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高考新动向 2 带电粒子在立体空间的运动
带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换
视图角度，充分利用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运
动对应的规律进行求解．
常见粒子在立体空间的运动轨迹特点，粒子的运动为一个轴方向的直线运动和垂直轴的
平面中的曲线运动，或粒子从一个平面的曲线运动变换到另一个平面的曲线运动．
例1 (2022·山东济宁市一模)如图所示，真空中的立方体棱长为 0.8 m，底面中心处有一点
状放射源S，仅在abcO所在平面内向各个方向均匀发射α粒子，所有α粒子的速率均为v＝
5.0×106 m/s，已知α粒子的比荷为＝5.0×107 C/kg，现给立方体内施加竖直向上的匀强磁
场，使所有α粒子恰好能束缚在正方形abcO区域内．abfe面放有一个屏，该屏可以沿z轴
左右平移．
(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)在正方体内再施加竖直向上的匀强电场，要使所有粒子刚好都能从上表面中心 P离开，
求所加匀强电场的电场强度E的大小(结果用π表示)；
(3)若匀强电场的电场强度的大小取第(2)问中的最大值，现让abfe屏向左沿－z方向移动
0.2 m，求粒子打在abfe屏上x坐标最大值和最小值时对应点的y轴坐标．
答案 (1)0.5 T
(2) V/m(n＝1,2,3，…)
(3)0.2 m 0.05 m
解析 (1)所有α粒子恰好束缚在正方形abcO区域内，由几何关系得
r＝0.2 m
α粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
qvB＝m
解得B＝0.5 T
(2)α粒子做圆周运动的周期为
T＝＝8π×10－8 s
要使所有粒子刚好都能从上表面中心P离开，所用时间一定为周期的整数倍，在竖直方向
上由运动学规律得L＝·(nT)2
解得E＝ V/m(n＝1,2,3，…)
(3)粒子运动的俯视图如图所示，
由图可知，当SP 为直径时，射出粒子的x轴坐标为最大值，此时粒子运动的时间为
1
t＝T＝4π×10－8 s
1
此时对应的y轴坐标
y＝·t2
1 1
解得y＝0.2 m
1
由图可知，当与abfe面相切时，射出粒子的x轴坐标为最小值，此时粒子运动的时间为
t＝T＝2π×10－8 s
2
此时对应的y轴坐标为y＝·t2
2 2
解得y＝0.05 m.
2
例2 (2022·山东卷·17)中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁
场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系 Oxyz中，0<z≤d
空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；－3d≤z<0，y≥0的空
间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B，方向平行于xOy平面，与x轴正方向夹角为
45°；z<0，y≤0的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场．质量为m、带电量为＋q的离子甲，
从yOz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为
β，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ.不计离子重力．
(1)当离子甲从A点出射速度为v 时，求电场强度的大小E；
0
(2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度v ；
m
(3)离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy
平面的位置坐标(用d表示)；
(4)当离子甲以的速度从O点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电量为＋q的离子乙，也从O点
沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt(忽略离子间相互作用)．
答案 (1) (2) (3)(d，d,0) (4)(2＋2)
解析 (1)如图所示，
将离子甲在A点的出射速度v 分解到沿y轴方向和z轴方向，离子受到的静电力沿y轴负方
0
向，可知离子沿z轴方向做匀速直线运动，沿y轴方向做匀减速直线运动，从A到O的过程，
有
L＝vcos β·t，vsin β＝at，a＝
0 0
联立解得E＝；
(2)如图所示，
离子从坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ中，由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝
1
离子经过磁场Ⅰ偏转后从y轴进入磁场Ⅱ中，由洛伦兹力提供向心力可得qv
1
·B＝，可得r
Ⅱ
＝r
Ⅰ
为了使离子在磁场中运动，
需满足r ≤d，r ≤3d
Ⅰ Ⅱ
则可得v≤
1
故要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；
(3)离子甲以v＝的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，离子在磁场Ⅰ中
的轨迹半径为r＝＝
1
离子在磁场Ⅱ中的轨迹半径为r＝
2
离子从O点第一次穿过到第四次穿过xOy平面的运动情景，如图所示离子第四次穿过xOy平面的x坐标为
x＝2rsin 45°＝d
4 2
离子第四次穿过xOy平面的y坐标为
y＝2r＝d
4 1
故离子第四次穿过xOy平面的位置坐标为(d，d,0)；
(4)设离子乙的速度为v′，根据离子甲、乙动能相同，可得mv2＝×4mv′2
可得v′＝＝
离子乙在磁场Ⅰ中的轨迹半径为
r′＝＝d＝2r
1 1
离子乙在磁场Ⅱ中的轨迹半径为
r′＝＝d＝2r
2 2
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示，
从O点进入磁场到轨迹第一个交点的过程，有
t ＝T＋T＝＋
甲 1 2
＝(2＋2)
t ＝T′＋T′
乙 1 2
＝×＋×
＝(4＋4)
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为Δt＝t －t ＝(2＋2).
