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11.2 磁场及运动电荷的作用
考点一 洛伦茨力................................................................................................................................................................... 1
题组1：洛伦茨力的理解..............................................................................................................................................1
题组2：洛伦茨力作用下带电体的运动.................................................................................................................. 3
考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动..........................................................................................................................5
题组1：半径公式与周期公式....................................................................................................................................5
题组2：圆心、半径、运动时间的确定.................................................................................................................. 8
考点三 带电粒子在有界磁场中的运动........................................................................................................................10
题组1：直线边界.........................................................................................................................................................10
题组2：平行边界.........................................................................................................................................................12
题组3：圆形边界.........................................................................................................................................................14
题组4：多边形边界.................................................................................................................................................... 17
11.2 磁场及运动电荷的作用
考点一 洛伦茨力
题组1：洛伦茨力的理解
1.（单选）如图，在一通有恒定电流的长直导线的右侧，有一带正电的粒子以初速度v0沿平行于导线的方
向射出。粒子重力及空气阻力均忽略不计，现用虚线表示粒子的运动轨迹，则下列选项中可能正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】电流周围存在磁场，根据安培定则可知，导线右侧的磁场方向是垂直纸面向里的，带正电的粒子
在磁场中运动受到洛伦兹力作用，
根据左手定则可以判断出粒子受到的洛伦兹力的方向是向左的，故粒子会向左偏转，
根据半径r = mv
qB 可知，粒子向左偏转的过程中磁感应强度增大，故半径r减小，故A 正确。
2. （单选）如图所示，带负电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力说法正
确的是( )
1
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A. 小球运动过程中的速度不变
B. 小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向左
C. 小球运动过程的加速度保持不变
D. 小球受到的洛伦兹力对小球做负功
【答案】B
