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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第12 章 磁场
第12.12 讲 带电粒子在立体空间电磁场中的运动
【知识点精讲】
1. 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的．现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就
做螺旋线运动．这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动．
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运
动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动．
2. 带电粒子在立体空间中的偏转
分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系．带电粒子依次通
过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒
子的运动状态和关联条件即可解决问题．有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动(比如
螺旋线运动和旋进运动)来求解．
【最新高考题精练】
1．（2022·高考广东物理）如图6 所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ 划分成两个区域，两区域分布
有磁感应强度大小相等、方向相反且与z 轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直
平
面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是（
）
1
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A．
B．
C．
D．
2. (2022·山东卷·17)中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能
离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz 中，0<z≤d 空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应
强度大小为B，方向沿x 轴正方向；－3d≤z<0，y≥0 的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B，方
向平行于xOy 平面，与x 轴正方向夹角为45°；z<0，y≤0 的空间内充满沿y 轴负方向的匀强电场．质量为
m、带电量为＋q 的离子甲，从yOz 平面第三象限内距y 轴为L 的点A 以一定速度出射，速度方向与z 轴正
方向夹角为β，在yOz 平面内运动一段时间后，经坐标原点O 沿z 轴正方向进入磁场Ⅰ.不计离子重力．
(1)当离子甲从A 点出射速度为v0时，求电场强度的大小E；
(2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm；
(3)离子甲以的速度从O 点沿z 轴正方向第一次穿过xOy 面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy 平面的位置坐标
(用d 表示)；
(4)当离子甲以的速度从O 点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电量为＋q 的离子乙，也从O 点沿z 轴正方向以
相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt(忽略离子
间相互作用)．
3（14 分）（2021 高考新课程I 卷山东卷）某离子束实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边
界与x 轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0；Ⅱ区宽
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度为L，左边界与x 轴垂直交于O1点，右边界与x 轴垂直交于O2点，其内充满沿y 轴负方向的匀强电场。
测试板垂直x 轴置于Ⅱ区右边界，其中心C 与O2点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m 的正离
子，加速后沿x 轴正方向过O 点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速
度方向与x 轴正方向的夹角为θ。忽略离子间的相互作用，不计重力。
（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；
（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；
（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）、方向相
反且平行y 轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C 点，需沿x 轴移动测试板，
求移动后C 到O1的距离s。
4．(2022·重庆卷·5)2021 年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录．为粗略了解等离子体在
托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀
强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.若某电荷量为q 的正离子在此电场和磁
场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(
)
A．电场力的瞬时功率为qE
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．v2与v1的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
5.(10 分) （2021 年1 月浙江选考）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如
图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁
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分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆(硅片)。速度选择
器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外;速度
选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁
分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之圆环，其两端中心位置M 和N 处各有一个小
孔;偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L 的正方体，其速度选择器底面与晶圆所
在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的
