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第51讲 习题课----带电粒子在立体空间运动问题
目录
一．高考展望明方向.....................................................................................................1
二．题型分析知考向.....................................................................................................1
题型一.带电粒子的螺旋线运动和旋进运动..........................................................1
题型二.带电粒子在立体空间中的偏转..................................................................4
三．名校金题练素养.....................................................................................................8
四．真题练习察动向...................................................................................................26
一．高考展望明方向
带电粒子在匀强磁场中的运动问题，是每年高考考查的重点和热点，在近几年的高考命题中，又出现
了一些带电粒子在立体空间中运动的问题，这样既能考查学生相关的物理知识，又能考查学生的空间想象
能力。分析该类问题时，要根据带电粒子依次通过不同的空间，将运动过程分为不同的阶段，只要分析出
带电粒子在每个阶段的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。
二．题型分析知考向
题型一.带电粒子的螺旋线运动和旋进运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就
做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运
动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
【例题1】．如图所示，质子以初速度v进入磁感应强度为B且足够大的匀强磁场中，速度方向与磁场方
向的夹角为 。已知质子的质量为m，电荷量为e。重力不计，则（ ）
A．质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里
B．质子做螺旋线运动的半径为
C．质子做螺旋线运动的周期为D．一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离（即螺距）为
【答案】D
【详解】A．将质子的初速度分解为垂直于磁场方向的速度
沿磁场方向的速度
质子沿垂直磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做匀速直线运动，则质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线
的中轴线方向平行磁场方向，选项A错误；
B．质子做螺旋线运动的半径为
选项B错误；
C．质子做螺旋线运动的周期为
选项C错误；
D．一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离（即螺距）为
选项D正确。
故选D。
【例题2】某实验装置的基本原理如图所示，平行正对放置半径均为R、间距为d的圆形金属板M、N的圆
心分别为 、 ，位于 处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不
计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。
（1）仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿 方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小满
足什么条件时能全部击中N板；
（2）仅在两板间加沿 方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与 连
线成 （ ）角的粒子速度大小满足什么条件时能全部击中N板；
（3）若两板间同时存在方向都沿 方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子源发射出
速度大小均为v，方向垂直于 连线的粒子，全部落在半径为 的圆周上（ ），求电场强度
的大小。【答案】（1）速度应小于等于 ；（2） ；（3） 。
【详解】（1）速度与场强垂直的粒子击中N板，则全部击中N板
其中
解得
所以，速度应小于等于 。
（2）粒子源发射出的方向与 连线成 （ ）角的粒子，做螺旋等距运动，
根据洛伦兹力提供向心力
根据题意可知
解得
（3）设粒子在两板间运动时间为t，在磁场中周期为T，则应该满足
根据
其中且粒子圆周运动周期
联立解得
题型二.带电粒子在立体空间中的偏转
【例题3】某离子加速偏转实验装置部分的示意图如图所示，z轴正方向垂直于 平面向外。 粒子在加
速器内经电压 加速后，在 （ ， ， ）点沿x轴正方向进入I区域，该区域沿x轴方向的宽度为 ，
