文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
5.3 卫星的变轨对接问题、相遇追及问题及双星问题
考点一 卫星的变轨及对接问题........................................................................................................................................1
题组1：卫星的发射与变轨.........................................................................................................................................1
题组2：卫星的对接问题..............................................................................................................................................3
考点二 天体的追及相遇问题............................................................................................................................................ 5
题组1：相遇追及问题..................................................................................................................................................5
考点三 宇宙中的双星、三星模型................................................................................................................................... 7
题组1：双星模型........................................................................................................................................................... 7
题组2：三星模型........................................................................................................................................................... 9
5.3 卫星的变轨对接问题、相遇追及问题及双星
问题
考点一 卫星的变轨及对接问题
题组1：卫星的发射与变轨
1.（单选）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，
并准确进入地月转移轨道。图为嫦娥六号降落月球表面过程的轨道示意图，嫦娥六号从椭圆轨道2经近月
点A变轨到圆轨道1。已知引力常量为G，月球半径为R，月球表面重力加速度为g0。轨道1距离月球表面
的高度为h1，嫦娥六号在轨道1上环绕月球运动的周期为T，轨道2上的远月点B距离月球表面的高度为h2。
不计月球自转，下列选项正确的是( )
A. 嫦娥六号在轨道1上经过A点时的速度比在轨道2上经过A点时的速度小
B. 嫦娥六号在轨道1上的向心加速度与月球表面重力加速度的比值为( R+h1)
2
R
2
C. 由题目信息可求得月球的密度为3 π
GT
2
D. 由题目信息无法求出嫦娥六号在轨道2上环绕月球运动的周期
【答案】A
【解析】A. 嫦娥六号在轨道2上经过A点时点火减速变轨进入轨道1做匀速圆周运动，故A 正确；
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
B.根据G
Mm
(R+h1)
2 =ma可得向心加速度公式为a=
GM
( R+h1)
2，其中M是月球质量，R是月球半径，h1是轨
道高度。根据G Mm
R
2 =mg可得月球表面重力加速度g= GM
R
2 。因此，嫦娥六号在轨道1上的向心加速度与
月球表面重力加速度的比值为(
R
R+h1
)
2，所以B 错误；
C.根据万有引力定律和圆周运动公式G
Mm
(R+h1)
