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素养培优5 带电粒子在三维空间中的运动带电粒子在立体空间常见运动及解题策略
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向都是 将粒子的运动分解为三个方向
常见运动模型 的运动
旋进运动将粒子的运动分解为
一个轴方向的匀速直线运动或
一维加一面，如旋进运动
匀变速直线运动和垂直该轴的
所在面内的圆周运动
把粒子运动所在的面隔离出
运动所在平面切换，粒子进入下一区域 来，转换视图角度，把立体图
偏转后曲线不在原来的平面内 转化为平面图，分析粒子在每
个面的运动【典例1】
（
多选
）（
2024·
安徽安庆三模）如图所示，在三维直角坐标
系 中，分布着沿 轴正方向的匀强电场 和沿 轴正方向的匀强磁场 ，
O-xyz z E y B
一个带电荷量为＋ 、质量为 的小球沿 轴正方向以一定的初速度 抛出后
q m x v
0
做平抛运动，已知重力加速度为 ，则下列说法正确的是（ ）
g
. 可求小球的初速度 大小为
A v
0
. 经过时间 ，球的动能变为 初动能的 倍
B 2
2
. 若仅将电场方向变为沿 轴正方向，小球可能做匀速圆周运动
C y
. 若仅将电场撤去，小球可能做匀速直线运动
D答案：
AC
解析：小球在 平面内做平抛运动，则有 ＝ ，解得小球的初速度
xOy Eq qv B v
0 0
＝ ， 正确；小球的动能变为初动能的 倍时，由 ＝ ＋ ＝
A 2 E m
k
1
2 2
0
，可知 ＝ ＝ ＝ ，即经过时间为 ＝ ， 错误；2 若 仅将电 场 方向
2E v v gt t B
k0 y 0
变为沿 轴正方向，如果小球受到的电场力和重力大小相等，则小球可能做
y
匀速圆周运动， 正确；若仅将电场撤去，小球合力不可能为零，不可能
C
做匀速直线运动， 错误。
D如图所示，竖直平面 的右侧存在方向竖直向上且足够大
【典例2】 MNRS
的匀强磁场，从平面 上的 点处以初速度 ＝ 垂直 面向右
MNRS O v 10 m/s MNRS
0
抛出一带电荷量为 、质量为 的小球。若磁感应强度大小 ＝ ， 取
q m B g 10
π
。求：
m/s2
（ ）小球离开磁场时的速度大小；
1
答案：
10 m/s
2解析： 小球在水平方向做匀速圆周运动，在竖直方向做自由落
体运动，水平方向小球恰好转半个周期离开磁场，故离开磁场的时
间为 ＝ ＝ ＝ ，则离开磁场时在竖直方向上的速度 ＝ ＝
t 1 s v gt 10
y
π
2
，故小球离开磁场时的速度大小为 ＝ ＋ ＝ 。
m/s v 10 m/s
2 2
0
2（ ）小球离开磁场时的位置与抛出点的距离。
2
答案：
m
5
2
解析：
π
小π球离+ 开16磁场时在竖直方向的位移大小为
y
＝
gt2
＝
5 m
，
1
小球在水平方向做匀速圆周运动有 ＝ ，解得 ＝2 ，水平方
qv B R
0
2
0 0
向位移为直径，即 ＝ ＝ ＝ ，则小球离开磁场时的位置与
x 2R m
2 0 20
π
抛出点的距离为 ＝ ＋ ＝ 。
s m
5
2 2 2
π π + 16【典例3】 （ 2024· 湖南高考 14 题）如图，有一内半
径为 、长为 的圆筒，左右端面圆心 、 处各开有
2r L O' O
一小孔。以 为坐标原点，取 方向为 轴正方向建
O O'O x
立 坐标系。在筒内 ≤ 区域有一匀强磁场，磁感应
xyz x 0
强度大小为 ，方向沿 轴正方向；筒外 ≥ 区域有一匀强电场，场强大小为
B x x 0
，方向沿 轴正方向。一电子枪在 处向圆筒内多个方向发射电子，电子初
E y O'
速度方向均在 平面内，且在 轴正方向的分速度大小均为 。已知电子的
xOy x v
0
质量为 、电荷量为 ，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作
m e
用及电子的重力。（ ）若所有电子均能经过 进入电场，求磁感应强度 的最小值；
1 O B
答案：
2π 0
解析： 将电子的初速度分解为沿 轴方向的速度 、 轴方向的
x v y
0
速度 ，则电子做沿 轴正方向的匀速直线运动和投影到 平面内
v x yOz
y0
的匀速圆周运动，又电子做匀速圆周运动的周期为 ＝ ，电子均
T
2π
能经过 进入电场，则 ＝ （ ＝ ， ， ，…）
O nT n 1 2 3
0
联立解得 ＝ （ ＝ ， ， ，…）
B n 1 2 3
2 π 0
当 ＝ 时， ＝ 。
n 1 B
min
2π 0
（ ）取（ ）问中最小的磁感应强度 ，若进入磁场中电子的速度方向与
2 1 B x
轴正方向最大夹角为 ，求 的绝对值；
θ tan θ
答案：
2π
解析：由于电子始终未与筒壁碰撞，则电子投影到 平面内的圆周