区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小 。 粒子经偏转后进入II区域，该区域沿x轴
方向的宽度为 ，内部某圆形区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为 。 粒子
经过II区域的磁场后速度方向偏转 ，再进入III区域，该区域存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强
度大小为 ， 粒子离开III区域时速度方向平行于 平面，且与z轴负方向成 角。已知 粒子的电
荷量为 、质量为 ，不计粒子重力。求：
（1） 粒子在I区域内沿y轴方向的侧移量 ；
（2）II区域内圆形磁场区域的最小面积 ；
（3）III场区沿x轴方向的可能宽度 。
【答案】（1） ；（2） ；（3） （ ， ， ）
【详解】（1） 粒子经过加速器过程，根据动能定理可得
解得
粒子在I区域内做类平抛运动，则有联立解得
（2） 粒子离开I区域时速度大小为 ，方向与x轴正方向的夹角为 ，则有
联立解得
粒子进入II区域中圆形区域的匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力得
解得
粒子经过II区域的磁场后速度方向偏转 ，如图所示
当 粒子轨迹对应弦长对于圆形磁场直径时，圆形磁场的面积最小，则有
II区域内圆形磁场区域的最小面积为
（3） 粒子进入III区域时速度方向与y轴负方向成 角，将 粒子进入III区域时的速度分解到 轴方
向和 方向，则有由于磁场方向在沿x轴正方向，则 粒子沿x轴正方向以 做匀速直线运动，同时 粒子在 平面内做
匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得
解得
根据题意有 粒子离开III区域时速度方向平行于 平面，且与z轴负方向成 角，由于
则 粒子在 平面内做匀速圆周运动离开时速度方向刚好沿z轴负方向， 粒子在III区域中的运动时间
为
（ ， ， ）
则III场区沿x轴方向的宽度为
（ ， ， ）
【例题4】如图所示，在空间直角坐标系中， 平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴
正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等； 平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。
现从空间中坐标为 的M点发射一质量为m，电荷量为 的粒子，粒子的初速度大小为 、方向
沿 平面，与x轴正方向的夹角为 ；经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入 平面右侧。其中电
场强度和磁感应强度大小未知，其关系满足 ，不计粒子的重力。求：
（1）在 平面左侧匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径 ；
（2）粒子第2次经过 平面时的速度大小；
（3）粒子第2次经过 平面时的位置坐标；
（4）粒子第2、第3两次经过y0z平面的位置间的距离。【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【详解】（1）根据几何关系有
解得
（2）根据运动的合成有
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
（3）在 平面右侧，磁感应强度大小不变，在磁场中做圆周运动的轨道半径大小仍然为 ，粒子第2
次经过 平面时的坐标
由于
解得粒子第2次经过 平面时的坐标
（4）粒子再次进入 平面左侧，速度大小变为 ，则有
根据几何关系，粒子第2、第3两次经过 平面的交点间的距离为
解得
三．名校金题练素养
1．（2024·陕西铜川·模拟预测）利用电磁控制带电粒子的运动轨迹在现代实验和设备中得到广泛应用。如
图所示，空间内有正立方体abcd-efgh区域，正方体区域内存在着方向沿ae向下的匀强磁场，磁感应强度
大小为B，一带电粒子从a点沿ab方向以速度 进入空间，粒子恰好通过c点；第一次撤去磁场，正方体
内加上竖直向下的匀强电场 ，粒子仍从a点以原速度 进入电场，粒子恰好通过f点；第二次恢复原磁
场，同时换上竖直向下的匀强电场 ，粒子仍从a点以原速度 进入场区，粒子恰好通过g点，不计粒子
重力，正方体外无电场和磁场，下列说法正确的是（ ）
A．电场强度 大小为 B．粒子从a点到c点时间是从a点到f点时间的 倍
C．电场强度 大小为 D．到达g点时速度大小为
【答案】BC
【详解】AB．设立方体棱长为L，只加磁场时，粒子做圆周运动，恰好通过c点，其半径
由
所用时间只加电场 ，粒子做类平抛运动，有
，
得
则
可得
故A错误；B正确；
C．空间同时加磁场和电场 ，粒子做非等距螺旋线运动，粒子恰好通过g点，所用时间
沿电场方向有
得
故C正确；
D．粒子在g点速度
故D错误。
故选BC。
2．（2024·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，在空间直角坐标系中，yOz平面右侧存在沿z轴负方向的匀强
磁场，左侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；yOz平面左侧还有沿y
轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为（d，0，0）的P点发射一质量为m，电荷量为+q（q>0）的粒子，
粒子的速度方向沿xOy平面且与y轴正方向相同；经时间t后粒子恰好垂直于y轴进入yOz平面左侧，粒子
