可得 ，又 ，即可得 ；
由最小正周期公式可得 ，解得 ，即 ；
将 代入 可得 ，又 ，所以 ；
即 ，
所以 .
故选：C
8．定义在 上的奇函数 的图象连续不断，其导函数为 ，对任意正数 恒有 ，若
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 的奇偶性得到 在 上恒成立，进而得到 在 上单调递减，
由 为奇函数得到 在R上单调递减，从而由单调性解不等式，求出解集.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，
对任意正数 恒有 ，即 ，
故 在 上恒成立，
故 在 恒成立，
故 在 上单调递减，
定义域为R，又 ，故 为奇函数，
所以 在 上单调递减，又 的图象连续不断，
故 在R上单调递减，
变形得到 ，
所以 ，解得 ，解得 .
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9． ，若将 图象向左平移 个单位长度后在 上有且只有两个零点，
则 的取值可以是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件，求出函数 图象平移后所得图象对应的函数解析式，再利用余弦函数零点问题
求出 范围作答.
【详解】依题意，函数 图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为
而 ，当 时， ，若函数 在 上有且只有两个零点，
则 ，解得 ，则选项BD不满足，AC满足.
故选：AC
10．设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】选项A：根据对数运算相关知识即可解决；选项B：根据对数运算相关知识进行适当放缩即可解
决；选项C：根据对数运算相关知识即可解决；选项D：根据对数运算相关知识及基本不等式进行放缩即
可解决；
【详解】选项A： ，A错误．
因为 ， ，所以 ，
选项B：因为 ，
，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】有 ，所以 ，B正确．
选项C： ，C正确．
选项D： ，D正确．
故选：BCD.
11．设复数 （ ）（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．“ ”的充要条件是“ ”
B．若 ，则 的最大值为3
C．若 ， ，则
D．方程 在复数集中有6个解
【答案】ABD
【分析】对于A，由复数与共轭复数的概念即可判定；对于B，由复数的几何意义即可判断；对于C，由
复数的乘方计算即可；对于D，由复数的运算计算即可.
【详解】对于A，若 是实数，则 ，显然 ，
若 ，则 显然 是实数，故A正确；
对于B，由复数的几何意义可知 在复平面中以原点为圆心的单位圆上， 即该圆上一点到
的距离，如图所示，显然最大值为3，故B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，由复数的乘方可知此时
，故C错误；
对于D， ，
若 ，
若 或 ，即 或 或 或 或 或 共六组
解，故D正确.
故选：ABD
12．已知点O在 所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 且 ，则
C．若 ，其中 ，则动点O的轨迹经过 的重心
D．若 ，其中 ，则动点O的轨迹经过 的垂心
【答案】ABC
【分析】根据向量的加减法法则计算。结合三角形的重心、外心、垂心等定义解析并判断.
【详解】选项A:
, 所以 同理 所以O
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】是 的垂心， 故选项A正确；
选项B:
因为 所以 即 所以AO 是
的角平分线，同理 可得，CO 是 的角平分线,
,所以 ，选项B正确；
选项C:
作 于 ，由于
设BC的中点为D，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 所以AO与AD 共线，
则动点O的轨迹经过 的重心,选项C正确；
选项D:
设BC的中点为E，
所以
所以 ，则动点O在中垂线上，即动点O的
轨迹经过 的外心.故选项D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设集合X是实数集R的子集，如果点 满足：对任意 ，都存在 ，使得 ，
称 为集合X的“聚点”．用Z表示整数集，则下列集合：
① ；
② ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】③ ；
④整数集Z，
其中以0为“聚点”的集合有 ．
【答案】①②③
【分析】根据“聚点”的定义可判断定义的集合.
【详解】对于①，对任意的 ，取 ，则 ，
故①是以0为“聚点”的集合.
对于②，对任意的 ，必有 ，
对任意的 ，当 且 时，总有 ，
故②是以0为“聚点”的集合.
对于③，对于任意的 ，当 且 时，总有 ，
故③是以0为“聚点”的集合.
故答案为：①②③.
14．已知函数 过点 作曲线 的切线，则切线的条数为 ．
【答案】2
【分析】分 与 两种情况，设出切点，写出切线方程，把点 代入切线方程，求出相应答案
即可.
【详解】当 时， ，设切点为 ， ，
又
故过 的切线方程为 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】将 代入可得 ,
解得 或4，均大于0，满足要求；
当 时， ，设切点为 ，
又 ，
故过 的切线方程为
将 代入，可得
解得 或4，均大于0，不合要求，舍去．
故答案为：2．
15．在平面直角坐标系中， 、 、 ，当 时.写出
的一个值为 .
【答案】 （满足 或 的其中一值）
【分析】利用平面向量数量的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出 ，求出 的值，即
可得解.