2 =m(
2π
T )
2
(R+h1)，可以推导出月球质量
M = 4 π
2( R+h1)
3
GT
2
。月球体积V = 4
3 π R
3，因此月球密度ρ= M
V = 3 π( R+h1)
3
GT
2 R
3
，所以C 错误；
D.根据开普勒第三定律，卫星的周期与轨道半径的立方成正比。( h1+h2+2 R
2
)
3
T 2
2
= ( R+h1)
3
T
2
，可以求出嫦
娥六号在轨道2上环绕月球运动的周期T 2，所以D 错误。
2. （单选）中国首次火星探测任务工程总设计师表示，我国将在2028年实施“天问三号”火星探测与取样
返回任务。“天问三号”探测器从地球发射后第一次变轨进入地火转移轨道，逐渐远离地球，成为一颗人造
行星，运行轨迹简化如图所示，I是地球运行圆轨道，Ⅱ是地火转移椭圆轨道，Ⅲ是火星运行圆轨道，轨
道I与轨道Ⅱ相切于P点，轨道Ⅱ与轨道Ⅲ相切于Q点。已知火星密度为地球密度的7
10，火星自身半径为
地球自身半径的1
2，地球表面重力加速度大小为g，则( )
A. P点处，“天问三号”在轨道I上的加速度小于在轨道Ⅱ上的加速度
B. Q点处，“天问三号”在轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要向前喷气
C. “天问三号”在轨道I、Ⅱ、Ⅲ上运动的全过程中，在轨道II上P点处运行速度最大
D. 火星表面的重力加速度大小约为7
10 g
【答案】C
【解析】A.根据G Mm
r
2 =ma，可知a= GM
r
2 ，在P点处，“天问三号”在轨道I上的加速度等于轨道Ⅱ上的加
速度，选项A 错误;
B.“天问三号”在轨道Ⅱ上的Q点做近心运动，需加速才能进入轨道Ⅲ做圆周运动，需要向后喷气，选项B
错误;
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
C.根据开普勒第二定律可知，在近点的速度大于远点的速度，可知“天问三号”在轨道Ⅱ上Q点速度小于P点
速度，“天问三号”在轨道Ⅰ上的P点做圆周运动，需加速才能进入轨道Ⅱ做离心运动，可知“天问三号”在轨
道Ⅰ上P点速度小于在轨道Ⅱ上P点速度，“天问三号”在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上均绕太阳做圆周运动，其线速度
满足GMm
r
2
=m v
2
r ，解得v =√
GM
r
，轨道Ⅲ半径大，故“天问三号”在轨道Ⅲ上运行速度小于在轨道Ⅰ上运
行速度，综上，“天问三号”在轨道Ⅱ上P点处运行速度最大，选项C 正确;
D.天体表面的重力加速度g= GM
R
2 ，又M = ρ 4
3 π R
3，代入得g= 4 πGρR
3
，因此g火= 7
20 g，选项D 错误。
故选C。
3. （单选）我国成功发射的长征五号遥八运载火箭携带嫦娥六号探测器被月球俘获并顺利进入环月轨道飞
行.如图所示，探测器在前往月球的过程中，首先进入“停泊轨道”绕地球做匀速圆周运动，在P点变速进入
“椭圆轨道”并通过椭圆上的远地点Q点，然后进入“转移轨道”，接近月球时，被月球引力“俘获”，再通过变
轨实现在“工作轨道”上匀速绕月飞行，然后择机降落.下列说法正确的是( )
A. 探测器在Q点受到地球的万有引力大小大于在停泊轨道上受到地球的万有引力大小
B. 探测器在椭圆轨道上P点的加速度大小等于在停泊轨道上的加速度大小
C. 探测器在P点由停泊轨道进入椭圆轨道必须减速
D. 探测器在椭圆轨道上运行时经过P点的速度比Q点的速度小
【答案】B
【解析】探测器在Q点与地球的距离大于在停泊轨道上与地球的距离，在Q点受到地球的万有引力小于在
停泊轨道上受到地球的万有引力，A 错误;
探测器在P点和停泊轨道上只受到万有引力，在P点与地球的距离和停泊轨道与地球的距离相同，所以受
到的万有引力大小相等，探测器在P点的加速度大小等于在停泊轨道上的加速度大小，B 正确;
在P点进入椭圆轨道，做离心运动，所以在P点必须加速，C 错误;
根据G Mm
r
2 =m v
2
r 可得v =√
GM
r
，在椭圆轨道上运行时经过P点的速度比Q点的速度大，D 错误．
题组2：卫星的对接问题
4. （单选）我国首个大型巡天空间望远镜(CSST )将于2024年发射升空，它将与我国空间站共轨并独立飞
行，已知巡天空间望远镜预定轨道离地面高度约为400km，地球同步卫星离地面高度约为36000km，下
列说法正确的是( )
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A. 巡天空间望远镜加速就可以与空间站对接
B. 巡天空间望远镜运行的线速度大于7.9km/ s
C. 巡天空间望远镜在轨道上运行的周期比同步卫星的周期大
D. 巡天空间望远镜的加速度大于放在赤道上物体的向心加速度
