文档内容
第 25 讲 电磁复合场
知识图谱
带电粒子在组合场中的运动
知识精讲
一．带电粒子在电场和磁场的组合场中运动，实际上是将粒子在电场中的加速与偏转，跟磁偏转两种运动组合在
一起，有效地区别电偏转和磁偏转，寻找两种运动的联系和几何关系是解题的关键。当带电粒子连续通过几个不
同的场区时，粒子的受力情况和运动情况也发生相应的变化，其运动过程则由集中不同的运动阶段组成。
二．“磁偏转”和“电偏转”的比较
项目 电偏转 磁偏转
偏转条件 带电粒子以 进入匀强电场 带电粒子以 进入匀强磁场
受力情况 只受恒定的电场力 只受大小恒定的洛伦兹力
运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动
利用类平抛运动的规律 ， 牛顿第二定律、匀速圆周运动公式
求解方法
， ， ， ，
三点剖析
课程目标：掌握解决带电粒子在组合场中运动问题的方法
电场与磁场组合
例题1、 在如图所示的直角坐标系中，y＞0的范围内存在着沿y轴正方向的有界匀强电场，在y＜0的范围内存
在着垂直纸面的匀强磁场（方向未画出）。已知oa＝oc＝cd＝L，ob＝L／4。现有一个带电粒子，质量为m，电荷
量大小为q（重力不计）。t＝0时刻，这个带电粒子以初速度V 从a点出发，沿x轴正方向开始运动。观察到带电
0
粒子恰好从d点第一次进入磁场，然后从O点第—次离开磁场。试回答：
（1）判断带电粒子的电性和匀强磁场的方向；
（2）匀强电场的场强大小；
（3）若带电粒子在y轴的a、b之间的不同位置以相同的速度V 进入电场，第一次离开磁场的位置坐标 x与出发
0
点的位置坐标y的关系式.
例题2、 如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁
场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P 时速
1
率为v ，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的P 点进入磁场，并经过y轴上y＝－2h处的P 点。不计
0 2 3
重力。求
（1）电场强度的大小。
（2）粒子到达P 时速度的大小和方向。
2
（3）磁感应强度的大小。
（4）粒子从P 点运动到P 点所用时间。
1 3
E
2
随练1、 如图所示装置中，区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场，电场强度分别为 E和 ；Ⅱ
区域内有垂直向外的水平匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、带电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边
v
界O点正上方的M点以速度 0水平射入电场，经水平分界线OP上的A点与OP成60°角射入Ⅱ区域的磁场，并垂
直竖直边界CD进入Ⅲ区域的匀强电场中。求：
（1）粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨道半径；（2）O、M间的距离；
（3）粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间。
随练2、 如图甲所示，两平行金属板接有如图乙所示随时间t变化的电压U，两板间电场可看作均匀的，且两板
外无电场，板长L＝0.2m，板间距离d＝0.2m。在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两
板中线OO'垂直，磁感应强B＝5×10－3T，方向垂直纸面向里。现有带正电的粒子流沿两板中线OO'连续射入电场中，
已知每个粒子速度V ＝105m／s，比荷q／m＝108C／kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，
0
电场可视作是恒定不变的。
（1）试求带电粒子射出电场时的最大速度。
（2）证明：在任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和在MN上出射点的距离为定值，
写出该距离的表达式。
（3）从电场射出的带电粒子，进入磁场运动一段时间后又射出磁场，求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间。
随练3、 如图所示，在xOy平面内，第三象限内的直线OM是电场与磁场的边界，OM与负x轴成45°角x＜O且
OM的左侧空间中存在着沿x轴负方向的匀强电场E＝0.32N/C，在y＜0且OM的右侧空间存在着垂直纸面向里的匀
强磁场B，磁感应强度大小为0.1T．一不计重力的带负电的粒子，从坐标原点O沿y轴负方向以v ＝2×103m/s的初
0
速度进入磁场，己知粒子的带电量为q＝5×10－18C，质量为m＝1×10－24kg，求：
（1）带电粒子第一次经过磁场边界的位置A坐标；
（2）带电粒子在磁场区域运动的总时间（结果保留4位有效数字）；
（3）带电粒子最终离开电、磁场区域进入第一象限时的位置坐标。
磁场与磁场组合
例题1、 如图所示，在x轴上方有磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。x轴下方有磁感应强度
大小为B/2，方向也为垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为 m、电荷量为－q的带电粒子（不计重力），从x轴上
O点以速度v 垂直x轴向上射出。求：
0
（1）射出之后经多长时间粒子再次进入x轴上方的匀强磁场？
（2）若x轴下方的匀强磁场的磁感应强度大小变为2B/3，求粒子射出后经过多长时间回到O点。
例题2、 如图所示，空间存在方向垂直于xOy平面向里的两部分匀强磁场，在x≥0的区域内，磁感应强度的大小
为B，在x＜0的区域内，磁感应强度的大小为 4B．t＝0时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重
力）以速度v从坐标原点O沿与x轴正方向成30°夹角的方向，第一次经过y轴射入第一象限的碰场中，直到粒子
第三次经过y轴的过程中，求（1）此过程中粒子运动的时间；
（2）粒子第三次经过y轴时与O点间的距离。
例题3、 如图所示，空间存在两个匀强磁场，它们分界线是边长为 3L的等边三角形APC，D、E、F三点分别在
PC、CA、AP边上，AF=PD=CE=L，分界线两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小相同，均为B，
分界线外的磁场区域足够大．现有一质量为m、电荷量为q的带正电离子(不计重力)，从F点以速度v向三角形内
射入．
(1)如果速度v方向与PC边平行，离子第一次到分界线就经过D点，则磁感应强度B的大小是多少？
(2)如果改变磁感应强度B的大小和速度v的方向(速度v的方向均在纸平面内)，使离子第一次、第二次到达分界线
时依次经过D点和E点，求离子周期性运动的周期；
(3)再改变磁感应强度B的大小和速度v的方向(速度v的方向均在纸平面内)，能否仍使离子第一次、第二次到达分
界线时依次经过D点和E点？为什么？
随练1、 如图所示，在空间中有一坐标系Oxy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域I和Ⅱ，直线OP是它们的
边界．区域I中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内．边界上
的P点坐标为(4L，3L)．一质量为m．电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I，经过一段时间
后，粒子恰好经过原点O．忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．则下列说法中不正确的是( )
A.该粒子一定沿y轴负方向从O点射出
B.该粒子射出时与y轴正方向夹角可能是74°
C.该粒子在磁场中运动的最短时间t=
D.该粒子运动的可能速度为v= (n=1，2，3…)
