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第 2 课时 人造卫星 宇宙速度
目标要求 1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。2.理解三种宇宙速度，并会求解第一
宇宙速度的大小。3.会分析天体的“追及”问题。
考点一 卫星运行参量的分析
1．基本公式
(1)线速度大小：由G＝m得v＝。
(2)角速度：由G＝mω2r得ω＝。
(3)周期：由G＝m()2r得T＝2π。
(4)向心加速度：由G＝ma 得a＝。
n n
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、a 越小，T越大，即越高越慢。
n
2．“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得 GM ＝ gR 2 。在引力常量G和中心天体质量
M未知时，可用gR2替换GM。
3．人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中
的静止卫星的轨道是赤道轨道。
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)同步卫星
①静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h。
③高度固定不变，h＝3.6×107 m。
④运行速率约为v＝3.1 km/s。
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第
一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。
思考 (1)在同一轨道上质量大的卫星受到地球引力大，是否加速度就大，运行速度就快？
(2)随着我国航空航天科技的发展，将来可以发射定点到广州上空的静止轨道卫星吗？
(3)赤道上停放一待发射卫星A，天空运行一同步卫星B，可以由v＝得A卫星线速度大于B
卫星线速度吗？
答案 (1)由a＝及v＝可得卫星运行加速度和速度与卫星质量无关，同一轨道上各卫星具有
相同加速度和速度大小
(2)由于静止轨道卫星必须与地球自转同步，且转动中心必须在地心，故静止轨道卫星只能
定点在赤道正上方
(3)赤道上停放的物体由万有引力的一个分力提供向心力，故不满足 v＝，又由v＝ωr，A、
B两卫星具有相同的角速度，故B卫星线速度大。
例1 (多选)(2024·广东江门市联考)某品牌推出了全球首款支持卫星通信的智能手机，该手
机的卫星通信功能，可以让我们在无信号环境下，通过天通一号卫星与外界进行联系。目前
我国已发射有天通一号01、02、03三颗静止轨道卫星，天通一号卫星的运行轨道距地球表
面的高度约为地球半径的5.6倍，关于该系列卫星，下列说法正确的是( )
A．不同质量的天通一号卫星的速率不相等
B．运行速度都小于7.9 km/s
C．可以在北京的上空保持相对静止
D．向心加速度约为地球表面重力加速度的
答案 BD
解析 根据万有引力提供向心力有G＝m，可得地球卫星的速度大小v＝，天通一号三颗卫
星的轨道半径相等，则速率相等，与卫星的质量无关，故A错误；第一宇宙速度7.9 km/s是
近地卫星的环绕速度，也是地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，而天通一号卫星的
轨道半径要大于近地卫星的轨道半径，故天通一号卫星运行的线速度一定小于第一宇宙速度，
B正确；天通一号卫星在地球静止轨道上运行，不可能在北京的正上空保持相对静止，故 C
错误；根据万有引力提供向心力可得＝ma，据地球表面万有引力等于重力可得＝mg，联立
可得a≈g，故该系列卫星的向心加速度约为地球表面重力加速度的，D正确。
例2 (2023·广东卷·7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由
于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公
转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是( )A．周期为2t－t
1 0
B．半径为
C．角速度的大小为
D．加速度的大小为
答案 B
解析 由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T＝t －t ，则P的公转周
1 0
期为t －t ，故A错误；P绕Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得＝mr，解得半
1 0
径为r＝＝，故B正确；P的角速度为ω＝＝，故C错误；P的加速度大小为a＝ω2r＝()2·＝
·，故D错误。
例3 (2023·山东卷·3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体
间(如地球与月球)的引力具有相同的性质、且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地
球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(
)
A．30π B．30π
C．120π D．120π
答案 C
解析 设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝G，月球绕地球公
转，有G＝m r，r＝60R，联立有T＝120π，故选C。
月
例4 (多选)如图所示，赤道面内的同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v ，向心加速
1
度大小为a ，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为 a ，第一宇宙速度大小为
1 2
v，地球半径为R，则下列比值正确的是( )
2
A.＝ B.＝()2
C.＝ D.＝
答案 AD
解析 根据万有引力提供向心力，有G＝m，G＝m′，故＝；对于同步卫星和地球赤道上
的物体，其共同点是角速度相等，有a＝ω2r，a＝ω2R，故＝，故选A、D。
1 2
同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r ；b为赤道面内的地球同步卫星，轨道半径为r ；c
1 2
为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r。
3
