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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第12 章 磁场
第12.6 讲 带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题
【知识点精讲】
临界状态是指物体从一种运动状态(或物理现象)转变为另一种运动状态(或物理现象)的转折状态，
它既具有前一种运动状态(或物理现象)的特点，又具有后一种运动状态(或物理现象)的特点，起着
承前启后的转折作用．由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，常常出现临界
和极值问题．
1. 带电粒子在有界磁场中临界问题
(1)当带电粒子进入设定的有界磁场后，其轨迹是一个残缺圆，题中往往会形成各种各样的
临界现象。
(2)解决此类问题的关键是找准临界点。找临界点的方法是以题目中的“恰好”“最大”“最
高”“至少”等词语为突破口，借助半径R 和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动
轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点。
2. 极值问题
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速度v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v 变化时，圆心角越大，运动时间越长。
【方法归纳】
1. 带电粒子在有界磁场中的临界极值问题分析思路和方法
两种
思路
一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形
式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界
值
两种方法
物理方法
(1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用
矢量图求极值
数学方法
(1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值；(3)
用不等式的性质求极值；(4)图象法等
从关键词找
突破口
许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱
离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘
其隐藏的规律，找出临界条件
1
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2. 解决带电粒子圆周运动临界问题的技巧方法
(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不
等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。
(2)临界问题的一般解题流程
【典例剖析】
矩形区域abcd(包括边界)充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从ad 边中
点O 处，以垂直磁场且跟ad 边成30°角的速度射入一带电粒子。已知粒子质量为m、电荷量
为q，ad 边长为L，不计粒子重力。
(1)若要粒子从ab 边上射出，则入射速度v0的大小范围是多少？(ab 边足够长)
(2)粒子在磁场中运动的最长时间是多少？
解析 (1)若粒子速度为v0，由qv0B＝m 得R＝
若轨迹与ab 边相切，如图所示，设此时相应速度为v01，则
R1＋R1sin θ＝
将R1＝代入上式可得v01＝
若轨迹与cd 边相切，如图所示，设此时粒子速度为v02，则
R2－R2sin θ＝
将R2＝代入上式可得v02＝
所以粒子能从ab 边上射出磁场的入射速度v0的大小应满足<v0≤。
(2)设粒子入射速度为v，在磁场中经过的弧所对的圆心角为α，则t＝＝，则α 越大，在磁场
中运动的时间也越长，由图可知，粒子在磁场中运动的半径r≤R1时，运动时间最长，弧所对
的圆心角为(2π－2θ)。
所以粒子在磁场中运动的最长时间为
2
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t＝＝。
答案 (1)<v0≤ (2)
【最新高考题精练】
1. （2023 高考海南卷）如图所示，质量为
，带电量为
的点电荷，从原点以初速度
射入第一象限
内的电磁场区域，在
（
为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在
区
域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（
值有多种可能），可让粒子从
射入磁场后偏转打
到接收器
上，则（ ）
A 粒子从
中点射入磁场，电场强度满足
B. 粒子从
中点射入磁场时速度为
C. 粒子在磁场中做圆周运动的圆心到
的距离为
D. 粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是
【参考答案】AD
【名师解析】
若粒子打到PN 中点，则
，
3
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解得
，选项A 正确；
粒子从PN 中点射出时，则
速度
选项B 错误；
C．粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为θ，则
粒子从电场中射出时的速度
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则
则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN 的距离为