从z轴上某点返回yOz平面右侧，不计粒子的重力。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）匀强电场的电场强度E的大小；
（3）粒子返回yOz平面右侧时的速度v的大小。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】
（1）粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
运动周期
由题意知粒子在xOy平面内运动 圆周
联立解得
（2）粒子经过y轴后沿y轴负方向做匀加速直线运动，同时在洛伦兹力作用下做圆周运动，粒子返回xOy
平面右侧的过程中恰好做 个圆周运动，所用时间
沿y轴方向，有
根据牛顿第二定律有
联立解得
（3）根据上述分析可解得粒子返回xOy平面右侧时，沿y轴方向的速度大小为
又
解得
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图所示，在空间直角坐标系中， 平面左侧存在沿z轴正方向的匀强
磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等； 平面右侧还有沿
y轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为 的M点发射一质量为m，电荷量为 的粒子，粒子
的初速度大小为 、方向沿 平面，与x轴正方向的夹角为 ；经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进
入 平面右侧，轨迹上离 平面最远的点恰好落在 平面上，不计粒子的重力。求：
（1）在 平面左侧匀强磁场的磁感应强度B；
（2）在 平面右侧匀强电场的电场强度E；
（3）粒子第2次经过 平面时的位置坐标。
【答案】（1） ；（2） ；（3）（0，-3d，4d）
【详解】（1）粒子在 平面做圆周运动的半径
根据
可得左侧匀强磁场的磁感应强度
（2）粒子第一次经过y轴后在y方向向下做匀加速运动，同时在洛伦兹力作用下做圆周运动，因轨迹上离平面最远的点恰好落在 平面上，可知粒子到达 平面上时恰好做 个圆周运动，则用时间
竖直方向
解得
（3）粒子第2次经过 平面时做半个圆周运动，则所用时间为
则沿y轴负方向做匀加速运动，因在O点上方和下方用时间相等，可知位置坐标
沿z轴坐标
即粒子第2次经过 平面时的位置坐标（0，-3d，4d）。
4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图所示，离子加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，
选择出特定比荷的离子；经偏转系统后到达水平面。图中匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向垂直于
纸面向外；匀强电场的电场强度大小均为E。磁分析器截面四分之一圆弧的半径分别为L和3L，M和N为
两端中心小孔；偏转系统中电场分布在棱长为L的正方体内，底面与水平面平行且间距为L。当偏转系统
不加垂直纸面向外的电场时，质量为m的离子恰好竖直到达水平面内的О点（x轴正方向垂直纸面向外，y
轴正方向水平向左）。整个系统置于真空中，不计离子重力及离子间的相互作用。求：
（1）通过磁分析器的离子电性及比荷；
（2）离子通过正方体底面到达水平面的位置坐标。【答案】（1）正电， ；（2）
【详解】（1）通过磁分析器的离子在磁分析器内做匀速圆周运动，洛伦兹力指向 提供向心力，由左手
定则可知离子带正电，且有
离子通过速度选择器时有
得
解得
（2）离子在偏转系统中有
出偏转系统时垂直纸面向外的速度分量及位移为
出偏转系统时速度与竖直方向得夹角为 ，则
离子通过正方体底面到达水平面的x轴上的位置坐标为
所以离子通过正方体底面到达水平面的位置坐标 。
5．（2024·天津·一模）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原
理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏
转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强
度大小均为B，方向均垂直于纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场的电场强度大小均为E，方
向分别为竖直向上和垂直于纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为 和 的四分之一圆环，其两端中
心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是棱长为L的正方体，其底面与晶圆所
在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力及离子间的相互作用，打在晶圆上
的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当 很小时，有 ， 。求：
（1）通过磁分析器选择出来的离子的比荷；
（2）偏转系统仅加电场时，离子在穿越偏转系统中沿电场方向偏转的距离；
（3）偏转系统仅加磁场时，离子注入晶圆的位置坐标 （用长度 、 及L表示）。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）设经过速度选择器出来后的离子的速度为 ，有
解得
通过磁分析器选择出来的离子在磁场中运动时有
