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专题强化八 卫星变轨问题 双星模型
目标要求 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题.2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题．
题型一 卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图1所示．
图1
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周
运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 、v ，在轨道Ⅱ上过A点和B点
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时速率分别为 v 、v .在A点加速，则 v >v ，在B点加速，则 v>v ，又因v>v ，故有
A B A 1 3 B 1 3
v >v>v>v .
A 1 3 B
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A
点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 、T 、T ，轨道半径分别为r 、
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r(半长轴)、r，由开普勒第三定律＝k可知TvⅢQ ，D错误．
例2 宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动．若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追
上空间站，可采取的方法是( )
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接
D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
答案 B
解析 飞船在轨道上正常运行时，有 G＝m.当飞船直接加速时，所需向心力 m增大，则
GR ，所以A的质量一定小于B的质量，故A错误；根据线速度与角速度的关系有：
A B
v ＝ωR 、v ＝ωR ，因为角速度相等，轨道半径R >R ，所以A的线速度大于B的线速度，
A A B B A B
故B正确；又因为T＝，联立可得T＝2π，所以L一定，M越大，T越小；M一定，L越大，
T越大，故C错误，D正确．
5.如图4是一次卫星发射过程，先将卫星发射进入绕地球的较低圆形轨道Ⅰ，然后在a点使
卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ，再在椭圆轨道的远地点b使卫星进入同步轨道Ⅲ，则下列
说法正确的是( )
图4
A．卫星在轨道Ⅰ的速率小于卫星在轨道Ⅲ的速率
B．卫星在轨道Ⅰ的周期大于卫星在轨道Ⅲ的周期
C．卫星运动到轨道Ⅰ的a点时，需减速才可进入轨道Ⅱ
D．卫星运动到轨道Ⅱ的b点时，需加速才可进入轨道Ⅲ
答案 D
解析 卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上都做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得G＝m，
得v＝，故轨道半径越大，线速度越小，A错误；由G＝mr，得T＝2π，故轨道半径越大，
周期越长，B错误；卫星从低轨道变轨到高轨道需要加速，C错误，D正确．
6．银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体 S 和S 构成，两星在
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相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其
运动周期为T，S 到C点的距离为r ，S 和S 的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S
1 1 1 2 2的质量为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 取S 为研究对象，S 做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：G＝m()2r ，得：m ＝，
1 1 1 1 2
故D正确．
7.(2020·浙江Z20联盟第三次联考)牛顿设想：把物体从高山上水平抛出，抛出速度足够大
时，物体就不会落回地面，成为人造地球卫星．图5中Ⅰ、Ⅱ 分别是两颗卫星绕地球运行
的轨道，A、B分别是轨道上的两个点．下列关于两颗卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行的描述正确
的是( )
图5
A．轨道Ⅰ上卫星比轨道Ⅱ的发射速度更大
B．轨道Ⅰ上卫星比轨道Ⅱ的绕行周期更大
C．卫星在A点的加速度比B点更大
D．卫星在A点所受的万有引力比B点更大
答案 C
解析 卫星发射到轨道Ⅱ上比发射到轨道Ⅰ上需要的能量大，故轨道Ⅱ上卫星比轨道Ⅰ的
发射速度更大，故A错误；根据开普勒第三定律可知，＝k，轨道Ⅰ的半长轴(半径)小，则
绕行周期小，故B错误；根据牛顿第二定律可知＝ma，解得加速度a＝，卫星在A点的轨
道半径r小，则加速度大，故C正确；由于两颗卫星的质量未知，则无法确定所受的万有
引力大小，故D错误．
8．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做
周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期
均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两
星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(
)
A.T B.T C.T D.T
答案 B解析 设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星
距离为r.双星间的万有引力提供向心力，对质量为m的恒星：G＝m()2·r，对质量为M的恒
星：G＝M()2(L－r)，得G＝·L，即T2＝；则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′
＝T，选项B正确．
9.(多选)(2020·福建龙岩市检测)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当
一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程
中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞
噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的
双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图 6所示．在刚开始吞
噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )
图6
A．它们的万有引力大小变大
B．它们的万有引力大小不变
C．恒星做圆周运动的轨道半径将变大，线速度也变大
D．恒星做圆周运动的轨道半径将变小，线速度也变小
答案 AC
解析 质量较大的M 和质量较小的M 之间的万有引力F＝G，结合数学知识可知M ＝M
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时，MM 有最大值，根据题意，质量较小的黑洞M 吞噬质量较大的恒星M ，所以万有引
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力变大，A正确，B错误；对于两天体，万有引力提供向心力，有G＝MR，G＝MR，解
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得两天体质量的表达式M ＝R ，M ＝R ，两天体总质量的表达式M ＋M ＝(R ＋R)＝，两
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天体的总质量不变，天体之间的距离L不变，所以天体运动的周期T不变，较小质量的黑
洞M 质量增大，所以恒星做圆周运动的半径R 增大，根据v＝可知恒星的线速度增大，C
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正确，D错误．
10.(2020·浙江宁波市二模)一着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹变化如图7所示，着陆
器先在轨道Ⅰ上运动，经过P点启动变轨发动机然后切换到圆轨道Ⅱ上运动，经过一段时
间后，再次经过P点时启动变轨发动机切换到椭圆轨道Ⅲ上运动．轨道上的P、Q、S三点
与火星中心位于同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且PQ＝
2QS＝2l.除了变轨瞬间，着陆器在轨道上运行时均处于无动力航行状态．着陆器在轨道Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ上经过P点的速度分别为v、v、v，下列说法正确的是( )
1 2 3图7
A．v