【解析】A.小球受洛伦兹力和重力的作用，做曲线运动，速度时刻变化，故A 错误；
B.带负电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场中，小球受洛伦兹力和重力的作用做曲线运动，根
据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向左，故B 正确；
C.小球受洛伦兹力和重力的作用做曲线运动，重力始终竖直向下，洛伦兹力始终与速度方向垂直，且速度
方向时刻变化，合力方向时刻变化，根据牛顿第二定律，加速度的方向时刻变化，故C 错误；
D.洛伦兹力始终与速度方向垂直，洛伦兹力永不做功，故D 错误。
故选B。
3. （多选）如图所示，空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场。某带电粒子从M点以速率v0垂直电场
和磁场沿MN方向入射后沿直线运动，最终从N点射出。电场强度大小为E，磁感应强度大小为B，不计
粒子重力。下列说法正确的是( )
A. 粒子一定带正电
B. 粒子速率v0= E
B
C. 仅增大带电粒子的电荷量，粒子能从N点射出
D. 仅将带电粒子改为从N点沿NM方向入射，粒子能从M点射出
【答案】BC
【解析】A、粒子做直线运动，电场力和洛伦兹力平衡。假设粒子带正电，电场力方向与电场方向相同，
由左手定则判断洛伦兹力方向向上，若粒子带负电，电场力方向与电场方向相反，洛伦兹力方向向下，无
论粒子带正电还是负电，都可以使电场力和洛伦力平衡，所以粒子不一定带正电， A 错误。
2
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B、因为粒子做直线运动，电场力F E=qE与洛伦兹力FB=q v0 B平衡，即qE =q v0 B，可得v0= E
B ，B 正
确。
C、由qE =q v0 B可知，平衡条件与电荷量q无关，仅增大带电粒子的电荷量，电场力和洛伦兹力依然平衡，
粒子能从N点射出， C 正确。
D、仅将带电粒子改为从N点沿NM方向入射，此时电场力和洛伦力方向相同，不再平衡，粒子将发生偏
转，不能从M点射出， D 错误。
题组2：洛伦茨力作用下带电体的运动
4. （单选）如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长的固定绝缘杆MN，
小球Р套在杆上，已知P的质量为m，电荷量为+q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因
数为μ，重力加速度为g，小球由静止开始下滑，在运动过程中小球最大加速度为a0，最大速度为v0，则下
列判断正确的是( )
A. 小球开始下滑时的加速度最大
B. 小球的速度由1
2 v0增大至v0的过程中，小球的加速度一直减小
C. 当a= 1
2 a0时小球的速度v与v0之比v
v0
一定小于1
2
D. 当v = 1
2 v0时小球的加速度a与a0之比a
a0
一定小于1
2
【答案】B
【解析】A.小球刚开始下滑时受到竖直向下的重力 mg ，水平向左的电场力 Eq ，水平向右的弹力 F N 以
及竖直向上的滑动摩擦力 Ff ，且此时滑动摩擦力Ff = μEq，竖直方向根据牛顿第二定律有
mg−μEq =ma1，而随着小球速度的增加，小球所受洛伦兹力由0逐渐增大，根据左手定则可知洛伦兹力
的方向水平向右，则在小球运动后水平方向有Eq = Bqv + F N，可知随着小球速度的增加，杆对小球的弹力
减小，致使杆对小球的摩擦力减小，而当洛伦兹力的大小等于小球所受电场力大小时，杆对小球的弹力为
零，此时小球在竖直方向仅受重力，加速度达到最大，为重力加速度，即 a0= g ，而随着小球速度的进一
步增大，洛伦兹力将大于电场力，杆上再次出现弹力，方向水平向左，则摩擦力再次出现，竖直方向的合
外力减小，加速度减小，直至摩擦力等于小球重力时，小球速度达到最大值，此后小球将做匀速直线运动，
因此小球开始下滑时的加速度不是最大，故A 错误；
B.小球刚开始运动时根据牛顿第二定律有mg−μEq =ma1，解得a1= g−μEq
m ，而根据A中分析可知，加
速度最大为重力加速度，即在整个过程中加速度先由 a1 逐渐增大到 a0 ，再由 a0 逐渐减小为0，假如开始
时加速度是由0开始增加的，则根据运动的对称性可知，当加速度最大时速度小球速度恰好达到 1
2 v0 ，但
实际上加速度并不是由0开始增加的，因此可知，当加速度最大时小球的速度还未达到 1
2 v0 ，而加速度最
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大之后由于摩擦力的再次出现，小球开始做加速度减小的加速运动，由此可知，小球的速度由 1
2 v0 增大
至 v0 的过程中，小球的加速度一直减小，故B 正确；
C.当 a= 1
2 a0 时小球可能正在做加速度增大的加速运动，也可能正在做加速度减小的加速运动，根据B中
分析可知，若小球正在做加速增大的加速运动，则v与 v0 之比 v
v0
一定小于 1
2 ，但若小球正在做加速减小
的加速运动，则v与 v0 之比 v
v0
一定大于 1
2 ，故C 错误；
D.由B中分析可知，小球的加速度 a0= g 时，即加速度达到最大时，小球的速度还不到 1
2 v0 ，因此
当 v = 1
2 v0 时小球的加速度a一定小于 a0 ，当速度 v = 1
2 v0 时对小球由牛顿第二定律有
