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重难点 10 磁场
1.命题情境源自生产生活中的与磁场的相关的情境或科学探究情境，解题时能从具体情境
中抽象出物理模型，正确应用磁场知识、安培力、洛伦兹力、动力学等解决物理实际问题。
2.选择题命题中主要考查磁感应强度的叠加，安培力、洛伦兹力大小和方向等知识点。立
体空间的磁场加大了立体空间的思维能的考查。
3. 命题中经常注重物理建模思想的应用，具体问题情境中，抽象出物体模型。带电粒子在
有界磁场中的运动，带电粒子在电场和磁场组合场或复合场中运动的考查，利用动力学和
功能关系、动量守恒等思想分析问题和解决问题。
4. 命题中经常出现巧妙利用三类动态圆模型（平移圆、旋转圆、缩放圆）解决大量带电粒
子沿不同方向进入有界磁场运动的问题。
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．（2023·黑龙江·校联考模拟预测）智能手机安装适当的软件后，利用传感器可测量磁感
应强度B的大小。如图甲所示，在手机上建立三维坐标系，手机显示屏所在平面为xOy面。
某同学在某地对地磁场进行了两次测量，将手机显示屏朝上平放在水平桌面上测量结果如
图乙，之后绕x轴旋转某一角度后测量结果如图丙，图中显示数据的单位为μT（微特斯
拉）。已知手机显示屏的面积大约为0.01m2，根据数据可知两次穿过手机显示屏磁通量的
变化量约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，计算通过手机显示屏的磁通量时，应利用地磁场的z轴分量，则图甲
时穿过显示屏的磁通量大小约为图乙时穿过显示屏的磁通量大小约为
由数据可得，第一次地磁场从手机显示屏穿过，z轴磁场分量为负值，第二次z轴地磁场分
量为正值，可知地磁场从手机背面穿过，则磁通量的变化量约为
故选C。
2．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，重物放在电子称上，跨过定滑轮的细绳一端
系住重物，另一端系住多匝矩形通电线圈（为线圈供电的电源没有画出）。矩形线圈下部
放在匀强磁场中，线圈平面与匀强磁场垂直，线圈的匝数为n，水平边长为L，当线圈中通
过顺时针方向的恒定电流为I时，电子称显示的力的值为 ，改变线圈中电流的方向，但
不改变线圈电流的大小，电子称显示的力的值为 ，整个过程中细绳没有松弛。则磁感应
强度B的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于线圈左右两侧收到的安培力大小相等、方向相反，故整个线框受到的合安培
力方向只在竖直方向，设重物的质量为M，线框的质量为m，当线圈中通过顺时针方向的
恒定电流时，安培力方向为竖直向下，已重物为研究对象，根据受力平衡可得当线圈中通过逆时针方向的恒定电流时，安培力方向为竖直向上
联合解得
故选C。
3．（2023·河南开封·校考模拟预测）虚线OM和虚线ON之间的夹角为30°，如图所示，虚
线OM上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带负电的粒子沿纸面以大小为v的速
度从O点右侧距离为L的A点向左上方射人磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁
场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计重力。则粒子在
磁场中做圆周运动的半径为（ ）
A． B． C．2L D．3L
【答案】A
【解析】
轨迹与 相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由于
故 为等边三角形，则而
则
故 为一直线，则
解得
故A正确，BCD错误。
故选A。
4．（2023·云南·一模）空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段
是屏与纸面的交线，长度为 ，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不断发射
质量为m、电荷量为q、速率相同的粒子； ，P为垂足，如图所示，已知
，若 上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速率至少为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】粒子要打中 的右侧所有位置，最容易的方式为粒子从 飞出，绕过距离最近
的 点，从右侧打中 最下端的 点，粒子运动的轨迹如图所示为轨迹圆的弦长， 为 中点， ， ；粒子运动的半径为 ，根
据几何关系可知四边形 为平行四边形，则
解得
粒子在匀强磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知
解得粒子的最小速率为
故选C。
二、多选题
5．（2023·江西赣州·校联考模拟预测）如图中，边长为L的正六边形内有一匀强磁场，方
向如图，正中央有一粒子源O，它朝纸面各个方向发射质量为m、电荷量为 、速度为v
的粒子，恰好没有一个粒子飞出边界。不计所有粒子的重力，不计所有粒子之间的相互作
用，则下列说法正确的是（ ）A．所有粒子能到达的区域面积为
B．磁感应强度
C．若磁感应强度调整为 ，将有粒子从A点离开磁场
D．若竖直向上射出的粒子，刚好没有离开磁场，则磁感应强度调整为
【答案】BD
【解析】A．由于恰没有一个粒子飞出，所以粒子在磁场中运动的半径
