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北京市西城区 2022—2023 学年度第一学期期末试卷九年级数学
满分100分，考试时间120分钟．
第一部分选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 二次函数y＝(x－2)2＋3的最小值是( )
A. 3 B. 2 C. －2 D. －3
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】二次函数y=（x-2）2+3，
当x=2时，最小值是3，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2. 中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分，在中国传统社会中，扇面形状
的设计与日常生活中的图案息息相关，下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进
行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对
称图形的定义．
3. 下列事件中是随机事件的是（ ）
A. 明天太阳从东方升起
B. 经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C. 平面内不共线的三点确定一个圆
D. 任意画一个三角形，其内角和是
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；
B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；
C．平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是 ，是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，
一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定
条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
4. 如图，在 中，弦 ， 相交于点 ， ， ，则 的大小是（ ）
.
A 35° B. 45° C. 60° D. 70°
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据三角形的外角的性质可得 ，求得 ，再根据同弧所对的圆周角相等，
即可得到答案．
【详解】解： ， ， ，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
5. 抛物线 通过变换可以得到抛物线 ，以下变换过程正确的是（ ）
A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
【答案】D
【解析】
【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解；
【
详解】解：抛物线 通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线
，
故选择：D
【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键．
6. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀
请 个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）， 个球队比赛总场数 ，由此可得出方
程．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设邀请 个队，每个队都要赛 场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球
队之间的关系．
7. 如图，在等腰 中， ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，当
点 的对应点 落在 上时，连接 ，则 的度数是（ ）
A. 30° B. 45° C. 55° D. 75°
【答案】B
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得 ，根据旋转的性质，得
， ，再由等腰三角形和三角形内角和定理得
，即可求得 ．
【详解】解： ， ，
，
由旋转得， ， ，
，
，
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
8. 下表记录了二次函数 中两个变量 与 的5组对应值，其中 ．
… 1 3 …
… 0 2 0 …
根据表中信息，当 时，直线 与该二次函数图象有两个公共点，则 的取值范围是（
）
.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据表中数据得出对称轴 ，进而得到抛物线与 轴的交点，利用交点式得到
，从而得到二次函数表达式为 ，根据当 时，直线
与该二次函数图像有两个公共点，可得 ．
【详解】解：由 可得抛物线对称轴 ，
又由 以及对称轴 可得 ，
，则设抛物线交点式为 ，
与 对比可得 ，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司二次函数表达式为 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
，当 时，直线 与该二次函数图像有两个公共点，
，
故选：C
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键．
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 一元二次方程x2﹣16＝0的解是_____．
【答案】x＝﹣4，x＝4
1 2
【解析】
【分析】直接运用直接开平方法进行求解即可.
【详解】解：方程变形得：x2＝16，
开方得：x＝±4，
解得：x＝﹣4，x＝4．
1 2
故答案为：x＝﹣4，x＝4
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是解答本题的关键.
10. 已知 的半径为5，点 到圆心 的距离为8，则点 在 ______（填“内”“上”或“外”）．
【答案】外
【解析】
【分析】点与圆的位置关系有3种．设 的半径为 ，点 到圆心的距离 ，则有：①点 在圆
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学科网（北京）股份有限公司外 ；②点 在圆上 ；③点 在圆内 ，由此即可判断；
⇔ ⇔ ⇔
【详解】解： ， ，
，
点 在 外，
故答案为：外．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：①点 在圆外 ；②点 在圆上 ；③点 在
⇔ ⇔
圆内 是解题的关键．
⇔
11. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据判别式 求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相
等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
12. 圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是_____．
【答案】6π
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据扇形的面积公式S= 计算，即可得出结果．
【详解】解：该扇形的面积S= =6π．
故答案为6π．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
13. 点 是抛物线 上一点，则 的值是______，点 关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将 代入二次函数解析式，得出 ，根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标
分别互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵点 是抛物线 上一点，
∴ ，
∴ ，
∴点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，求得点 是解题的关键．
14. 已知二次函数满足条件：①图像象过原点；②当 时， 随 的增大而增大，请你写出一个满足上
述条件的二次函数的解析式：______．
【答案】 (答案不唯一)
【解析】
【分析】根据二次函数的图像与性质可以得出各系数的取值范围，举一例即可．
【详解】解：图像过原点，
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学科网（北京）股份有限公司可以设解析式为：
当 时， 随 的增大而增大，
，开口向上，且对称轴 ，
即 ，
可以设二次函数为
满足 均可．
故答案不唯一，如： ．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与各系数间的关系是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系 中，以点 为圆心，1为半径画圆，将 绕点 逆时针旋转
