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专题强化八 卫星运动的三类问题
【复习目标】
1.会分析卫星的变轨过程及各物理量的变化。 2.掌握双星或多星模型的特点。 3.会分析卫星的追
及与相遇问题。
考点一 卫星的变轨和对接问题
【知识梳理】
1.变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆
周运动，有G
Mm
r1
2 ＝mv
2
r1
，如图所示。
(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G
Mm
r1
2 <mv A
2
r1
，即万有引力不足以
提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2.对接
航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是
卫星的变轨运行问题。
3.变轨过程各物理量比较
速度关系
在A 点加速:vⅡA>vⅠ，在B 点加速:vⅢ>vⅡB，即
vⅡA>vⅠ>vⅢ>vⅡB
加速度
关系
aⅡA＝aⅠ>aⅢ＝aⅡB
周期关系
TⅠ<TⅡ<TⅢ
机械能
EⅠ<EⅡ<EⅢ
【典例剖析】
1
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例1 (2024·湖北卷，4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆
周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P 点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射
气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴
大于原轨道半径。则( )
A.空间站变轨前、后在P 点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P 点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
答案 A
解析 变轨前、后，根据a＝GM
r
2 可知，空间站在P 点的加速度相同，A 正确;由于变轨后的轨道
半长轴大于变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律r
3
T
2＝k 可知，空间站变轨后的运动周期比
变轨前的大，B 错误;变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后在P 点的速度比变轨前的大，C 错误;
变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于变轨后在P 点的速度，结合C 项分析可知，变轨后空
间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D 错误。
【即时训练】
1.(2025·八省联考山陕青宁卷，2)神舟十九号载人飞船与中国空间站在2024 年10 月顺利实现第五
次“太空会师”，飞船太空舱与空间站对接成为整体，对接后的空间站整体仍在原轨道稳定运行，
则对接后的空间站整体相对于对接前的空间站( )
A.所受地球的万有引力变大
B.在轨飞行速度变大
C.在轨飞行周期变大
D.在轨飞行加速度变大
答案 A
2
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解析 对接后，空间站的质量变大，轨道半径不变，根据万有引力表达式F＝G Mm
r
2 可知空间站所
受地球的万有引力变大，故A 正确;根据万有引力提供向心力G Mm
r
2 ＝ma＝mv
2
r ＝m4 π
2
T
2 r，可得a
＝GM
r
2 ，v＝√
GM
r ，T＝2π√
r
3
GM ，轨道半径不变，则在轨飞行速度不变，在轨飞行周期不变，在
轨飞行加速度不变，故B、C、D 错误。
考点二 双星或多星模型
【知识梳理】
1.双星模型
(1)定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
G m1m2
L
2
＝m1ω1
2r1，
G m1m2
L
2
＝m2ω2
2r2。
②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即
m1
m2
＝r2
r1
。
⑤双星的运动周期T＝2π√
L
3
G(m1＋m2)。
⑥双星的总质量m1＋m2＝4 π
2 L
3
T
2G 。
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周
期相同。常见的多星及规律如下:
常见的三
星模型
G m
2
(2 R)
2 ＋GMm
R
2 ＝ma 向
3
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Gm
2
L
2 ×cos 30°×2＝ma 向
常见的四
星模型
G m
2
L
2 ×cos 45°×2＋G m
2
(√2 L)
2＝ma 向
G m
2
L
2 ×cos 30°×2＋
GmM
(
L
√3)
2＝ma 向
【典例剖析】
例2 (2024·重庆卷，7)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，
假设a、b 两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c 质量为m(m≪M)，