所有粒子能到达的区域是一个以O为圆心、半径为 的圆，所以面积
故A错误：
B．又因
所以磁感应强度
故B正确：
C．若磁感应强度调整为 ，则粒子在磁场中运动的半径为 ，轨迹如图中①轨迹由于
边界是一个正六边形，所以粒子会从六边形的边上飞出，从而打不到A点，故C错误；
D．粒子的轨迹如图中②轨迹所示，设粒子的运动半径为 ，则有
由几何关系得解得
故D正确；
故选BD。
6．（2024·江西景德镇·江西省乐平中学校联考一模）光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质
点的带正电小球，桌面右侧存在由匀强电场和匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是
水平面，到桌面的距离为h，电场强度为E、方向竖直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸
面向外，重力加速度为g，带电小球的比荷为 ，如图所示。现给小球一个向右的初速度，
离开桌边缘立刻进入复合场运动，从下边界射出，射出时的速度方向与下边界的夹角为
。下列说法正确的是（ ）
A．小球在复合场中的运动时间可能是B．小球在复合场中运动的加速度大小可能是
C．小球在复合场中运动的路程可能是
D．小球的初速度大小可能是
【答案】AC
【解析】带电小球的比荷为 ，则有
则小球合力为洛伦兹力，所以小球在复合场中做匀速圆周运动，射出时的速度方向与下边
界的夹角为 ，则小球运动情况有两种，轨迹如下图所示
若小球速度为 ，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为 ，此时小球在复合场中
的运动时间为
根据几何知识可得，其轨迹半径为
则根据洛伦兹力提供向心力有
可得，小球的速度为则小球的路程为
小球的加速度为
若小球速度为 ，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为 ，此时小球在复合场中
的运动时间为
根据几何知识可得，其轨迹半径为
则根据洛伦兹力提供向心力有
可得，小球的速度为
则小球的路程为
小球的加速度为
故选AC。
三、解答题
7．（2024·湖南·湖南师大附中校联考一模）世界上最早最精确的极光观测记录可追溯到汉
朝《汉书·天文志》中的史料记载。极光是高能粒子流（太阳风）射向地球时，由于地磁场
作用，部分进入地球极区，使空气中的分子或原子受激跃迁到激发态后辐射光子，而产生的发光现象。假设地磁场边界到地心的距离为地球半径的 倍。如图所示是赤道所在平
面的示意图，地球半径为R，匀强磁场垂直纸面向外，MN为磁场圆的直径，MN左侧宽度
为 的区域内有一群均匀分布、质量为m、带电荷量为+q的粒子垂直MN以速度v射入
地磁场，正对地心O的粒子恰好打到地球表面，不计粒子重力及粒子间的相互作用。已知
若 ，则x可表示为 。求：
（1）地磁场的磁感应强度大小；
（2）正对地心射入的粒子从进入磁场到打到地球表面的时间；
（3）在地磁场中打到地面的粒子从进入磁场到打到地球表面的最短时间。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）正对地心O的粒子恰好打到地球表面，轨迹示意图如图1所示，设粒子在磁
场中运动的轨迹半径为 ，根据几何关系有
解得
根据洛伦兹力提供向心力有
解得地磁场的磁感应强度大小为（2）设正对地心O的粒子恰好打到地球表面，轨迹的圆心角为 ，根据几何关系有
正对地心射入的粒子从进入磁场到打到地球表面的时间为
（3）粒子从进入磁场到打到地球表面的时间最短时，粒子入射点与打在地球表面的落点连
线指向地心O，即 、 、 三点共线，轨迹示意图如图2所示，设轨迹的圆心角为 ，
根据几何关系有
则
可得
在地磁场中打到地面的粒子从进入磁场到打到地球表面的最短时间为
8．（2023·广西·校联考模拟预测）如图所示，在竖直面内的直角坐标系 中，y轴竖直，
A、B两点的坐标分别为 与 。 的区域内有沿x轴负方向的匀强电场；第二
象限内有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场（图中未画出）；第四象限内有方向垂直坐标
平面向里的匀强磁场和竖直方向的匀强电场（图中均未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）从A点以大小 （g为重力加速度大小）的速度沿 做
直线运动，通过O点（第一次通过x轴）后在第四象限内做匀速圆周运动，恰好通过B点
（第二次通过x轴）。求：
（1）第二象限内磁场的磁感应强度大小 ；
（2）小球从O点到第四次通过x轴的时间t；
（3）小球第五次通过x轴时的位置坐标以及第四次通过x轴后在第一象限内运动过程中到
x轴的最大距离 。
【答案】（1） ；（2） ；（3）（0,0）；
【解析】（1）小球沿AO方向做直线运动，则必为匀速直线运动，则受力平衡，小球受向
下的重力，水平向左的电场力和垂直于AO斜向右上方的洛伦兹力，则
解得（2）小球从开始运动到第一次经过x轴的时间
小球进入第四象限后做匀速圆周运动，则
周期
则第二次经过x轴的时间
小球射入第一象限时速度与x轴正向成45°，水平方向沿x轴正向做匀减速运动，加速度为
竖直方向做匀减速运动加速度为
a=g
y
合加速度大小为
方向与x轴负向成45°角，则再次（第3次）经过x轴的时间
返回时仍经过P点，此时速度仍为方向与x轴负向成45°角，进入第四象限后仍做匀速圆周运动，运动时间为
小球从O点到第四次通过x轴的时间
（3）小球第四次经过x轴的位置坐标为
x=2L