得到 ，使得 与 轴相切，则 的度数是____．
【答案】 或
【解析】
【分析】分析可知：A在以O为圆心， 为半径的圆上运动，分情况讨论，当A转到 时， ，
作 轴与点B，利用勾股定理可知 ，进一步可求出旋转角度为 ；当A转到 时，
，作 轴与点C，利用勾股定理可知 ，进一步可求出旋转角度为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，将 绕点 逆时针旋转 得到
∴A在以O为圆心， 为半径的圆上运动，
当A转到 时， ，作 轴于点B，
∵ 半径为1， 与 轴相切，
∴ ，
由勾股定理可得： ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，即旋转角度为 ；
当A转到 时， ，作 轴于点C，
∵ 半径为1， 与 轴相切，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司由勾股定理可得： ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，即旋转角度为 ；
故答案为： ，
【点睛】本题考查圆与切线，旋转，等腰直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，旋转，
理解A在以O为圆心， 为半径的圆上运动．
16. 如图， 是 的直径， 为 上一点，且 ， 为圆上一动点， 为 的中点，连
接 ，若 的半径为2，则 长的最大值是_____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】连接 ， ，取 中点 ，连接 、 ， 是⊙ 的直径，可推出
和 ，由此可知 ，则 在以 为直径的圆上，当
与 点重合时， 最大，根据 求出 长代入即可．
【详解】解：连接 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 是⊙ 的直径，
∴ ，
∵ 为 的中点， 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
取 中点 ，连接 ，
∴ 在以 为直径的圆上，
∵三角形两边之和大于第三边，且 的半径为2，
∴ ，
∴当 与 点重合时， 最大，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是 及三角形的中位线的性质，熟练掌握数形结合思想是解题关
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学科网（北京）股份有限公司键．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，
每题6分，第27-28题，每题7分）
17. 解方程：x2﹣4x+2＝0．
【答案】
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤解方程即可．
【详解】解：x2﹣4x+2＝0
移项得 ，
配方得 ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键，此题也
可以用公式法解方程．
18. 已知：点 ， ， 在 上，且 ．
求作：直线 ，使其过点 ，并与 相切．
作法：①连接 ；
②分别以点 ，点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于 外一点 ；
③作直线 ．
直线 就是所求作直线 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ， ，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∵点 ， ， 在 上，且 ，
∴ ______°（_________________）（填推理的依据）．
∴四边形 是正方形，
∴ ，即 ，
∵ 为 半径，
的
∴直线 为 切线（_________________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；
（2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线
是圆的切线
【解析】
【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空．
【小问1详解】
解：补全图形，如图所示；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
切线．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
19. 已知二次函数 ．
（1）将 化成 的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）当 时，结合图象，直接写出函数值 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可；
（2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图像即可；
（3）根据函数图像确定当 时对应的y的取值范围即可．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
列表如下：
x 0 1 2 3
y 0 0
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学科网（北京）股份有限公司图象如图所示；：
【小问3详解】
由图象可得，当 时， ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次
函数的图象成为解答本题的关键．
20. 如图， 是 的一条弦，点 是 的中点，连接 并延长交劣弧 于点 ，连接 ， ，
若 ， ，求 的面积．
【答案】
【解析】
【分析】设 的半径为 ，由垂径定理得出 ，用含 的式子表示 ，再根据勾股定理列方程解得
半径的长，即可求解．
【详解】解：设 ，则 ．
点 是 的中点， 过圆心 ，
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学科网（北京）股份有限公司．
， ，
， ．
在
中， ，
．
解得， ．
．
．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理判断出 是 的垂直平分线是解题的关键．
21. 在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有
白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出
1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸
球试验，下图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．
（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是
______，其中红球的个数是______；
（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是
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学科网（北京）股份有限公司白球的概率．
【答案】（1）0.75，3
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图表中的频率分布可估计概率，再利用总数乘以概率可得红球个数；
（2）列出表格，利用概率公式计算．
【小问1详解】
解：由图表可知：摸出红球的频率分布在0.75上下，
则可估计随机摸出一个球是红球的概率是0.75，
红球的个数是： ，
故答案为：0.75，3；
【小问2详解】
由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球．
列表如下：
白 红1 红2 红3
白 白，红1 白，红2 白，红3
红1 红1，红2 红1，红3
红2 红2，红3
红3
可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有6种，即
（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），且这些结
果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有3种结果，即
（白，红1），（白，红2），（白，红3），
所以 ．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选
出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了利用频率估计概率．
22. 如图，在四边形 中， ， 是对角线，将点B绕点C逆时针旋转 得到点E，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ．
（1）求 的度数；
（2）若 是等边三角形，且 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得 是等边三角形，即可得出答案；
（2）先证明 ≌ ，可知 ，进而说明 是直角三角形，然后根据勾股定理得出答案.