近地卫星(r 1 、ω 1 、v 1 、 同步卫星(r 2 、 赤道上随地球自转的
比较项目
a
1
) ω
2
、v
2
、a
2
) 物体(r
3
、ω
3
、v
3
、a
3
)
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r>r＝r
2 1 3
角速度 ω>ω＝ω
1 2 3
线速度 v>v>v
1 2 3
向心加速度 a>a>a
1 2 3
考点二 宇宙速度
三个宇宙速度
第一宇宙速度 v＝7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，这也是地球卫星
1
(环绕速度) 的最大环绕速度
第二宇宙速度
v＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
2
(逃逸速度)
第三宇宙速度 v＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
3
思考 (1)试推导第一宇宙速度的两个表达式。
(2)近地卫星的运行周期大约是多长时间？
(已知地球质量为m ，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中R＝
地
6.4×103 km，g＝9.8 m/s2)
答案 (1)由G＝m得v＝
由mg＝m得v＝
(2)近地卫星运行周期T＝2π＝2π s≈85 min。
例5 (2023·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行
七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕
火星的轨道飞行。已知地球的质量约为火星质量的 10倍，地球半径约为火星半径的2倍，
下列说法正确的是( )A．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案 C
解析 卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由 G＝m，可得v＝，故
v ∶v ＝1∶，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要 v ＝
火 地 火
km/s，故A错误，C正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于
等于11.2 km/s，故B错误；g ＝G，g ＝G，联立可得g >g ，故D错误。
地 火 地 火
宇宙速度与运动轨迹的关系
1．v ＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
发
2．7.9 km/s<v <11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
发
3．11.2 km/s≤v ＜16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
发
4．v ≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
发
例6 航天员在一行星上以速度v 竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落
0
回手中，已知该星球半径为R。求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
(2)该星球的第二宇宙速度的大小。已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为
r时的引力势能E＝－G。(G为引力常量)
p
答案 (1) (2)
解析 (1)由题意可知该星球表面重力加速度为
g＝，由万有引力定律知mg＝m
解得v＝＝。
1
(2)由星球表面万有引力等于物体重力知＝mg，又星球表面E＝－G，可得E＝
p p
－，由机械能守恒定律有mv2－＝0，
2
解得v＝。
2
考点三 天体的“追及”问题
例7 (2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排
成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳
做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为 3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
答案 B
解析 火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为 3∶2，根据开普勒
第三定律有＝，可得＝＝，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不
变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故 B
正确；在星球表面根据万有引力定律有 G＝mg，由于不知道火星和地球的质量比以及火星
和地球的半径比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度大小之比，故C错误；火
星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω ＝，ω ＝，要发生下一次“火星冲日”，则有
火 地
(－)t＝2π，得t＝>T ，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错
地
误。
天体“追及”问题的处理方法
1．相距最近：两同心转动的卫星(r <r )同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，
A B
相距最近。从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ω －ω )t＝2π或－＝1。
A B
2．相距最远：两同心转动的卫星(r <r )同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，
A B
相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ω －ω )t′＝π或－＝。
A B
课时精练
1．(多选)关于地球同步卫星，下列说法正确的是( )
A．它的周期与地球自转周期相同
