文档内容
专题 01 利用导函数研究函数的切线问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................3
题型一：在型求切线方程...........................................3
题型二：过型求切线方程...........................................3
题型三：已知切线斜率求参数.......................................3
题型四：确定过一点可以做切线条数.................................4
题型五：已知切线条数求参数.......................................4
题型六：距离问题转化为相切问题...................................5
题型七：公切线问题...............................................5
三、专项训练........................................................6
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数 在点 处的导数的几何意义，就是曲线 在点 处的
切线的斜率 ，即 .
2、曲线的切线问题（基础题）
（1）在型求切线方程
已知：函数f (x)的解析式.计算：函数f (x)在 x=x 或者(x ,f(x ))处的切线方程.
0 0 0
步骤：第一步：计算切点的纵坐标 f (x )（方法：把 x=x 代入原函数f (x)中），切点(x ,f(x )).
0 0 0 0
第二步：计算切线斜率 .第三步：计算切线方程.切线过切点(x ,f(x ))，切线斜率 k=f '(x )。
0 0 0
根据直线的点斜式方程得到切线方程： y−f(x )=f '(x )(x−x ).
0 0 0
（2）过型求切线方程
已知：函数f (x)的解析式.计算：过点 （无论该点是否在 上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；计算切线斜率 ；
第三步：令： ，解出 ，代入 求斜率
第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
3、已知f (x)，过点 ，可作曲线的 （ ）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
第四步：将 代入切线方程，得： ，整理成关于 得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于 的方程就有几个实数解；
4、已知f (x)和 存在 （ ）条公切线问题
第一步 设f (x)的切点 设 的切点
求公切线的斜率
写出并整理切线
整理得： 整理得：
联立已知条件
消去 得到关于 的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点
个数；
消去 得到关于 的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个
数；二、典型题型
题型一：在型求切线方程
1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）已知曲线 在 处的切线与直线 垂
直，则实数 .
2．（2023上·山东德州·高三统考期中）函数 在 处的切线方程为 ．
（结果写成一般式）
3．（2023上·上海闵行·高三校考期中）曲线 在点 处的切线方程为 ．
4．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数 （其中 ）在 处的
切线为 ，则直线 过定点的坐标为 .
5．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线 在点 处的切线与曲线
相切，则 .
题型二：过型求切线方程
1．（2022·四川广安·广安二中校考二模）函数 过点 的切线方程为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（2022下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知函数 ，则曲线 过坐标原
点的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线 相切的一条切线的方程为 .
4．（2023下·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）曲线 在点 处切线的斜率为 ，过点 的
切线方程 .
5．（2023下·四川绵阳·高二期末）过点 作曲线 的切线，则切线方程为 ．
题型三：已知切线斜率求参数
1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若直线 与曲线 相切，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C． D．
2．（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知直线 与曲线 相切，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
3．（2023上·辽宁·高三校考阶段练习）函数 （ 、 ）在点 处的切线斜率为
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线 与曲线 相切，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·天津·高三统考期中）已知函数 ，若曲线 的一条切线的方程为
，则 .
题型四：确定过一点可以做切线条数
1．（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数 为 上的奇函数，过点
作曲线 的切线，可作切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
2．（2021下·北京·高二校考期中）已知函数 ，则曲线 过点 的切线有
（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
3．（2021下·湖南·高二校联考阶段练习）经过点 作曲线 的切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．（2019上·四川内江·高三统考阶段练习）已知曲线 ，则过点 可向 引切线，其切线
条数为（ ）
A． B． C． D．题型五：已知切线条数求参数
1．（2023·湖南·校联考二模）若经过点 可以且仅可以作曲线 的一条切线，则下列选项正确的
是（ ）
A． B． C． D． 或
2．（2023下·陕西汉中·高二校联考期中）过点 作曲线 切线有且只有两条，则b的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·校联考二模）若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022上·山西运城·高三校考阶段练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若过点 能作三条直线与
的图像相切，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六：距离问题转化为相切问题
1．（2022上·四川成都·高三校联考阶段练习）曲线 上的点到直线 的距离的最小值为
（ ）
A． B．2 C． D．4
2．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若实数 满足 ，则
的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2023下·广西河池·高二校联考期中）若点P是曲线 上任意一点，则点P到直线 的
最小距离为（ ）
A． B．1 C． D．题型七：公切线问题
1．（2023上·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线 与曲线 有公切
线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线 与曲线 的一条公切线方程 .
3．（湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高三上学期11月调研考试数学试题）写出曲线 与
的一条公切线方程： .
4．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线 与 存在公切线，则正实数a的取值范围是
．
5．（2023上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
(1)当 时， 求 的极值；
(2)若曲线 与曲线 存在2 条公切线， 求a的取值范围.
三、专项训练
1．（2024上·广东广州·高三统考阶段练习）已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为
，则 （ ）
A． B． C．-2 D．
2．（2024上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）函数 的图象在点 处的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·高二课时练习）若曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 不存在
4．（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）若直线 是曲线 的一条切线，则 的最小值为（ ）
A． B． C． ln 2 D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，过点 可作曲线 的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数 ，过点 作曲线 的两条切线，切
点分别为 和 ，若 ，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数 与函数 的图象在公共点处有相同
的切线，则实数 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·四川·高三校联考阶段练习）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线
距离的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023上·四川成都·高三校联考阶段练习）过点 作曲线 的两条切线，切点分别为
， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
10．（2023下·高二课时练习）若曲线 在点 处的切线方程是 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知直线l与曲线 相切，则下列直线中可能与l
平行的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）若过点 可以作三条直线与函数
相切，则实数a的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
三、填空题
13．（2024上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数 在点 处的切线与直线平行，则实数 .
14．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）若函数 在 处的切线与 的
图像有三个公共点，则 的取值范围 ．
四、单空题
15．（2023下·高二课时练习）已知函数 是曲线 的一条切线，则 .
五、问答题
16．（2023上·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）已知函数 ， .
(1)求 的单调区间；
(2)当 时， 与 有公切线，求实数 的取值范围.