【小问1详解】
解：∵将点B绕点C逆时针旋转 得到点E，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的度数为60°；
【小问2详解】
∵ 是等边三角形，
∴ ， .
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ .
∵ ， ，
∴ ≌ （ ），
∴ .
∵ ， ，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
∴ 的长为4．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等，勾股定理是
求线段长的常用方法．
23. 已知关于 的方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为 ， ，且 ，若 ，求 的值．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据方程的的判别式，即可得出 ，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；
（2）解方程，再由 ， ，即可得到关于 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
证明：
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学科网（北京）股份有限公司．
方程有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：解方程，得 ，
，
， ．
，
．
．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计
算．
24. 如图，在 中， ， ，点 是 上一点，以 为圆心， 长为半径作
圆，使 与 相切于点 ，与 相交于点 ．过点 作 ，交 的延长线于点 ．
（1）若 ，求 的半径；
（2）连接 ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】（1） ；
（2）见解析．
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）连接 ，由⊙O与 相切于点A，与 相切于点D，得到 ，
由切线长定理得： ，由勾股定理求出 ，即可得到 的半径．
（2）连接 ，交 于点H，由 是⊙O的直径，得到 ．根据 与⊙O分别相
切于点A，D，证得 ．得到 ．即可证得四边形 是平行四边形．
【小问1详解】
解：连接 ，如图．
∵在 中，
∴⊙O与 相切于点A， ．
∵ 是⊙O的半径，⊙O与 相切于点D，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴由切线长定理得： ，由勾股定理得： ．
∴ ．
∴⊙O的半径是 ．
【小问2详解】
证明：连接 ，交 于点H，如图．
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学科网（北京）股份有限公司∵ 是⊙O的直径，
∴ ．
∵ 与⊙O分别相切于点A，D，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ 四边形 是平行四边形．
【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定定
理，熟记各定理是解题的关键．
25. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点 处起跳经空中飞行后落在
着陆坡 上的点 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里 表示起跳点 到地面
的距离， 表示着陆坡 的高度， 表示着陆坡底端 到点 的水平距离，建立如图所示的平面
直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 （单位：m）与水平距离 （单位：m）近似满
足函数关系： ，已知 ， ，落点 的水平距离是40m，竖直高度
是30m．
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学科网（北京）股份有限公司（1）点 的坐标是_____，点 的坐标是_______；
（2）求满足的函数关系 ；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平
距离．
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1） ，落点 的水平距离是40m，竖直高度是30m，即可得到点 、 的坐标；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）由 ，先求出直线 的表达式，作 轴交抛物线和直线 于点 、 ，用含未
知数 的式子表示 ，再根据二次函数的性质进行判断即可．
【小问1详解】
解： ，落点 的水平距离是40m，竖直高度是30m，
， ；
【小问2详解】
解：把 ， 代入
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学科网（北京）股份有限公司得， ，
解得， ，
；
【小问3详解】
解： ，
设直线 的表达式为 ，
把 代入，得 ，
解得， ，
，
设 到 竖直方向上的距离最大，作 轴交抛物线和直线 于点 、
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
当 时， 最大，即水平距离为 时，运动员与着陆坡 竖直方向上的距离达到最大．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点