速度方向与x轴负向成45°角，正好与合加速度方向 垂直，则第五次经过x轴时沿x轴
负向的距离为 ，则
解得
则第五次经过x轴时小球恰好到达原点，即位置坐标为（0，0）；
第四次通过x轴后在第一象限内运动过程中到x轴的最大距离
一、磁场叠加问题的解题思路
(1)确定磁场场源，如通电导线．
(2)定位空间中需要求解磁场的点，利用安培定则判定各个场源在这一点上产生的磁场的大小和方向．如图所示为M、N在c点产生的磁场B 、B .
M N
(3)应用平行四边形定则进行合成，如图中的B为合磁场．
二、安培力作用下的平衡和加速问题
解题思路：
(1)选定研究对象．
(2)受力分析时，变立体图为平面图，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析
图，安培力的方向F ⊥B、F ⊥I.如图所示：
安 安
三、带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题的四个结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长或者圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运
动的时间越长。
(3)当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长。
(4)在圆形匀强磁场中，当轨迹圆的半径大于磁场圆的半径、且入射点和出射点位于磁场圆
同一直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大，运动时间最长。
四、带电粒子在有界磁场中运动的多解问题
1．带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子的电性、磁场方向、临
界状态等多种因素的影响，问题往往存在多解问题。根据多解形成的原因，常见的有如下
三种情况：
类型 分析 图例
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能
带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中
带电粒子电 运动轨迹不同，形成多解
性不确定
如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正
电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度的
方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成
磁场方向不
多解
确定
如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B
垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒
临界状态不 子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，
唯一 也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成
多解
2.解答多解问题的关键
(1)找出多解的原因。
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。
五、三类动态圆模型
1．“平移圆”模型
模型 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索出粒子运动的临界条件，即为
界定 “平移圆”法
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带
电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度
大小为v，则半径R＝，如图所示
0
模型
条件
模型 带电粒子轨迹圆的圆心在同一直线上、且该直线与入射点的连线平行(或
特点 共线)
2．“放缩圆”模型
模型 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出粒子
界定 运动的临界条件，即为“放缩圆”法
模型 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒
条件 子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
特点
轨迹圆的圆心共线：如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动
半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速
度方向的直线PP′上
3．“旋转圆”模型
模型 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出粒子运动的临界条件，
界定 即为“旋转圆”法
模型
条件粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场
中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v，则圆周运动轨迹半径为R
0
＝，如图所示
轨迹圆的圆心共圆：如图所示，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射
点P为圆心、半径R＝的圆上
模型
特点
