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2024 年高考物理一轮大单元综合复习导学练
专题30 卫星的变轨问题、天体追及相遇问题、双星和多星问题
导练目标
导练内容
目标1
卫星的变轨问题
目标2
天体追及相遇问题
目标3
双星和多星问题
【知识导学与典例导练】
一、卫星的变轨问题
1.两类变轨简介
两类变轨
离心运动
近心运动
示意图
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
万有引力与
向心力的
大小关系
G Mm
r
2 <mv
2
r
G Mm
r
2 >mv
2
r
2.变轨前后各运行物理参量的比较
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为
vA、vB。在A 点加速，则vA>v1，在B 点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
（2）加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的
加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、
r3，由开普勒第三定律＝k 可知T1<T2<T3。
（4）机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、
E2、E3，则E1<E2<E3。
1
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①在A 点，由圆周Ⅰ变至椭圆Ⅱ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；
②在B 点，由椭圆Ⅱ变至圆周Ⅲ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；
反之也有相应的规律。
【例1】2021 年10 月16 日，中国神舟十三号载人飞船成功发射升空，与天和核心舱成功对接，将中国三
名航天员送入“太空家园”。飞船与核心舱对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为
的圆轨
道Ⅲ上，神舟十三号飞船先被发送至半径为
的圆轨道I 上，运行周期为
，通过变轨操作后，沿椭圆轨
道Ⅱ运动到远地点
处与天和核心舱对接。关于神舟十三号飞船，下列说法正确的是（ ）
A．沿轨道Ⅱ从近地点A 运动到远地点B 的过程中，速度不断增大
B．沿轨道Ⅰ运行时的机械能小于沿轨道Ⅱ运行时的机械能
C．沿轨道Ⅱ运行的周期为
D．沿轨道Ⅰ运动到A 点时的加速度小于沿轨道Ⅱ运动到A 点时的加速度
【答案】BC
【详解】A．由开普勒第二定律知，飞船沿轨道II 从近地点A 运动到远地点B 的过程中，速度不断减小，
故A 错误；
B．飞船在轨道I 上的A 点加速后才能进入椭圆轨道，此过程中燃料内能转化为机械能，沿轨道Ⅰ运行时的
机械能小于沿轨道Ⅱ运行时的机械能，故B 正确；
C．设飞船在轨道II 运行的周期为
，由开普勒第三定律可知
可解得
故C 正确；
2
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D．飞船沿轨道I 运动到A 点时和沿轨道II 运动到A 点时受到的万有引力相同，因此加速度相同，故D 错误。
故选BC。
二、天体追及相遇问题
绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时
相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。
相距
最远
当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动
关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)
相距
最近
两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关
系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)
【例2】如图所示，三颗卫星a、b、c 绕地球做匀速圆周运动，其中b、c 在地球的同步轨道上，a 距离地
球表面的高度为R，此时a、b 恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω，万
有引力常量为G，忽略卫星间的引力，下列说法中正确的是（ ）
A．发射卫星b 时速度要大于11.2km/s
B．卫星a 受到的合力大于卫星b 受到的合力
C．卫星a 和b 到再次相距最近，至少还需时间
D．若要卫星c 与b 实现对接，可让卫星c 直接在原轨道加速