【答案】D
【解答】A.巡天空间望远镜加速会上升到更高的轨道，不能与空间站对接，A选项错误;
B.根据G Mm
r
2 =m v
2
r 可得v =√
GM
r
，r ⩾R，v ⩽7.9km/ s，B选项错误;
C.巡天空间望远镜的轨道半径比同步卫星的轨道半径小，由开普勒第三定律可知巡天空间望远镜在轨道上
运行周期比同步卫星的周期小，C选项错误;
D.根据G Mm
r
2 =ma可得a= GM
r
2 ，巡天空间望远镜的加速度大于同步卫星的加速度，同步卫星角速度等于
地球自转角速度，由a=ω
2r可得同步卫星的加速度大于放在赤道上物体的向心加速度，D选项正确。
故选D。
5.（单选）2016年10月19日凌晨，神舟十一号载人飞船与天官二号对接成功．两者对接后一起绕地球运
行的轨道可视为圆轨道，运行周期为T，已知地球半径为R，对接体距地面的高度为kR，地球表面的重力
加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是( )
A. 对接前，飞船通过自身减速使轨道半径变大靠近天官二号实现对接
B. 对接后，飞船的线速度大小为2πkR
T
C. 对接后，飞船的加速度大小为
g
(1+k )
2
D. 地球的密度为3 π(1+k )
2
GT
2
【答案】C
【解答】A.对接前，飞船在前，如果自身减速，在原轨道上万有引力大于所需要的向心力，做近心运动，
轨道半径变小，不能实现对接，故A 错误；
B.对接后，轨道半径r = R+kR =(1+k )R，飞船的线速度v = 2πr
T
= 2πR(1+k )
T
，故B 错误；
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
C.在地球表面附近，根据重力等于万有引力，mg=G Mm
R
2 ，得GM = g R
2；对接后，根据万有引力提供向
心力，有G Mm
r
2 =ma，得a= GM
r
2 =
g R
2
(1+k )
2 R
2 =
g
(1+k )
2，故C 正确；
D.根据万有引力提供向心力，有G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r，得地球质量
M = 4 π
2r
3
GT
2 = 4 π
2(R+kR)
3
GT
2
= 4 π
2(1+k )
3 R
3
GT
2
，密度ρ= M
V =
4 π
2(1+ k )
3 R
3
GT
2
4
3 πR
3
= 3 π (1+ k )
3
GT
2
，故D 错误。
故选C。
考点二 天体的追及相遇问题
题组1：相遇追及问题
6. （单选）司马迁最早把岁星命名为木星，如图甲所示，两卫星a、b环绕木星在同一平面内做匀速圆周
运动，绕行方向相反，卫星c绕木星做椭圆运动，某时刻开始计时，卫星a、b间距离x随时间t变化的关系
图像如图乙所示，其中R、T为已知量，下列说法正确的是( )
A. 卫星c在N点的速度大于卫星a的速度B. 卫星a、b的运动周期之比为1:4
C. 卫星a的运动周期为9
4 T D. 卫星a的加速度大小为64 π
2 R
49T
2
【答案】C
【解析】A.根据万有引力提供向心力G Mm
r
2 =m v
2
r ，可得v =√
GM
r
，
可知卫星 a 的速度大于卫星 b 的速度，卫星 c 在 N 点做近心运动，所以卫星 c 在N点的速度小于卫星 b
的速度，则卫星c在N点的速度小于卫星a的速度，故A 错误；
B.根据图乙可知卫星 a 、 b 最远距离为5 R，最近距离为 3 R ，则rb−ra=3 R，rb+ra=5 R，
可得ra= R，rb= 4 R，
根据万有引力提供向心力G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r，
可得T =2π√
r
3
GM
，
可知卫星a、b的运动周期之比为 1:8 ，故B 错误；
C.设卫星 a 的周期为 T a ，卫星 b 的周期为 T b ，根据两卫星从相距最远到相距最近有2π
T a
⋅T + 2π
T b
T = π，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
又T b=8T a，
联立解得T a= 9
4 T，故C 正确；
D.卫星a的加速度大小aa=( 2π
T a
)
2⋅ra= 64 π
2 R
81T
2 ，故D 错误。
故选C。
7. （单选）匀变速直线运动中我们学习了追及相遇问题，可以应用学过的知识进行迁移，解决天体运动过
程中的追及相遇问题。如图所示，A和B两行星绕同一恒星C做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为