随练2、 如图所示，MN板两侧都是磁感应强度为B的匀强磁场，方向如图所示，带电粒子（不计重力）从 a位
置以垂直B方向的速度V开始运动，依次通过小孔b、c、d，已知ab＝bc＝cd，粒子从a运动到d的时间为t，则
粒子的荷质比（ ）
A. B. C. D.
随练3、 如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L 、
1
L 、L 是磁场的边界（BC与L1重合），宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感强度大小为B 。一电荷量为q、
2 3 1质量为m（重力不计）的带正电点电荷从AD边中点以初速度v 沿水平向右方向进入电场，点电荷恰好从B点进入
0
磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ。已知AB长度是BC 长度的 倍。
（1）求带电粒子到达B点时的速度大小；
（2）求磁场的宽度L；
（3）要使点电荷在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2。
随练4、 如图所示装置中，区域I中有竖直向上的匀强电场，电场强度为E，区域Ⅱ内有垂直纸面向外的水平匀
强磁场，磁感应强度为B，区域Ⅲ中有垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度为 2B．一质量为m、带电荷量
为q的带负电粒子从左边界O点正上方的M点以速度v 水平射入电场，经水平分界线 OP上的A点与OP成60°角
0
射入Ⅱ区域的磁场，并垂直竖直边界CD进入Ⅲ区域的匀强磁场中。（粒子重力不计）求：
（1）粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨道半径；
（2）O、A间的距离；
（3）粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间。
随练5、 如图所示，第一象限存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度为B ，x轴的下方－5l＜y＜0的空间
1
存在垂直纸面向内的匀强磁场Ⅱ．一质量为m、电荷量为q的带电粒子从第二象限内坐标为（－31， ）的P
点以某一速度沿PQ方向射出，粒子从y轴上的Q（坐标未知）点进入第一象限，恰好从坐标原点O进入第三象限，
粒子经过原点O点时与x轴负方向的夹角为30°，在以后的运动中粒子经过第一象限坐标位（61， ）M点（未
标出），不计粒子重力，求：
（1）求粒子的速度大小；
（2）匀强磁场Ⅱ磁感应强度的最大值及最小值。
带电粒子在复合场中的运动知识精讲
一．质谱仪
质谱仪是利用电场和磁场控制电荷运动的精密仪器，它是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。其
结构如甲图所示，容器A中含有电荷量相同而质量有微小差别的带电粒子。经过 S1和S2之间的电场加速，它们
进入磁场将沿着不同的半径做圆周运动，打到照相底片的不同地方，在底片上形成若干谱线状的细条，叫做质谱
线，每一条谱线对应于一定的质量。从谱线的位置可以知道圆周的半径，如果再已知带电粒子的电荷量，就可以
算出它的质量，这种仪器叫做质谱仪。
2．比荷的计算
如图乙所示，设飘入加速电场的带电粒子带电荷量为+q、质量为m，两板间电压为U，粒子出电场后垂直进
入磁感应强度为的匀强磁场。
在加速电场中，由动能定理得 。粒子出电场时，速度 。
在匀强磁场中轨道半径： 。
粒子质量： 。
通过质谱仪可以求出该粒子的比荷（电荷量与质量之比）： 。
二．回旋加速器
利用电场对带电粒子的加速作用和磁场对运动电荷的偏转作用来获得高能粒子，这些过程在回旋加速器的核
心部件——两个D形盒和其间的窄缝内完成，如图所示。
1．磁场的作用：带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场后，并在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，
其周期和速率、半径均无关（ ），带电粒子每次进入D形盒都运动相等的时间（半个周期）后平行电场
方向进入电场中加速。
2．电场的作用：回旋加速器的两个D形盒之间的窄缝区域存在周期性变化的并垂直于两D形盒正对截面的匀
强电场，带电粒子经过该区域时被加速。
3．交变电压：为了保证带电粒子每次经过窄缝时都被加速，使之能量不断提高，需在窄缝两侧加上跟带电粒
子在D形盒中运动周期相同的交变电压。
4．带电粒子的最终能量：当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，由圆周运动的规律可知 ，得 ，若D形盒的半径为R，则r=R，带电粒子的最终动能：
由上式可以看出，要使粒子射出的动能 增大，就要使磁场的磁感应强度B以及D形盒的半径R增大，而与加速
电压U的大小无关（U≠0）。
三．电磁流量计
1．功能：电磁流量计是利用霍尔效应来测量管道中液体流量（单位时间内通过管内横截面的液体的体积）的
一种设备。
2．其原理为：
圆形管道直径为 d（用非磁性材料制成），管道内有向左匀速流动的导电液体，在管道所在空间加一垂直管
道向里的匀强磁场，设磁感应强度为 B；管道内随液体一起流动的自由电荷（正、负离子）在洛仑兹力作用下垂
直磁场方向偏转，使管道上 ab 两点间有电势差，管道内形成电场；当自由电荷受电场力和洛仑兹力平衡时，ab
间电势差就保持稳定，测出 ab 间电势差的大小 U，则有： 故管道内液体的流量：
。
四．磁流体发电机
1．功能：磁流体发电就是利用等离子体来发电。
2．工作原理:磁流体发电机结构原理如图（1）所示，其平面图如图（2）所示。进入磁场区域的电荷由于受到
洛仑兹力而发生偏转，在 MN 两板间形成电场，使电荷受到电场力作用。当两板上积累的电荷量足够多，板间形
成的场强足够大，使电荷所受洛仑兹力与电场力平衡，从而做匀速直线运动，此时极板上也就不再积累电荷而形
成稳定的电势差。
， 即 ，则磁流体发电机的电动势 ；电流：
电动势:
五．霍尔元件
1．霍尔效应。金属导体板放在垂直于它的匀强磁场中，当导体板中通过电流时，在平行于磁场且平行于电流
的两个侧面间会产生电势差，这种现象叫霍尔效应。
2．霍尔效应的解释。如图，截面为矩形的金属导体，在 x 方向通以电流 I，在 z 方向加磁场 B，导体中自
由电子逆着电流方向运动。由左手定则可以判断，运动的电子在洛仑兹力作用下向下表面聚集，在导体的上表面
A 就会出现多余的正电荷，形成上表面电势高，下表面电势低的电势差，导体内部出现电场，电场方向由 A 指
向 A´，以后运动的电子将同时受洛仑兹力 F 和电场力 F 作用，随着表面电荷聚集，电场强度增加， F 也
洛 洛 洛
增加，最终会使运动的电子达到受力平衡（ ）而匀速运动，此时导体上下两表面间就出现稳定的电势差。3．霍尔效应中的结论。
设导体板厚度为 h(y 轴方向)、宽度为 d、通入的电流为 I，匀强磁场的磁感应强度为 B，导体中单位体积内
自由电子数为 n，电子的电量为 e，定向移动速度大小为 v，上下表面间的电势差为 U；
（1）由 ①
（2）U、I、B 的关系还可表达为 其中 k 为霍尔系数 ②
电流的微观表达式有： ③
联立①②③式可得
由此可通过霍尔系数的测定来确定导体内部单位体积内自由电子数。
，相当于长度为h的直导体垂直匀强磁场 B 以速度v切割磁感线
（3）考察两表面间的电势差
所产生的感应电动势 。
三点剖析
课程目标：
掌握带电粒子在复合场中运动的分析，理解常见的几种应用：速度选择器、质谱仪、等离子体发电机、电磁流量
计和霍尔效应。
带电粒子在叠加场中的运动
例题1、 在光滑水平地面水平放置着足够长的质量为 M的木板，其上放置着质量为m带正电的物块（电量保持
不变），两者之间的动摩擦因数恒定，且M＞m。空间存在足够大的方向垂直于纸面向里的匀强磁场，某时刻开
始它们以大小相等的速度相向运动，如图取向右为正方向，则下列图象可能正确反映它们以后运动的是( )
A. C. D.
B.
例题2、[多选题] 如图所示，套在足够长的绝缘直棒上的带正电小球，其质量为m，电量为q。将此棒竖直放在
互相垂直的、沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，匀强电场的电场强度大小为 E，匀强磁场的磁感应强度为B，
小球与棒间的滑动摩擦系数为μ，小球由静止沿棒竖直下落，重力加速度为g，且 ，小球带电量不变。下
列说法正确的是（ ）
A.小球下落过程中的加速度先增大后减小 B.小球下落过程中加速度一直减小直到为0C.小球运动中的最大速度为 D.小球运动中的最大速度为
随练1、[多选题] 如图所示，空间中存在一水平方向匀强电场和一水平方向匀强磁场，且电场方向和磁场方向相
互垂直．在电磁场正交的空间中有一足够长的固定粗糙绝缘杆，与电场正方向成60°夹角且处于竖直平面内．一质
量为m，带电量为＋q的小球套在绝缘杆上．初始，给小球一沿杆向下的初速度 v，小球恰好做匀速运动，电量保
0
持不变．已知，磁感应强度大小为B，电场强度大小为 ，则以下说法正确的是（ ）
A.小球的初速度为
B.若小球的初速度为 ，小球将做加速度不断增大的减速运动，最后停止
C.若小球的初速度为 ，小球将做加速度不断增大的减速运动，最后停止
D.若小球的初速度为 ，则运动中克服摩擦力做功为
随练2、[多选题] 如图所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的粗糙细杆上自由滑动，细杆
处在磁感应强度为B的匀强磁场中，圆环以初速度v 向右运动直至处于平衡状态，则圆环克服摩擦力做的功可能
0
为（ ）
A.0
B.