，
联立解得
（2）根据题意离子经过电场的角度很小，所以离子在穿越偏转系统中的时间为
离子沿电场方向偏转的距离为
，
联立代入解得（3）偏转系统仅加磁场时，根据洛伦兹力提供向心力有
运动轨迹如图，设离子离开磁场时速度方向偏转角度为 ，有
联立解得
经过磁场时，离子在y方向上偏转的距离为
离开磁场后到达y轴上时间内，在y方向上偏转的距离为
所以有
即偏转系统仅加磁场时，离子注入晶圆的位置坐标为 。
6．（2024·广东广州·三模）在三维坐标系 中长方体 所在区域内存在匀强磁场，平面
mnij左侧磁场 方向垂直于平面adjm，平面mnij右侧磁场 由m指向i方向，其中 、 大小均未知。
现有电量为 、质量为m的带电粒子以初速度v从a点沿平面adjm进入左侧磁场，经j点垂直平面
mnij进入右侧磁场，最后离开长方体区域。已知长方体侧面abcd为边长L的正方形，其余边长如图中所示，
， ，不计粒子重力。(1)求磁感应强度 及粒子从a点运动到j点时间t；
(2)若粒子从 边离开磁场，求 的大小范围；
(3)若平面mnij可右侧空间磁场换成由j指向n方向且电场强度E大小可变的匀强电场（电场图中未画出，
其余条件不变），求粒子离开长方体区域时动能 与电场强度E大小的关系式。
【答案】(1) ；
(2)
(3) （ ）； （ ）
【详解】（1）粒子在面adjm内做匀速圆周运动，轨迹如图所示
设其轨道半径为r，由几何关系得
1
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
根据几何关系可知时间为
（2）若粒子从 射出，根据几何关系有
若粒子从n射出，则有
根据洛伦兹力提供向心力
将半径代入解得磁感应强度的范围为
（3）粒子恰好从 射出时有
且有
解得
根据动能定理有
若电场强度满足
则
当
粒子往nj方向偏转，有根据动能定理有
解得
（ ）
7．（2024·湖南·模拟预测）自由电子激光器是以自由电子束为工作物质，将相对论性电子束的动能转变成
相干的电磁辐射能的装置，其中产生电磁波的核心装置为“扭摆器”（如图所示），由沿z方向交错周期
排列的2n对宽度为a的永磁体组成（ ，2a被称为扭摆器的“空间周期”），产生x方向的周期静磁
场。本题我们利用高中知识，在被简化的模型中分析注入扭摆器的电子的运动。已知电子质量为m，带电
荷-e，一束电子经加速后由弯曲磁体沿yOz平面引入扭摆器，不考虑引入过程速度损失，不考虑任何相对
论效应，忽略电磁辐射过程的动能损耗。
(1)假设一对永磁体间的磁感应强度恒定为 ，电子束中电子进入扭摆器的初速度与z轴夹角为30°，且能
经过扭摆器后被完整收集，求：
①电子束加速器的加速电压U；
②该电子束中的一个电子在扭摆器中的运动时间T。
(2)实际上，扭摆器的一个空间周期内，磁感应强度的大小是有变化的，一对永磁体间沿x轴的磁感应强度
随与该对永磁体最左边的水平距离d近似满足 的线性关系（ ， 的方向由N极
指向S极），电子束经电压 加速后沿z轴正方向进入扭摆器，仍然能经过扭摆器后被完整收集，
求电子运动过程偏离z轴的最大距离 。
（提示：①实验中， 可认为是相当弱的磁场；②可能用到的数学公式： 时，
）
【答案】(1) ，(2)
【详解】（1）①在一个空间周期内，电子运动的轨迹如图所示
根据几何关系有
解得
粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
电子加速过程，根据动能定理有
解得
②结合题意可知，该扭摆器总共有n个空间周期，结合上述几何关系可知，每个空间周期内有
其中
则电子束中的一个电子在扭摆器中的运动时间为
解得
（2）根据题意可知，磁感应强度随与该对永磁体最左边的水平距离变化的关系图像为对电子进行分析，在y轴方向，根据动量定理有
其中
，
结合题意解得
电子在加速过程，根据动能定理有
由于 是相当弱的磁场，可知，电子在运动过程中速度变化量远远小于 ，则可近似认为
则有
结合上述有
电子运动时间
作出电子运动过程偏离z轴示意图如图所示
则有其中
解得
8．（2024·天津北辰·三模）如图所示，空间有一棱长为L的正方体区域，带电粒子从平行于MF棱且与
MPQF共面的线状粒子源连续不断地逸出，逸出粒子的初速度可视为0，粒子质量为m，电荷量为 ，经
垂直于MF棱的水平电场加速后，粒子以一定的水平初速度从MS段垂直进入正方体区域内，MS段长为
，该区域内有垂直平面MPRG向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，从M点射入的粒子恰好从R点
射出。忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。
（1）求线状粒子源处与正方体MS段之间的电势差；
（2）若该区域内只有垂直平面MPRG向外的匀强电场，电场强度大小为 ，已知从S点射入的粒子
从QP边上的某点射出，求该点距Q点的距离；
（3）若该区域内同时存在上述磁场与电场，通过计算判断从S点进入的粒子，离开该区域时的位置和速度
大小。
【答案】（1） ；（2） ；（3）粒子从N点离开该区域；
【详解】（1）粒子经电场加速，则
进入垂直平面MPRG向外的匀强磁场后从，从M点射入的粒子恰好从R点射出，可知粒子在磁场中运动的
轨道半径为
r=L
则由
可得（2）若该区域内只有垂直平面MPRG向外的匀强电场，则粒子在电场中做类平抛运动，则垂直电场方向
沿电场方向
其中
解得
该点距Q点的距离
（3）该区域内同时存在上述磁场与电场时，从S点进入的粒子在正方体区域内做不等距螺旋线运动，将其
运动分解为沿MF方向的初速为零的匀加速直线运动，和平行于MPRG平面的线速度为v,半径为R=L的匀
速圆周运动。分运动的匀速圆周运动的周期为
