文档文本内容
考点 23 导数的应用
【命题解读】
从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是
导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、
恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将
导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活
应用数学知识分析问题、解决问题的能力
【基础知识回顾】
1、逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等
式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．
(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．
(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋
1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1)．
2、一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x) ；若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x) .若存在
max min
x∈D，使a>f(x)成立，则只需a>f(x) ；若存在x∈D，使a<f(x)成立，则只需a<f(x) .由此构造不等式，
0 0 min 0 0 0 max
求解参数的取值范围．
分类讨论法：常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定
分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过
导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数．
提示：求解参数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直
接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大．
[判断、证明或讨论函数零点个数的方法] 利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连
续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明
f(a)·f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在
性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.
3 、数学模型及数学建模
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得
出的关于实际问题的数学描述．
数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方
法．
4、 常见的函数模型①一次函数；②二次函数；③指(对)数函数、幂函数．
三种增长型函数模型的性质
函数
性质 y＝ax(a>1) y＝logx(a>1) y＝xn(n>0)
a在(0，＋∞)上的增减
单调递增 单调递增 单调递增
性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现 随x的增大逐渐表现 随n值变化而各有不
图像的变化
为与y轴平行 为与x轴平行 同
存在一个x，当x>x
值的比较 0 0
时，有logx<xn<ax
a
解函数应用题的步骤
第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，
在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助
变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他
相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模
型．
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．
1、有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样
的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，若围墙厚度不计，则围成的矩形最大面积为( )
第2题图
A. 2 500 m2 B. 2 750 m2
C. 3 000 m2 D. 3 500 m2
2、已知不等式ex≥x＋1对∀x∈R恒成立．以下命题中真命题是( )
A．对∀x∈R，不等式e－x>1－x恒成立
B．对∀x∈(0，＋∞)，不等式ln(x＋1)<x恒成立
C．对∀x∈(0，＋∞)，且x≠1，不等式ln x<x－1恒成立
D．对∀x∈(0，＋∞)，且x≠1，不等式＋>恒成立3、已知 ，若函数 恰有4个不同的零点，
则实数 的取值范围为
3、 将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S＝，则S的
最小值是________．
4、(2018苏州期末）已知直线y＝a分别与直线y＝2x－2和曲线y＝2ex＋x相交于点A，B，则线段AB长
度的最小值为________．
考向一 利用都是证明不等式
例1、已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)证明：当 时， .
变式1、已知函数 ，
（1）当 时，证明： ；
（2）已知 ，证明：
变式2、(2019苏州暑假测试）已知函数f(x)＝x－1－alnx(其中a为参数)．(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 若对任意x∈(0，＋∞)都有f(x)≥0成立，求实数a的取值集合；
(3) 证明：n<e<n＋1(其中n∈N*，e为自然对数的底数)．
方法总结：：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相
关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)
＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩
构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞
0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、
取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造
双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获
得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．
考向二 利用图象研究函数零点
例2、若 ，则函数 的零点个数为（ ）。
A、 1 B、 2 C、 3 D、 4
变式1、已知函数二次函数 的最小值为 ，并且不等式 的解集为 ，
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 的零点个数，并证明你的结论．
变式2、已知函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 仅有2个零点，求实数 的取值范围．方法总结：利用图象研究函数零点个数时的注意点：
1、对于（选择题、填空题中的）零点个数问题，我们的处理思路是：将函数零点个数转化为图象交点个
数。那么正确画出草图就是前提。画草图时，要注意（1）通常先要用导数研究单调性、极值。（2）渐近
线（实际上是极限问题），有渐近线的常见函数例如：反比例函数、指数函数、对数函数等
2、对于（选择题、填空题中的）零点个数问题，我们的处理思路是：将函数零点个数转化为图象交点个
数，那么研究哪两个函数呢？
（1）尽量转化为我们熟悉的基本函数（已经知道图象）
（2）能分参的通过分参让其中的一个函数是常数函数
（3）不方便分参的,尽量将参数放在熟悉的基本函数上
考向三 利用导数研究恒成立问题
例3、若对任意 ,都有 恒成立,求实数
f(x)的取值范围.
变式1、(2018无锡期末）已知函数f(x)＝ex(3x－2)，g(x)＝a(x－2)，其中a，x∈R.
(1) 求过点(2，0)和函数y＝f(x)图像相切的直线方程；
(2) 若对任意x∈R，有f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围；
(3) 若存在唯一的整数x，使得f(x)<g(x)，求a的取值范围．
0 0 0变式2、设函数 ，若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
方法总结：分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路与关键
(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路
用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下，可以根据不等
式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的
最值就可以解决问题．
(2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”
考向四 运用导数解决实际问题
例4、(2019南京、盐城一模）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，
对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了
一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)
＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6.
(1) 求实数m的值；
(2) 求近期每天时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln6＝1.8)
变式1、(12分)如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直
角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包
装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
变式2、一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前
后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面
ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2
倍．设∠FMH＝θ.
(1) 求屋顶面积S关于θ的函数关系式；
(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正
比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？
,②)
(1)先通过线面垂直得到FH⊥HM，放在Rt△FHM中，求出FM，根据三角形的面积公式求出△FBC的面
积，根据已知条件就可以得到所求S关于θ的函数关系式．
(2)先求出主体高度，进而建立出别墅总造价y关于θ的函数关系式，再通过导数法求函数的最小值．
方法总结：构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言
转化成数学语言，建立适当的函数模型，然后再根据函数模型的类型和特征，结合对函数的图像和性质的
研究获得结果．求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．1
f x x2 alnx 0,2
1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知 2 在区间 上有极值点，实数a的
取值范围是（ ）
0,2 2,0
0,2 0,4 4,0
0,4
A． B． C． D．
f(x)=¿ { x 2 −2ax +2a,x≤1¿¿¿¿
2、（2019天津理8）已知 ，设函数 ，若关于 的不等式 在
f(x)=¿{x2−2ax+2a,x≤1¿¿¿¿
f(x)≥0
f (x)≥0
上恒成立，则 的取值范围为
A． B． C． D．
3、（2014辽宁）当 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4 、 （ 2019 年 高 考 浙 江 ） 已 知 ， 函 数 ． 若 函 数
恰有3个零点，则
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
5、（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有2个零点．6、（2020全国Ⅲ理21）设 ，曲线 在点 处的切线与 轴垂
y
直．
b
（1）求 ；
（2）若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 的所有零点的绝对值都不大于1．