若c 处于a、b 连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c 可视为绕O 点做角速度相同的匀速圆周
运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量为G。则( )
A.c 的线速度大小为a 的√3倍
B.c 的向心加速度大小为b 的一半
C.c 在一个周期内的路程为2πr
D.c 的角速度大小为√
GM
8r
3
答案 A
解析 由于m≪M，则对a 天体有G MM
(2r )
2＝Mω2r，解得ω＝√
GM
4 r
3 ，因a、b、c 三个天体角速度相
同，故D 错误;如图所示，设a、c 连线与a、b 连线中垂线的夹角为α，对c 天体有2G
Mm
(
r
sin α )
2cos
α＝mω2
r
tan α ，解得α＝30°，则c 的轨道半径为rc＝
r
tan30° ＝√3r，由v＝ωr 可知c 的线速度大小
为a 的√3倍，故A 正确;由a＝ω2r 可知c 的向心加速度大小是b 的√3倍，故B 错误;c 在一个周期内
运动的路程为s＝2πrc＝2√3πr，故C 错误。
4
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【即时训练】
2.(多选)(2024·江西上饶模拟)如图所示，在宇宙中，由两颗互相绕行的中央恒星被气体和尘埃盘包
围，且该盘与中央恒星的轨道成一定角度，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果，假设该系统中两恒
星甲、乙的质量分别为m1、m2，两恒星的周期相同，引力常量为G。忽略星体的自转且星体的半
径远小于两恒星之间的距离，且两恒星始终保持恒定距离s0，不考虑气体和尘埃盘对双星的引力
作用，则下列说法正确的是( )
A.恒星甲、乙的加速度大小之比为m2∶m1
B.两恒星的周期为2π√
s0
G(m1＋m2)
C.恒星甲、乙的轨道半径之比为m2∶m1
D.若恒星甲的一部分被恒星乙吸收，则两恒星的周期减小
答案 AC
解析 设恒星甲、乙的轨道半径分别为r1、r2，根据万有引力提供向心力，有G
m1m2
(r1＋r2)
2＝m1a1＝
m2a2，解得a1∶a2＝m2∶m1，故A 正确;由G
m1m2
(r1＋r2)
2＝m1ω2r1＝m2ω2r2，且r1＋r2＝s0，ω＝2π
T ，解
得T＝2πs0√
s0
G(m1＋m2)，r1∶r2＝m2∶m1，故B 错误，C 正确;由题意可知s0和(m1＋m2)均保持不变，
则两恒星的环绕周期T＝2πs0√
s0
G(m1＋m2)保持不变，故D 错误。
考点三 天体中的追及相遇问题
【知识梳理】
1.相距最近:
5
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甲
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，行星、地球与太阳
三者共线且行星和地球的运转方向相同(如图甲)，此时刻行星与地球相距最近。
从初始时刻到之后再次“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有以下两种解决方法。
(1)角度关系
ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…)
(2)圈数关系
t
T 1
－t
T 2＝n(n＝1，2，3，…)
解得t＝
nT 1T 2
T 2−T 1
(n＝1，2，3，…)
2.相距最远:行星处在地球和太阳连线的延长线上(如图乙)，三者共线，运转方向相同，有关系式
ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)或t
T 1
－t
T 2
＝2n−1
2
(n＝1，2，3，…)。
【典例剖析】
例3 (2025·山东济宁一模)司马迁最早把岁星命名为木星，如图甲所示，两卫星a、b 环绕木星在同
一平面内做匀速圆周运动，绕行方向相反，卫星c 绕木星做椭圆运动，某时刻开始计时，卫星a、
b 间距离x 随时间t 变化的关系图像如图乙所示，其中R、T 为已知量，下列说法正确的是( )
A.卫星c 在N 点的速度大于卫星a 的速度
B.卫星a、b 的运动周期之比为1∶4
6
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C.卫星a 的运动周期为9
4T
D.卫星a 的加速度大小为64 π
2 R
49T
2
答案 C
解析 根据万有引力提供向心力G Mm
r
2 ＝mv
2
r ，可得v＝√
GM
r ，可知卫星a 的速度大于卫星b 的速
度，卫星c 在N 点做近心运动，所以卫星c 在N 点的速度小于卫星b 的速度，则卫星c 在N 点的
速度小于卫星a 的速度，故A 错误;根据图乙可知卫星a、b 最远距离为5R，最近距离为3R，则rb
－ra＝3R，rb＋ra＝5R，可得ra＝R，rb＝4R，根据G Mm
r
2 ＝m4 π
2
T
2 r 可得T＝2π√
r
3
GM ，可知卫星a、
b 的运动周期之比为1∶8，故B 错误;设卫星a 的周期为Ta，卫星b 的周期为Tb，根据两卫星从相
距最远到相距最近有2π
T a T＋2π
T b T＝π，又Tb＝8Ta，联立解得Ta＝9
4T，故C 正确;卫星a 的加速度大
小aa＝( 2π
T a
)
2
ra＝64 π
2 R
81T
2 ，故D 错误。
拓展 若两卫星a、b 环绕木星在同一平面内做匀速圆周运动，绕行方向相同，求卫星a 的运动周
期及卫星a 的加速度是多少?