mg−μ(Bqv −Eq)=ma，即ma0−μ( 1
2 Bq v0−Eq)=ma，而当小球速度最大时有mg= μ(Bq v0−Eq)，
两式联立可得ma0−(
ma0
Bq v0−Eq )( 1
2 Bq v0−Eq)=ma，化简可得a
a0
=
Bq v0
2(Bq v0−Eq) > 1
2，故D 错误。
故选B。
5. （单选）下端封闭，上端开口，内壁光滑的细绝缘玻璃管竖直放置，管底放一个直径略小于玻璃管内径
的带正电小球。空间存在着水平方向垂直纸面向里的匀强磁场，以带电小球所在初始位置为原点，建立坐
标系如图所示。使玻璃管保持竖直沿x轴正方向匀速运动，小球离开管之前的运动轨迹正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】小球随玻璃管在水平方向做匀速直线运动，根据左手定则，竖直方向受向上的洛伦兹力，大小为
F =qvB是恒力，由牛顿第二定律得 qvB−mg=ma，可知小球的加速度不随时间变化，恒定不变，故小球
竖直方向做匀加速直线运动，水平方向做匀速直线运动，则小球运动轨迹是开口向上的抛物线。
故选B。
6. （多选）如图所示，竖直平面内固定一足够长绝缘直杆，与水平面间的夹角为α。杆处于足够大的匀强
磁场中，磁场方向垂直于杆所在平面，磁感应强度大小为B。一个带负电的环套在杆上，环与绝缘直杆间
的动摩擦因数为μ( μ<tan α )。将环由静止释放到环速度到v2过程中，当环的速度为v1时其加速度最大，
环的最大速度为v2。重力加速度为g，下列说法正确的是( )
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A. 环受到的洛伦兹力一直增大B. 环受到杆的弹力一直减小
C. 环的最大加速度为gcosα
D. v2
v1
=1+ tan α
μ
【答案】AD
【解析】A.环在杆上先做加速运动，当达到最大速度以后做匀速运动，根据f =qvB可知，环由静止释放到
环速度到 v2 过程中，环受到的洛伦兹力一直增大，选项A 正确；
BC .环受到的洛伦兹力方向向上，开始阶段 F N =mgcosα −qvB，环受到杆垂直杆向上的弹力，随速度增
加，洛伦兹力增加，则环受到杆的弹力减小；当 F N =mgcosα −q v1B =0 时，摩擦力为零，此时加速度
最大，此时 v1= mgcosα
qB
，最大加速度为 am= gsin α，以后洛伦兹力继续增加时 F N =qvB−mgcosα，
环受到杆的弹力垂直杆向下且逐渐变大，可知环受到杆的弹力先减小后增加，选项BC 错误；
D.当速度最大时加速度为零，则 mgsin α = μ(q v2B−mgcosα )，解得 v2= mgsin α
μqB
+ mgcosα
qB
，解
得 v2
v1
=1+ tan α
μ
，选项D 正确。
故选AD。
考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动
题组1：半径公式与周期公式
1. （单选）如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．a、b、c是三个质
量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在
磁场中的运动轨迹．粒子重力不计．下列说法正确的是( )
A. 粒子a带负电B. 粒子c的动能最大
C. 粒子b在磁场中运动的时间最长
D. 粒子b在磁场中运动时的向心力最大
【答案】D
【解析】A.根据左手定则知粒子a带正电，粒子b、c带负电，A 错误；
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B.粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，根据 qvB =m v
2
r
，可得： r = mv
qB ，粒子的
动能EK = 1
2 mv
2，则可知三个质量、电荷量相同的带电粒子，在同一个磁场中，当速度越大时、轨道半径
越大，则由图知，c粒子速率最小，b粒子速率最大，即b粒子动能最大，向心力最大．故B 错误，D 正确．
D.根据 t = θ
2π ⋅2πm
qB = θm
qB ，则c粒子圆弧转过的圆心角最大，时间最长，选项C 错误；
故选D．
2. （单选）一个电子以某速度从a点出发，通过两个方向垂直纸面的有界匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ到达b点，
路径如图所示，电子在每个区域内的轨迹都是半圆。下列说法正确的是( )
A. 两个磁场的方向相同
B. 电子在区域Ⅰ中运动的时间较长
C. 电子以相同的速度大小从b点反向出发可返回a点
D. 质子以与电子大小相同的动量从b点反向出发可到达a点
【答案】D
【解析】A.由左手定则知区域Ⅰ磁场方向垂直纸面向里，区域Ⅱ磁场方向垂直纸面向外，故A 错误；
B.洛伦兹力不做功，所以电子在两磁场运动速度大小相等，由洛伦兹力提供向心力有Bqv =m v
2
r
，解得
r = mv
qB
由图可知，电子在区域Ⅱ磁场的半径较大，则区域Ⅱ磁场磁感应强度较小，又有T = 2πr
v ，得T = 2πm
Bq ，
可知，电子在区域Ⅱ磁场运动的周期较大，因为电子在两磁场区域都是运动半圆，所以时间都为t = T
2 ，可
知，电子在区域Ⅱ磁场运动的时间较长，故B 错误；
C.电子以相同的速度大小从b点反向出发，经过区域Ⅱ时由左手定则知受到的洛伦兹力向下，所以电子不
