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第 4 课时 专题强化：用“动态圆”思想处理临界、极值
问题
目标要求 1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题。2.会用平移圆法、
旋转圆法、放缩圆法分析临界状问题。
考点一 “平移圆”
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电
粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小
为v，则半径R＝，如图所示
0
适用条件
轨迹圆圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点
心共线 的连线平行
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平
界定方法
移圆”法
例1 (多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场
方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平
行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射
速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为考点二 “旋转圆”
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它
们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v，则圆周
0
运动轨迹半径为R＝，如图所示
适用条件
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半
径R＝的圆上
轨迹圆圆
心共圆
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这
界定方法
种方法称为“旋转圆”法
例2 (2023·浙江温州市英才学校模拟)如图所示，竖直平面内有一xOy平面直角坐标系，
第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B未知)。坐标原
点O处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限 180°范围内均匀地辐射出质量为
m、电荷量为q的正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标为(0，a)，N
点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v 时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M
0
点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求：
(1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间；
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(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。
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例3 如图所示，在绝缘板MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直于纸面向里。
距离绝缘板d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为 q、质量
为m、速率为v的带正电粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，已知粒子做圆周运动
的半径也恰好为d，则( )
A．粒子能打到板上的区域长度为2d
B．能打到板上最左侧的粒子所用的时间为
C．粒子从发射到打到板上的最长时间为
D．同一时刻发射的粒子打到板上的最大时间差为
考点三 “放缩圆”
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这
适用条件
些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆
心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方
向的直线PP′上
界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
例4 (多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的
中点。若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的某一速度射入正
方形内，经过时间t 刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从 O点沿纸面以与Od成
0
30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是( )
A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t
0
C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t
0
D．若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t
0
例5 (多选)(2023·山西太原市检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向
里，其边界如图中虚线所示，ab为半圆的直径，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于
半圆的半径R。一束质量均为m、电荷量均为q的带负电的粒子，在纸面内从c点垂直于ac
以不同速率射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
A．可以经过半圆形边界的粒子的速率最小值为
B．可以经过半圆形边界的粒子的速率最大值为
C．在磁场中运动时间最短的粒子速率为
D．在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为