解得
选项C 错误；
D．当粒子在磁场中运动有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，则此时粒子从N 点进入磁场，此时竖直
最大速度
4
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出离电场的最大速度
则由
可得最大半径
选项D 正确；
2 (2020·全国卷Ⅱ)如图，在0≤x≤h，－∞<y<＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强
度B 的大小可调，方向不变。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x 轴进入磁
场，不计重力。
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强
度的最小值Bm；
(2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与
x 轴正方向的夹角及该点到x 轴的距离。
【名师解析】 (1)由题意知粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面
向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
qv0B＝m ①
可得R＝②
粒子穿过y 轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y 轴正半轴上，半径应满足
R≤h ③
5
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由题意，当粒子的半径为h 时，磁感应强度最小，由此得
Bm＝。④
(2)若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y 轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径
R′＝2h ⑤
粒子会穿过图中P 点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P 点的运动方向与x 轴正方向的夹角为
α，由几何关系得
sin α＝＝⑥
则α＝⑦
由几何关系可得，P 点与x 轴的距离
y＝2h(1－cos α)⑧
联立⑦⑧式得
y＝(2－)h。
[答案] (1) (2) (2－)h
3. （2016 高考海南物理）如图，A、C 两点分别位于x 轴和y 轴上，∠OCA=30°，OA 的长度为L。在
△OCA 区域内有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，以平行于y 轴
的方向从OA 边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂直于OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动
的时间为t0。不计重力。
（1）求磁场的磁感应强度的大小；
（2）若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从OC 边上的同一点射出磁场，求该粒子这
两次在磁场中运动的时间之和；
（3）若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC 边相切，且在磁场内运动的时间为
，求粒子此
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次入射速度的大小。
【名师解析】
（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间t0内其速度方向改变了90°，故其周期
T=4t0①
设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r。由洛伦兹力公式和牛顿定律得
②
匀速圆周运动的速度满足
③
联立①②③式得
④
（2）设粒子从OA 变两个不同位置射入磁场，能从OC 边上的同一点P 射出磁场，粒子在磁场中运动的轨
迹如图（a）所示。设两轨迹所对应的圆心角分别为θ1和θ2。由几何关系有
θ1=180°-θ2⑤
粒子两次在磁场中运动的时间分别为t1与t2，则
⑥
（3）如图（b），由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为150°。设O'为圆弧的
圆心，圆弧的半径为r0，圆弧与AC 相切与B 点，从D 点射出磁场，由几何关系和题给条件可知，此时有
∠O O'D=∠B O'A=30°⑦
7
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⑧
设粒子此次入社速度的大小为v0，由圆周运动规律
⑨
联立①⑦⑧⑨式得
⑩
【最新模拟题精练】
1. (2023 鄂东南省级示范性高中教育改革联盟5 月模拟)如图所示，有一个正方形区域ABCD，在内部某一
区域内有一垂直于纸面向里、磁感应强度大小为
的矩形匀强磁场。一个质量为m、电量为q（
）
的带电粒子从CD 的中点以速度v 垂直于CD 射入正方形区域，从BC 边的中点垂直于BC 飞出该正方形区
域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A. 该粒子在磁场里运动的时间
B. 该粒子在磁场里运动的时间
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C. 该矩形区域磁场的最小面积
D. 该矩形区域磁场的最小面积
【参考答案】AD
【名师解析】
根据题意可知带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示