能返回a点，故C 错误；
D.质子与电子的电荷量相等，若质子以与电子大小相同的动量进入磁场，由Bqv =m v
2
r
，得r = mv
Bq ，可知
它们在磁场运动的半径相等，所以质子从b点反向出发可到达a点。故D 正确。
故选D。
3. （单选）如图所示，两相邻且范围足够大的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度方向平行、大小分别为B
和2B。一带正电粒子(不计重力)以速度v从磁场分界线MN上某处射入磁场区域Ⅰ，其速度方向与磁场方
向垂直且与分界线MN成60°角，经过t1时间后粒子进入磁场区域Ⅱ，又经过t2时间后回到磁场区域Ⅰ。设
粒子在区域Ⅰ、Ⅱ中的角速度分别为ω1、ω2，则 ( )
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A. ω❑1:ω❑2=1:1
B. ω❑1:ω❑2=2:1
C. t❑1:t❑2=1:1
D. t❑1:t❑2=2:1
【答案】D
【解析】 由洛伦兹力充当向心力，可知Bqv =m v
2
R
，根据匀速圆周运动线速度和角速度的关系v = Rω，联
立解得ω= Bq
m ，可知对于同一粒子，角速度与磁感应强度成正比，故ω1:ω2=1:2，选项A、B 错误；粒
子在两磁场中运动轨迹如图所示，粒子在Ⅰ中的偏转角为120°，在Ⅱ中的偏转角为120°，由T = 2πm
Bq 可
知，粒子在Ⅱ中的周期为Ⅰ中周期的一半，则由t = θ
2π T可知，t1:t2=2:1，选项C 错误，D 正确。
题组2：圆心、半径、运动时间的确定
4. （单选）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，
速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运
动的时间分别为t1、t2和t3，则( )
A. t1<t2=t3 B. t1<t2<t3 C. t1=t2>t3 D. t1>t2>t3
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【答案】A
【解析】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为 t = s
v0
设正方形abcd的边长为l，则 s1= π ⋅l
4 ， s2= π ⋅l
2 ， s3= π
2 ⋅l
则有t1 < t2 = t3
故选A。
5. （多选）如图所示，真空中以坐标原点O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外、磁感应强
度大小为B的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从x轴上的O'点以一定的速度射入磁场，粒
子进入磁场时速度方向与x轴正方向的夹角为45°，离开磁场时速度方向与y轴平行，不计粒子受到的重力，
下列说法正确的是
A. 粒子射入磁场时的速度大小为qBR
m
B. 粒子在磁场中运动的时间为3 πm
4 qB
C. 粒子经过x轴时的横坐标为R
2
D. 粒子射出磁场时的坐标为(
√2 R
2
, √2 R
2 )
【答案】AB
【解析】如图所示，粒子离开磁场时速度方向与y轴平行，粒子的轨迹半径为R，根据洛伦兹力提供向心
力有q v0 B = m v0
2
R
，解得v0= qBR
m ，选项A 正确;
粒子在磁场中做圆周运动的周期T = 2πm
qB ，运动的时间为t =
3
4 π
2π ·T = 3 πm
4 qB
，选项B 正确;
根据几何关系可知，粒子经过x轴时的横坐标为(√2−1)R，选项C 错误;
根据几何关系可知，粒子射出磁场时的坐标为( √2 R
2
,−√2 R
2
)，选项D 错误。
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6.如图所示，在xOy平面内，y轴左侧空间分布着水平向右的匀强电场，y轴右侧空间分布着垂直纸面向外
的匀强磁场。某时刻有一带正电的粒子以初速度v0沿平行于y轴正方向从A点射出，粒子从C点进入磁场，
在磁场中运动一段时间后恰好又回到A点。已知A点坐标为(−d ,0)，C点坐标为(0,2d)，粒子的质量为m，
电荷量为q，不计粒子所受的重力。求：
(1) y轴左侧匀强电场的电场强度大小E；
(2) y轴右侧匀强磁场的磁感应强度大小B；
(3)带电粒子从A点开始运动到再次回到A点的时间t。
【答案】解：(1)粒子在电场中做类平抛运动，设粒子从A点到C点所用时间为t1，
根据运动规律有2d = v0t1
沿x轴方向，粒子做初速度为0的匀加速直线运动，有a= qE
m ，d = 1
2 at1
2，
联立得：E = mv0
2
2qd
；
(2)设粒子到达C点时沿x轴方向速度的大小为v x，有v x =at1= v0，
设粒子到达C点时的速度大小为v，方向与y轴正方向的夹角为θ，
则v =√v x
2+ v y
2 =√2v0，tanθ = v x
v0
=1，θ = 45°，
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，
根据几何关系有2d =r sinθ，
粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有qvB = mv
2
r
，