yOz
运动的最大半径为 ，由洛伦兹力提供向心力有 ＝
r ev B m
y0max
2
0max
则｜ ｜＝ ＝ 。
tan θ
0max 2π
0 （ ）取（ ）问中最小的磁感应强度 ，求电子在电场中运动时 轴正方向
3 1 B y
的最大位移。
答案：
2 2 2
2 π 0
2
解析：电子 在 电场中做类斜抛运动，当电子运动到 O 点并且沿 y 轴正方
向的分速度大小为 时，电子在电场中运动的 轴正方向的最大位
v y
y0max
移最大，由牛顿第二定律有 ＝
eE ma
由速度与位移公式有 ＝
2ay
m
2
0max
联立解得 ＝ 。
y
m
2 2 2
2 π 0
2
【典例4】 （ 2024· 北京高考 20 题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器
控制姿态和修正轨道。如图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的
同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，
间距为 。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳
d
定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电
场强度和磁感应强度大小分别为 和 ；还有方向沿半径向外的径向磁
E B
1
场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于
轴线的平面绕轴线做半径为 的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左
R
端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为 、电荷量为＋ ，
M e
初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电
室的电子刚好完全中和。已知电子的质量为 、电荷量为－ ；对于氙离子，
m e
仅考虑匀强电场的作用。（ ）求氙离子在放电室内运动的加速度大小 ；
1 a
答案：
解析：
对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室内
只受电场力作用，由牛顿第二定律有 ＝ ，解得 ＝ 。
eE Ma a
（ ）求径向磁场的磁感应强度大小 ；
2 B
2
答案：
解析： 电子由阴极发射运动到阳极过程，由动能定理有 ＝
eEd mv2
2
1
处于阳极附近的电子在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为 的匀速圆
R
2
周运动，则轴线方向上所受电场力与在径向磁场作用下受到的洛伦
兹力平衡，即 ＝ ，解得径向磁场的磁感应强度大小为 ＝
eE evB B
2 2
。
2 （ ）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数 ，单位时间
3 k
内阴极发射的电子总数为 ，求此霍尔推进器获得的推力大小 。
n F
答案：
2
解析： 单位时间内阴极发射的电子总数为 ，被电离的氙原子数和进
n
1+
入放电室的电子数之比为常数 ，则单位时间内被电离的氙原子数为
k
＝ ，氙离子经电场加速，有 ＝
N eEd Mv'2
1
设 时间内氙离子所受到的作用力大小为 ，则由动量定理有 ＝
Δt F' F'·Δt
1+ 2
，解得 ＝
NΔt·Mv' F'
2
由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小为 ＝
F F'
1+
则 ＝ 。
F
2
1+ 提升关键能力1 2 3 4
. （ 山东济宁一模）如图所示，在三维坐标系
1 2024· O-xyz
中存在一长方体 ， 平面左侧存在沿 轴
ABCD-abOd yOz z
负方向、磁感应强度大小为 （未知）的匀强磁场，
B
1
右侧存在沿 方向、磁感应强度大小为 （未知）
BO B
2
的匀强磁场（未画出）。现有一带正电粒子以初速度 从 点沿平面
v A
进入磁场，经 点垂直于 平面进入右侧磁场，此时撤去 平
ABCD C yOz yOz
面左侧的磁场 ，换上电场强度为 （未知）的匀强电场，电场强度的
B E
1
方向竖直向上，最终粒子恰好打在 棱上。已知 ＝ 、 ＝ ＝
Aa AB 2L Aa AD
， ＝ ，粒子的电荷量为 ，质量为 （重力不计）。求：
L B 5 B q m
2 1
（ ）磁感应强度 的大小；
1 B
2 1
答案：
2
5 1 2 3 4