C. D.
回旋加速器
例题1、[多选题] 如图所示，已知回旋加速器的匀强磁场的磁感应强度为B，D形金属盒的半径为R，狭缝间的距
离为d，加在两D形金属盒间电压为U。一个电荷量为q，质量为m的带电粒子在回旋加速器的中心从速度为O开
始加速，当它离开回旋加速器时的动能为E。要使该粒子离开回旋加速器时的动能大于E，则下列方法中正确的
k k
是( )
A.只增大两D形金属盒间的电压U B.只增大狭缝间的距离d
C.只增大匀强磁场的磁感应强度B D.只增大D形金属盒的半径R
例题2、 1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如图所示，置于真空中的两个D
形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计，磁感应强度为 B的匀强磁场方向与盒面垂直。两D形盒之间所加的交流电压为U，粒子质量m、电荷量为q的粒子从D形盒一侧圆心处开始被加速
（初动能可以忽略），经若干次加速后粒子从D形盒边缘射出。求：
（1）交流电压的频率；
（2）粒子从D形盒边缘射出时的动能；
（3）粒子被加速的次数。
随练1、[多选题] 回旋加速器在科学研究中得到了广泛应用，其原理如图所示。D 和D 是两个中空的半圆形金属
1 2
盒，置于与盒面垂直的匀强磁场中，它们接在电压为U、周期为T的交流电源上。位于D 圆心处的粒子源A能不
1
断产生α粒子（初速度可以忽略），它们在两盒之间被电场加速。当α粒子被加速到最大动能E 后，再将它们引
k
出。忽略α粒子在电场中的运动时间，则下列说法正确的是（ ）
A.α粒子第n次被加速前、后的轨道半径比为
B.若只增大交变电压U，则α粒子在回旋加速器中运行的时间会变短
C.若不改变交流电压的周期，仍可用此装置加速氘核
D.若是增大交变电压U，则α粒子的最大动能E 会变大
k
随练2、[多选题] 如图所示，回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电极相连接的两
个D形金属盒。两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速。两 D形金属盒处
于垂直于盒底的匀强磁场中，磁感应强度为B。若D形盒的半径为R，狭缝的距离为d，高频交流电的电压为U。
质量为m，带电量为q的粒子在靠近狭缝的地方由静止开始加速。不计粒子的重力。下列说法正确的是（ ）
(qBR) 2 qB
2m πm
A.粒子离开回旋加速器的动能为 B.高频交流电的频率为
πBR2 dBR
2U U
C.粒子在D形盒中运动的时间为 D.粒子在狭缝中运动的时间为
随练3、 1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器.回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的 D形
金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计，磁感应强度为 B的匀强磁场与盒面垂直，
A处粒子源产生的粒子初速度可忽略不计，质量为m、电荷量为＋q，每次在两D形盒中间被加速时加速电压均为
U，加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。求：（1）粒子第4次加速后的运动半径与第9次加速后的运动半径之比；
（2）粒子在回旋加速器中获得的最大动能及加速次数；
随练4、 回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科学技术的
发展。回旋加速器的原理如图，D 和D 是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交
1 2
流电源上，取粒子在磁场中运动的周期与交流电的周期相同。位于 D 圆心处的质子源A能不断产生质子（初速度
1
可以忽略，重力不计），它们在两盒之间被电场加速，D 、D 置于与盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中。
1 2
若输出时质子束的等效电流为I．（忽略质子在电场中的加速时间及质子的最大速度远远小于光速）
（1）写出质子在该回旋加速器中运动的周期及质子的比荷q/m；
（2）求质子束从回旋加速器输出时的平均功率为P．
（3）若使用此回旋加速器加速氘核，要想使氘核获得与质子相同的最大动能，请分析此时磁感应强度应该如何变
化，并写出计算过程。
速度选择器
例题1、 如图所示，一质子以速度 v 穿过互相垂直的电场和磁场区域而没有发生偏转，则下列说法 正确的是（
）
A.若质子的速度 v′ ,粒子在板间的运动是类平抛运动
B
D.若此粒子从右端沿虚线方向进入平行板,仍做直线运动
质谱仪
例题1、 如图所示为质谱仪的原理图，A为粒子加速器，电压为U ；B为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应
1
强度为B ，板间距离为d；C为偏转分离器，磁感应强度为B 。今有一质量为m、电量为q的正离子经加速后，恰
1 2
好通过速度选择器，进入分离器后做半径为R的匀速圆周运动，求：（1）粒子的速度v
（2）速度选择器的电压U
2
（3）粒子在B 磁场中做匀速圆周运动的半径R。
2
例题2、 如图所示，还有 、 、 的带电粒子束从小孔 处射入速度选择器，沿直线 运动的粒子
在小孔 处射出后垂直进入偏转磁场，最终打在 两点，则（ ）
A.打在P 点的粒子是
1
B. 的长度是 长度的2倍
C.粒子在偏转磁场中运动的时间都相等
D.只有比荷先相同的 和 才能进入偏转磁场
随练1、 如图为质谱仪的原理图，若同一束粒子沿极板 、 的轴线射入电磁场区域，由小孔 射入右边的偏
转磁场 中，运动轨迹如图所示，不计粒子重力，下列相关说法中正确的是（ ）
A.速度选择器的P 极板带负电
1
B.该束带电粒子带正电
C.在B 磁场中运动半径越大的粒子，速度越大
2
D.在B 磁场中运动半径越大的粒子，比荷 越大
2
随练2、 质谱仪可利用电场和磁场将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术等领域有重要的应
用。如图所示，虚线上方有两条半径分别为R和r（R＞r）的半圆形边界，分别与虚线相交于A、B、C、D点，圆
心均为虚线上的O点，C、D间有一荧光屏。虚线上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度为B．虚
线下方有一电压可调的加速电场，离子源发出的某一正离子由静止开始经电场加速后，从AB的中点垂直进入磁场，
离子打在边界上时会被吸收。当加速电压为U时，离子恰能打在荧光屏的中点。不计离子的重力及电、磁场的边
缘效应。求：
（1）离子的比荷；
（2）离子在磁场中运动的时间；
（3）离子能打在荧光屏上的加速电压范围。随练3、 如图所示，在x轴的上方存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 的匀强磁场。位于x轴的下方离子源
0
C发射质量为m、电荷量为q的一束负离子，其初速度大小范围0～ ，这束离子经电势差U 的电场加速
后，从小孔O（坐标原点）垂直x轴并垂直磁场射入磁场区域，最后打到x轴上。在x轴上2a～3a区间水平固定
放置一探测板（a ），假设每秒射入磁场的离子总数为N，打到x轴上的离子数均匀分布（离子重力不计）。
0
（1）求离子束从小孔O射入磁场后打到x轴的区间；
（2）调整磁感应强度的大小，可使速度最大的离子恰好打在探测板右端，求此时的磁感应强度大小B ；
1
（3）保持磁感应强度B 不变，求每秒打在探测板上的离子数N；若打在板上的离子80％被吸收，20％被反向弹
1
回，弹回速度大小为打板前速度大小的0.6倍，求探测板受到的作用力大小。
磁流体发电机和等离子体发电机
例题1、[多选题] 目前世界上正在研究的一种新型发电机叫磁流体发电机，它的发电原理如图所示：将一束等离
子体（即高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的微粒，而从整体上来说呈电中性）喷入磁场，由于等离
子体在磁场力的作用下运动方向发生偏转，磁场中的两块金属板A和B上就会聚集电荷，从而在两板间产生电压
在图示磁极配置的情况下，下列表述正确的是（ ）
A.通过电阻R的电流方向是a→R→b
B.金属板A的电势较高
C.等离子体在A、B间运动时，磁场力对等离子体做正功
D.等离子体在A、B间运动时，磁场力对等离子体不做功
例题2、 如图所示，磁流体发电机的M、N极板间距d=0.2 m，极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强
度B=1.0 T，外电路中负载电阻R=4 Ω，用导线与两极板相连，等离子气体从两极板间以速率v=1100m/s向右射入，
已知极板间等离子气体在MN方向的等效电阻r=1 Ω，试求：
(1)M、N极板哪个是电源的正极？
(2)此发电机的输出功率为多大？随练1、 磁流体发电是一项新兴技术。如图表示了它的原理：将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量