【答案】C
【详解】A．卫星b 绕地球做匀速圆周运动，7.9km/s 是指在地球上发射的物体绕地球飞行做圆周运动所需
的最小初始速度，11.2km/s 是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，所以发射卫星b 时速度大于
7.9km/s，而小于11.2km/s，A 错误；
B．卫星受到的合力等于地球对卫星的万有引力，两卫星的质量未知，不能判断其所受合力的大小，B 错误；
C．b、c 在地球的同步轨道上，所以卫星b、c 和地球具有相同的周期和角速度。由万有引力提供向心力，
即
得
，a 距离地球表面的高度为R，所以卫星a 的角速度
此时a、b 恰好
3
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相距最近，到卫星a 和b 下一次相距最近，
得：
C 正确；
D．若要卫星c 与b 实现对接，应让卫星c 降至低轨道再加速，D 错误；故选C。
三、双星和多星问题
“双星”模型
“三星”模型
“四星”模型
情景导图
运动特点
转动方向、周期、角速度
相同，运动半径一般不等
转动方向、周期、角速
度、线速度大小均相同，
圆周运动半径相等
转动方向、周期、角速
度、线速度大小均相同，
圆周运动半径相等
受力特点
两星间的万有引力提供两
星圆周运动的向心力
各星所受万有引力的合力
提供圆周运动的向心力
各星所受万有引力的合力
提供圆周运动的向心力
解题规律
＝m1ω2r1
＝m2ω2r2
＋＝ma 向
×cos 30°×2＝ma 向
×2cos 45°＋＝ma 向
×2×cos 30°＋＝ma 向
解题关键
m1r1＝m2r2
r1＋r2＝L
r＝
r＝L 或r＝
【例3】科学家发现距离地球2764 光年的宇宙空间存在适合生命居住的双星系统，这一发现为人类研究地
外生命提供了新的思路和方向。假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m 和M 的A、B 两颗星体组成。这
两颗星绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，A、B 两颗星的距离为
L，引力常量为G，则（ ）
4
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A．因为OA>OB，所以m<M
B．两颗星做圆周运动的周期为
C．若A 由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，A 的周期缓慢增大
D．若A 由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则A 的轨道半径将缓慢减小
【答案】AD
【详解】ABC．根据万有引力提供向心力有
因为OA>OB，所以m<M，由
于
解得
当m 增大时可知T 减小，A 正确，BC 错误；
D．根据
且有
解得
若A 由于不断吸附宇宙中的尘埃而使
得质量缓慢增大，其他量不变，则A 的轨道半径将缓慢减小，D 正确。故选AD。
【例4】天文观测中观测到有三颗星位于边长为l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周
期为T 的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法
正确的是
A．它们两两之间的万有引力大小为
B．某颗星的质量为
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C．三颗星的质量可能不相等
D．它们的线速度大小均为
【答案】A
【详解】轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，
．根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的
合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两
颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则F 合=2Fcos30°=
；星球做匀速圆周运动，
合力提高向心力，故：
，解得：
，
它们两两之间的万有引力：
，故A 正确，BC 错误；根据F 合=m
得：线速
度大小为：
，故D 错误．故选A.
【综合提升专练】
1．如图所示，三个质点
、
、的质量分别为
、
、
（
远大于
及
），在万有引力作用下
（忽略
、
之间的万有引力），
、
在同一平面内绕沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知
、
运动
的周期之比为
，下列说法中正确的有（ ）
A．
、
轨道半径之比为