洛伦兹力提供向心力，则有
又
解得
，
该粒子在磁场里转过的角度为
，则运动的时间为
故A 正确，B 错误；
该矩形区域磁场的最小面积如图所示，由几何知识可知该矩形区域磁场的最小面积为
，故C 错误，D 正确。
2、如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直于纸面，在纸
面内的长度L＝9.1 cm，中点O 与S 间的距离d＝4.55 cm，MN 与SO 直线的夹角为θ，板所在
平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－4 T。
电子质量m＝9.1×10－31 kg，电量e＝－1.6×10－19 C，不计电子重力。电子源发射速度v＝
1.6×106 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则( )
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A.θ＝90°时，l＝9.1 cm
B.θ＝60°时，l＝9.1 cm
C.θ＝45°时，l＝4.55 cm
D.θ＝30°时，l＝4.55 cm
【参考答案】AD
【名师解析】 电子在匀强磁场运动的轨道半径为R＝＝4.55 cm，电子沿逆时针方向做匀速
圆周运动，当θ＝90°时，竖直向下发射的粒子恰好打到N 点，水平向右发射的粒子恰好打到
M 点，如图甲所示，故l＝L＝9.1 cm，A 正确；当θ＝30°时，竖直向下发射的粒子，恰好打
到N 点，由几何关系知，另一临界运动轨迹恰好与MN 相切于O 点，如图乙所示，故粒子只
能打在NO 范围内，故l＝＝4.55 cm，D 正确；进而可分析知当θ＝45°或θ＝60°时，粒子打到
板上的范围大于ON 小于NM，即4.55 cm<l<9.1 cm，故B、C 错误。
3（14 分）（2023 江苏名校质检）如图，在xOy 坐标系中的第一象限内存在沿x 轴正方向的匀强电场，第
二象限内存在方向垂直纸面向外磁感应强度B
的匀强磁场，磁场范围可调节（图中未画出）。一
粒子源固定在x 轴上M（L，0）点，沿y 轴正方向释放出速度大小均为v0的电子，电子经电场后从y 轴上
的N 点进入第二象限。已知电子的质量为m，电荷量的绝对值为e，ON 的距离
，不考虑电子的重
力和电子间的相互作用，求：
（1）第一象限内所加电场的电场强度；
（2）若磁场充满第二象限，电子将从x 轴上某点离开第二象限，求该点的坐标；
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（3）若磁场是一个圆形有界磁场，要使电子经磁场偏转后通过x 轴时，与y 轴负方向的夹角为30°，求圆
形磁场区域的最小面积。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】（1）在第一象限内，做类平抛运动
，
根据牛顿第二定律
解得
（2）粒子射入磁场时，速度方向与y 轴夹角的正切值
速度大小
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力
得：
根据几何关系
该点的坐标为
（3）根据题意，作出轨迹图如下
电子在磁场中偏转90°射出，则磁场的最小半
径
最小面积
解得
4.(12 分)(2022 湖南长郡中学二模)如图所示,位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy 的第一象限虚线上方(包
含虚线)存在竖直向下的匀强电场,电场强度大小为E;第三象限某个区域(未画出)存在垂直于纸面向里的匀强
磁场,磁感应强度大小为B。现有大量质量为m、电荷量为+q 的粒子以相同的初速度v0水平射入电场,均经
过O 点进入磁场,最后离开磁场进入第四象限,粒子在第三象限的运动均在磁场中,忽略粒子的重力及相互间
的作用。
(1)求匀强电场边界的方程(粒子入射点的坐标y 和x 间的关系)。
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(2)粒子进入电场的位置记为P(x,y),其中0<y≤y0,0<x≤x0,若y0
x0
= 1
2
,求磁场区域的最小面积。
【参考答案】 (1)y=
Eq
2m v0
2x2 (2)(
m v0
qB )
2
【名师解析】 (1)对从(x,y)点射入电场的粒子,在电场中做类平抛运动,有
x=v0t
y=1
2 · Eq
m
t2
解得y=
Eq
2m v0
2
x2。
(2)设粒子从O 点射入磁场时,速度v 与x 轴负方向的夹角为θ,位移与x 轴负方向的夹角为α,可得粒子在磁场
中的速度大小v= v0
cosθ
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,根据牛顿第二定律有qvB=m v
2
r
解得r=mv
qB
根据几何关系可得,粒子在磁场中的运动轨迹对应的弦长为d=2rcos θ
解得d=2m v0
qB
所以d 为定值,即所有粒子从磁场中射出时与y 轴的交点一定,所有粒子的轨迹经过的区域如图所示
根据类平抛运动的规律有tan θ=2tan α=2 y0
x0
=1
则θ=45°,进入磁场最大的速度v1=√2v0
当粒子从O 点以最大速度v1=√2v0入射时,其轨迹与y 轴所围的面积为S1=1
4 π r1
2- 1
2 r1
2
当粒子从O 点以最小速度v2=v0入射时,其轨迹与y 轴所围的面积为S2=1
2 π r2
2,其中r2=d
2
磁场的最小面积为Smin=S2-S1=(
mv0
qB )
2。
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5.（14 分）（2022 山东名校质检）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内存在垂直于坐标平面的
匀强磁场（未画出），第二象限存在水平向左的匀强电场。质量为m、电荷量为-q 的带电粒子从第三象限