假设粒子从FQNA面射出，则有
解得
可知分运动的匀速圆周运动的轨迹为 圆周，该粒子恰好从N点离开该区域，假设成立。
离开该区域时沿MF方向的速度为
v=at
2 2
解得
设离开该区域时速度大小为v′，则有
解得9．（2024·广西·模拟预测）现代科学研究中，经常用磁场约束带电粒子的运动轨迹。如图所示，有一棱长
为 的正方体电磁区域 ，以棱 中点为坐标原点建立三维坐标系 ，正方体区域内充满沿
轴负方向的匀强磁场，在 点有一粒子源，沿 轴正方向发射不同速率的带电粒子，粒子质量均为 ，电
荷量均为 。已知速度大小为 的粒子，恰从坐标（ ， ，0）点飞出（图中未标出），不计粒子的
重力。求
（1）磁感应强度大小 ；
（2）从正方体上表面 飞出的速率范围；
（3）若从 点射入的粒子初速度与 轴正方向、 轴负方向均成 ，大小为 ，求粒子射出区域
时的坐标。
【答案】（1） ；（2） ；（3）（ ， ）
【详解】（1）带电粒子在匀强磁场的作用下做匀速圆周运动，粒子从 点开始沿 轴正方向发射，其匀速
圆周运动的圆心必定在 轴上。根据几何关系可知，粒子到达 点时，
由几何关系解得
根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
（2）由上述分析可知当粒子从正方体上表面 飞出时，粒子速率越大，匀速圆周运动的半径越大，图
1中的 点越靠近 。当粒子速率最大为 时在 点射出，对应的圆周运动轨迹为 圆周，其半径等于
则有
解得
当粒子速率最小为 时在 点射出，对应的圆周运动轨迹为 圆周，其半径等于
则有
解得
所以从正方体上表面 飞出的速率范围为
（3）假设粒子沿 轴负方向的分运动匀速运动到 点时（其位移大小等于 ），粒子能够在 边射出，
设粒子运动时间为 ，则有
解得粒子的分运动匀速圆周运动的周期为
设圆心角为 ，有
联立解得
此情况粒子的运动轨迹在正方体前表面 内的投影如图2所示，可知假设成立，设此时圆周运动半径为
，则有
解得
粒子射出区域时的坐标
四．真题练习察动向
1．（2022·重庆·高考真题）2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离
子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向
右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子
在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v，垂直于磁场方向的分量大小为v，不计
1 2
离子重力，则（ ）A．电场力的瞬时功率为 B．该离子受到的洛伦兹力大小为qvB
1
C．v 与v 的比值不断变大 D．该离子的加速度大小不变
2 1
【答案】D
【详解】A．根据功率的计算公式可知P = Fvcosθ，则电场力的瞬时功率为P = Eqv，A错误；
1
B．由于v 与磁场B平行，则根据洛伦兹力的计算公式有F = qvB，B错误；
1 洛 2
C．根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v 增大，
1
v 不变，v 与v 的比值不断变小，C错误；
2 2 1
D．离子受到的洛伦兹力大小不变，电场力不变，则该离子的加速度大小不变，D正确。
故选D。
2．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进
器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间
距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向
沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和 ；还有方向沿半径向外的径
向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为
R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、
电荷量为 ，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电
室的电子刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为 ；对于氙离子，仅考虑电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小 ；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求
此霍尔推进器获得的推力大小F。
【答案】（1） ；（2） ；（3）【详解】（1）对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室时只受电场力作用，由牛顿第二定律
解得氙离子在放电室内运动的加速度大小
（2）电子在阳极附近在垂直于轴线的平面绕轴线做半径做匀速圆周运动，则轴线方向上所受电场力与径
向磁场给的洛仑兹力平衡，沿着轴线方向的匀强磁场给的洛仑兹力提供向心力，即
，
解得径向磁场的磁感应强度大小为
（3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，设单
位时间内进入放电室的电子数为 ，则未进入的电子数为 ，设单位时间内被电离的氙离子数为 ,则
有
已知氙离子数从放电室右端喷出后与未进入放电室的电子刚好完全中和，则有
联立可得单位时间内被电离的氙离子数为
氙离子经电场加速，有
时间 内氙离子所受到的作用力为 ，由动量定理有