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B．
、
轨道半径之比为
C．从图示位置开始，在
转动一周的过程中，
、
、共线
次
D．从图示位置开始，在
转动一周的过程中，
、
、共线
次
【答案】BD
【详解】AB．根据万有引力公式可得
；
联立解得
故A 错误，B 正确；
CD．设每隔时间，
、
共线一次，可得
，
转动一周的过程中，
、
、共线的次数为
故C 错误，D 正确。故选BD。
2．最近几十年，人们对探测火星十分感兴趣，先后发射过许多探测器，且计划在火星建立人类聚居基地。
登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ
B．飞船在轨道Ⅰ上的P 点的加速度大于在轨道Ⅱ上的P 点的加速度
C．飞船在P 点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P 点朝速度反方向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，则可以推知火星的密度
【答案】AD
【详解】A．根据开普勒第三定律
可知，飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ故A 正确；
B．飞船在P 点，无论在轨道Ⅰ上，还是在轨道Ⅱ上，万有引力都相同，加速度都相同，故B 错误；
C．从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需减速，应朝速度同方向喷气，故C 错误；
D．根据万有引力提供圆周运动向心力，有
火星的密度为
联立解得火星的密度
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故D 正确。故选AD。
3．三星系统有两种情况，一种是三个星球位于同一直线上，它们的质量均为
，且做圆周运动的半径为
，外三星是绕中点做圆周运动，三个星球质量也均为
。已知引力常量为
，以下说法正确的是
（ ）
A．直线型系统中，外面两个星球的运动速率
B．直线型系统中，外面两个星球的运动速率
C．要使两种系统运行周期相同，则图乙中运动半径
D．要使两种系统运行周期相同，则图乙中运动半径
【答案】BC
【详解】AB．在直线型系统中，外面星球所需要的向心力由另外两个星球的万有引力的合力提供，对于外
面的某个星球，有
解得
故A 错误，B 正确；
CD．在直线型系统中，对于外面的某个星球，有
在三角形系统中，每个星球所需
要的向心力由另外两个星球的万有引力的合力提供，根据牛顿第二定律得
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联立解得
故C 正确，D 错误。故选BC。
4．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的
引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L 的正方形的四
个顶点上，其中L 远大于R.已知万有引力常量为G，忽略星体的自转，则关于四星系统，下列说法正确的
是( )
A．四颗星做圆周运动的轨道半径为
B．四颗星做圆周运动的线速度均为
C．四颗星做圆周运动的周期均为
D．四颗星表面的重力加速度均为
【答案】CD
【详解】如图所示，四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径r＝
L.取任一顶点
上的星体为研究对象，它受到其他三个星体的万有引力的合力为
.由F 合＝F 向＝
，解得
，
，故A、B 项错误，C 项正确；对于在星体表
面质量为m0的物体，受到的重力等于万有引力，则有
，故
，D 项正确．
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5．2023 年3 月15 日，我国在酒泉卫星发射中心使用“长征十一号”运载火箭，成功将实验十九号卫星发
射升空。卫星发射的过程可简化为如图所示的过程。发射同步卫星时是先将卫星发射至近地圆轨道，在近
地轨道的A 点加速后进入转移轨道，在转移轨道上的远地点B 加速后进入同步圆轨道。已知近地轨道半
径为r1，卫星在近地轨道运行速率为v1，运行周期为T1，同步轨道半径为r₂。则下列说法正确的是
（ ）
A．卫星在转移轨道经过 B 点的速率可能等于v₁
B．卫星在转移轨道上经过 B 点时加速度大小小于在同步轨道上运动时经过 B 点的加速度大小
C．卫星在转移轨道上从A 点运动到B 点的过程中，所用时间
D．卫星在同步轨道上运动时的周期等于
【答案】C
【详解】A．卫星在转移轨道B 点加速才能进入同步轨道，则在转移轨道上的B 点的速度小于在同步轨道
速度
，根据
同步轨道速度小于近地轨道速度v1，所以卫星在转移轨道经过B 点速度肯定小于