正、负带电粒子，而从整体来说呈电中性）喷射入磁场，在场中有两块金属板A、B，这时金属板上就会聚集电荷，
产生电压。如果射入的等离子体速度均为v，板间距离为d，板平面的面积为S，匀强磁场的磁感应强度为B，方
向垂直于速度方向，负载电阻为R，电离气体充满两板间的空间，其电阻率为 ρ，当发电机稳定发电时，A、B就
是一个直流电源的两个电极。下列说法正确的是（ ）
A.图中A板是电源的正极 B.A、B间的电压即为该发电机的电动势
C.正对面积S越大，该发电机电动势越大 D.电阻R越大，该发电机输出效率越高
随练2、 电磁流量计是一种测量导电液体流量的装置（单位时间内通过某一截面的液体体积，称为流量），其结
构如图所示，上、下两个面M、N为导体材料，前后两个面为绝缘材料。流量计的长、宽、高分别为a、b、c，左、
右两端开口，在垂直于前、后表面向里的方向加磁感应强度为B的匀强磁场，某次测量中，与上下两个面M、N
相连的电压表示数为U，则管道内液体的流量为（ ）
C.UBc D.UBb
A. B.
随练3、 电磁流量计广泛应用于测量可导电液体（如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体
的体积）．为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道．其中空部分的长、宽、高分别为图
中的a、b、c．流量计的两端与输送流体的管道相连接（图中虚线）．图中流量计的上下两面是金属材料，前后两
面是绝缘材料．现于流量计所在处加磁感应强度B的匀强磁场，磁场方向垂直前后两面．当导电流体稳定地流经
流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R的电流表的两端连接，I表示测得的电流值．已知
流体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，则可求得流量为( )
A.Q= B.Q=
C.Q= D.Q=
随练4、 磁流体发电机，又称等离子发电机，是根据霍尔效应，利用导电流体与磁场发生相对运动而发电的新型
发电机。磁流体发电机的原理如图所示。在相距为d，且足够长的甲、乙两金属板间加有垂直纸面向里、磁感应强
度为B的匀强磁场，两板通过开关S和灯泡相连。将气体加热到使之高度电离，由于正负电荷一样多，且带电量均
为q，故称为等离子体。将其以速度v 喷入甲、乙两板之间，这时甲、乙两板就会聚集电荷，产生电压，它可以
直接把内能转化为电能。试问：（1）图中哪个极板是发电机的正极？
（2）发电机的电动势多大？
（3）设喷入两极间的离子流每立方米有n对一价正负离子，等离子体流的截面积为S，则发电机的最大功率多大？
霍尔效应
例题1、[多选题] 利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自动控制等领域。如图是霍尔元件的工作原
理示意图，磁感应强度B垂直于霍尔元件的工作面向下，通入图示方向的电流I，C、D两侧面会形成电势差U ，
CD
下列说法中正确的是（ ）
A.电势差U 仅与材料有关
CD
B.若霍尔元件的载流子是自由电子，则电势差U ＜0
CD
C.仅增大磁感应强度时，电势差U 变大
CD
D.在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平
例题2、 在磁场中放置一块矩形通电导体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方
向上产生电势差，这个现象叫做霍尔效应，所产生的电压叫做霍尔电压，图甲为霍尔效应的原理示意图，图中霍
尔电压U = ，如图乙所示，在自行车的前叉上固定一霍尔元件，在前轮辐条上安装一块磁铁，这样，轮子每转
H
一周，磁铁就靠近霍尔传感器一次，便可测出某段时间内的脉冲数，从而得到自行车的平均速度并通过速度计显
示出来，设自行车前轮的半径为R，磁铁到前轮转轴的距离为r，则下列说法正确的是（ ）
A.若霍尔元件的载流子是负电荷，则图甲中C端电势高于D端电势
B.如果长时间不更换传感器的电池，霍尔电压会越来越大
C.如果在时间t内得的脉冲数为N，则自行车骑行的平均速度为
D.若前轮漏气，则速度计测得的骑行速度比实际速度偏小
随练1、[多选题] 用图示装置可以检测霍尔效应。利用电磁铁产生磁场，电流表检测输入霍尔元件的电流，电压
表检测元件输出的电压。已知图中的霍尔元件是半导体，与金属导体不同，它内部形成电流的“载流子”是空穴，
空穴可视为能自由移动的带正电的粒子。图中的1、2、3、4是霍尔元件上的四个接线端。当开关S 、S 闭合后，
1 2
电流表A和电流表B、C都有明显示数，下列说法中正确的是（ ）A.电表B为电压表，电表C为电流表
B.接线端4的电势低于接线端2的电势
C.若调整电路，使通过电磁铁和霍尔元件的电流与原电流方向相反，但大小不变，则电压表的示数将保持不变
D.若增大R 、增大R ，则电压表示数增大
1 2
随练2、 如图所示，在一矩形半导体薄片的P、Q间通入电流I，同时外加与薄片垂直的磁场B，在M、N间出现
电压U ，这个现象称为霍尔效应，U 称为霍尔电压，且满足U ＝K ，式中d为薄片的厚度，k为霍尔系数。某
H H H
同学通过实验来测定该半导体薄片的霍尔系数。
①若该半导体材料是空穴（可视为带正电粒子）导电，电流与磁场方向如图丙所示，该同学用电压表测量U 时，
H
应将电压表的“＋”接线柱与________（填“M”或“N”）端通过导线相连。
②已知薄片厚度d＝0.40mm，该同学保持磁感应强度B＝0.10T不变，改变电流I的大小，测量相应的U 值，记录
H
数据如下表所示。根据表中数据在给定区域内补漏的点并画出U －I图线，利用图线求出该材料的霍尔系数为：
H
________×10－3V•m•A－1•T－1（保留2位有效数字）。
I（×10－3A） 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 18.0
U （×10－3V） 1.1 1.9 3.4 4.5 6.2 6.8
H
拓展
1、 如图，在平面直角坐标系xOy内，第1象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限以ON为直径的半圆形
区域内，存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从y
轴正半轴上y＝h处的M点，以速度v 垂直于y轴射入电场，经x轴上x＝2h处的P点进入磁场，最后以速度v垂
0
直于y轴射出磁场。不计粒子重力。求：
（1）电场强度大小E；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径；
（3）粒子离开磁场时的位置坐标。2、 如图所示，在 平面的第一象限内，分布有沿x轴负方向的场强 的匀强电场，第四象限内
分布有垂直纸面向里的磁感应强度 的匀强磁场，第二、三象限内分布有垂直纸面向里的磁感应强度 的
匀强磁场。在x轴上有一个垂直于y轴的挡板OM，挡板上开有一个小孔P，P处连接有一段长度 内径
不计的准直管，管内由于静电屏蔽没有电场。y轴负方向上距O点 的粒子源S可以向第四象限平面
内各个方向发射带正电的粒子，粒子速度大小均为 ，粒子的比荷 ，不计粒子重力
和粒子间的相互作用，求：
（1）粒子在第四象限的磁场中运动时的轨道半径r；
（2）粒子第一次到达y轴的位置与O点的距离H；
（3）要使离开电场的粒子只经过第二、三象限回到S处，磁感应强度 应为多大。
3、 如图所示，空间存在方向与xoy平面垂直，范围足够大的匀强磁场。在 区域，磁感应强度大小为B ，
0
方向向里；x＜0区域，磁感应强度大小为2B ，方向向外。某时刻，一个质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒
0
子从x轴上P（L，0）点以速度 垂直x轴射入第一象限磁场，不计粒子的重力。求：
（1）粒子在两个磁场中运动的轨道半径；
（2）粒子离开P点后经过多长时间第二次到达y轴。
4、[多选题] 质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电