T 1，B行星的周期为T 2，某一时刻两行星相距最远，则( )
A. 经过T 1+T 2两行星相距最近B. 经过
T 1T 2
2(T 2−T 1)
两行星相距最近
C. 经过T 1+T 2
2
两行星再次相距最远D. 经过
T 1T 2
2(T 2−T 1)
两行星再次相距最远
【答案】B
【解析】AB.根据 G Mm
r
2 =mω
2r 可知，A的角速度较大，两卫星最近时满足 (
2π
T 1
−2π
T 2)t = π
解得 t =
T 1T 2
2(T 2−T 1)
， 故A 错误，B 正确；
CD.两卫星最远时满足 (
2π
T 1
−2π
T 2)t =2π，解得 t = T 1T 2
T 2−T 1
，故CD 错误。故选B。
8. （单选）如图所示，A、B两颗卫星在同一平面内沿顺时针方向绕地球做匀速圆周运动，图示时刻A、
B连线与A的轨道相切，B与地心的连线与AB夹角为30
∘，A做圆周运动的周期为T，则从图示时刻至A、
B间的距离最小所用的最短时间为( )
A. (4+√2)
21
T
B. (4+√2)
28
T
C. (4 +√2)
7
T
D. (4+√2)
14
T
【答案】A
【解析】由题意及几何关系可知，A、B的轨道半径之比为r A:rB=1:2，
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
图示时刻，A、B与地心连线的夹角为60
∘，
设B做圆周运动的周期为T B，最短经过t时间A、B间的距离最小，
则有2π
T t −2π
T B
t = π
3 ，
根据开普勒第三定律有T
2
T B
2 = r A
3
rB
3 = 1
8，
则T B=2√2T，解得t = (4 +√2)
21
T。
故选A。
考点三 宇宙中的双星、三星模型
题组1：双星模型
1. （单选）宇宙中大多数恒星系都是双星系统，如图所示，两颗远离其他星系的恒星A和B在相互之间的
引力作用下绕O点做匀速圆周运动，且A星距离O点更近。轨道平面上的观测点P相对O点静止，观察发现
每隔T时间，两颗恒星与O、P共线。已知引力常量为G，其中一颗恒星的质量为m、另一颗恒星的质量为
3m，恒星的半径都远小于它们之间的距离。则以下说法正确的是( )
A. A的质量为m
B. 该双星系统的运动周期为T
C. A、B相距的距离为r =
3√
4GmT
2
π
2
D. 在相同时间里，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为1:3
【答案】C
【解析】A、双星系统的周期相同，相互之间引力等大，因此质量大的恒星半径较小，A的质量为3m，A
项错误;
BD、观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线，该双星系统的运动周期为2T，而单位时间内恒星与O
点连线扫过的面积S = π R
2
2T
，则相等时间内，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为1:9，B、D项
错误;
C、公式G m1m2
r
2
=m1r1 4 π
2
(2T )
2 =m2r2 4 π
2
(2T )
2，且r1+r2=r，解得A、B相距的距离为r =
3√
4GmT
2
π
2
，C项
正确。
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
2. （单选）如图所示为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径
大于B星的轨道半径，双星的总质量M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则下列说法中正确的是( )
A. A的质量一定大于B的质量
B. A的线速度一定小于B的线速度
C. L一定，M越小，T越小
D. M一定，L越小，T越小
【答案】D
【解析】B.双星系统中两颗恒星间距不变，是同轴转动，角速度相等，根据v =rω，因为rB<r A，故
v A>vB，故B 错误；
A.双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力大小相等，故mA r A ω
2=mBrBω
2
因为rB<r A，所以mB>mA，即B的质量一定大于A的质量，故A 错误；
CD .根据牛顿第二定律，万有引力提供向心力，有：G mA mB
L
2
=mA(
2π
T )
2
r A =mB(
2π
T )
2
rB
其中：r A+rB= L
联立解得T =2π√
L
3
G(mA+mB)
=2π√
L
3
GM
故L一定，M越大，T小，故C 错误；
M一定，L越小，T 越小，故D 正确。
故选D。