是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，且 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）点 ， ， 在抛物线上，若 ，判断 ， 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 ， ，可得 ，根据对称轴为直线 即可求解；
（2）根据 ，求得对称轴 的范围，再将点 根据对称性转化到对称轴右
侧，再根据 得抛物线开口向上， 随 的增大而增大，即可得出答案．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司当 时，得 ，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
，
点 关于直线 的对称点的坐标是 ，
．
．
，
当 时， 随 的增大而增大．
．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函
数的基本性质是解决函数问题的关键．
27. 如图，在 中， ， ， ，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋
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学科网（北京）股份有限公司转90°得到线段 ，连接 ．
（1）依题意，补全图形，并证明： ；
（2）求 的度数；
（3）若 为线段 的中点，连接 ，请用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）画图和证明见解析；
（2）135° （3） ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）先根据题意画出对应的图形，只需要利用 证明 即可证明 ；
（2）连接 ，如图所示．先由等腰直角三角形的性质得到 再证明
由全等三角形的性质得到 ．则可以推出 ，利用
三角形内角和定理即可得到 ；
（3）如图所示，延长 至K，使得 ，连接 ．证明 ．得到
， ，则 ．进一步证明 ．得到 ．由此
证明 ，得到 ．在等腰直角 中， ，则 ，即
可证明 ．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司补全图形，如图所示．
证明：∵ 线段 绕点C顺时针旋转90°得到线段 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ；
【小问2详解】
解：连接 ，如图所示．
由（1）可得 是等腰直角三角形，
∴
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴
由 可得 ．
∴ ．
∴ ；
【小问3详解】
解； ，理由如下：
如图所示，延长 至K，使得 ，连接 ．
∵ 为线段 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
由 可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵在等腰直角 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形
内角和定理，勾股定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28. 给定图形 和点 ， ，若图形 上存在两个不重合的点 ， ，使得点 关于点 的对称点与
点 关于点 的对称点重合，则称点 与点 关于图形 双对合.在平面直角坐标系 中，已知点
， ， ．
（1）在点 ， ， 中，与点 关于线段 双对合的点是______；
（2）点 是 轴上一动点， 的直径为1．
①若点 与点 关于 双对合，求 的取值范围；
②当点 运动时，若 上存在一点与 上任意一点关于 双对合，直接写出点 的横坐标 的
取值范围．
【答案】（1）D，F；
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学科网（北京）股份有限公司（2）① ；② 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据双对合的定义逐一判断即可得到答案；
（2）①由双对合定义可知随着直径 的端点G，H在 上运动，点 在以点A为圆心，2为半径的
圆上及其内部（不含点A），由此求出取值范围；②找出临界图形，计算可以求出取值范围．
【小问1详解】
由双对合定义可知： ，
， ，
轴，
， ，
，
O关于线段 的双对合点是D，F；
故答案为D，F；
【小问2详解】
①设 是 上任意一条直径，则 ．
设点 是与点A关于 双对合的点，将点A和点 分别关于点G，H对称后重合的点记为 ，所以点
G，H分别是 和 的中点．
由三角形中位线的知识，可知 ．
随着点G，H在 上运动，点 在以点A为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A），将它记为
S．因为点A与点 关于 双对合，
所以当S与y轴相交时，可求得t 的值为 和 ．
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学科网（北京）股份有限公司所以t 的取值范围是 ．
②当 上的一点在 上时，如图，则 上离 最近的点到 的距离为： 时
存在，解得 ；
当 上的一点在BC上时，则 上的点离 最近的点到 的距离不大于1，
即K到 的距离不大于 ，
，即 与x轴的的夹角为45°，
交点 ，
这时 ，
即 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 上的一点在 上时，则 上的点离 最近的点到 的距离大于1，不存在；
综上所述： 或
【点睛】本题考查新定义，能正确理解新定义并转化为所学知识解决问题是解题的关键．
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