场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说
法中正确的是（ ）
A.该微粒一定带负电荷 B.微粒从O到A的运动可能是匀变速运动
C.该磁场的磁感应强度大小为 D.该电场的场强为
5、[多选题] 劳伦斯和利文斯设计出回旋加速器，工作原理示意图如图所示。置于高真空中的 D形金属盒半径为
R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽略。磁感应强度为 B的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为
f，加速电压为U，若A处粒子源产生的质子质量为m、电荷量为＋q，在加速器中被加速，且加速过程中不考虑相
对论效应和重力的影啊。则下列说法正确的是（ ）A.质子被加速后的最大速度不可能超过2xRf
B.质子离开回旋加速器时的最大动能与加速电压U成正比
C.质子第3次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为
D.不改变磁感应强度B和交流电频率f该回旋加速器的最大动能不变
6、 如图所示，在两水平极板间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向里．一带
电粒子以某一速度沿水平直线通过两极板，若不计重力，下列四个物理量中哪一个改变时，粒子运动轨迹不会改
变（ ）
A.粒子所带的电荷量 B.粒子速度的大小 C.电场强度 D.磁感应强度
7、[多选题] 如图是质谱仪的工作原理示意图，电荷量相同的带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器。速
度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为 B和E。平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位
置的胶片A A 。平板S下方有强度为B 的匀强磁场。下列表述正确的是（ ）
1 2 0
A.质谱仪是分析同位素的重要工具
B.速度选择器中的磁场方向垂直纸面向里
C.能通过狭缝P的带电粒子的速率等于
D.粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的质量越小
8、 如图所示，质量为m、电荷量为＋q的粒子，从容器A下方的小孔S 不断飘入加速电场，其初速度几乎为零。
1
粒子经过小孔S 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为 B的匀强磁场中，做半径为R的匀速圆周运动，随后离
2
开磁场。不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
（1）求粒子在磁场中运动的速度大小v；
（2）求加速电场的电压U；
（3）粒子离开磁场时被收集。已知时间t内收集到粒子的质量为M，求这段时间内粒子束离开磁场时的等效电流
I．
9、 为了测量某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，该装置由绝缘材
料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口，在垂直于上下底面方向加磁感应强度为 B的匀强磁场，在前后两个内侧面固定有金属板作为电极，污水充满管道从左向右流经该装置时，电压表将显示两个电极间的电压，
电压为U，若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是( )
A.若污水中正离子较多，则前表面比后表面电势高
B.前表面的电势一定低于后表面的电势，与哪种离子多少无关
C.污水中离子浓度越髙，电压表的示数将越大
D.污水流量Q与U、b成正比，与a、c无关
10、 如图所示为磁流体发电机的示意图，将气体加热到很高的温度，使它成为等离子体(含有大量正、负离子)，
让它以速度v通过磁感应强度为B的匀强磁场区，这里有间距为d的电极板a和b，外电路电阻为R．
(1)说明磁流体发电机的原理．
(2)哪个电极为正极？
(3)计算电极板间的电势差．
11、 笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常
工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图所示，一块宽为 a、长为c的矩形
半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为
v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压 U，以此
控制屏幕的熄灭。则元件的（ ）
A.前表面的电势比后表面的低 B.前、后表面间的电压U与v无关
C.前、后表面间的电压U与c成正比
D.自由电子受到的洛伦兹力大小为答案解析
带电粒子在组合场中的运动
电场与磁场组合
例题1、
【答案】 （1）带负电；磁场方向应垂直于纸面向里
mv2
E= 0
2qL
（2）
（3）粒子第一次离开磁场的位置在坐标原点x＝0处，与位置坐标y无关
【解析】 （1）粒子在第一象限时电场力向－Y方向，故粒子带负电，要使粒子能从o点射出，磁场方向应垂直
于纸面向里。
（2）粒子在电场中作类平抛运动，有：
水平方向匀速直线2L＝v t
0
qE 1
a= L= at2
m 2
竖直方向匀加速直线： ，
mv2
E= 0
2qL
解得：
（3）v＝at， ，
y
V＝v ， ，
y 0
粒子从b点到o点作圆周运动轨迹如图，由几何关系可得，
R=√2L
半径
洛伦兹力提供向心力，有：
mv
0
B=
qL
解得：
设粒子从ab间y处进入电场，在x轴上的D点进入磁场，D点的横坐标为x ，
0
与x轴的夹角为θ ，则有：
1
v
1
x
0
=v
0
t
，
a= q
m
E =
2
0
L
2
，
y=
2
at2
x =2√Ly
解得： 0
， ，同理，记射出点到D点的距离为Δx，则有：
mv
0
B=
qL
， ，
v,
Δx=2R sinθ =2R y =2√Ly
1 1 1v
解得： D ，
故Δx＝x ，所以粒子第一次离开磁场的位置在坐标原点x＝0处，
0
与位置坐标y无关
例题2、
【答案】 （1）
（2） ；与x轴夹角为45°
（3）
（4）
【解析】 （1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从 P 到P 的时间为t，电场强度的大小为E，
1 2
粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式有
qE＝ma
2h＝v t
0
解得
（2）粒子到达P 时速度沿x方向的分量仍为v ，以v 表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速
2 0 1
度和x轴的夹角，则有
解得
所以：θ＝45°
（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，用r表示圆周的半径。由牛顿第二定律
因为OP ＝OP ，θ＝45°，由几何关系可知，连线P P 为圆轨道的直径。
2 3 2 3
由此可求得
解得
（4）粒子在电场中运动时间
粒子在电场中运动时间
粒子从P 点运动到P 点所用时间t＝t ＋t
1 3 1 2
得随练1、
【答案】 （1）
（2）
（3）
【解析】 （1）
，
（2）qE＝ma，vtan60°＝at，即
0 1
（3）设粒子在Ⅱ区域磁场中运动时间为t，
2
设粒子在Ⅲ区域电场中运动时间为t，
3
则
粒子从M点出发到第二次通过CD边界所用时间为
随练2、
【答案】 （1）1.41×105m／s
（2）
（3） ；【解析】 （1）偏转电压由0到200V的变化中，粒子流可能都能射出电场，也可能只有部分粒子能射出电场。
设偏转的电压为U 时，粒子刚好能经过极板的右边缘射出。