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解得B = m v0
2qd
；
(3)粒子在磁场中运动的时间t2=
3
2 πr
v
= 3 πd
v0
，
粒子从A点开始运动到再次回到A点的时间t =t2+2t1，
解得t = (4 +3 π )d
v0
。
考点三 带电粒子在有界磁场中的运动
题组1：直线边界
1. （单选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为
m、电荷量为q的带负电粒子与MN成θ角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间为( )
A. θm
qB
B. (2π −θ)m
qB
C. 2θm
qB D. (2π −2θ)m
qB
【答案】D
【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得qvB =m v
2
R
根据线速度和周期的关系，可得：v = 2πR
T
联立解得T = 2πm
qB
轨迹对应的圆心角为2π −2θ
则时间为(2π −2θ)m
qB
故选D。
2. （多选）如图所示，空间中有一块足够长的荧光屏，上方有垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B的匀
强磁场。荧光屏上P点有一个小孔，通过小孔向荧光屏上方不断发射质量为m，电荷量为q的带电粒子，速
率为v，均匀分布在PA和PC之间，PQ垂直于荧光屏，PA与PQ的夹角为α，PC与PQ的夹角为β，α > β，
且α + β =90°，不计粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
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A. 若带电粒子带正电，则荧光屏P点左侧出现一条亮线，亮线长度为2mv
qB
(1−cosα )
B. 若带电粒子带负电，则荧光屏P点右侧出现一条亮线，亮线长度为2mv
qB
(1−cos β)
C. 若带电粒子正负电性均存在，则荧光屏上出现一条亮线，亮线长度为4 mv
qB
D. 若带电粒子带正电，则打在荧光屏上距P点距离大于2mv
qB cos β的粒子占总粒子数的4 β
π
【答案】AD
【解析】根据 qvB = mv
2
R
，粒子在磁场中的轨道半径 R = mv
qB ，
ABC .入射速度与 PQ 的夹角为 θ 时，打在荧光屏上的位置距 P 点的距离为 2 R cosθ = 2mv
qB cosθ，由
于 cosα <cos β，所以无论是正电还是负电，沿 PA 方向入射打在屏上的点离 P 点最近为 2 R cosα ，
沿 PQ 方向入射打在屏上的点离 P 点最远为2 R，因此若带正电荷，亮线在P点左侧，长度
为 2mv
qB
(1−cosα ) ，若带负电荷，亮线在P点右侧长度为 2mv
qB
(1−cosα ) ，故A 正确，BC 错误；
D.关于 PQ 做 PC 的对称线 PC ' ，可知入射方向在 PC 和 PC ' 之间的粒子，打在荧光屏上的位置距 P
点距离大于 2mv
qB cos β ，可知所占比例为
2 β
π
2
= 4 β
π ，故D 正确。
故选AD。
3.如图所示，PQ、MN为相互平行、间距为L的长直边界，在两边界外侧均存在垂直于纸面向里的匀强磁
场，且MN右侧磁场的磁感应强度大小为B。一带正电粒子从MN边界上O点以大小为v0的初速度垂直于
边界平行纸面射入右侧磁场区，一段时间后粒子又从右侧磁场向左经过O点，已知该粒子的质量为m，电
荷量为q，粒子的重力不计。求：
(1)粒子第一次穿过MN时的位置到O点的距离;
(2)粒子从刚射入右侧磁场至第一次到达边界PQ的时间;
(3)左侧磁场的磁感应强度大小。
【答案】解：(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，设带电粒子在右侧匀强磁场中运动的轨道半径为r，则
q v0 B = mv0
2
r
，
粒子第一次穿过MN时的位置到O点的距离l =2r = 2m v0
qB
；
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(2)在右侧磁场区粒子做匀速圆周运动，周期T = 2πr
v0
= 2πm
qB ，
在右侧磁场中运动时间t1= T
2 = πm
qB ，
粒子在中间无磁场区运动时间t2= L
v0
，
则粒子运动的时间t =t1+t2= πm
qB + L
v0
；
(3)设左侧匀强磁场的磁感应强度为B'，粒子在PQ左侧匀强磁场中运动的轨道半径为R，则q v0 B' = m v0
2
R
，
由几何关系可得n⋅(2 R−2r )=2r，解得R = n+1
n
r(n=1、2、3⋯)，
由以上几式可得B' =
n
n+1 B(n=1、2、3⋯)。
题组2：平行边界
4. （单选）如图所示，有界匀强磁场边界线SP// MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射
入磁场。其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设粒子从S到a、
b所需时间分别为t1和t2，则t1:t2为(重力不计) ( )
A. 1:3
B. 4:3
C. 1:1
D. 3:2
【答案】D