v1，故A 错误；
B．根据
解得
所以卫星在转移轨道上经过B 点时加速度大小等于在同步轨道上运动时
经过B 点的加速度大小，故B 错误；
CD．设在转移轨道和同步圆轨道的周期分别为T2和T3，根据开普勒第三定律
10
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解得
，
卫星在转移轨道上从A 点运动到B 点的过程中，所用时间
故C 正确，D 错误。故选C。
6．高分五号卫星在太原卫星发射中心成功发射，它填补了国产卫星无法有效探测区域大气污染气体的空
白。如图是高分五号卫星发射的模拟示意图，先将高分五号卫星送入圆形近地轨道Ⅰ运动，在轨道A 处点
火变轨进入椭圆轨道II，在轨道B 处再次点火进入圆形预定轨道Ⅲ绕地球做圆周运动，不考虑卫星的变化。
则正确的是（ ）
A．高分五号卫星在轨道I 上运动的速率小于在轨道Ⅲ上的速率
B．高分五号卫星在三条轨道上的运行周期，在轨道I 上最小、在轨道Ⅲ上最大
C．高分五号卫星在轨道I 上的加速度小于在轨道Ⅲ上的加速度
D．高分五号卫星在A 处变轨要加速，在B 处变轨要减速
【答案】B
【详解】A．根据万有引力提供圆周运动向心力，有
由于高分五号卫星在轨道Ⅰ上运动的半
径小于在轨道Ⅲ上的运行半径，所以高分五号卫星在轨道I 上运动的速率大于在轨道Ⅲ上的速率，故A 错
误；
B．由于轨道Ⅲ上的运行半径大于轨道Ⅱ的半长轴，轨道Ⅱ的半长轴大于轨道Ⅰ的半径，根据开普勒第三
定律可知，高分五号卫星在三条轨道上的运行周期，在轨道Ⅰ上最小，在轨道Ⅲ上最大，故B 正确；
C．由
可知，高分五号卫星在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度，故C 错误；
D．高分五号卫星在A 处变轨要加速，在B 处变轨也要加速，故D 错误。 故选B。
7．2021 年1 月，“天通一号”03 星发射成功。发射过程简化为如图所示：火箭先把卫星送上轨道1（椭
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圆轨道，P、Q 是远地点和近地点）后火箭脱离；卫星再变轨，到轨道2（圆轨道）；卫星最后变轨到轨道
3（同步圆轨道）。轨道1、2 相切于P 点，轨道2、3 相交于M、N 两点。忽略卫星质量变化，下列说法正
确的是（ ）
A．卫星在三个轨道上的周期T3>T2>T1
B．卫星在三个轨道上机械能E3=E2>E1
C．由轨道1 变至轨道2，卫星在P 点向前喷气
D．轨道1 在Q 点的线速度小于轨道3 的线速度
【答案】B
【详解】A．由图可知，轨道2 和3 的半径相等，大于轨道1 的半长轴，根据开普勒第三定律可得
故A 错误；
B．卫星在轨道2、3 上运动的轨道半径相同，根据
解得
可知在轨道2、3 上时的速度大小相同，故机械能相同；由轨道1 变至轨道2，卫星需在P 点加速做离心运
动，可知卫星在轨道1 时的机械能小于轨道2，故卫星在三个轨道上机械能大小关系为
故B 正确；
C．根据前面分析，卫星在P 点时需要加速做离心运动到达圆轨道2，故在P 点需向后喷气，故C 错误；
D．设卫星在近地点Q 处时的线速度为
，假设在Q 点处的圆轨道时的速度为
，分析可知卫星在近地点
Q 处时，需要减速做向心运动可到达Q 点处的圆轨道，即
；同时根据前面分析可知卫星所在的圆轨
道的半径越小速度越大，故可知当卫星在以Q 点处的圆轨道运动时的线速度大于轨道3 时的线速度
，即
，所以可得卫星在轨道1 上Q 点的线速度
大于轨道3 的线速度
，故D 错误。故选B。
8．我国未来将在月球地面上建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。如图所示，关闭发动机的航天
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飞机，从A 处在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆轨道的近月点B 处与空间站C 对接，
已知空间站绕月运行的圆轨道的半径为r，周期为T，万有引力常量为G，月球的半径为R。下列说法正确
的是（ ）
A．要使对接成功，飞机在接近B 点时必须加速
B．航天飞机在图示位置A 正在加速向B 运动，其机械能不断增大
C．月球的质量为M＝
D．月球的第一宇宙速度为v＝
【答案】C
【详解】A．要使航天飞机在椭圆轨道的近月点B 处与空间站C 对接，必须在接近B 点时减速，否则航天
飞机将继续做椭圆运动，故A 错误；
B．航天飞机关闭发动机在图示位置A 在引力作用下加速向B 运动，其机械能不变，故B 错误；
C．设空间站的质量为m，由
得月球的质量为
故C 正确；
D．空间站绕月圆轨道的半径为r，周期为T，其运行速度为
空间站的轨道半径比近月卫星的半径
大，故其速度小于月球的第一宇宙速度，所以月球的第一宇宙速度大于
