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专题强化十八 动态圆
目标要求 1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.2.会用“平移圆”
“旋转圆”“放缩圆”找出对应临界状态或极值的轨迹.3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型．
题型一 “平移圆”模型
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的
同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相
同，若入射速度大小为v，则半径R＝，如图所示
0
适用条件
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线
轨迹圆圆心共线
与入射点的连线平行
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方
界定方法
法叫“平移圆”法
例1 如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁
场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为
v 的带正电粒子．磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里．不考虑粒子间的相互
0
作用，不计粒子受到的重力．所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长
为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场
0
中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于 sin α＝，要使圆
心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁
场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有 sin α ＝，解得α ＝，从D′点射入磁场的粒子在
m m
磁场中运动的时间最长，且t ＝·，解得t ＝，故选C.
m m题型二 “旋转圆”模型
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀
强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入
射初速度大小为v，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示
0
适用条件
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点
P为圆心、半径R＝的圆上
轨迹圆圆心共圆
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出
界定方法
临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
例2 (2023·浙江温州市英才学校模拟)如图所示，竖直平面内有一xOy平面直角坐标系，
第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B未知)．坐标原
点O处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限 180°范围内均匀地辐射出质量为
m、电荷量为q的正离子．在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标为(0，a)，N
点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v 时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M
0
点．不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求：(1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间；
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例．
答案 (1)或 (2)
解析 (1)由题意可知，沿x轴正方向出射的离子，经半圆到达N点，
由此可得r＝a，可知通过M点的离子有两个出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆心角为
60°，即t ＝T，另一个轨迹转过的圆心角为300°，即t ＝T，离子做匀速圆周运动，周期T
1 2
＝，即T＝，解得t＝，t＝
1 2
(2)如图乙所示，由动态圆分析结果可知，能打到收集板上的离子分布在速度方向与x轴正
方向成60°角的范围内，因为放射源均匀打出离子，因此打到收集板上的离子数占辐射总数
的比例为＝.
题型三 “放缩圆”模型
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强
适用条件 磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随
速度的变化而变化
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动
轨迹圆圆心共线
半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨
界定方法
迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
例3 (2020·全国卷Ⅲ·18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴
圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v的电子从圆心沿半径
方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图
中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径
为r，由几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，根据牛顿第二定律和圆周运动知识得evB＝m，联立
解得B＝，故选C.
例4 (多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的
中点．若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的某一速度射入正
方形内，经过时间t 刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从 O点沿纸面以与Od成
0
30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是( )
A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t
0C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t
0
D．若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t
0
答案 AD
解析 带电粒子以垂直于cd边的某一速度射入正方形内，经过时间t 刚好从c点射出磁场，
0
则知带电粒子的运动周期T＝2t.该粒子从O点以与Od成30°角的方向射入磁场，随着粒子
0
速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可知粒子在四个边射出时，射出范围
分别为OG、FE、DC、BA之间，不可能从四个顶点射出，故A正确．由上述分析知粒子运
动周期为2t ，由图分析可知，从ab边射出的粒子所用时间不可能为t ，从bc边射出的粒子
0 0
所用时间不超过T＝，所有从cd边射出的粒子圆心角都是300°，所用时间为＝，故B、C错
误，D正确．
题型四 “磁聚焦”与“磁发散”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹
圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方
向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为 B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量
为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒
子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行
四边形，OA、OB、OC均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
1 2 3例5 (2021·湖南卷·13)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一．带
电粒子流(每个粒子的质量为m、电荷量为＋q)以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒
子之间的相互作用．对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题．
(1)如图(a)，宽度为2r 的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A(0，r)、半径为r 的圆形匀
1 1 1
强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B 的大小；
1
(2)如图(a)，虚线框为边长等于2r 的正方形，其几何中心位于C(0，－r)．在虚线框内设计
2 2
一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r ，并
2
沿x轴正方向射出．求该磁场磁感应强度B 的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写
2
出面积最小的证明过程)；
(3)如图(b)，虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r 的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r 的正方
3 4
形．在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为 2r 的带电粒子
3
流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r，并沿x轴正
4
方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束．求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和
Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)．
答案 (1) (2) 垂直于纸面向里 πr2
2
(3) (π－1)r2 (π－1)r2
3 4
解析 (1)粒子垂直y轴进入圆形磁场，在坐标原点O汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在
磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径r ，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，qvB
1 1
＝m
解得B＝
1
(2)粒子从O点进入下方虚线区域，若要从聚焦的O点飞入然后沿x轴正方向飞出，为磁发
散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图
甲中所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域
磁场半径为r，根据qvB＝m，
2 2
可知磁感应强度为B＝
2根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为S＝πr2
2 2
(3)画出磁场区域面积最小时的情形，如图乙所示．
在Ⅰ、Ⅱ区域的磁场中，由几何关系可知带电粒子运动的轨迹半径R ＝r ，由洛伦兹力提供
3 3
向心力有qvB＝，解得B＝，Ⅱ中磁场区域的面积S＝2×＝r2.