B．它的周期、高度、速度大小都是一定的
C．它的速度大小随高度的变化而变化，但周期都是一定的
D．我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空
答案 AB
解析 地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，A正确；根据G＝m＝mr可知，因地球同步卫星的周期一定，则高度、速度大小都是一定的，B正确，C错误；我国发射的同步通信
卫星不可以定点在北京上空， D错误。
2．设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆
轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
答案 C
解析 根据G＝ma ，可得a ＝，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相
n n
同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不相同。
故选C。
3．(多选)(2023·北京市海淀区期中)我国航天事业处于世界领先地位。我国自行研制的风云
二号气象卫星和神舟号飞船都绕地球做匀速圆周运动。风云二号离地面的高度是36 000
km，神舟号飞船离地面的高度是340 km。以下说法中正确的是( )
A．它们的线速度都大于第一宇宙速度
B．风云二号的向心加速度小于神舟号飞船的向心加速度
C．风云二号的线速度大于神舟号飞船的线速度
D．风云二号的周期大于神舟号飞船的周期
答案 BD
解析 根据万有引力提供做圆周运动的向心力有＝m＝ma＝mr，可得v＝，a＝，T＝。因为
第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，由v＝知它们的线速度都小于第一宇宙速度，且轨道
半径大的线速度小，故A、C错误；由a＝知轨道半径大的向心加速度小，故 B正确；由T
＝知轨道半径大的周期大，故D正确。
4．(2023·浙江6月选考·9)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比
为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球
公转周期为T，则( )
0
A．木卫一轨道半径为r
B．木卫二轨道半径为r
C．周期T与T 之比为
0
D．木星质量与地球质量之比为n3
答案 D
解析 根据题意可得，木卫三的轨道半径为r＝nr。根据万有引力提供向心力有G＝m r，
3 三 3
可得r ＝，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4，可得木卫一轨道半
3径为r ＝，木卫二轨道半径为r ＝，故A、B错误；木卫三围绕的中心天体是木星，月球围
1 2
绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T 之比，故C错误；根据万有引力提供
0
向心力，分别有G＝m nr，G＝m r，联立可得＝n3，故D正确。
三 月
5．(2023·北京卷·12)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，
实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约
为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动
“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，
使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是( )
A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s
C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
答案 A
解析 因为“夸父一号”轨道要始终保持太阳光能照射到，则在一年之内转动360°，即轨
道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最
大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；根据G＝ma，可知“夸父一
号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故 C错误；“夸父一
号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题干信息不能求出日地间平均距
离，故D错误。
6．(2023·广东茂名市模拟)如图，“嫦娥五号”、“天问一号”探测器分别在近月、近火星
轨道运行。已知火星的质量为月球质量的9倍、半径为月球半径的2倍。假设月球、火星均
可视为质量均匀分布的球体，忽略其自转影响，则( )
A．月球表面重力加速度比火星表面重力加速度大
B．月球的第一宇宙速度比火星的第一宇宙速度大
C．质量相同的物体在月球、火星表面所受万有引力大小相等D．“嫦娥五号”绕月周期比“天问一号”绕火星周期大
答案 D
解析 由mg＝G，可得g＝，结合题意可得g ＝g ，A项错误；由mg＝m可知v＝，所以
月 火
v ＝v ，B项错误；由F ＝G，可知F ＝F ，C项错误；由G＝m()2r，可知T＝2π，所
月 火 引 月 火
以T ＝T ，D项正确。
月 火
7．(2023·湖北武汉市华中师范大学第一附属中学检测)在某国产科幻电影中，太空电梯是其
重要的科幻元素，其结构主要由地面基座、缆绳、空间站、平衡锤、运载舱组成，如图所示。
地面基座为缆绳的起始段，主要起到固定作用，空间站位于距离地表 36 000 km的地球静止
同步卫星轨道，并在距离地表90 000 km的尾端设置了平衡锤，空间站、平衡锤、地面基座
之间由若干碳纳米缆绳垂直连接，运载舱可沿缆绳上下运动。已知空间站、平衡锤与地球自
转保持同步，则( )
A．平衡锤的加速度小于空间站的加速度
B．平衡锤的线速度小于空间站的线速度
C．平衡锤做圆周运动所需的向心力大于地球对它的万有引力
D．若平衡锤与空间站之间的缆绳断裂，平衡锤将坠落地面
答案 C
解析 平衡锤和空间站的角速度相等，根据a＝rω2，可知平衡锤的加速度大于空间站的加
速度；根据v＝rω，可知平衡锤的线速度大于空间站的线速度，故A、B错误；平衡锤受拉
力和万有引力共同作用提供向心力，所以平衡锤做圆周运动所需的向心力大于地球对它的万