，故D 错误。故选C。
9．2021 年5 月15 日7 时18 分，“天问一号”探测器成功着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆火星取
得成功。“天问一号”发射后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，进入着
陆准备轨道，如图所示。已知“天问一号”火星探测器的火星着陆准备轨道半长轴为
，周期为T1的椭圆
轨道，我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星轨道半径为
，周期为T2，引力常量为G。则下列判断正确
的是（ ）
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A．
B．“天问一号”在A 点从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要开启发动机向前喷气
C．“天问一号”在环火星圆轨道A 点的加速度大于着陆准备轨道A 点的加速度
D．由题目已知数据不可以估算火星质量及火星质量和地球质量的比值
【答案】B
【详解】A．由于我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星绕地球运动，而“天问一号”火星探测器在着陆
准备轨道上运动时是绕火星运动，中心天体不一样，因此开普勒第三定律不适用。故A 错误；
B．“天问一号”从环火圆轨道进入着陆准备轨道时需要减速，所以开启发动机向前喷气。故B 正确；
C．根据
解得
可知“天问一号”在环火星圆轨道A 点的加速度等于着陆准备轨道A 点的
加速度。故C 错误；
D．由开普勒第三定律可知轨道半径为a1的绕火星做匀速圆周运动的卫星的周期也为T1，设火星的质量为
M1，所以有
解得
即可以估算火星质量，同理，利用中圆轨道卫星可以估算地
球质量
火星质量和地球质量的比值为
故D 错误。故选B。
10．如图，轨道在同一平面内的两颗卫星a 和b 某时刻运动到地球的同一侧，且三者在同一条直线上，经
时间两颗卫星与地心的连线转过的角度分别为
和
。下列说法正确的是（ ）
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A．a 卫星的动能大于b 卫星的动能
B．a 卫星的角速度与b 卫星的角速度之比为
C．a 卫星的线速度与b 卫星的线速度之比为
D．a、b 卫星到下次与行星共线，还需经过的时间为
【答案】D
【详解】A．由于两颗卫星的质量大小关系不确定，则无法判断a、b 卫星的动能大小关系，故A 错误；
B．根据角速度定义式可得
，
则a 卫星的角速度与b 卫星的角速度之比为
故B 错误；
C．根据开普勒第三定律可得
又
则a 卫星的半径与b 卫星的半径之比为
根据万有引力提供向心力可得
可得
则a 卫星的线速度与b
卫星的线速度之比为
故C 错误；
D．a、b 卫星到下次与行星共线，还需经过的时间为
，则有
可得
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故D 正确。故选D。
11．长篇科幻小说《三体》中设想构建太空电梯，与生活中的普通电梯十分相似。只需要在地球同步轨道
上建造一个空间站，并用某种足够长且足够结实的“绳索”将其与地面相连，宇航员、乘客以及货物可以
通过像电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空。如图乙所示，假设有一长度为r 的太空电梯连接地球赤道
上的固定基地与同步空间站
相对地球静止，卫星b 与同步空间站a 的运行方向相同，其轨道半径比同
步轨道半径大。某时刻二者距离最近，再经过时间t 之后，a、b 再次相距最近。已知地球自转周期为T，
下列说法正确的是（ ）
A．太空电梯上各点的加速度随高度增大而减小
B．太空电梯上各点线速度与高度正比
C．卫星b 的运动周期为
D．卫星b 受到的向心力比同步空间站a 的向心力小
【答案】C
【详解】A．太空电梯上各点运动的角速度相同，加速度
与到地心距离成正比，随高度增大而增大，
A 错误；
B．线速度
与到地心距离成正比，不是高度成正比，B 错误；
C．经过时间t 之后，a、b 再次相距最近，a 比b 多运动了一周，则有
解得
，C 正确；
D．卫星b 和同步空间站a 受到向心力来自万有引力，因卫星与空间站的质量关系不知道，所以无法确定向
心力的大小，D 错误。故选C。
12．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲
日”。如图所示为火星冲日年份示意图，下列说法正确的是（ ）
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A．火星绕太阳公转线速度大于地球绕太阳公转线速度