答案 7
4T 64 π
2 R
49T
2
解析 a、b 两卫星绕行方向相同，则两卫星从相距最远到相距最近有2π
T a T－2π
T b T＝π，又根据Tb
＝8Ta，解得Ta＝7
4 T，则an＝(
2π
T a)
2
R＝64 π
2 R
49T
2 。
【即时训练】
3.(2024·重庆一中模拟)如图，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做顺时针的匀速圆周运
动。地球和太阳的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角，已知该行星的
最大观察视角为θ，当行星处于最大观察视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。
则( )
7
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A.行星的环绕半径与地球的环绕半径之比为tan θ
B.行星的环绕周期与地球的环绕周期之比为√
1
sin
3θ
C.行星两次处于最佳观察期的时间间隔至少为√sin
3θ
1−√sin
3θ
年
D.行星两次处于最佳观察期的时间间隔可能为(π ＋2θ)√sin
3θ
2π(1−√sin
3θ)
年
答案 D
解析 该行星的最大观察视角为θ，如图，根据几何关系可知r 行＝r 地sin θ，所以行星的环绕半径
与地球的环绕半径之比为
r行
r地＝sin θ，故A 错误;根据开普勒第三定律有
r行
3
T 行
2 ＝r地
3
T 地
2，得行星的环
绕周期与地球的环绕周期之比为T 行
T 地
＝√
r行
3
r地
3 ＝√sin
3θ，故B 错误;若行星最初处于最佳观察期时，
其位置超前于地球，则下一次行星处于最佳观察期时一定是行星落后于地球，因而有(ω 行－ω
地)Δt＝π＋2θ，即Δt＝(π ＋2θ)√sin
3θ
2π(1−√sin
3θ)
年，故C 错误，D 正确。
【限时训练】（40min）
1.(多选)(2023·海南卷，9)如图所示，1、2 轨道分别是天宫二号飞船在变轨前、后的轨道，下列说
法正确的是( )
A.飞船从1 轨道变到2 轨道要点火加速
B.飞船在1 轨道的周期大于在2 轨道的周期
C.飞船在1 轨道的速度大于在2 轨道的速度
8
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D.飞船在1 轨道的加速度大于在2 轨道的加速度
答案 ACD
解析 飞船从低轨道向高轨道变轨时，需要点火加速，A 正确;由“高轨低速大周期”的运动规律
可知，飞船在1 轨道上的线速度、角速度、向心加速度均大于在2 轨道上的，周期小于在2 轨道
上的，B 错误，C、D 正确。
2.(2025·重庆沙坪坝模拟)北京时间2024 年4 月26 日，神舟十八号载人飞船升空6.5 h 后采用自主
快速交会对接模式，与离地高度约390 km 的中国空间站天和核心舱完成对接，形成三船三舱组合
体，下列说法中正确的是( )
A.为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B.为实现对接，应先让飞船和天和核心舱处于同一轨道上，然后点火加速
C.若对接前飞船在较低轨道上做匀速圆周运动，对接后飞船速度和运行周期都变大
D.若对接前飞船在较低轨道上做匀速圆周运动，对接后飞船机械能和运行周期都变大
答案 D
解析 两者运行速度的大小都应小于第一宇宙速度，故A 错误;为实现对接，应先让飞船处于较低
轨道上，然后点火加速到高轨道实现对接，故B 错误;对接后飞船轨道变高，速度变小，运行周期
变大，机械能变大，故C 错误，D 正确。
3.(2024·贵州毕节模拟)2024 年4 月25 日，神舟十八号载人飞船发射成功。如图所示，模拟发射飞
船过程中，飞船在椭圆轨道1 上的P 点点火变轨进入圆形轨道2，绕地球做匀速圆周运动。下列
说法正确的是( )
A.飞船在轨道1 上P 点的线速度大于在轨道2 上P 点的线速度
B.若要让飞船与同一轨道上位于前方的空间实验室对接，可将飞船加速到一个较高轨道，然后再