O 点(即图中坐标原点，x 轴垂直纸面向外)。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆
上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当a 很小时，有 sina≈tana≈a. cosa≈1-1 1
2 α
2。
求
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v 和磁分析器选择出来离子的比荷
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示;
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示;
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。
6．（11 分）（2023 年6 月浙江高考选考）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所
示，Oxy 平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在
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磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ
的下边界与x 轴重合。位于
处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x 轴夹角为60°
的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，求进入第四象
限的离子数与总离子数之比η。
【最新模拟题精练】
1. (2023 山东泰安模拟)如图所示，Oxyz 为空间直角坐标系，在x<0 的空间I 内存在沿z 轴正方向的匀强磁
场B1。在0<x＜d 的空间II 内存在沿y 轴正方向的匀强电场E，在x>d 的空间III 存在磁感应强度大小
、方向沿x 轴正方向的匀强磁场。现将一带负电的粒子从x 轴上的A（
，0，0）点以初速
度v0射入空间I 的磁场区域，经磁场偏转后从y 轴上的C（0，d，0）点垂直y 轴进入空间II，并从x 轴上
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的D（d，0，0）点进入空间III。已知粒子的电荷量大小为q，质量为m，不计重力。求：
（1）空间I 内磁场的磁感应强度大小B1和空间II 内电场的电场强度大小E；
（2）粒子运动过程中，距离x 轴的最大距离；
（3）粒子进入空间III 后，每次经过x 轴时的横坐标。
2. （2023 湖南张家界模拟）如图所示，O－xyz 坐标系的y 轴竖直向上，在yOz 平面左侧
区域
内存在着沿y 轴负方向的匀强电场，
区域内存在着沿z 轴负方向的匀强磁场，在yOz 平面右侧区
域同时存在着沿x 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小均与yOz 平面左侧相等，
电磁场均具有理想边界。一个质量为m，电荷量为＋q 的粒子从
点以速度
沿x 轴正方向射
入电场，经
点进入磁场区域，然后从O 点进入到平面yOz 右侧区域，粒子从离开O 点开始多次
经过x 轴，不计粒子重力。求：
（1）匀强电场的电场强度大小E；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小B；
（3）粒子从离开O 点开始，第n（n＝1，2，3，…）次到达x 轴时距O 点的距离s。
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3. （2023 山东烟台一模）在如图所示的空间直角坐标系中，yOz 平面左侧匀强磁场沿z 轴正方向，右侧匀
强磁场沿y 轴正方向，左、右两侧磁场的磁感应强度大小均为
；yOz 平面右侧还有沿y 轴正方向的匀强电
场。空间中坐标为
的M 点有一粒子源，粒子源发射粒子的初速度方向均沿xOy 平面，与x 轴
正方向的夹角为
。其中初速度为
（未知）的粒子恰好不能到达yOz 平面右侧，初速度为
的粒子
运动轨迹恰好与xOz 平面相切。已知粒子源发射的所有粒子的质量均为m，电荷量均为
。不计粒子的
重力。求：
（1）初速度
的大小；
（2）初速度为
的粒子的运动轨迹与xOz 平面切点的坐标；
（3）初速度为
的粒子前两次经过yOz 平面的交点间的距离；
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（4）初速度为
的粒子第n 次在yOz 平面左侧运动时的速度大小。
4. （2023 四川成都石室中学二诊）芯片制造过程有极其复杂的工艺，其中离子注入是一道重要的工序，
该工作原理如图所示：离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，离子在速度选择器中做匀速直线运动，
然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入到水平面内的晶圆（硅片）处。速度选择
器中匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，匀强电场场强大小为E，方向竖直向上；磁分
析器截面是内外半径分别为
和
的四分之一圆环，其两端中心位置M 和N 处各有一个小孔，磁分析器
中匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为
L 的正方体，底面与晶圆所在的水平面重合，偏转系统中匀强磁场的磁感应强度大小为B、匀强电场场强
大小为E，它们的方向均垂直纸面向外；从磁分析器N 处小孔射出的离子自偏转系统上表面的中心射入，
当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O 点。以O 点为坐标原点，偏转系统中B 的
方向为x 轴正方向，水平向左为y 轴正方向，建立平面直角坐标系。整个系统置于真空中，不计离子重力，
打到晶圆上的离子经过电场和磁场偏转的角度都很小，而当
很小时，有以下近似计算：
，
。求：
（1）离子的电性及通过速度选择器后的速度大小；
（2）从磁分析器出来的离子的比荷；
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（3）偏转系统同时加上电场和磁场时，离子注入晶圆
位置坐标。
5．（18 分（2023 年广东五校高二期末联考）如图，空间直角坐标系Oxyz 中，有两个边长均为L 的正方体
Ⅰ和正方体Ⅱ，它们的公共界面为M，O 点为正方体Ⅰ侧面K 的中心，x、y、z 轴均与正方体边长平行。
正方体Ⅰ空间内在y>0 的范围内存在着沿y 轴负方向的匀强电场，在y<0 的范围内存在着沿y 轴正方向的
匀强电场，两者电场强度大小相等；正方体Ⅱ空间内在y>0 的范围内存在着沿x 轴正方向的匀强磁场，在
y<0 的范围内存在着沿x 轴负方向的匀强磁场，两者磁感应强度大小相等。有一质量为m、电荷量为+q 的
粒子，以v0的初速度，从y 轴上的P 点沿z 轴正方向进入正方体Ⅰ，之后经过z 轴后从Q 点垂直穿过界面
M 进入正方体Ⅱ，最后垂直打在侧面N 上。P 点为侧面K 底边长的中点（在电场区域中），不考虑粒子的
重力，求：
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(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)粒子进入正方体Ⅰ后，经过z 轴时的速度大小；
(3)磁感应强度的大小。
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