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重难点 09 带电粒子在电场中的运动
1. 带电粒子在电场中的定性运动。带电粒子在电场中的运动，为电场的重难点及高频考点，
其中粒子的轨迹问题是高考常考的一类选择题，该选择题经常会考查轨迹上两点动能、电
势能大小关系，由于轨迹往往是曲线，所以在曲线运动的中轨迹的规律——力和速度夹轨
迹，凹侧方向指向力。也可用来判断电场力、加速度的方向等。
2. 带电粒子在电场中的的定量运动。命题中经常注重物理建模思想的应用，具体问题情境
中，抽象出物体模型。带电粒子在电场中的运动，除了常规的加速和类平抛运动，还会出
现类斜抛运动和一般的曲线运动的考查，利用运动的合成与分解的思想分析问题和解决问
题。
3. 带电粒子在交变电场中的运动。此类问题经常结合电压图像，绘制带电粒子在电场中的
速度时间图像，利用图像围成的面积分析带电粒子在电场中的位移，从而分析带电粒子在
电场中直线运动和往返的问题。
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．（2023·四川成都·棠湖中学校考一模）在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通
过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。如图，带箭头的实线表示电场线，虚线
表示电子的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点。下列说法正确的是（ ）
A．M点的电势高于N点
B．电子在M点的加速度大于在N点的加速度
C．电子在M点的动能大于在N点的动能
D．电子在M点的电势能大于在N点的电势能
【答案】D
【解析】A．沿电场线电势逐渐降低，可知 M点的电势低于N点，选项A错误；
B．因N点电场线比M点密集，可知N点场强较大，电子在N点受电场力较大，则电子在
M点的加速度小于在N点的加速度，选项B错误；
CD．电子从M到N点，电场力做正功，动能增加，则在M点的动能小于在N点的动能，电势能减小，则电子在M点的电势能大于在N点的电势能，选项C错误，D正确。
故选D。
2．（2023·河南新乡·统考一模）如图所示，细绳拉着一带正电小球在竖直平面内做半径为
的圆周运动，该区域内存在水平向右的匀强电场。A点为运动轨迹的最高点， 点为运
动轨迹的最低点， 为水平直径。在小球做圆周运动的过程中（ ）
A．在A点小球的速度最小 B．在 点绳子的拉力最大
C．在 点和 点绳子的拉力大小相等 D．在 点小球的机械能最小
【答案】D
【解析】AB．把重力和电场力合成为等效重力，可知在等效最高点的速度最小，在等效最
低点的速度最大且拉力最大，由图可知，A点不是等效最高点，B点不是等效最低点，故
AB错误；
C．由题意可知，小球从C点到D点电场力做正功，动能增大，速度增大，故小球在D点
的速度大于C点的速度，由牛顿第二定律可知，小球在D点时绳子的拉力较大，故C错误；
D．根据能量守恒定律，小球在C点时的电势能最大，则机械能最小，故D正确。
故选D。
3．（2024·江西赣州·赣州中学校考模拟预测）如图所示，在立方体的塑料盒内，其中AE
边竖直，质量为m的带正电小球（可看作质点），第一次小球从A点以水平初速度 沿
AC方向抛出，小球在重力作用下运动恰好落在G点。M点为BC的中点，小球与塑料盒内
壁的碰撞和小球与塑料盒边长的碰撞为弹性碰撞（碰撞后平行平面或边长的速度分量保持
不变，垂直平面或垂直边长的速度分量大小不变，方向相反），落在底面不反弹。则下列
说法正确的是（ ）A．第二次将小球从A点沿AB方向，以 的水平初速度抛出，与边BF碰撞后，小球
最终落在F点
B．第二次将小球从A点沿AM方向，以 水平初速度抛出，小球将和CG边发生碰
撞
C．若又在空间增加沿AD方向的匀强电场，第三次将小球从A点沿AB方向水平抛出，
要使小球落在G点，初速度为
D．若又在空间增加沿AB方向的匀强电场，第三次将小球从A点沿AD方向水平抛出，
要使小球落在G点，电场力大小为2mg
【答案】C
【解析】A．设立方体边长为l，从A点沿AC方向平抛落在G点，竖直方向自由落体
运动时间为
水平方向匀速直线运动
可知初速度为从A点沿AB方向，以 水平初速度抛出，经历时间
可得
将与边BF碰撞，碰撞前后竖直向下的速度不变，垂直边BF的速度反向，再经历 时间落