解得
由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小
则
3．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。
以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度
大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均
为v。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重
0
力。
（1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ
的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运
动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为 ，由电子在x轴方向做匀速直线运动得
在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知
可得
且
由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有
联立得
当 时，B有最小值，可得
（2）将电子的速度分解，如图所示有
当 有最大值时， 最大，R最大，此时 ，又
，
联立可得
，
（3）当 最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移 ，根据匀变速直线运动规律有
由牛顿第二定律知
又
联立得
4．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加
速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系 中， 空间内充满匀强磁场I，
磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向； ， 的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为
，方向平行于 平面，与x轴正方向夹角为 ； ， 的空间内充满沿y轴负方向的匀强
电场。质量为m、带电量为 的离子甲，从 平面第三象限内距 轴为 的点 以一定速度出射，速度
方向与 轴正方向夹角为 ，在 平面内运动一段时间后，经坐标原点 沿 轴正方向进入磁场I。不计
离子重力。
（1）当离子甲从 点出射速度为 时，求电场强度的大小 ；（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度 ；
（3）离子甲以 的速度从 点沿 轴正方向第一次穿过 面进入磁场I，求第四次穿过 平面的位
置坐标（用d表示）；
（4）当离子甲以 的速度从 点进入磁场I时，质量为 、带电量为 的离子乙，也从 点沿 轴正
方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差 （忽
略离子间相互作用）。
【答案】（1） ；（2） ；（3）（d，d， ）；（4）
【详解】（1）如图所示
将离子甲从 点出射速度为 分解到沿 轴方向和 轴方向，离子受到的电场力沿 轴负方向，可知离子
沿 轴方向做匀速直线运动，沿 轴方向做匀减速直线运动，从 到 的过程，有联立解得
（2）离子从坐标原点 沿 轴正方向进入磁场I中，在磁场I中做匀速圆周运动，经过磁场I偏转后从
轴进入磁场II中，继续做匀速圆周运动，如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得
，
可得
为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I运动时，不能从磁场I上方穿出。在磁场II运动时，不能xOz平
面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足
，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为 ；
（3）离子甲以 的速度从 点沿z轴正方向第一次穿过 面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径
为
离子在磁场II中的轨迹半径为离子从 点第一次穿过到第四次穿过 平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过 平面的 坐标为
离子第四次穿过 平面的 坐标为
故离子第四次穿过 平面的位置坐标为（d，d， ）。
（4）设离子乙的速度为 ，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得
离子甲、离子乙在磁场I中的轨迹半径分别为
，
离子甲、离子乙在磁场II中的轨迹半径分别为
，
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x轴的位置，如图所示从 点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
5．（2023·天津·高考真题）科学研究中可以用电场和磁场实现电信号放大，某信号放大装置示意如图，其
主要由阴极、中间电极(电极1,电极2, …,电极n)和阳极构成，该装置处于匀强磁场中,各相邻电极存在电势
差。由阴极发射的电子射入电极1,激发出更多的电子射入电极2,依此类推,电子数逐级增加,最终被阳极收集,