减速追上实验室完成对接
C.飞船在两个轨道上运行时，在P 点处的机械能相等
D.飞船在两个轨道上的运转周期T1<T2
答案 D
解析 飞船在轨道1 上P 点点火加速进入轨道2，因此轨道1 上P 点的线速度小于轨道2 上P 点的
线速度，飞船在两个轨道上运行时，轨道1 上P 点处的机械能小于轨道2 上P 点处的机械能，故
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A、C 错误;从低轨道加速到高轨道后，在高轨道上的环绕速度小，追不上，故B 错误;根据万有引
力提供向心力，可得GMm
r
2
＝m4 π
2
T
2 r，解得T＝√
4 π
2r
3
GM ，可得高轨周期长，即T1<T2，故D 正确。
4.(多选)(2024·辽宁大连模拟)2023 年6 月15 日13 时30 分，长征二号丁遥八十八运载火箭在太原
卫星发射中心成功将吉林一号高分06A 星等41 颗卫星准确送入预定轨道，刷新了我国一次发射卫
星数量最多的纪录。如图，火箭运行至P 点时同时释放A、B 两颗卫星，并分别将它们送入预定
椭圆轨道1(A 卫星)和椭圆轨道2(B 卫星)。P 点为椭圆轨道的近地点，B 卫星在远地点Q 处进行姿
态调整并变轨到圆轨道3 上运动，下列说法正确的是( )
A.两卫星在椭圆轨道上运动过程中经过P 点时的加速度大小关系为aA>aB
B.两卫星在椭圆轨道上运动过程中经过P 点时的速度大小关系为vA<vB
C.变轨前，B 卫星在P 点的机械能等于在Q 点的机械能
D.B 卫星在P 点的动能小于其在轨道3 上Q 点的动能
答案 BC
解析 万有引力提供向心力，有G Mm
r
2 ＝ma，得a＝GM
r
2 ，两卫星经过P 点时距离中心天体距离
相等，则加速度大小相等，故A 错误;卫星A 在椭圆1 轨道，卫星B 在椭圆2 轨道，2 轨道的半长
轴大于1 轨道的半长轴，卫星必须在两轨道相切点点火加速以实现变轨，因此可知两卫星在椭圆
轨道上运动过程中经过P 点时，B 卫星的线速度要大于A 卫星的线速度，故B 正确;在同一轨道上，
卫星机械能守恒，故C 正确;在轨道2 上，P 点为近地点，Q 点为远地点，由开普勒第二定律可知
vP2>vQ2，而卫星在2 轨道上Q 点向轨道3 变轨时需要点火加速，因此有vQ3>vQ2，又由万有引力提
供向心力可得G Mm
r
2 ＝mv
2
r ，整理有v＝√
GM
r ，可知轨道半径越大，线速度越小，由此可知
vP2>vQ3>vQ2，由于Ek＝1
2mv2，则B 卫星在P 点的动能大于其在轨道3 上Q 点的动能，故D 错误。
5.(2025·广东深圳高三期末)人类首次发现的引力波来源于距地球之外13 亿光年的两个黑洞互相绕
转最后合并的过程。如图所示，设两个黑洞A、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，黑洞A 的
轨道半径大于黑洞B 的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则下列
说法正确的是( )
10
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A.两黑洞的运行周期均为2π√
L
3
GM
B.黑洞A 的线速度一定小于黑洞B 的线速度
C.两个黑洞的总质量M 一定，L 越大，角速度越大
D.黑洞A 的质量一定大于黑洞B 的质量
答案 A
解析 设两个黑洞的质量分别为mA、mB，轨道半径分别为rA、rB，角速度为ω，由万有引力定律
可知G
mA mB
L
2
＝mAω2rA，G
mA mB
L
2
＝mBω2rB，其中rA＋rB＝L，mA＋mB＝M 联立解得ω＝√
GM
L
3 ，则
两黑洞的运行周期为T＝2π
ω ＝2π√
L
3
GM ，A 正确，C 错误;由于二者角速度相等，则线速度分别为
vA＝ωrA，vB＝ωrB，rA>rB，则vA>vB，B 错误;根据以上分析可知
mA
mB
＝rB
r A
，而rA>rB，故mA<mB，D
错误。
6.(多选)(2025·山东烟台高三期末)如图所示，天文观测中观测到有质量相等的三颗天体位于边长为