无初速度释放后，经电压为U 的电场加速后从P（
L， 0）点垂直x 轴进入第二象限，然后从A（0，
2L）点进入第一象限，又经磁场偏转后由x 轴上的M 点（图中未画出）垂直于x 轴进入第四象限。已知磁
场的磁感应强度大小为B，不计粒子重力。
（1）求第二象限内电场强度的大小；
（2）若第一象限各处均分布有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，求M 点坐标；
（3）若第一象限内的匀强磁场分布在某矩形区域内，磁场方向垂直纸面向外，求此矩形区域的最小面积。
【名师解析】
（1）设粒子从
点进入电场的速度大小为
，根据动能定理有
粒子进入电场后做类平抛运动，水平方向有
竖直方向有
其中
联立解得
（2）若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向里，粒子进入第一象限的匀强磁场后，做匀速圆周运动，
如图所示
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由
解得
则粒子进入磁场中的速度为
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，则有
由几何关系可知粒子偏转
，则
点坐标为
解得
（3）若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向外，粒子进入第一象限的匀强磁场后，做匀速圆周运动，
如图所示。
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由几何关系可知粒子偏转
，所以矩形的长为
宽为
则最小面积为
6. （2022 河南南阳期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁
场（未画出），第二象限存在水平向左的匀强电场。质量为m、电荷量为-q 的带电粒子从第三象限无初速
度释放后，经电压为U 的电场加速后从P（
L， 0）点垂直x 轴进入第二象限，然后从A（0，2L）点
进入第一象限，又经磁场偏转后由x 轴上的M 点（图中未画出）垂直于x 轴进入第四象限。已知磁场的磁
感应强度大小为B，不计粒子重力。
（1）求第二象限内电场强度的大小；
（2）若第一象限各处均分布有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，求M 点坐标；
（3）若第一象限内的匀强磁场分布在某矩形区域内，磁场方向垂直纸面向外，求此矩形区域的最小面积。
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【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）设粒子从
点进入电场的速度大小为
，根据动能定理有
粒子进入电场后做类平抛运动，水平方向有
竖直方向有
其中
联立解得
（2）若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向里，粒子进入第一象限的匀强磁场后，做匀速圆周运动，
如图所示
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由
解得
则粒子进入磁场中的速度为
设粒子在磁场中做圆周运动
半径为
，则有
由几何关系可知粒子偏转
，则
点坐标为
解得
（3）若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向外，粒子进入第一象限的匀强磁场后，做匀速圆周运动，
如图所示
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由几何关系可知粒子偏转
，所以矩形的长为
宽为
则最小面积为
7. （2023 浙江杭州学军中学质检） 如图所示，四分之一圆环区域ABCD 中有垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度为
，内环壁BC 的半径为，外环壁AD 的半径为
。入口AB 处有分布均匀的线状粒子源，
能同时向磁场中发射质量均为
、电荷量均为
的带负电粒子，所有粒子的速度大小相等，方向均垂直
AB，已知从A 点射入磁场的粒子恰好从C 点射出磁场。粒子碰到环壁即被吸收，CD 为出口，不计粒子重
力和粒子间的相互作用。
（1）求粒子速度
的大小；
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（2）求出口CD 有粒子射出的区域：
（3）推导粒子在出口CD 的射出率
与粒子速度
的关系式。
【参考答案】（1）
；（2）粒子射出的区域为CD 之间距C 点
的范围内；（3）见解析
【名师解析】
（1）根据条件作出粒子的轨迹如图1 所示
根据洛伦兹力提供向心力可得
根据几何关系有
联立解得
（2）将A 点粒子的轨迹沿AB 方向平移，可知当粒子垂直CD 射出时，射出点离C 点最远，如图2 所示
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由几何关系有
故粒子射出的区域为CD 之间距C 点
的范围内。
（3）根据向心力公式有
当粒子的轨迹半径为
可得
如图3 所示
同理当粒子的轨迹半径满足
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即
可得
当
或
时，
；
当
时，
；
当
时，如图4 所示
之间的粒子能从
射出，根据几何关系有
解得
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当
时，如图5 所示
之间的粒子能从
射出，根据几何关系有
解得
综上所述可得
（
或
）
（
）
（
）
（
）
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