解析： 带电粒子在 平面左侧磁场中做匀速圆周运动，由
yOz
几何关系得 ＝（ ） ＋（ － ）
R2 2L 2 R L 2
解得 ＝
R L
5
2
由牛顿第二定律可得 ＝
qvB m
1
2
解得 ＝ 。
B
1
2
5 1 2 3 4
（ ）粒子第二次经过 平面的坐标；
2 yOz
答案： ， ，
解析：在右侧磁场中由牛顿第二定律得 ＝ ，又 ＝
0 2 2 qvB m B 5 B
2 2 1
2
2
解得 ＝
r L
2
粒子经过4 轴坐标为 ＝ °＝
y y 2rsin 45
粒子经过 轴坐标为 ＝ － °2 ＝
z z L 2rcos 45
即粒子第二次经过 平面的坐标为 ，2 ， 。
yOz
0 2 21 2 3 4
（ ）电场强度 的大小。
3 E
答案：
2
4
解析：粒子在电场中做类平抛运动， 轴方向上 ＝
x 2L vt
轴方向上 － ＝
y L y t2
1
2
解得 ＝ 。
E
2
4 1 2 3 4
. （ 湖南长沙高三二模）如图所示，三维坐标系
2 2024·
内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的截面
Oxyz
水平且与 的两个底面平行，其中
OPMN ACDF-IJGH
点的坐标为 ， ， ， 点的坐标为 ， ， ，正四棱柱
A C
6 6
空间处于沿 轴方向的匀强电场中， 空间处于
ACDF-OPMN y OPMN-IJGH
0 6 0 0 6
沿 轴负方向的匀强磁场中，质量为 、电荷量为＋ 的粒子以速度 从
y m q v A
0
点沿 方向射出，经电场偏转后恰好从截面 的中心进入磁场区
AD OPMN
域，不计粒子的重力。1 2 3 4
（ ）求匀强电场的电场强度；
1
答案： ，沿 轴负方向
y
2
2 6 0
解析： 粒子在电场中做类平抛运动，沿 方向有 ＝
AD L v t
3
0
2
2
沿 轴方向有 ＝
y L at2
6 1
沿 轴方向的加6 速度2 ＝
y a
解得匀强电场的电场强度大小为 ＝
E
2
2 6 0
方向沿 轴负方向。
y
3 1 2 3 4
（ ）若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度 的
2 B
大小；
答案：
2+ 2 0
1 2 3 4
解析：粒子到达 的中
OPMN
心，如图甲所示，平行于
正四棱柱底面的分速度大
小始终为 ，带电粒子在
v
0
平行于正四棱柱底面的方向上做匀速圆周运动，恰好未从四棱柱
的侧面飞出，做出其运动的圆轨迹如图乙所示由几何关系可得粒
子做匀速圆周运动的半径 ＝ 由洛伦兹力提供其做匀速圆周
r L
2− 2
运动所需的向心力，可得 ＝2
qv B m
0
2
0
解得 ＝ 。
B
2+ 2 0
1 2 3 4
（ ）若粒子最终从 连线上的一点射出磁场区域，此点到 点的距离为
3 JH J
，求 点的 轴坐标。
L I y
2
答案： （ ＝ ， ， ，…）
n 1 3 5
4
6 π
解析：若带电粒子最终从 连线上的一点射出磁场区域，由几何关
JH
12
系可知，粒子做匀速圆周运动的半径为 ＝
r' L
2
时间对应半个周期的奇数倍，即 ＝ （ ＝ ， ， ，…）
t n n 1 3 5
8
1
π
如图甲所示，到达截面 中心的带电粒子沿 轴负方向的速度
OPMN ′ y
0
大小
＝ ， 点的 轴坐标
v at I y
y
＝
y v t
y 1
代入数据可得 ＝ （ ＝ ， ， ，…）。
y n 1 3 5
6 π
121 2 3 4
. （ 山东济南一模）如图甲所示，在三维坐标系 中， ＜ ＜ 的
3 2024· O-xyz 0 x d
空间内，存在沿 轴正方向的匀强电场， ＞ 的空间内存在沿 轴正方向
y x d x
的匀强磁场，荧光屏垂直于 轴放置，其中心 位于 轴上并且荧光屏可
x C x
以沿 轴水平移动。从粒子源不断飘出电荷量为 、质量为 的带正电粒
x q m
子，加速后以初速度 沿 轴正方向经过 点，经电场进磁场后打在荧光
v x O
0
屏上。已知粒子刚进入磁场时速度方向与 轴正方向的夹角 ＝ °，忽
x θ 60
略粒子间的相互作用，不计粒子重力。1 2 3 4
（ ）求匀强电场电场强度的大小 ；
1 E
答案：
2
3 0
解析： 粒子在电场中运动时，有
＝ ， ＝ ， ＝ ＝
d v t qE ma v v at
0 y 0
3
解得匀强电场电场强度的大小 ＝ 。
E
2
3 0
1 2 3 4
（ ）当粒子打到荧光屏后，沿 轴缓慢移动荧光屏，沿 轴正方向看
2 x x
去，观察到荧光屏上出现如图乙所示的荧光轨迹（箭头方向为荧
光移动方向），轨迹最高点 的 轴坐标值为 ，求匀强磁场磁
P y
5 3
感应强度的大小 以及荧光屏中心 初始位置可能的 轴坐标；
B C x
1
6
答案： ＋ （ ＝ ， ， ， ，…）