0
得U ＝100V。
0
知偏转电压为100V时，粒子恰好能射出电场，且速度最大。
根据动能定理得，
。
方向：斜向右上方或斜向右下方，与初速度方向成45°夹角。
（2）设粒子射出电场速度方向与MN间夹角为θ．粒子射出电场时速度大小为：
解得 。
因此粒子射进磁场点与射出磁场点间距离为：
。
由此可看出，距离s与粒子在磁场中运行速度的大小无关，s为定值。
（3）由（1）中结论可知，若粒子射出磁场的竖直分速度越大，则 θ越小，故θ最小值为θ ＝45°，此情景下圆弧
m
对应的圆心角为270°，入射粒子在磁场中运行最长时间为：
。
同理。粒子由右上方射入磁场时且速度方向与MN间夹角为45°时在磁场中运行的时间最短，
。
随练3、
【答案】 （1）（－0.004m，－0.004m）
（2）1.256×10－5s
（3）（0，0.192m）
【解析】 （1）带电粒子从O点射入磁场运动轨迹如图所示，
由 ，
得 。
根据题意及几何关系可以知道带电粒子的运动轨迹在磁场中偏转的圆心角为 90°，则A点位置坐标（－4×10－3m，
－4×10－3m）。（2）设带点粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则 ，
由图可以知道粒子在磁场中运动时间 。
（3）设粒子从C点沿y轴正方向进入电场，做类平抛运动，则 ，
，
代入数据得：t＝10－4s，
3
竖直方向： ，
所以坐标 ，
带电粒子离开电磁场时的位置坐标为（0，0.192m）。
磁场与磁场组合
例题1、
【答案】 （1）
（2）3T /2＋2T /2
1 2
【解析】 粒子射出后受洛伦兹力做匀速圆周运动，运动半个圆周后第一次到达x轴，以向下的速度v 进入x轴下
0
方磁场，又运动半个圆周后第二次到达x轴。
（1）由牛顿第二定律 ①
②
得 ， ，
粒子第二次到达x轴需时间 。
（2）粒子第二次通过x轴在出射点左侧r ，第四次通过x轴在出射点左侧2r .因此所用时间为3T /2＋2T /2。
1 1 1 2
例题2、
【答案】 （1）
（2）
【解析】 （1）设粒子在y轴右侧运动的轨迹半径为R ，y左侧运动的半径为R ，
1 2
在y轴右侧，根据洛伦兹力提供向心力： ①
在y轴左侧，根据洛伦兹力提供向心力： ②
粒子在在y轴右侧磁场中运动的周期为：
粒子在在y轴左侧磁场中运动的周期为：
粒子在y轴右侧转过的圆心角：θ＝120°
1
粒子在y轴左侧转过的圆心角：θ＝240°
2此过程中粒子运动的时间：
（2）由①②式可得粒子在两磁场中运动的半径分别为： ，
如图所示，根据几何关系可得，粒子第三次经过y轴时与O点间的距离：
d＝2R cos30°－2R cos30°＝
1 2
例题3、
【答案】 (1)磁感应强度B的大小： ；
(2)离子周期性运动的周期为 ；
(3)不能使离子第一次、第二次到达分界线时依次经过D点和E点，因为：R无论变大还是变小，三圆总是相交，
不可能再相切．
【解析】 (1)带电离子的运动轨迹如图所示，
由数学知识可知， ，
离子在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得： ，
解得： ；
(2)连接D、E、F，可得△DEF是等边三角形，当离子沿∠DFE的角平线方
向 射入时，
离 子才能依次经过D点、E点，其运动的各段轨迹依次是a、b、c、d、e、f．
回到F点，完成一个周期运动，如右图所示．
画出a段圆孤的圆心O，由几何关系可知，△FOD也是等边三角形，所以圆孤半径：R=OF=FD= ，
离子一个周期运动的路径为3个圆的周长，
所以其运动周期： ，
(3)右图中三个圆相切是满足题中要求的必要条件，
再改变B的大小和v的方向，圆半径R将改变，
半径R无论变大还是变小，三圆总是相交，
不可能再相切，所以不能使离子第一次、第二次到达分界线时依次经过D点和E点．随练1、
【答案】 B
【解析】 AB．粒子进入磁场中受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，对于直线边界，考虑轨迹圆的对称性，粒子进
入磁场与离开磁场时速度方向与边界的夹角相等，故粒子不可能从Ⅰ区到达O点，故一定是从Ⅱ区到达O点；
画出可能的轨迹，如图所示：
tanα= =0.75
得α=37°，α+β=90°
故该粒子一定沿y轴负方向从O点射出，故A正确，B错误；
C．设粒子的入射速度为v，用R1，R2，T1，T2分别表示粒子在磁场I区和II区中运动的轨道半径和周期，则：
qvB=m qv(2B)=m
周期分别为：
T1= = T2= =
粒子先在磁场I区中做顺时针的圆周运动，后在磁场II区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，这样粒子从P
点运动到O点所用的时间最短．
粒子在磁场I区和II区中的运动时间分别为：t1= T1 t2=
粒子从P点运动到O点的时间至少为：t=t1+t2
由以上各式解得：t= ，故C正确；
D．粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场 I区中运动，后在磁场II区中运动，然后又重复前面的运动，
直到经过原点O．这样粒子经过n个周期性的运动到过O点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位
移为S= = (n=1，2，3，…)
粒子每次在磁场I区中运动的位移为：S1= S=
由图中几何关系可知：
=cosα=0.8
而R1=
由以上各式解得粒子的速度大小为：v= (n=1，2，3，…)
故D正确．随练2、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
随练3、
【答案】 （1）
（2）
（3）B≥1.5B。
2 1
【解析】 （1）设点电荷进入磁场时的速度大小为v，与水平方向成θ角，由类平抛运动的速度方向与位移方向
的关系有：
则θ＝30°
根据速度关系有：
（2）设点电荷在区域Ⅰ中的轨道半径为r，由牛顿第二定律得：
1
轨迹如图:
由几何关系得：L＝r
1
解得：
（3）当点电荷不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，点电荷在磁场中运动的时间最长。设区域Ⅱ中最小磁感应强度为
B，对应的轨迹半径为r，轨迹如图:
2同理得：
根据几何关系有：L＝r（1＋sinθ）
2
解得：B＝1.5B
1
随练4、
【答案】 （1）
（2）
（3）
【解析】 （1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，设粒子过A点时速度为v，由类平抛规律知
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
所以，
（2）设粒子在电场中运动时间为t，加速度为a，则有qE＝ma
1
vtan60°＝at，
0 1
即
O、A两点间的距离为：
（3）设粒子在Ⅱ区域磁场中运动时间为t，粒子运动为：
2则由几何关系知：
设粒子在Ⅲ区域磁场中运行时间为t，同理：
3
则：
粒子从M点出发到第二次通过CD边界所用时间为：
t＝t＋ t＋ t
1 2 3
随练5、
【答案】 （1）
（2）匀强磁场Ⅱ磁感应强度的最大值2B ，最小值为
1
【解析】 （1）根据题意可知粒子在第二象限做匀速运动，第一次进入第一象限时速度与 y轴负方向夹角为
60°，如图所示，则OQ的距离为
设粒子在磁场Ⅰ中做圆周运动的半径为R ，由几何关系可知从Q到O粒子转过的角度为120°，则l ＝2R sin60°
1 OQ 1
解得R ＝l
1
粒子在第一象限做圆周运动，设粒子速度为v ，有
0
解得
（2）粒子从O点进入Ⅱ磁场后，其在Ⅰ、Ⅱ磁场中运动的轨迹如图所示，在Ⅱ磁场中转过的圆心角为300°，进入
Ⅰ磁场圆心角再转过300°后又会再次进入Ⅱ磁场，以后循环下去。粒子要通过与Q点等高的M点，粒子在磁场II
做圆周运动的半径为 R ，必须满足如下关系 R －R （1－sin30°）≥0，R （1＋cos30°）≤5l，解得
2 2 1 2
设磁场Ⅱ中磁感应强度为B ，圆周运动半径为R ，有 ，则