有引力，故C正确；若平衡锤与空间站之间的缆绳断裂，则平衡锤所受引力不足以提供向
心力，平衡锤做离心运动，故D错误。
8.(2023·海南琼海市嘉积中学模拟)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球
自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地
球半径)，c为地球的静止轨道卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是( )A．地球同步卫星都与c在同一个轨道上，并且它们受到的万有引力大小相等
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为a>a>a
a b c
C．a与地球的万有引力全部提供a随地球自转的向心力
D．a、b、c做匀速圆周运动的周期大小关系为T＝T>T
a c b
答案 D
解析 地球同步卫星不一定与c在同一个轨道上，但轨道半径相等，卫星的质量不相等，由
万有引力定律F＝可知，它们受到的万有引力大小不相等，A错误；对于b、c，由万有引力
提供向心力有G＝ma，解得 a＝，r＞r ，所以 a ＞a，由于a、c做匀速圆周运动的周期相
c b b c
等，又a＝rω2，r＞r，可得 a＞a，所以a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系
c a c a
为 a ＞a＞a，B错误；a与地球的万有引力一部分提供a随地球自转的向心力，C错误；
b c a
对于a、c，其周期相等，所以 T＝T，对于b、c，由万有引力提供向心力有G＝mr，解得T
a c
＝2π，r＞r ，所以T＞T ，即a、b、c做匀速圆周运动的周期大小关系为 T＝T>T ，D正
c b c b a c b
确。
9．(2024·辽宁省模拟)火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功发射
“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步。已知火星直径约为地球直径的一
半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T，地球
表面的重力加速度为g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由G＝m，得到星球的第一宇宙速度v＝，设地球的第一宇宙速度为v ，由g＝ωv ＝
1 1
v，得v＝，设火星的第一宇宙速度为v，则＝·，代入数据解得v＝v＝，故选B。
1 1 2 2 1
10.(2024·广西南宁市模拟)2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心用长征三
号乙运载火箭，成功发射第56颗北斗导航卫星。该卫星属地球静止轨道卫星，是唯一一颗
高轨备份卫星。图为其绕地球运行的示意图，测得该卫星在 t时间内沿顺时针从A点运动到
B点，这段圆弧对应的圆心角为θ。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，则
该卫星运动的( )
A．线速度大小为
B．周期为T＝C．向心加速度大小为
D．轨道半径为
答案 B
解析 由T＝和ω＝得T＝，故B正确；由万有引力提供向心力有G＝m()2r，又v＝ωr，G＝
mg，联立解得v＝，r＝，故A、D错误；由a＝ω2r，ω＝，r＝，联立解得a＝，故C错误。
11.(多选)(2023·河南开封市期末)我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3
颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图所示，A、C为地
球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。
已知地球自转周期为T ，卫星B的运行周期为T ，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。
1 2
下列说法正确的是( )
A．卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为a ＝a <a
A C B
B．卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星A
C．经过时间，卫星A与卫星B又一次相距最近
D．卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度
答案 AC
解析 根据G＝ma，得a＝G，由题图可知r ＝r >r ，则a ＝a <a ，A正确；卫星C向后
A C B A C B
喷气加速做离心运动，不能追上同轨道的卫星 A，B错误；根据t＝2π，卫星A与卫星B又
一次相距最近经过的时间为t＝，C正确；第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，
则卫星A、C的发射速度大于第一宇宙速度，D错误。
12．(多选)(2023·山东泰安市模拟)2021年2月10日，在历经近7个月的太空飞行后，我国
首个火星探测器“天问一号”成功“太空刹车”，顺利被火星捕获，进入环火星轨道。物体
在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个
质量为m的质点距质量为M的引力源中心为r时，其引力势能E ＝－(式中G为引力常量)。
p
已知地球半径约为6 400 km，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，火星半径约为地球半径的，
火星质量约为地球质量的。则以下“天问一号”相对于火星的速度大于火星第二宇宙速度的
是( )
A．7.9 km/s B．5.5 km/s
C．4.0 km/s D．3.2 km/s
答案 AB解析 设物体在星球表面的速度为v ，当它脱离该星球引力时r→∞，此时速度为零，由机
2
械能守恒定律得mv2－＝0，解得星球的第二宇宙速度v ＝。第一宇宙速度是星球表面附近
2 2
卫星的最大环绕速度，由G＝m，解得v ＝，故火星第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比
1
＝＝，又v ＝v ，代入数据解得火星第二宇宙速度v ≈5.27 km/s，故选A、B。
火2 火1 火2