到地面恰好打在E点，故A错误；
B．从A点沿AM方向，以 水平初速度抛出，经历时间
可得
将与面BCGF碰撞，碰撞前后竖直向下的速度不变，平行与面BCGF的速度也不变，垂直
面BCGF的速度反向，再经历 时间落到地面恰好与DH边发生碰撞，之后落在底面
EFGH中，故B错误；
C．加了沿AD方向的匀强电场，从A点沿AB方向水平抛出，不改变AB方向的匀速运动，
也不改变竖直方向的自由落体运动，而平行AD方向上做匀加速直线运动，若要打到G点，
则设抛出的初速度为 ，可得
又
得
故C正确；D．B方向上
根据分运动具有等时性，竖直方向自由落体运动得时间等于AB方向上匀加速运动的时间，
即
解得
所以电场力为
故D错误。
故选C。
4．（2023·河北保定·统考三模）一对平行正对的金属板C、D接入如图所示的电路中，电
源电动势为E，C板固定，D板可左右平行移动，闭合开关，一段时间后再断开开关，从
C板发射一电子，恰能运动到A点后再返回，已知A到D板的距离是板间距离的三分之一，
电子质量为m，电荷量为-e，忽略电子的重力，则（ ）
A．设定C板电势为0，电子在A点的电势能为
B．若要让电子能够到达D板，可将D板向左平移至A点或A点左侧某位置
C．若要让电子能够到达D板，可将D板向右平移至某位置
D．若要让电子能够到达D板，可闭合开关，再将D板向右平移至某位置
【答案】B
【解析】A．金属板的电场线由C指向D，沿着电场线电势逐渐降低，设定C板电势为0，
则A点的电势为电子在A点的电势能为
故A错误；
BCD．闭合开关，一段时间后再断开开关，则电容器的电量Q不变，根据电容的定义式和
决定式有
，
联立解得
从C板发射一电子，恰能运动到A点后再返回，则有
所以若要让电子能够到达D板，可将D板向左平移至A点或A点左侧某位置，或者闭合开
关，再将D板向左平移至A点或A点左侧某位置，故B正确，CD错误
故选B。
二、多选题
5．（2023·湖南郴州·统考三模）如图所示，其空中有一足够大的水平向右的匀强电场，质
量均为 、带电量分别为 和 的两小球同时从O点以速度 斜向右上方射入匀强电场
中， 方向与水平方向成 角，A、B（图中未画出） 两点分别为两小球运动轨迹的最高
点，带正电的小球经过A点的速度大小仍然为 ，若仅把带正电的小球射入速度变为 ，
其运动轨迹的最高点记为C。不考虑两球间的库仑力。下列说法正确的是（ ）A．两小球同时到A、B两点
B．OA与OB之比为
C．两小球到达 A、B两点过程中电势能变化量之比为
D．带正电的小球经过C点的速度大小
【答案】AD
【解析】A．由题可知，将带电小球的运动分解成水平方向和竖直方向的运动，由受力可
知，两小球在竖直方向只受重力，故在竖直方向做竖直上抛运动，竖直方向的初速度为
上升到最高点时，竖直方向速度为零，由此可知，两球到达A、B两点的时间相同，故A
正确；
C．水平方向只受电场力，故水平方向做匀变速直线运动，水平方向的初速度为
由题可知，带正电的小球有
带负电的小球有
解得
则有
，
电场力做功分别为
，
联立可知两球到达A、B两点过程中，电场力做功相等，则两球到达A、B两点过程中电势
能变化量之比为 ，故C错误；
B．由上分析可知解得
故有
故 与 之比为 ，故B错误；
D．由题可知
联立可得
故D正确。
故选AD。
6．（2023·浙江温州·统考一模）阴极射线管可简化成如图甲所示结构，电子在O点由静止
开始向右加速，加速电压为 ；经加速后进入偏转电场，偏转电压为 ，偏转极板间距
为d；电子射出偏转电场后，直线运动时掠射到荧光屏上，荧光屏上的亮线显示出电子束
的径迹。某次实验加上如图乙所示的偏转电压，荧光屏出现如图丙所示的两条亮线。已知
电子的电荷量为e，下列说法正确的是（ ）A．电子射出偏转电场时的动能为
B．若仅使偏转极板间距d变为原来的2倍，两亮线右端点的间距会变为原来的
C．若仅使加速电压 变为原来的2倍，电子离开偏转电场时的动能会变为原来的2倍
D．若仅使偏转电压 变为原来的 倍，两亮线与中轴线之间的夹角的正切值会变为
原来的
【答案】BD
【解析】A．根据图丙可知，两粒子偏转方向相反，因为电子在偏转电场中，出射和入射
两点间并非电势差为 ，所以电子射出偏转电场时的动能小于 ，故A错误；
B．仅使偏转极板间距d变为原来的2倍，根据
， ，
可知，在偏转电场中运动时间不变，加速度变为原来的一半
可知，偏转位移变为原来的一半，则两亮线右端点的间距会变为原来的 ，故B正确；
C．若仅使加速电压 变为原来的2倍，加速电场中电场力功变为原来的2倍，则入射速