乙 甲
专题强化练
1．(2022·山东青岛市三模)如图，在空间建立Oxyz三维直角坐标系，其中x轴水平向右，y
轴竖直向上，z轴垂直纸面向外，在x＝a处平行于yOz平面固定一足够大荧光屏M，在yOz平面左侧空间有方向竖直向下、电场强度为 E 的匀强电场；x轴上的A点(－2a,0,0)有一粒
1
子源，粒子源在xOy平面内沿与x轴成一定角度射出带电粒子，粒子的速度大小为 v，质量
0
为m，带电荷量为＋q.经过一段时间，粒子从y轴上C点(0,3a,0)垂直y轴进入yOz平面与荧
光屏之间的空间，该空间内有方向沿z轴正方向、磁感应强度大小为B＝的匀强磁场(图中未
画出)，不计粒子重力．
(1)求yOz平面左侧匀强电场的电场强度大小E；
1
(2)求粒子从A点射出到打到荧光屏上所经历的时间t；
(3)若在yOz平面与荧光屏之间的空间再加上一沿z轴正方向、电场强度大小为E 的匀强电
0
场，求粒子最终打在荧光屏上的P点时的位置坐标．
答案 (1) (2) (3)(a，(1＋)a，)
解析 (1)将粒子的速度v 分解为沿x轴方向的分速度v 和沿y轴方向的分速度 v ，根据题
0 0x 0y
意可得，在沿x轴方向上有
v t＝2a
0x1
沿y轴方向上有v t＝3a
0y1
则＝＝tan θ
即θ＝60°
可得v ＝v
0y 0
又由qE＝ma 得a＝
1 1 1
又有v 2＝2a·3a
0y 1
联立可得E＝
1
(2)粒子沿x轴方向的分速度为
v ＝v
0x 0
在沿x轴方向有2a＝v t
0x1
解得t＝
1
粒子带正电，由左手定则可知，粒子沿y轴负方向偏转，设偏转角为α
由qv B＝可得r＝2a
0x
由几何关系可得sin α＝＝，则α＝30°
粒子在磁场中运动时间t＝T
2
又由T＝＝
解得t＝＝
2粒子从A点射出到打到荧光屏上所经历的时间t＝t＋t＝＋＝
1 2
(3)在y轴方向上由几何关系可得y轴坐标为
y＝3a－(2a－a)＝(1＋)a
在沿z轴正方向上的位移大小
z＝t2＝
2
故粒子打到屏上的位置坐标是(a，(1＋)a，)．
2．如图所示，一些质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从一线状粒子源射出(初速度可视为
0)经过电压为U的电场加速后，粒子以一定的水平初速度从MS段垂直射出(S为MF中点)，
进入棱长为L的正方体电磁修正区内(内部有垂直面MPRG的方向如图、大小未知的匀强磁
场与匀强电场)．距离正方体底部 L处有一与RNAG平行的足够大平板．现以正方体底面中
心O在平板的垂直投影点为原点，在平板内建立直角坐标系(其中x轴与GR平行)．所有带
电粒子都从正方体底面离开，且从M点进入正方体的粒子在正方体中运动的时间为.不计粒
子重力．
(1)求粒子进入棱长为L的正方体电磁修正区时速度的大小；
(2)粒子射出正方体电磁修正区后到达平板所需时间；
(3)若满足关系式E＝，求从M点入射的粒子最后打到平板上的位置坐标．(结果用L表示)
答案 (1) (2)2L (3)
解析 (1)设粒子进入棱长为L的正方体电磁修正区时的速度的大小为v，
根据动能定理有qU＝mv2
解得v＝
(2)在正方体中，粒子在平行于MPRG平面方向的分运动为匀速圆周运动，在垂直于MPRG
平面方向的分运动为匀加速直线运动，设粒子圆周分运动的周期为T，根据牛顿第二定律有
qvB＝m
又T＝
解得T＝＝
从M点进入正方体的粒子在正方体中运动的时间为
t＝＝
1
所以粒子圆周分运动转过的圆心角为120°，根据几何关系可知粒子离开正方体时的速度在
垂直于平板方向的分量大小为v＝vcos 30°
2
离开正方体后粒子做匀速直线运动，到达平板所需时间为t＝
2
联立解得t＝2L
2
(3)设粒子在正方体中圆周分运动的半径为R，根据几何关系有
R＋Rcos 60°＝L
解得R＝L
粒子在正方体中做匀加速直线分运动的加速度大小为a＝＝
粒子在正方体中在y方向的位移大小为
y＝at2
1 1
粒子离开正方体时的速度在y方向的分速度大小为v＝at
y 1
从M点入射的粒子最后打到平板上的位置的纵坐标为y＝y＋vt－
1 y2
联立解得y＝L
根据几何关系可知粒子在正方体中在x方向的位移大小为x＝Rcos 30°＝L
1
粒子离开正方体时的速度在－x方向的分速度大小为v＝vsin 30°
1
从M点入射的粒子最后打到平板上的位置的横坐标为x＝x－vt－
1 12
联立解得x＝－L
综上所述可知从M点入射的粒子最后打到平板上的位置坐标为.