2 2
可知R 取最小值时，B 最大，R 取最大值时，B 最小，
2 2 2 2
①若粒子由下向上通过M点，则有：（n＋1）R ＋nR ＝6l，（n＝0.1.2…），
2 1
分析可知n＝1时R 取最大值R ， ，
2 21max
当n＝3时，R 取最小值R ， ；
2 21min
②做粒子由向上向下通过M点，则有nR ＋nR ＝6l，（n＝0.1.2…）
2 1
分析可知n＝2时R 取最大值R ，R ＝2l，
2 22max 22max
当n＝4时，R 取最小值R ， ；
2 24min
对比以上两种情况可知：当 时B 最小，
2
当 时B 最大，
2带电粒子在复合场中的运动
带电粒子在叠加场中的运动
例题1、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
例题2、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 小球下滑过程中，受到重力、摩擦力、弹力、向右的洛伦兹力、向右的电场力，开始阶段，小球向下
做加速运动时，速度增大，洛伦兹力增大，小球所受的杆的弹力向左，大小为 ，N随着v的增大而增
大，滑动摩擦力f＝μN也增大，小球所受的合力F ＝mg－f，f增大，F 减小，加速度a减小，当mg＝f时，a＝
合 合
0，速度最大，做匀速运动，由 得小球运动中的最大速度为 ，故BD正确，AC
错误；
随练1、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 暂无解析
随练2、[多选题]
【答案】 A B D
【解析】 当qv B＝mg时，圆环不受支持力和摩擦力，摩擦力做功为零．故A正确．当qv B＜mg时，圆环做减
0 0
速运动到静止，只有摩擦力做功．根据动能定理得： 得： 故B正确．当qv B＞mg时，圆
0
环先做减速运动，当qvB＝mg时，不受摩擦力，做匀速直线运动．当qvB＝mg时得： 根据动能定理得：
代入解得：
，故C错误，D正确．
回旋加速器
例题1、[多选题]
【答案】 C D
【解析】 暂无解析
例题2、【答案】 （1）
（2）
（3）
【解析】 （1）加速电压的周期等于粒子在磁场中运动的周期，即 ，
那么交流电压的频率 ；
（2）根据 ，解得 ，带电粒子射出时的动能 ；
（3）经加速电场加速 ，
解得： ，
随练1、[多选题]
【答案】 A B C
【解析】 A、根据洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，则有半径公式 与nqU mv2，所以α粒子第n
次被加速前后的轨道半径之比为 ，故A正确；
B、若只增大交变电压U，则α粒子在回旋加速器中加速次数会减小，导致运行时间变短，故B正确；
C、若不改变交流电压的周期，根据 ，可知，α粒子与氘核在磁场中运动的周期相同，所以能用此装置加
速氘核，故C正确；
D、根据qvB＝ ，得 ．则α粒子最大动能E mv2 ，与加速电压无关，故D错误，
k
随练2、[多选题]
【答案】 A C D
【解析】 暂无解析
随练3、
【答案】 （1）2︰3
（2）
【解析】 （1）设粒子每加速一次动能增加qU，第n次被加速后粒子的动能
受力分析可知
可得粒子第n次加速后在磁场中的运动半径
粒子第4次加速后的运动半径与第9次加速后的运动半径之比 ；
（2）设粒子在回旋加速器中运动的最大半径为R，粒子的最大速度为v ，受力分析可知
m
粒子的最大动能
粒子在回旋加速器中加速总次数 。随练4、
【答案】 （1） ；
（2）1πBr2f
（3）增大为原来的 倍；见解析
【解析】 （1）由回旋加速器工作原理可知，交变电源的频率与质子回旋频率相同，由周期 T与频率f的关系可
得运动周期：
设质子质量为m，电荷量为q，质子离开加速器时速度大小为v，由牛顿第二定律可知：
质子运动的回旋周期为：
所以质子比荷为： ；
（2）设在t时间内离开加速器的质子数为N，
则质子束从回旋加速器输出时的平均功率
由上述各式得P＝1πBr2f；
（3）若使用此回旋加速器加速氘核，
E ＝E
K1 K2
即磁感应强度需增大为原来的 倍。
速度选择器
例题1、
【答案】 D
【解析】 暂无解析
例题2、
【答案】 A C
【解析】
随练1、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
随练2、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
质谱仪例题1、
【答案】 （1）
（2）
（3）
【解析】 （1）粒子经加速电场U 加速，获得速度V，由动能定理得：
1
解得
（2）在速度选择器中作匀速直线运动，电场力与洛仑兹力平衡得
Eq＝qvB 即
1
（3）在B 中作圆周运动，洛仑兹力提供向心力，
2
例题2、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
随练1、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
随练2、
【答案】 （1）
（2）
（3）
【解析】 （1）离子恰能打在荧光屏的中点，离子的半径
由离子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
在电场中加速由动能定理得：
解得：
（2）离子在磁场中运动的周期为
在磁场中运动的时间
解得：
（3）由上面的分析知加速电压和离子半径之间的关系为若离子恰好打在荧光屏上的C点，轨道半径
则加速电压：
若离子恰好打在荧光屏上的D点，轨道半径
则加速电压：
即离子能打在荧光屏上的加速电压范围：
随练3、
【答案】 （1）2a－－4a
（2）
（3） ； Nmv
0 0
【解析】 （1）在加速电场中加速时据动能定理： ，
将 和v＝0 和 分别代入上式，得到离子进入磁场的最小和最大速度：v ＝v、v ＝2v
1 min 0 max 0
在磁场中洛仑兹力提供向心力： ，所以半径
将最小速度和最大速度分别代入并跟 ，进行对比得到最小半径和最大半径：r ＝a，r ＝2a
min max
所以打在x轴上的区间为2a－4a。
（2）当最大速度的粒子打在探测板的最右端时，其半径 r ＝1.5a，由上述公式得到此时磁感应强度
1
。
（3）若保持磁感应强度 不变，将最小速度和最大速度代入半径公式 ，得到此种情况下的最小半
径和最大半径：
，
则打在x轴上的区间为1.5a－－3a，所以打在探测板上的粒子占总粒子数 。
取时间t＝1s，有N个粒子打在探测板上，其中80％被吸收速度变为零，对这些粒子探测板对它们的冲量使其动量
变为零，由动量定理：
将 及N 、t＝1s
代入得：F Nmv 。
1 0 0
同理：对20％被反向弹回的粒子由动量定理：
将 及N 、t＝1s
代入得：F Nmv 。
2 0 0所以据牛顿第三定律探测板受到粒子的冲击力F′＝F＋F Nmv 。
1 2 0 0
磁流体发电机和等离子体发电机
例题1、[多选题]
【答案】 A B D
【解析】 AB、根据左手定则知，正电荷向上偏，负电荷向下偏，则A板带正电，B板带负电，所以电流的流向为
a流向b，金属板A的电势较高，故AB正确；
CD、等离子体在磁场力的作用下运动方向发生偏转，洛伦兹力不做功，所以磁场力对等离子体不做功，故 D正确，
C错误。
例题2、
【答案】 (1)M极板是电源的正极；(2)此发电机的输出功率为7744 W
【解析】 (1)由左手定则知正离子向上偏转，所以M带正电，即M极是电源的正极；
(2)电键S断开时，极板的电压即路端电压等于电动势，电荷的洛伦兹力和电场力平衡，故：Bqv=q
则电动势为：E=Bvd
电键S闭合后，根据闭合电路欧姆定律，干路电流为：I=
故输出功率为：P=I2R=( )2R=
代入数据，解得：P= =7744 W．
随练1、
【答案】 D
【解析】 A、大量带正电和带负电的微粒向右进入磁场时，由左手定则可以判断正电荷受到的洛伦兹力向下，所
以正电荷会聚集的B板上，负电荷受到的洛伦兹力向上，负电荷聚集到 A板上，故A板相当于电源的负极，B板
相当于电源的正极，故A错误。
B、A、B间的电压即为电阻R两端的电压，是路端电压，故不是产生的电动势，故B错误；