度变为原来的 倍，时间变为原来的 ，根据可知，竖直位移变为原来的一半，则在偏转电场中电场力做功
变为原来的一半，电子离开偏转电场时的动能不是原来的2倍，故C错误；
D．若仅使偏转电压 变为原来的 倍，运动时间不变，根据
可知，竖直分速度变为原来的一半
变为原来的一半，两亮线与中轴线之间的夹角的正切值会变为原来的 ，故D正确。
故选BD。
三、解答题
7．（2024·全国·高三专题练习）光滑绝缘水平面上有一坐标系xOy，半径为R的光滑绝缘
圆环固定在坐标系内，圆环圆心位于坐标原点，如图甲所示。圆环内侧A（0，R）处放置
一个质量为m、电荷量为+q的带电小球，为了通过电场来控制带电小球的运动，现在圆环
内加上水平方向的匀强电场。若小球由静止释放，经时间T沿直线运动到B（R，0）处；
若给小球一个沿﹣x方向的初速度，小球恰能做完整的圆周运动。小球可视为质点。
（1）求匀强电场的电场强度E 的大小和方向。
1
（2）求小球做圆周运动时，通过A点的动能E 。
K
（3）将原电场更换为图乙所示的交变电场（正、负号分别表示沿y轴负方向和正方向），
t=0时刻，小球在A点由静止释放。欲使小球能在一个周期T内不与圆环轨道相碰，试求所
加电场强度E 的最大值。
2【答案】（1） ，方向由A指向B；（2） ；（3）
【解析】（1）小球由静止释放，沿直线从A到B，可知电场力方向沿着AB方向指向B，
由运动学公式可得
可得
方向由A指向B。
（2）小球最容易脱轨的位置为C点，如下图所示：
小球恰能做完整的圆周运动，可知小球在C点恰好由电场力来提供向心力，则有
从A点到C点利用动能定理
联立方程可得
（3）若加上沿着y轴方向的交变电场，若小球没有碰到轨道，可知小球在第一个 内做初
速度为零的匀加速直线运动，第二个 内做匀减速直线运动，这两个 内加速度大小相等，所以位移大小相等，第三个 内小球反向做匀加速直线运动，第四个 内做匀减速直线运
动，所以小球在一个T内返回A点，要使电场强度E 最大，且小球能在一个周期T内不与
2
圆环轨道相碰，可知小球在 时刻恰好运动到圆心，由运动学公式可得
可得
8．（2023·河北石家庄·统考二模）在如图所示的直角坐标系xOy中，x<0·的区域Ⅰ存在沿
x 轴正方向、大小为E 的匀强电场，x>0的区域Ⅱ存在平行y轴方向的匀强电场。一质量
0
为m、电荷量为+q 的带电粒子从A（-d，d）点由静止释放，粒子运动到x轴上的B（d，
0）点时将区域Ⅱ中的电场瞬间反向，电场强度大小保持不变，粒子恰好经过与A点等高的
C点。不考虑电场突变产生的磁场，不计粒子的重力。求：
（1）区域Ⅱ内电场的电场强度大小；
（2）粒子从进入区域Ⅱ到运动至C点的时间。
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）设粒子从A点运动到y轴时速度为v，有
0
解得粒子进入第一象限后，做类平抛运动
水平方向
竖直方向
代入数据解得
（2）如图所示，电场E 反向后，根据对称性可知，粒子经过B点后向下运动的竖直距离
1
为d，向下运动的时间为t，之后粒子向上运动，设运动的时间为 ，满足
粒子从进入区域Ⅱ到运动至C点的时间
代入数据解得
1．带电粒子在电场中的运动2．解题途径的选择
(1)求解带电粒子在匀强电场中的运动时，运动和力、功能关系两个途径都适用，选择
依据是题给条件，当不涉及时间时选择功能关系，否则必须选择运动和力的关系。
(2)带电粒子在非匀强电场中运动时，加速度不断变化，只能选择功能关系求解。
3．电场中类平抛的两个重要结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏
转角总是相同的．
证明：在加速电场中有qU＝mv2
0 0
在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2
偏转角θ，tan θ＝＝
得：y＝，tan θ＝
y、θ均与m、q无关．
(2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的
中点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半．
4．功能关系处理电场中类平抛运动
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qU＝mv2－mv2，其中U＝
y 0 y
y，指初、末位置间的电势差．