3 3 1 3
在Ⅲ、Ⅳ区域的磁场中，由几何关系可知带电粒子运动的轨迹半径R ＝r ，由洛伦兹力提供
4 4
向心力有qvB＝，解得B＝，Ⅳ中磁场区域的面积S＝2×＝r2.
4 4 4 4
课时精练
1.(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向
分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，
Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂
直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
答案 CD
解析 带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，
其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点与A点的距离为AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距
A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区
域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间最短，且最短弦长为 d，与半径相同，故对应圆心角为 60°，最短时间
为t ＝＝，选项D正确．
min
2.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大
量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入
速率为v，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v，相
1 2
应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v∶v 为(
2 1
)
A.∶2 B.∶1
C.∶1 D．3∶
答案 C
解析 根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P
点最远，则粒子射入的速率为v ，轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R，由几何知识可知，
1
粒子运动的轨迹半径为r ＝Rcos 60°＝R；若粒子射入的速率为v ，轨迹如图乙所示，由几
1 2
何知识可知，粒子运动的轨迹半径为r ＝Rcos 30°＝R；根据轨迹半径公式r＝可知，v∶v
2 2 1
＝r∶r＝∶1，故选项C正确．
2 1
甲 乙
3.(多选)如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m、电荷量
为－q(q>0)、速率为v ，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，
0
可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度
可以是下列选项中的(其中B ＝，A、C、D选项中曲线均为半径为L的圆弧，B选项中曲线
0
为半径为的圆)( )答案 AB
4.如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大
小为B.在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离
子，速率都为v.对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴
最远距离分别为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示)，不难得出离y轴
最远为|x|＝2r＝，离x轴最远为y＝2r＝，所以A项正确．
5.(多选)如图所示，平行线MN、PQ间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小
为B，MN、PQ间的距离为L.在MN上的a点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向射
入质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，且这些粒子的速度大小相等．这些粒子经磁场偏
转后，穿过PQ边界线的最低点为b点．已知c是PQ上的一点，ac垂直于PQ，c、b间的
距离为L，则下列说法正确的是( )A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
B．粒子在磁场中运动的速度大小为
C．粒子从PQ边射出的区域长为L
D．沿斜向下与MN夹角为30°方向射入的粒子恰好从c点射出磁场
答案 BC
解析 作出一些粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系有 R2＝(L－R)2＋()2，求得R＝L，
A项错误；由qvB＝m得粒子做圆周运动的速度大小v＝＝，B项正确；设粒子从PQ射出区
域的上端d点到c点的距离为s，根据几何关系有R2＝(L－R)2＋s2，求得s＝，因此bd＝L，
C项正确；从c点射出磁场的粒子，在a点时速度与MN的夹角θ满足2Rcos θ＝L，可得
cos θ＝0.8，则θ≠30°，D项错误．
6．(2020·全国卷Ⅰ·18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如
图中虚线所示，ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量
为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速
率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定．
设轨迹交半圆ab于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆的圆心，如图所示．圆心
角θ＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与ab相切时，β最大，此时β＝30°，可得θ＝π，则t＝T＝，故选C.
7.如图所示，真空中垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在(含边
界)，两圆的半径分别为R、3R，圆心为O.一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO
方向以速度v 射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°.当将该带电粒子从P
1
点射入的速度大小变为v 时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则 v∶v
2 1 2
至少为( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识得 r ＝＝R，洛伦兹力提供向心力，由牛
1
顿第二定律得qvB＝m，解得v ＝，粒子竖直向上射入磁场，恰好不能进入小圆区域时粒子
1 1
的轨迹半径 r ＝R，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 qvB＝m，解得v ＝，则
2 2 2
v∶v＝，B项正确．
1 2
8．(2023·广东佛山市模拟)如图所示，宽为d的混合粒子束由速率为3v、4v、5v的三种带正
电的离子组成．所有离子的电荷量均为q、质量均为m，当三种速率的离子水平向右进入匀
强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在入口处，紧靠粒子束的下边缘竖直放置一个长度为 2d
的薄吞噬板MN.忽略离子重力及离子间相互作用，若使这些离子都能打到吞噬板 MN上，则
磁感应强度大小的取值范围是( )
A.