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T = 2πm
qB ，由此可知，粒子的运动时间与粒子的速度大小
无关，所以速率不同的同种带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同，由几何关系可知，通过a点的
粒子的偏转角为90°，通过b点的粒子的偏转角为60°，所以通过a点的粒子的运动时间为T
4 ，通过b点的
粒子的运动时间为T
6 ，所以t1:t2=3:2，故A、B、C 错误，D 正确。
5. （多选）真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边
界。质量为m、电荷量为+q的粒子(不计重力)沿着与MN夹角θ =30
∘的方向射入磁场中，刚好没能从PQ
边界射出磁场。下列说法正确的是( )
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A. 粒子射入磁场的速度大小为2(2−√3)Bql
m
B. 粒子在磁场中运动的半径大小为
2l
2−√3
C. 粒子在磁场中运动的时间为πm
3qB
D. 粒子在磁场中运动的时间为5 πm
3qB
【答案】AD
【解析】B.粒子刚好没能从 PQ 边界射出磁场，表明粒子运动轨迹与 PQ 边相切，根据几何关系
有 l = R+ R cosθ，解得 R =
2l
2+√3 ，故B 错误；
A.粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 qvB =m v
2
R
，结合上述解得 v = 2(2−√3)Bql
m
，故
A 正确；
CD .根据几何关系可知，粒子圆周运动的圆心角 α =360
∘−2θ =300
∘，粒子圆周运动的周
期 T = 2πR
v
= 2πm
qB ，粒子在磁场中运动的时间为 t =
α
360
∘T，结合上述解得 t = 5 πm
3qB ，故C 错误，D 正确。
故选AD。
6. （单选）如图所示，ABCD为一正方形边界的匀强磁场区域，磁场边界边长为L。A处有一个粒子发射
器，能够沿AC方向发射大量相同的带电粒子，其速度大小连续分布在v0∼2v0之间。以速度v0射入的粒
子，从D点射出。不计粒子间的相互作用力，根据以上信息，可以确定( )
A. 在磁场中运动的半径满足L≤r ≤2 L
B. 以速度2v0射入的粒子，从CD中点垂直磁场边界射出
C. 以速度2v0射入的粒子在磁场中运动时间是以速度v0射入的两倍
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D. 所有粒子在磁场中运动经过区域所形成图形的面积为π −2
8
L
2
【答案】D
【解析】A.根据qvB =m v
2
r
可得r = mv
qB ，根据几何关系可知以速度v0射入的粒子，从D点射出，轨迹半径
r1= √2
2 L= mv0
qB
，以速度2v0射入的粒子，轨迹半径r2= 2mv0
qB
=√2 L，在磁场中运动的半径满足
√2
2 L≤r ≤√2 L，A 错误；
B.以速度2v0射入的粒子，射出磁场速度方向与CD边界垂直，根据几何关系可知出射点到D点距离为
(√2−1) L，B 错误；
C.根据周期公式T = 2πm
qB ，T与速度无关，以速度2v0射入的粒子在磁场中运动轨迹对应圆心角45°，v0射
入时圆心角90°，以速度2v0射入的粒子在磁场中运动时间是以速度v0射入的一半，C 错误；
D.由几何关系，设s1= 1
8 π(√2 L)
2−1
2 L
2，s1= 1
4 π( √2
2 L)
2−1
2(
√2
2 L)
2
所有粒子在磁场中运动经过区域所形成图形的面积s= s1−s2
s= π −2
8
L
2，D 正确。
题组3：圆形边界
7. （单选）如图所示，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，将两个带电粒子1、2从静止开始分别
经不同电场加速后从P点沿直径PQ方向射入磁场，发现粒子1、2分别从A、B两点沿半径方向射出磁场，
且它们在磁场中运动的时间相等，A、B两点恰好将半圆三等分，不考虑带电粒子的重力和粒子间的相互
作用，下列说法正确的是( )
A. 粒子1、2都带正电
B. 粒子1、2在磁场中运动的圆心角之比1：2
C. 粒子1、2在磁场中运动的半径之比1:√3
D. 加速带电粒子1、2的加速电压之比2：9
【答案】D
【解析】A.由题知，带电粒子从P点射入后向下偏转，则根据左手定则可知粒子1、2均带负电，故A 错误；
B.设磁场的半径为R，粒子1、2在磁场中做圆周运动，画出粒子1、2运动轨迹如图所示
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由几何知识可知，粒子做圆周运动转过的圆心角分别是θ1=120°，θ2=60°
则粒子1、2在磁场中运动的圆心角之比为2：1，故B 错误；
C.设粒子的运动轨道半径为r1，r2，则有r1= R tan30
∘= √3
3 R，r2= R tan 60
∘=√3 R
解得r1:r2=1:3，故C 错误；
D.设加速带电粒子1、2的加速度分别为U 1和U 2，则有q1U 1= 1
2 m1v1
2，q2U 2= 1
2 m2v2
2
它们在磁场中运动的时间相等，则有1
3 × 2π m1
q1B = 1
6 × 2π m2
q2B
又根据带电粒子在磁场中做圆周运动有：qvB = m v