B．火星绕太阳公转角速度大于地球绕太阳公转角速度
C．由于统计数据的不完整，两次火星冲日时间可能小于一年
D．相邻两次冲日时间不相等是因为地球、火星公转轨道不是标准圆轨道
【答案】D
【详解】A．根据
可得
由于火星公转半径大于地球公转半径，可知火星绕太阳公转
线速度小于地球绕太阳公转线速度，故A 错误；
B．根据
可得
由于火星公转半径大于地球公转半径，火星绕太阳公转角速度小于地
球绕太阳公转角速度，故B 错误；
C．设地球绕太阳的公转周期为T，火星绕太阳的公转周期为T＇，相邻两次火星冲日时间为t，则
解得
即两次火星冲日时间大于一年 ，故C 错误；
D．相邻两次冲日时间不相等是因为地球、火星公转轨道不是标准圆轨道，故D 正确。故选D。
13．如图所示，A 为太阳系中的天王星，它绕太阳O 运行的轨道视为圆时，运动的轨道半径为R0，周期为
T0，长期观测发现，天王星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且每隔t0时间发生一次最大偏离，即
轨道半径出现一次最大。根据万有引力定律，天文学家预言形成这种现象的原因可能是天王星外侧还存在
着一颗未知的行星(假设其运动轨道与A 在同一平面内，且与A 的绕行方向相同)，它对天王星的万有引力
引起天王星轨道的偏离，由此可推测未知行星的运动轨道半径是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设未知的行星的周期为T，依题意有
则
根据开普勒第三定律
联立解得
故选D。
14．宇宙中的两个距离较近的天体组成双星系统，两天体可看作在同一平面内绕其连线上某一点做匀速圆
周运动，由于某些原因两天体间的距离会发生变化，持续对这两个天体进行观测，每隔固定时间记录一次，
得到两天体转动周期随观测次数的图像如图所示。若两天体的总质量保持不变，且每次观测的双星系统稳
定转动，则第3 次观测时两天体间的距离变为第1 次观测时距离的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】两天体构成双星系统，则两天体的周期T 相同。设两天体的质量分别为
、
，轨道半径分别
为
、
，两天体间距离为L，由万有引力提供向心力对两天体分别有
，
；
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解得
，
两天体的总质量为
由题意可知两天体的总质量不
变，可得
不变；由题图可知，第3 次观测时天体的周期为第1 次观测时周期的
，所以第3 次观测时两
天体间的距离为第1 次观测时的
。故选B。
15．2023 年1 月9 日天文学家发现有史以来距离最近的两个黑洞，相距750 光年，设质量大的为A，质量
小的为B，它们在彼此之间的引力作用下互相环绕，周期相等，如图所示，不考虑其它星体对它们的作用，
下列说法正确的是（ ）
A．A、B 组成的系统能量守恒，动量不守恒
B．A、B 的速度之比等于它们质量之比
C．若A、B 的间距增大，则周期减小
D．若A、B 因吞噬物质质量都增大而其中心间距不变，则它们的角速度增大
【答案】D
【详解】A．A、B 组成的系统不受外力，能量和动量都守恒，故A 错误；
B．周期相等则角速度相等，相互作用的万有引力充当向心力，则
所以
即速度之比等于质量之反比，故B 错误；
C．对A 黑洞，有
对B 黑洞，有
；
联立可得
若A、B 的间距L 增大，则周期T 一定增大，故C 错误；
D．当A、B 因吞噬物质质量都增大时，则周期T 减小，根据周期与角速度的关系
可知，角速度增
大，故D 正确。故选D。
16．如图所示，2022 年7 月15 日，由清华大学天文系祝伟教授牵头的国际团队近日宣布在宇宙中发现两
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个罕见的恒星系统。该系统均是由两颗互相绕行的中央恒星组成，被气体和尘埃盘包围，且该盘与中央恒
星的轨道成一定角度，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。若其中一个系统简化模型如图所示，质量不等的
恒星A 和B 绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动，由天文观察测得其运动周期为T，A 到O 点的距离
为r1，A 和B 的距离为r，已知引力常量为G，则A 的质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】取B 为研究对象，B 绕O 点做匀速圆周运动，设A、B 的质量分别为
和
，由万有引力定律及
牛顿第二定律得
解得
又根据
则A 的质量为
故选A。
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