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考点 23 导数的应用
【命题解读】
从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是
导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、
恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将
导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活
应用数学知识分析问题、解决问题的能力
【基础知识回顾】
1、逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等
式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．
(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．
(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋
1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1)．
2、一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x) ；若af(x)成立，则只需a>f(x) ；若存在x∈D，使a1) y＝logx(a>1) y＝xn(n>0)
a在(0，＋∞)上的增减
单调递增 单调递增 单调递增
性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现 随x的增大逐渐表现 随n值变化而各有不
图像的变化
为与y轴平行 为与x轴平行 同
存在一个x，当x>x
值的比较 0 0
时，有logx1－x恒成立
B．对∀x∈(0，＋∞)，不等式ln(x＋1)恒成立3、已知 ，若函数 恰有4个不同的零点，
则实数 的取值范围为
3、 将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S＝，则S的
最小值是________．
4、(2018苏州期末）已知直线y＝a分别与直线y＝2x－2和曲线y＝2ex＋x相交于点A，B，则线段AB长
度的最小值为________．
考向一 利用都是证明不等式
例1、已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)证明：当 时， .
变式1、已知函数 ，
（1）当 时，证明： ；
（2）已知 ，证明：
变式2、(2019苏州暑假测试）已知函数f(x)＝x－1－alnx(其中a为参数)．(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 若对任意x∈(0，＋∞)都有f(x)≥0成立，求实数a的取值集合；
(3) 证明：n0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
5、（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有2个零点．6、（2020全国Ⅲ理21）设 ，曲线 在点 处的切线与 轴垂
y
直．
b
（1）求 ；
（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 的所有零点的绝对值都不大于1．