2
r
则v1
v2
= q1r1m2
q2r2m1
联立解得U 1
U 2
= 2
9
故D 正确。
故选：D。
8. （单选）如图所示，半径为R的圆形区域存在垂直纸面的匀强磁场，圆心为O，质子和α粒子先后从边
界上P点沿半径方向飞入磁场。只考虑洛伦兹力作用，它们在磁场中运动的时间相同，α粒子在磁场中做
圆周运动的轨迹半径为3 R。质子和α粒子的动能之比Ekp
Ekα
约为( )
A. √6
3
B. 2
3
C. 4
9
D. 16
81
【答案】D
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【解析】设磁感应强度垂直纸面向外，大小为B，质子的质量和带电荷量分别为m、q，则α粒子的质量和
带电荷量分别为4 m、2q，由带电粒子(电荷量q0，质量m0)在匀强磁场中做圆周运动的周期公式：
T = 2π m0
q0 B
可知，质子和α粒子在磁场中做圆周运动的周期之比：T p
T α
= 1
2
设质子和α粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角分别为θ p和θα，轨迹半径分别为r p和rα，它们在磁场中运
动的时间相等，有：θ p
2π T p= θα
2π T α
可知：θ p
θα
= 2
1
根据题意可知二者的轨迹如图所示，
由几何关系可知：tan θ p
2 = R
r p
,sinθα =
R
rα−r p
由题意知：rα =3 R
联立以上各式可可得：r p= 4
3 R
设它们的速度分别为v p和vα，由洛伦兹力提供向心力有：q0vB =m0
v
2
r
可以得到：v = q0 Br
m0
所以粒子的动能：Ek = 1
2 m0v
2= q0
2 B
2r
2
2m0
将两种粒子的比荷及半径代入可得：质子和α粒子的动能之比：Ekp
Ekα
= 16
81
故选：D。
9. 如图所示，直径分别为d和2d的同心圆处于同一竖直面内，O为圆心，MN为大圆的水平直径。两圆之
间的环形区域(Ⅰ 区)存在垂直圆面向里的匀强磁场，小圆内部(Ⅱ区)存在垂直圆面向外的匀强磁场。质量为
m、电量为+q的粒子由N点紧靠大圆内侧以速度v竖直向上射入磁场。不计粒子的重力。
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(1)若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小;
(2)若Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小均为B = 2mv
qd ，粒子运动一段时间后再次经过N点，求这段时间粒子运
动的路程。
【答案】(1)设Ⅰ区内磁感应强大小为B，粒子做圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得：qvB =m v
2
r
粒子的运动轨迹与小圆相切有两种情况，若粒子轨迹与小圆外切，由几何关系可得：
r1= d
4
解得：B = 4 mv
qd
若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得：
r2= 3d
4
解得：B = 4 mv
3qd
(2)
由题意可知，Ⅰ区和Ⅱ内的磁感应强度大小均为：
B = 2mv
qd
设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的半径分别为r，由牛顿第二定律可得：qvB =m v
2
r
代入解得：r = d
2
粒子在Ⅰ区域转过两个圆心角θ 1= 4
3 π的圆弧;粒子在Ⅱ区域转过两个圆心角θ 2= 1
3 π的圆弧
则这段时间粒子经过的路程：S = 2(θ1+θ2)
2π
⋅2πr = 5 πd
3
题组4：多边形边界
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10. （多选）如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外存在垂直于abc所在平面向里的匀强磁场，磁感
应强度大小为B，P、Q两点分别为ab边的三等分点。t =0时刻，带负电的粒子在abc平面内以初速度v0从
a点垂直于ac边射出，从P点第一次进入三角形abc区域。不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A. 粒子的比荷为3 v0
BL
B. 粒子可以运动到Q点
C. 粒子第一次到达c点的时间为( 4 π +√3
9
) L
v0
D. 粒子第一次回到a点的时间为( 4 π +3√3
3
) L
v0
【答案】AD
【解析】A、粒子在磁场中的轨迹如图所示，
由图可知，粒子的轨迹半径为：r = L
3
根据洛伦兹力提供向心力：q v0 B = mv0
2
r
解得：q
m = 3 v0
BL
，故A 正确；
B、由图知，粒子不能运动到Q点，故B 错误；
C、粒子从a点到P点的时间：t1= 60°
360
∘T = 60°
360
∘×
2π
3 v0
BL ⋅B
= πL
9 v0
粒子从P点到M点的时间：t2= xPM
v0
= √3 L
3 v0
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粒子从M点到c点的时间：t3= 180°
360
∘⋅
2π
3 v0
BL ⋅B
= πL