l 的等边△ABC 三个顶点上，三颗天体均做周期为T 的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其
他天体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法中正确的是( )
A.三颗天体的质量均为4 π
2l
3
3GT
2
B.三颗天体的质量均为4√3 π
2l
3
3GT
2
C.三颗天体线速度大小均为π l
T
D.三颗天体线速度大小均为2√3 π l
3T
答案 AD
11
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解析 轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，根据几何关系可知r＝√3
3 l，根据题意可知其中任
意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，设三颗星的质量均为M，根据牛顿第二定律有2×G M
2
l
2
cos
30°＝M4 π
2
T
2 r＝Mv
2
r ，解得M＝4 π
2l
3
3GT
2，v＝2√3 π l
3T
，故B、C 错误，A、D 正确。
7.(多选)(2025·河北沧州高三月考)2024 年2 月3 日，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载
火箭，成功将吉利星座02 组卫星发射升空，11 颗卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成
功。假设一颗卫星为地球的勘测卫星，该勘测卫星在赤道的上方，距离地面的高度h1＝4.1×103
km，地球同步卫星距地面高度h2＝3.6×104 km。已知地球半径R＝6.4×103 km，地球同步卫星的周
期T＝24 h，勘测卫星的转动方向与地球的自转方向相同。下列说法正确的是( )
A.勘测卫星的周期约为3 h
B.勘测卫星的周期约为1.5 h
C.假设该卫星勘测赤道上的一小片森林，至少经过约15
7 h 勘测一次
D.假设该卫星勘测赤道上的一小片森林，至少经过约24
7 h 勘测一次
答案 AD
解析 设勘测卫星的周期为T1，由开普勒第三定律得(R＋h1)
3
T 1
2
＝(R＋h2)
3
T
2
，解得T1≈3 h，故A 正
确，B 错误;假设该卫星勘测赤道上的一片森林，至少经过时间t 勘测一次，则(
2π
T 1
−2π
T )t＝2π，
解得t＝24
7 h，故C 错误，D 正确。
8.(2023·湖北卷，2)2022 年12 月8 日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直
线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，
火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
12
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D.下一次“火星冲日”将出现在2023 年12 月8 日之前
答案 B
解析 火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定
律有
r 火
3
r地
3 ＝T 火
2
T 地
2，可得T 火
T 地
＝√
r 火
3
r地
3 ＝3√3
2√2，故A 错误;当火星与地球相距最远时，两者的速度方
向相反，此时两者相对速度最大，故B 正确;在星球表面，根据万有引力定律有G Mm
R
2 ＝mg，由于
不知道火星和地球的质量比和半径比，所以无法得出火星和地球表面的自由落体加速度之比，故
C 错误;火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω 火＝2π
T 火，ω 地＝2π
T 地，要发生下一次火星冲日则
有(
2π