C、AB间的场强为qvB＝qE，E＝vB，故两极板间的电势差为U＝Ed＝vBd，与正对面积无关，故C错误；
D、输出的效率 ，故电阻越大，该发电机输出效率越高，故D正确。
随练2、
【答案】 B
【解析】 最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡，有：
解得：U＝vBc，
污水的流速为：
则流量为：Q＝vbc＝ ，故B正确，ACD错误；
随练3、
【答案】 A
【解析】 最终稳定时有：qvB=q ．则v=
根据电阻定律R′=ρ ，则总电阻R =R′+R
总
所以U=IR =
总解得v=
所以流量Q= ．故A正确，BCD错误．
故选：A．
随练4、
【答案】 （1）甲
（2）E＝Bdv
（3）P＝nqBdSv2
【解析】 （1）根据左手定则可知：正离子向上偏转，所以甲板带正电，是发电机的正极。
（2）开关断开时，两板间电压稳定时满足：
所以U＝Bdv，则发电机的电动势E＝Bdv
（3）等离子体全部聚集到两极板上时，发电机的功率最大。
等离子体流的速度为v，则在时间t内喷入等离子体的长度为vt，体积为vtS，
则电荷量为Q＝nqvtS
电流
最大功率P＝EI＝nqBdSv2．
霍尔效应
例题1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 A、根据左手定则，电子向C侧面偏转，C表面带负电，D表面带正电，所以D表面的电势高，则U ＜
CD
0．CD间存在电势差，之间就存在电场，电子在电场力和洛伦兹力作用下处于平衡，设霍尔元件的长宽高分别为
a、b、c，有 ，I＝nqvS＝nqvbc，则 ．故A错误，B、C正确。
D、在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，应将元件的工作面保持竖直，让磁场垂直通过。故D错误。
例题2、
【答案】 C
【解析】 A、霍尔元件是一块金属导体，则载流子是自由电子，根据左手定则，当通入向里的电流时，实际是自
由子向外运动，其受洛仑兹力向左，累积到C端，所以C端电势低，选项A错误。
B、若长时间不更换电池，则通过霍尔元件的电流I将减小，据U = ，则霍尔电压将减小，所以选项B错误。
H
C、由题意如果在时间t内得的脉冲数为N时，则自行车的转速为n= ，速度v=2πnR= ，选项C正确。
D、若前轮漏气，导致前轮半径比录入到速度计中的参数偏小，那么单位时间测得的脉冲数会增多，则速度计测得
的骑行速度偏大，选项D错误。
随练1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 A、B表为测量通过霍尔元件的电流，C表测量霍尔电压，故电表B为电流表，电表C为电压表，故A
错误；
B、根据安培定则可知，磁场的方向向下，通过霍尔元件的电流由 1流向接线端3，由左手定则可知，正电的粒子
偏向接线端2，所以接线端4的电势低于接线端2的电势，故B正确；
C、当调整电路，使通过电磁铁和霍尔元件的电流方向相反，由左手定则可知洛伦兹力方向不变，即 2、4两接线
端的电势高低关系不发生改变，故C正确；
D、增大R ，电磁铁中的电流减小，产生的磁感应强度减小，增大R ，霍尔元件中的电流减小，所以霍尔电压减小，
1 2即电压表示数一定减小，故D错误．
随练2、
【答案】 ①M
② ；1.5
【解析】 ①根据左手定则得，正电荷向M端偏转，所以应将电压表的“＋”接线柱与M端通过导线相连
②U －I图线如图所示。
H
根据U ＝k 知，图线的斜率为 ＝0.38，
H
解得霍尔系数k＝1.5×10－3V•m•A－1•T－1。
拓展
1、
【答案】 （1）
（2）
（3）
【解析】 （1）在电场中粒子做类平抛运动，设粒子在电场中运动的时间为t ，则有：
1
2h＝v t …①
0 1
…②
根据牛顿第二定律得：qE＝ma…③
联立①②③式得： …④
（2）由题意可知，粒子进入磁场时速度也为v，根据动能定理得：
…⑤
再根据 …⑥联立④⑤⑥式得： ， …⑦
（3）如图，设粒子离开磁场时的位置坐标为（x、－y），粒子进入磁场时速度v，与x轴正方向的夹角为θ，由图
可得：
，θ＝45°
所以 …⑧
…⑨
2、
【答案】 （1）0.02m
（2）0.07m
（3）0.092T
【解析】 （1）粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得到： ，则： ；
（2）由几何关系可知P点距O点：
粒子进入电场后做类平抛运动，有：
x轴方向位移： 加速度：
y轴方向位移：
联立上式，代入数据可以得到：
所以，粒子到达y轴位置与O点的距离
（3）设粒子在y轴射出电场的速度方向与y轴正方向夹角为
，所以 ，
粒子只经过第二、三象限回到S处的轨道半径R由几何知识可以得到：
，
联立上式，代入数据可以得到： 。
3、
【答案】 （1）2L；L
（2）
【解析】 （1）粒子在匀强磁场中洛伦兹力提供向心力，有
得 ，代入解得（2）粒子运动的轨迹如图所示。
粒子先在y轴右侧磁场中偏转60°，接着在y轴左侧磁场中偏转120°，第二次到达y轴
在x≥0区域运动周期
在x＜0区域运动周期
在y轴右侧运动时间
在y轴左侧运动时间
离开P点后，粒子第二次到达y轴所需时间
4、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 暂无解析
5、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 暂无解析
6、
【答案】 A
【解析】 A、由题，粒子受到电场力和洛伦兹力，做匀速直线运动，则有：qvB＝qE，即有vB＝E．粒子的电量改
变时，洛伦兹力与电场力大小同时改变，两个力仍然再平衡，故粒子的轨迹不发生改变，故A正确；B、改变粒子
速度的大小，则洛伦兹力随之改变，洛伦兹力与电场力不再平衡，粒子的轨迹将发生改变，故 B错误；C、改变电
场强度，电场力将改变，洛伦兹力与电场力不再平衡，粒子的轨迹将发生改变，故C错误；D、改变磁感应强度，
洛伦兹力将改变，洛伦兹力与电场力不再平衡，粒子的轨迹将发生改变，故D错误．
7、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 暂无解析
8、
【答案】 （1）
（2）
（3）
【解析】 （1）洛仑兹力提供向心力 ，
解得速度 ；（2）根据动能定理 ，
解得电压 ；
（3）设时间t内收集到的粒子数为N，
根据题意有M＝Nm，
根据电流定义有 ，
联立解得等效电流 ．
9、
【答案】 B
【解析】 A．污水中正离子较多，正负离子向右移动，受到洛伦兹力，根据左手定则，正离子向后表面偏，负离
子向前表面偏．所以前表面比后表面电势低．故A错误；
B．由A分析可知，前后面电势的高低与污水中有何种离子多少无关，故B正确；
CD．最终正负离子会受到电场力、洛伦兹力处于平衡，有qE=qvB，即
．而污水流量Q=vbc= bc= ，可知与a、b无关，U= ，电压表的示数与磁感应强度、流量Q以及
流量计的示数大小有关，与离子浓度无关，故CD错误．
故选：B．
10、
【答案】 (1)磁流体发电机的原理：等离子体以一定速度进入磁场后，受到洛伦兹力作用，导致正负离子偏向极
板，从而引起极板间存在电势差．
(2)b电极为正极；
(3)电极板间的电势差为Bdv．
【解析】 (1)等离子体以一定速度进入磁场后，受到洛伦兹力作用，导致正负离子偏向极板，从而引起极板间存
在电势差，进而给电阻供电；
(2)根据左手定则知，正电荷向下偏，负电荷向上偏，则b板带正电，即为正极．
(3)由左手定则知正电荷运动的方向向里，掌心向左，所以正离子向下偏转，两板间电压稳定时满足：
qvB=q ；
解得：E=Bdv
11、
【答案】 D
【解析】 A、电流方向向右，电子向左定向移动，根据左手定则判断可知，电子所受的洛伦兹力方向向里，则后
表面积累了电子，前表面的电势比后表面的电势高，故A错误；
BC、由电子受力平衡可得 ，解得U＝Bva，所以前、后表面间的电压U与v成正比，前、后表面间的电
压U与c无关，故BC错误；
D、稳定时自由电子受力平衡，受到的洛伦兹力等于电场力，即 ，故D正确。