3 v0
粒子第一次到达c点的时间为：t =t1+t2+t3=( 4 π +3√3
9
) L
v0
，故C 错误；
D、由图可知，粒子第一次回到a点相当于3个从a到c的时间，则所用的时间为：t ' =3t =( 4 π +3√3
3
) L
v0
，
故D 正确。
故选：AD。
11. （单选）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁
场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为−q(q>0)的带电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射
入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，下列说法正确的是( )
A. 粒子可能从B点射出
B. 若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为√3
2 L
C. 若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为πm
3q B0
D. 所有从AB边射出的粒子，其在磁场中运动的时间都不相等
【答案】C
【解析】A.带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由
于BC边的限制，粒子不能到达B点，故A 错误；
B.粒子垂直于BC边射出，如图甲所示
则粒子做匀速圆周运动的半径等于D点到BC边的距离，即 R1= 1
2 Lsin 60
∘= √3 L
4
，故B 错误；
C.若粒子从C点射出，如图乙所示
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根据几何关系有 r
2=(r −L
2 sin 60
∘)
2
+(L−L
2 cos60
∘)
2
解得 r = √3
2 L
由几何关系可得 sin ∠O =
L−L
2 cos60
∘
r
= √3
2
则∠O =60°
则粒子在磁场中运动的时间为 t = 60
∘
360
∘⋅2πm
q B0
= πm
3q B0
，故C 正确；
D.若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示
由几何知识可知，所有粒子从AB边射出时的圆心角均相同，可知其在磁场中运动的时间均相同，故D 错
误。
故选C。
12. （多选）如图，等腰直角三角形abc区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。三
个相同的带正电粒子从b点沿bc方向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t1、t2、
t3，且t1∶t2∶t3=3∶3∶1。直角边bc的长度为L，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确
的是( )
A. 三个速度的大小关系一定是v1= v2<v3
B. 三个速度的大小关系可能是v2<v1<v3
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C. 粒子的比荷q
m = π
Bt1
D. 粒子的比荷q
m = v3
2BL
【答案】BD
【解析】AB.由于t1∶t2∶t3=3∶3∶1，作出粒子运动轨迹图如图所示：
它们对应的圆心角分别为90°、90°、30°，由几何关系可知轨道半径大小分别为R2< R3，R1< R3，粒子1、
2打在ab上但半径不一定相等，R1、R2大小无法确定。
由qvB =m v
2
R
得v = qBR
m ，可知三个速度的大小关系可能是v2<v1<v3，选项A 错误，B 正确；
C.对粒子1，粒子运动周期T = 2πR
v
= 2πm
qB ，则t1= 1
4 T = πm
2qB ，解得q
m =
π
2Bt1
，选项C 错误；
D.对粒子3，有q v3 B =m v3
2
R3
，又R3=2 L，解得粒子的比荷q
m = v3
2BL
，选项D 正确。
13. （多选）如图所示，在正六边形ABCDEF区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，甲、乙两个质子以
不同的速率，先后从A点沿AD方向射入磁场，其中甲质子从F点射出，乙质子从E射出。不计质子的重力，
则甲、乙两质子( )
A. 速率之比为1:3
B. 速率之比为3:1
C. 在磁场中运动的时间之比为1:2
D. 在磁场中运动的时间之比为2:1
【答案】AD
【解析】根据洛伦兹力提供向心力qvB =m v
2
r
可得r = mv
qB
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设正六边形的边长为a，甲质子从F点射出，根据几何关系知r1= √3
3 a
乙质子从E点射出，根据几何关系知r2=√3a
则甲、乙两质子的速率之比v1
v2
= r1
r2
= 1
3，故A 正确，B 错误；
质子在磁场中做圆周运动的周期T = 2πm
qB 相同
甲质子从F点射出，转过120°角，运动时间t1= 1
3 T
乙质子从E点射出，转过60°角，运动时间t2= 1
6 T
则甲、乙两质子在磁场中的运动时间之比t1
t2
= 2
1，故C 错误，D 正确。
22
