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第 3 课时 专题强化：卫星变轨问题 双星模型
目标要求 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。
3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
考点一 卫星的变轨和对接问题
1．卫星发射模型
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上
做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进入
椭圆轨道Ⅱ。
(3)在椭圆轨道B点(远地点)，G>m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道
Ⅲ。
思考 若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？
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2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 、v ，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B
1 3
点时速率分别为v 、v ，四个速度关系为v >v>v>v 。
A B A 1 3 B
(2)向心加速度
在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系a ________a ，在B点，轨道Ⅱ上和轨
ⅠA ⅡA
道Ⅲ上的向心加速度关系a ________a ，A、B两点向心加速度关系a ________a 。(均选
ⅡB ⅢB A B
填“>”“＝”或“<”)
(3)周期
卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T、T、T 的关系为T<T<T。
1 2 3 1 2 3
(4)机械能
在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能______。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 、
1
E 、E ，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为
2 3
____________。
例1 (2024·黑龙江哈尔滨市第九中学月考)在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ
变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆轨道Ⅰ上运行的加速度大小为g，
地球半径为R，卫星在变轨过程中质量不变，则( )
A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为()2g
B．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为
C．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
D．卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能
例2 北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现
径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约 6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间
站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接
前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位
置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是( )
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
考点二 双星或多星模型
1．双星模型
(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝mω2r，＝mω2r。
1 1 1 2 2 2
②两星的周期、角速度相同，即T＝T，ω＝ω。
1 2 1 2
③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r＋r＝L。
1 2
思考 (1)若两星运行的线速度大小分别为v 、v ，加速度大小分别为a 、a ，质量分别为
1 2 1 2m、m，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？
1 2
(2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m＋m)的关系怎样？
1 2
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例3 (2024·河北石家庄市调研)夜空中我们观测到的亮点，其实大部分并不是单一的恒星，
而是多星系统。在多星系统中，双星系统又是最常见的，图甲为绕连线上的某点做周期相同
的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统，其抽象示意图如图乙所示，若两中子星的质
量之比m ∶m ＝k∶1。则( )
P Q
A．根据图乙可以判断出k>1
B．若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定
C．P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比
D．仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度
或周期相同。常见的多星模型及其规律：
①＋＝ma
向
常见的三
星模型
②×cos 30°×2＝ma
向
①×cos 45°×2＋＝ma
向
常见的四
星模型
②×cos 30°×2＋＝ma
向
例4 (2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组
成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R的轨道上运行，如图甲所
示，周期为T；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形
1
的外接圆运行，如图乙所示，周期为T。若每颗星的质量都相同，则T∶T 为( )
2 1 2
A. B.
C. D.
考点三 星球“瓦解”问题 黑洞问题
1．星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会
“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰
好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝。当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。
2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞
运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)
超过光速时，该天体就是黑洞。
例5 2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，
其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 6.67×
10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
例6 科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该
天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一
宇宙速度)为v，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
1
A. B.
C. D.
