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训练二十二 带电粒子在立体空间中的运动
题型一 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动
知识梳理
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的．现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中
就做螺旋线运动．这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动．
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种
运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动．
例1 如图所示，质子以初速度v进入磁感应强度为B且足够大的匀强磁场中，速度方向与磁场方向的夹
角为θ.已知质子的质量为m、电荷量为e.质子重力不计，则下列说法正确的是( )
A．质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里
B．质子在垂直于磁场平面做圆周运动的半径为
C．质子做螺旋线运动的周期为
D．一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为
答案 D
解析 将质子的初速度分解为垂直于磁场方向的速度v＝vsin θ，沿磁场方向的速度v＝vcos θ，质子
1 2
沿垂直磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做匀速直线运动，则质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中
轴线方向平行磁场方向，选项A错误；质子做螺旋线运动的半径为r＝＝，选项B错误；质子做螺旋线运
动的周期为T＝＝，选项C错误；一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为x＝vT
2
＝，选项D正确．
变式训练1 (2023·山东菏泽市模拟)在空间中存在水平向右的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为
B，电场强度大小为E，方向均沿x轴水平向右．在O点，一个α粒子(氦原子核)以速度v沿与x轴夹角为
0
60°的方向射入电、磁场，已知质子质量为m、电荷量为q，不计α粒子的重力．求：
(1)α粒子离x轴的最远距离；
(2)α粒子从O点射出后，第3次与x轴相交时的动能．
答案 (1) (2)2mv2＋(v＋)
0 0
解析 (1)由题意可知α粒子的质量为m＝4m、电荷量为q＝2q，将α粒子的初速度分解成沿x轴方向
α α
的分速度v与垂直x轴方向的分速度v，则有
x y
v＝vcos 60°＝v，v＝vsin 60°＝v
x 0 0 y 0 0
由于v与磁场方向平行，不受洛伦兹力影响，电场方向沿着x轴方向，只影响v，不影响v，故α粒子在
x x y
电、磁场中的运动可分解为：垂直于x轴的平面
内做匀速圆周运动，沿x轴方向做匀加速直线运动．对于垂直于x轴平面内的匀速圆周运动，有qvB＝
α ym，解得圆周运动半径r＝＝＝，故α粒子离x轴的最远距离是直径的长度，即为；
α
(2)α粒子从O点射出后，第3次与x轴相交时，由于在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，可知此过程
经历的时间t＝3T＝3×＝，沿x轴方向的匀加速直线运动所通过的位移x＝vt＋at2，又加速度a＝＝，解
x
得x＝(v＋)
0
α粒子从O点射出后到第3次与x轴相交的过程，由动能定理有qEx＝E－mv2
α k α 0
联立解得α粒子从O点射出后，第3次与x轴相交时的动能E＝2mv2＋(v＋)．
k 0 0
题型二 带电粒子在立体空间中的偏转
知识梳理
分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系．带电粒子依
次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界
处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题．有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动
(比如螺旋线运动和旋进运动)来求解．
例3 (2022·山东卷·17)中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加
速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，0
