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第 3 课时 专题强化：卫星变轨问题 双星模型
目标要求 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。
3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
考点一 卫星的变轨和对接问题
1．卫星发射模型
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上
做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，Gm，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道
Ⅲ。
思考 若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？
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2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 、v ，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B
1 3
点时速率分别为v 、v ，四个速度关系为v >v>v>v 。
A B A 1 3 B
(2)向心加速度
在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系a ________a ，在B点，轨道Ⅱ上和轨
ⅠA ⅡA
道Ⅲ上的向心加速度关系a ________a ，A、B两点向心加速度关系a ________a 。(均选
ⅡB ⅢB A B
填“>”“＝”或“<”)
(3)周期
卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T、T、T 的关系为T1
B．若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定
C．P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比
D．仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度
或周期相同。常见的多星模型及其规律：
①＋＝ma
向
常见的三
星模型
②×cos 30°×2＝ma
向
①×cos 45°×2＋＝ma
向
常见的四
星模型
②×cos 30°×2＋＝ma
向
例4 (2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组
成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R的轨道上运行，如图甲所
示，周期为T；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形
1
的外接圆运行，如图乙所示，周期为T。若每颗星的质量都相同，则T∶T 为( )
2 1 2
A. B.
C. D.
考点三 星球“瓦解”问题 黑洞问题
1．星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会
“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰
好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝。当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。
2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞
运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)
超过光速时，该天体就是黑洞。
例5 2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，
其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 6.67×
10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
例6 科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该
天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一
宇宙速度)为v，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
1
A. B.
C. D.