实现电信号放大。图中所有中间电极均沿x轴放置在xOz平面内,磁场平行于z轴，磁感应强度的大小为
B。已知电子质量为m,电荷量为e。忽略电子间的相互作用力，不计重力。
（1）若电极间电势差很小可忽略,从电极1上O点激发出多个电子，它们的初速度方向与y轴的正方向夹
角均为 ，其中电子a、b的初速度分别处于xOy 、yOz平面的第一象限内，并都能运动到电极2。
（i）试判断磁场方向；
（ii）分别求出a和b到达电极2所用的时间 和 ；
（2）若单位时间内由阴极发射的电子数保持稳定,阴极、中间电极发出的电子全部到达下一相邻电极。设
每个射入中间电极的电子在该电极上激发出 个电子, ，U为相邻电极间电势差。试定性画出阳极收
集电子而形成的电流I和U关系的图像,并说明理由【答案】（1）（ⅰ）沿z轴反方向；（ⅱ） ， （2）见解析
【详解】（1）（ⅰ）a电子，初速度方向在xoy平面内，与y轴正方向成θ角；若磁场方向沿z轴正方向，
a电子在洛伦兹力作用下向x轴负方向偏转，不符合题题意；若磁场方向沿z轴反方向，a电子在洛伦兹力
作用下向x轴正方向偏转，符合题意；
b电子，初速度方向在zoy平面内，与y轴正方向成θ角。将b电子初速度沿坐标轴分解，沿z轴的分速度
与磁感线平行不受力，沿y轴方向的分速度受到洛伦兹力使得电子沿x轴正方向偏转，根据左手定则可知，
磁场方向沿z轴反方向。符合题意；
综上可知，磁感应强度B的方向沿z轴反方向。
（ⅱ）a电子在洛伦兹力作用下运动轨迹如图
由图可知电子运动到下一个极板的时间
b电子，沿z轴的分速度与磁感线平行不受力，对应匀速直线运动；
沿y轴方向的分速度受到洛伦兹力使电子向右偏转，电子运动半个圆周到下一个极板的时间
（2）设 ，单位时间内阴极逸出的电子数量N 不变，每个电子打到极板上可以激发δ个电子，经过
0
n次激发阳极处接收电子数量
对应的电流可得I-U图像如图
6．（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面
（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强
度大小为B 的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B 的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界
1 2
与x轴重合。位于 处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子
束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v 及其在磁场中的运动时间t；
1
（2）若 ，求能到达 处的离子的最小速度v；
2
（3）若 ，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在 范围，求进入第四象限
的离子数与总离子数之比η。
【答案】（1） ； （2） （3）60
%
【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系
解得
r=2L
1
根据
解得
在磁场中运动的周期运动时间
（2）若B=2B，根据
2 1
可知
粒子在磁场中运动轨迹如图，设OO 与磁场边界夹角为α，由几何关系
1 2
解得
r=2L
2
根据
解得
（3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理
即求和可得
粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中
解得
则速度在 ~ 之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在 ~ ，又
粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为
η=60%
7．（2022·天津·高考真题）直流电磁泵是利用安培力推动导电液体运动的一种设备，可用图1所示的模型
讨论其原理，图2为图1的正视图。将两块相同的矩形导电平板竖直正对固定在长方体绝缘容器中，平板
与容器等宽，两板间距为 ，容器中装有导电液体，平板底端与容器底部留有高度可忽略的空隙，导电液
体仅能从空隙进入两板间。初始时两板间接有直流电源，电源极性如图所示。若想实现两板间液面上升，
可在两板间加垂直于 面的匀强磁场，磁感应强度的大小为 ，两板间液面上升时两板外的液面高度变
化可忽略不计。已知导电液体的密度为 、电阻率为 ，重力加速度为 。
（1）试判断所加磁场的方向；
（2）求两板间液面稳定在初始液面高度2倍时的电压 ；
（3）假定平板与容器足够高，求电压 满足什么条件时两板间液面能够持续上升。
【答案】（1）沿 轴负方向；（2） ；（3）
【详解】（1）想实现两板间液面上升，导电液体需要受到向上的安培力，由图可知电流方向沿 轴正方向，
根据左手定则可知，所加磁场的方向沿 轴负方向。
（2）设平板宽度为 ，两板间初始液面高度为 ，当液面稳定在高度 时，两板间液体的电阻为 ，则有当两板间所加电压为 时，设流过导电液体的电流为 ，由欧姆定律可得
外加磁场磁感应强度大小为 时，设液体所受安培力的大小为 ，则有
两板间液面稳定在高度 时，设两板间高出板外液面的液体质量为 ，则有
两板间液体受到的安培力与两板间高出板外液面的液体重力平衡，则有
联立以上式子解得
（3）设两板间液面稳定时高度为nh，则两板间比容器中液面高出的部分液体的高度为(n－1)h，与（2）同
理可得
整理上式，得
平板与容器足够高，若使两板间液面能够持续上升，则n趋近无穷大，即 无限趋近于1，可得