T 地
−2π
T 火)t＝2π，得t＝
T 火T 地
T 火−T 地>T 地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023 年12 月8 日之
后，故D 错误。
9.(2024·贵州遵义模拟)2023 年9 月21 日，景海鹏、朱杨柱、桂海潮三位神舟十六航天员在中国空
间站梦天实验舱向全国青少年进行了第四次太空科普授课，朱杨柱告诉我们“他在空间站里一天
能看到16 次日出(周期为1.5 h)”。设中国空间站a 和北斗系统中某颗中圆卫星b 均为赤道上空卫星，
中圆卫星b 的周期为12 h，如图所示，某时刻空间站a 和中圆卫星b 相距最近，且两者运动方向
相同，以下说法正确的是( )
A.航天员的速度大于第一宇宙速度
B.中国空间站a 和中圆卫星b 轨道半径之比为1∶8
C.中国空间站a 与中圆卫星b 加速度之比为8∶1
D.从此时刻开始每隔12
7 h 中国空间站a 和中圆卫星b 再次相距最近
答案 D
解析 根据万有引力提供向心力GMm
r
2
＝mv
2
r ，可得v＝√
GM
r ，地球第一宇宙速度是卫星绕地球做
匀速圆周运动的最大线速度，可知航天员的速度小于第一宇宙速度，故A 错误;根据开普勒第三定
律有
ra
3
T a
2 ＝rb
3
T b
2，可得中国空间站a 和中圆卫星b 轨道半径之比为ra∶rb＝
3√T a
2∶
3√T b
2＝1∶4，故B
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错误;根据牛顿第二定律GMm
r
2
＝ma，可得a＝GM
r
2 ，则中国空间站a 与中圆卫星b 加速度之比为
aa∶ab＝rb
2∶ra
2＝16∶1，故C 错误;从此时刻开始，设每隔时间t 中国空间站a 和中圆卫星b 再次
相距最近，则有2π
T a t－2π
T b t＝2π，解得t＝
T aT b
T b−T a
＝1.5×12
12−1.5 h＝12
7 h，故D 正确。
10.(2024·北京卷，19)科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型:在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质
(星体等)在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某
一点O 为观测点，以质量为m 的小星体(记为P)为观测对象。当前P 到O 点的距离为r0，宇宙的
密度为ρ0。
(1)求小星体P 远离到2r0处时宇宙的密度ρ;
(2)以O 点为球心，以小星体P 到O 点的距离为半径建立球面。P 受到的万有引力相当于球内质量
集中于O 点对P 的引力。已知质量为m1和m2、距离为R 的两个质点间的引力势能Ep＝－Gm1m2
R
，G 为引力常量。仅考虑万有引力和P 远离O 点的径向运动。
a.求小星体P 从r0处远离到2r0处的过程动能的变化量ΔEk;
b.宇宙中各星体远离观测点的速率v 满足哈勃定律v＝Hr，其中r 为星体到观测点的距离，H 为哈
勃系数。H 与时间t 有关但与r 无关，分析说明H 随t 增大还是减小。
答案 (1)1
8ρ0 (2)a.－2
3Gπρ0mr0
2 b.减小
解析 (1)在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P 运动前后距离O 点半径为r0和2r0的
球内质量相同，即ρ0·4
3 πr0
3＝ρ·4
3 π(2r0)3
解得ρ＝1
8ρ0。
(2)a.此球内的质量为M＝ρ0·4
3πr0
3
P 从r0处远离到2r0处，机械能守恒，则该过程动能的变化量为
ΔEk＝－ΔEp＝－G Mm
r0
－(−GMm
2r0 )＝－2
3Gπρ0mr0
2。
b.宇宙中各星体远离观测点的过程中，r 增大，引力势能增大，动能减小，速度减小，根据v＝Hr
可知，H 减小，故H 随t 减小。
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