【详解】由题意可得 ， ，
所以， ，同理可得 ，
则
，
所以， 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 或 ，
故答案为： （满足 或 的其中一值）.
16．已知 的内角 对应的边分别是 ，内角 的角平分线交边 于 点，且 .若
，则 面积的最小值是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理及两角和正弦公式可得 ，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.
【详解】∵ ，
∴ ，
即 ，
又 ， ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ ，
由题可知 ， ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，当且仅当 取等号，
所以 ，
即 面积的最小值是 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】17．已知z，ω为复数，（1＋3i）z为纯虚数， ，且|ω|＝ ，求ω.
【答案】ω＝±（7－i）．
【分析】根据已知，利用复数的一般形式、纯虚数的概念、复数的模长公式、复数的四则运算求解.
【详解】设z＝a＋bi（a，b∈R），
则（1＋3i）z＝（1＋3i）（a＋bi）＝a－3b＋（3a＋b）i，
由题意得a－3b＝0，3a≠－b，
因为 ，
又|ω|＝ ，所以 ，解得 ，
将a＝3b代入上式，解得a＝15，b＝5或a＝－15，b＝－5，
故ω＝ ．
18．已知两个不共线的向量 ， ，它们的夹角为 ，且 ， ， 为实数.
(1)若 与 垂直，求 ；
(2)若 ，求 的最小值及对应的 的值.
【答案】(1) ；
(2) ， .
【分析】（1）利用给定的垂直关系，结合数量积的运算律求出 ，再利用平方关系计算作答.
（2）利用数量积的运算律把 表示为 的函数，再由函数求最小值作答.
【详解】（1）因为 ， ， 与 垂直，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 ，又 ，所以 .
（2）因为 ， ， ，则 ，
于是 ，
当且仅当 时取等号，所以 时， 取得最小值 .
19．已知函数 的图象如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)若函数 ，当 时，求 的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图象确定A，利用特殊点确定 ，再利用 结合函数的周期求得 ，即
可求得 的解析式；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）可得 表达式，结合两角和的正弦公式以及二倍角公式化简，并换元结合二次函数的单调
性，即可求得答案.
【详解】（1）由图知： ，则 ，
又 ，故 ，又 ，∴ ，
，可得 ，
∴ ，又 ，则 ，
∴当 时， ，
综上： .
（2）由题设， ，
又 ，
令 ，
∴ ， 则 ，则 ，
∴ 且 ，
又 在 上递增，
则函数在 上递增，
∴ .
20．已知函数 是偶函数．
(1)求实数 的值；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)设函数 ，若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义运算求解；
（2）根据题意可得方程 只有一个根，令 ，可知方程
只有一个正根，分类讨论，结合二次方程的根或二次函数的零点运算求解.
【详解】（1）若函数 是偶函数，则 ，
即 ，可得 ，整理得 ，
因为 不恒为0，可得 ，解得 .
（2）由（1）可知： ，
若函数 只有一个零点，
等价于方程 只有一个根，
等价于方程 只有一个根，整理得 ，
令 ，等价于方程 只有一个正根，
当 ，即 时，则方程 的解为 ，不合题意；
当 ，即 时，则 ，
可知方程 有两个不相等的实数根，设为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且 ，所以方程 有一个正根和一个负根，符合题意；
当 ，即 时，令 ，可知开口向下，且 ，
若 只有一个正零点，则 ，解得 ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
21．记钝角 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简整理得到 ，结合 求出 ，从而得到 ；
（2）由（1）知 ，分 与 两种情况，利用正弦定理得到
，由基本不等式求出最小值.
【详解】（1）由已知得， ，
即 ，
即 ，
即 ．
若 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，故 ．
从而 ．
（2）由 得 ，
若 ，则 ，即 ，与 为钝角三角形矛盾．
因此 ，得 ，故 ．
所以
．
当且仅当 时， 的最小值为 ．
22．已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）求得函数定义域为 ， ，通过分类讨论即可得到答案；
（2）首先得到 的范围，将原式转化为 对 恒成立，
即 对 恒成立，通过导数研究函数最值即可得到答案.
【详解】（1） 定义域为 ， ，
①当 时，令 ，得 ，此时 单调递增，
令 ，得 ，此时 单调递减；
②当 时，令 ，得 ，此时 单调递增，
令 ，得 ，此时 单调递减；
综上所述，当 时， 在 单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减.
（2）记 ，
由（1）知，当 时， ，
则 ，则 ，
当 时， 恒成立，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
则 ，即 对 恒成立，
令 ， 对 恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 在 单调递增，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：本题考查导数的同构问题.要善于通过转化的方法，将原式的形式统一，进而进行换元，
进而将恒成立问题转化为求函数的最值问题，结合导数与函数关系求得答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
