文档文本内容
第 24 讲 卫星变轨问题 双星模型
目录
复习目标
网络构建
考点一 卫星的变轨问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 两类变轨的起因
知识点2 变轨前后各运行物理参量的比较
【提升·必考题型归纳】
考向 变轨前后各运行物理参量的比较
考点二 天体追及相遇问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 天体追及相遇问题基本规律
【提升·必考题型归纳】
考向 天体追及相遇问题基本规律的应用
考点三 双星和多星问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 双星模型
知识点2 多星模型
【提升·必考题型归纳】
考向1 双星模型
考向2 多星模型
真题感悟
1、掌握卫星变轨问题和追及相遇问题的基本规律。
2、掌握双星模型和多星模型的基本规律。
1 / 9
学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司考点要求 考题统计 考情分析
高考对这不内容的考查比较频繁，多
（1）卫星变轨问题 2023年湖北卷第2题
以选择题的形式出现，题目的背景材
（2）天体的追及相遇问题 2022年浙江卷第8题
料多为我国在航天领域取得的成就，
（3）双星模型和多星模型 2021年天津卷第5题
比如神州飞船、天宫轨道舱等。
1.两类变轨的起因
卫星变轨问题
2.变轨前后各运行物理参量的比较
天体追及相遇问题 天体追及相遇问题基本规律
卫星变轨问题 双
星模型
双星模型
双星和多星模型
多星模型
考点一 卫星的变轨问题
2 / 9
学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司知识点1 两类变轨的起因
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
万有引力与 Mm v2 Mm v2
向心力的 G <m G >m
r2 r r2 r
大小关系
知识点2 变轨前后各运行物理参量的比较
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 、v ，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为
1 3
v 、v 。在A点加速，则v >v，在B点加速，则v>v ，又因v>v，故有v >v>v>v 。
A B A 1 3 B 1 3 A 1 3 B
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过 A点，卫星的
加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为 T 、T 、T ，轨道半径分别为r 、r(半长轴)、
1 2 3 1 2
r，由开普勒第三定律＝k可知T<T<T。
3 1 2 3
（4）机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为 E 、
1
E、E，则E<E<E。
2 3 1 2 3
①在A点，由圆周Ⅰ变至椭圆Ⅱ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；
②在B点，由椭圆Ⅱ变至圆周Ⅲ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；
反之也有相应的规律。
考向 变轨前后各运行物理参量的比较
1．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，对接过程如图所示，天和核心舱处于
半径为 的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为 的圆轨道Ⅰ，当经过 点时，通过变轨操作后，沿椭
圆轨道Ⅱ运动到 处与核心舱对接，则神舟十二号飞船（ ）
3 / 9
学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司A．沿轨道Ⅰ运行的速度小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的速度
B．在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅱ上运行的周期
C．神舟十二号飞船在飞向核心舱的过程中，引力势能增大，动能减小，机械能守恒
D．在轨道Ⅰ上运动经过 点的加速度小于在轨道Ⅱ上运动经过 点的加速度
2．2021年5月15日，我国“天问一号”探测器成功在火星表面着陆。若某探测器登陆火星前先后沿图示
圆轨道I、椭圆轨道II、圆轨道II运行，B为轨道II的近火点。假设探测器的质量不变，则探测器（ ）
A．在轨道I上运行的周期大于在轨道II上运行的周期
B．在轨道II上运行的向心加速度小于在轨道I上运行的向心加速度
C．在轨道II上的动能总是大于在轨道III上的动能
D．由轨道II变轨到轨道III时在B处需要点火减速
考点二 天体追及相遇问题
知识点 天体追及相遇问题基本规律
绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时
相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。
相距 当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动
最远 关系应满足(ω －ω )t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)
A B
4 / 9
学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司相距 两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关
最近 系上，两卫星运动关系应满足(ω －ω )t＝2nπ(n＝1,2,3，…)
A B
考向 天体追及相遇问题基本规律的应用
1．我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步
轨道卫星共30颗卫星组成。如图所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，
绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为 ，卫星B的运行周期为 ，图示时刻，卫星A与
卫星B相距最近。下列说法正确的是（ ）
A．卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为
B．卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星A
C．经过时间 ，卫星A与卫星B又一次相距最近
D．卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度
2．地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向如图所示。已知卫星一运行的周期为
，地球的半径为 ，卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为 ， ，引力常量为G，
某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为 ，下列说法正确的是（ ）
A．卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能
B．地球的质量
5 / 9
学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司C．卫星二围绕地球做圆周运动的周期
D．从图示时刻开始，经过 时间两卫星第一次相距最近
考点三 双星和多星问题
知识点1 双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝mω2r，＝mω2r
1 1 1 2 2 2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T＝T，ω＝ω。
1 2 1 2
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r＋r＝L。
1 2
知识点2 多星模型
(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或
周期相同。
(2)三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲
所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。
6 / 9
学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运
动(如图丙所示)。
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做
匀速圆周运动(如图丁所示)。
考向1 双星模型
1．如图1所示，河外星系中两黑洞A、B的质量分别为 和 ，它们以两者连线上的某一点O为圆心
做匀速圆周运动。为研究方便，简化为如图2所示的示意图，黑洞A、B均可看成球体， 。下列
说法正确的是（ ）
A．黑洞A的运行线速度大小小于黑洞B的运行线速度大小
B．若两黑洞间的距离一定，把黑洞B上的物质移到黑洞A上，他们之间的引力变大
C．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A上的物质移到黑洞B上，他们运行的周期变大
D．人类要把宇航器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度一定大于第三宇宙速度
2．中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92
第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运
动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C
之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（ ）
A．A、B的轨道半径之比为 B．C的质量为
C．B的质量为 D．A的质量为
7 / 9
学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司考向2 多星模型
3．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相
同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中
央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的
圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中
标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线形三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线形三星系统中星体做圆周运动的周期为
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
4．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它
们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这
四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．星体做匀速圆周运动的轨道半径为
B．若实验观测得到星体的半径为R，则星体表面的重力加速度为
C．星体做匀速圆周运动的周期为
D．每个星体做匀速圆周运动的向心力大小为
8 / 9
学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司1．（2023年湖北高考真题）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直
线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地
球的公转轨道半径之比约为 ，如图所示。根据以上信息可以得出（ ）
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
2．（2022年福建高考真题）2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地 近圆轨道上的
天宫空间站。为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施。已知质量为m的物体
从距地心r处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为 ，式中M为地球质量，G为引力常量；现将
空间站的质量记为 ，变轨前后稳定运行的轨道半径分别记为 、 ，如图所示。空间站紧急避碰过程发
动机做的功至少为（ ）
A． B．
C． D．
9 / 9
学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司