3.（单选）2024年9月10日，中国科学院国家天文台等团队发现了双星系统G3425中一颗是质量为太阳质
量的3.6倍的小质量黑洞，同时观测到该双星系统中的另一颗是质量为太阳质量的2.7倍的红巨星。关于双
星系统G3425，下列说法正确的是( )
A. 小质量黑洞所受的合外力大于红巨星所受的合外力
B. 小质量黑洞与红巨星的向心加速度大小之比为3:4
C. 小质量黑洞与红巨星的轨道半径之比为4:3
D. 小质量黑洞与红巨星的线速度大小之比为3:4
【答案】BD
【解析】A、设小质量黑洞和红巨星的质量分别为m1、m2，其向心力由彼此之间的万有引力提供，因此小
质量黑洞所受的合外力大小等于红巨星所受的合外力大小，故A 错误;
C、根据m1ω
2r1=m2ω
2r2，可得r1
r2
= m2
m1
= 3
4 ，即小质量黑洞与红巨星的轨道半径之比为3:4，故C 错误;
BD、根据a=ω
2r，v =ωr，可得小质量黑洞与红巨星的向心加速度大小之比、线速度大小之比都等于轨
道半径大小之比，为3:4，故BD 正确。
题组2：三星模型
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
4. （单选）开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测记录，发现了行星运动规律。通常认为，太阳保持
静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动，则开普勒第三定律中常量k1= R
3
T
2 ( R为行星轨道半径，T为运行周
期)。如图所示，三个质量均为m的天体相距为L成一直线排列，在万有引力作用下构成一稳定的星系。该
星系中有类似于开普勒第三定律中常量k2= L
3
T
2。已知引力常量为G，则k2的值为( )
A. 5Gm
16 π
2
B. Gm
4 π
2 C. 3Gm
4 π
2
D. (2+√2)Gm
4 π
2
【答案】A
【解析】设中心天体的质量为M，万有引力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可
得 G Mm
R
2 =m( 2π
T )
2 R
解得 R
3
T
2 = GM
4 π
2 =k1
在三星体系中，同理可得 G m
2
L
2 + G m
2
(2 L)
2 =m( 2π
T )
2 L
解得 L
3
T
2 = 5Gm
16 π
2 =k2
故选A。
5. （单选）“双星系统”与“三星系统”都是宇宙中常见的天体系统。两种系统中，天体均可在万有引力的作
用下绕共同的圆心做匀速圆周运动。如图分别为两种天体系统的示意图，图中五个球形天体的质量均为M，
天体连心线的长度均为L，引力常量为G。“双星系统”与“三星系统”运动周期之比为( )
A. √2:√3
B. √3:√2
C. 2:3
D. 3:2
【答案】B
【解析】对“双星系统”有 G M
2
L
2 = M 4 π
2
T
2 ⋅L
2 ，
对“三星系统”有 2G M
2
L
2 cos30
∘= M 4 π
2
T '
2 r ， 2r cos30
∘= L，
联立可得 T
T ' = √3
√2
。
故选B。
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
6. （多选）如图，P、Q、S三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，
绕圆心O在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用。则下列说法正确的是( )
A. P、Q、S三颗星体的运动线速度大小相等
B. P、Q、S三颗星体中S星的质量最小
C. P、Q、S三颗星体中S星的加速度最小
D. P、Q、S三颗星体中S星所受的合力最小
【答案】BD
【解答】A、三星系统是三颗星都绕同一圆心O做匀速圆周运动，因此它们转动的角速度相同，由线速度
与角速度的关系公式v =ωr，由于P、S两颗星体转动半径不同，所以线速度大小不相等，故A 错误；
C、由向心加速度公式a=ω
2r，S星体转动半径最大，所以加速度最大，故C 错误；
BD、由对称性可知，P、Q质量相等，星体P、S受力如图所示，合力都指向圆周运动的圆心O方向，
由几何关系结合平行四边形法则可知，F2> F1，所以S星所受的合力小于P星所受的合力，P、Q星受力情
况相同，所以S星所受的合力最小，故D 正确，
F2> F1，即G mPmQ
L
2
> G mPmS
L
2
，所以mQ>mS，所以S星的质量最小，故B 正确；
故选：BD。
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
11