d n 0 1 2 3
3 0 2 π
解析：在电场中的偏转距离 ＝ ＝
y t d
3 1
3
2 2
在垂直磁场方向上做匀速圆周运动的半径 ＝ － ＝
R y y d
1 2 1
3
3
根据 ＝
qB v m
1 y
2
11 2 3 4
解得 ＝
B
1
3 0
周期 ＝ ＝
T
2π 2π
1 3 0
＝ ＝ （ ＝ ， ， ， ，…）
t nT n 0 1 2 3
2 π
则荧光屏中心 初始位置可能的 轴坐标
C x
3 0
＝ ＋ ＝ ＋ （ ＝ ， ， ， ，…）。
x d v t d n 0 1 2 3
0
2 π
31 2 3 4
（ ）若将荧光屏中心 固定于 轴上 ＝ ＋ 处，在 ＞ 的空间内附加
3 C x x d x d
3
6
一沿 轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为 ＝ ，求附
y B
2
3 0
加匀强磁场 后进入磁场的粒子打在荧光屏上的位置坐标。
B
2
答案： ＋ ， ，
3 3+1 3
6 2 − 3 1 2 3 4
解析：由题意可知 ＝ ＋ ＝
B
2 3 0
2 2
设粒子进入磁场速度为 ，则 ＝
v v 2v
1 2 0
与速度 方向垂直，则
B v
＝ ＝
R d
2
2 0 3
·
由 ＝ ＋
x d 3
3
可知圆轨迹与荧光屏相切，则
6
＝ ＋ °＝
y y R sin 60 d
1 2
3+1
＝－ ＝－
z R d 2
2
3
粒子打在荧光屏上的位置坐标为（ ＋ ， ，－ ）。
d d d
3
3 3+1 3
6 2 31 2 3 4
. （ 浙江金华模考）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要
4 2024·
的工序。如图所示的是离子注入工作的原理示意图，离子经加速后沿水
平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，
经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析
器和偏转系统的匀强磁场的磁感应强度大小均为 ，方向均垂直于纸面
B
向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场的电场强度大小均为 ，方
E
向分别为竖直向上和垂直于纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为
和 的四分之一圆环，其两端中心位置 和 处各有一个小孔；偏转
R R M N
1 2
系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为 的正方体，其底面与晶圆
L1 2 3 4
所在水平面平行，间距也为 。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰
L
好竖直于注入到晶圆上的 点（即图中坐标原点， 轴垂直于纸面向
O x
外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子经过电
场和磁场偏转的角度都很小。当 很小时，有 ≈ ≈ ， ≈
α sin α tan α α cos α 1
－ 。求：
α2
1
21 2 3 4
（ ）离子通过速度选择器后的速度大小 和磁分析器选择出来的离子的
1 v
比荷 ；
答案：
（ ＋ ）
2
2
1 2
解析： 通过速度选择器的离子由于受力平衡需满足 ＝
qE
，可得速度 ＝
qvB v
＋
由题图知，从磁分 析器中心孔 射出离子的运动半径为 ＝
N R
1 2
由 ＝ ，得 ＝ ＝ 。 2
qvB
（ ＋ ）
2
2
2
1 2 1 2 3 4
（ ）偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标（ ， ）表示；
2 x y
答案： ，
＋
2
3
解析：偏转系统仅加电场时，离子在偏转系统中做类平抛运动，设
1 2 0
离子离开偏转系统时速度的偏转角为 ，离开电场时，离子在 方
θ x
向偏转的距离 ＝
x · ·
1
2
1
＝ ＝
tan θ
2
离开电场后， 2离子在
x
方向偏移的距离
x
＝
Ltan θ
＝
2
2
则 x ＝ x ＋ x ＝ ＝ 2
1 2
＋
2 2
3 3
2
2 1 2
离子注入晶圆的位置坐标为 ， 。
＋
2
3
1 2 01 2 3 4
（ ）偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标（ ， ）表示。
3 x y
答案： ，
＋
2
3
解析：如图所示，偏转系统仅加磁场时，由
0 1 2
＝ 得，离子进入磁场后做匀速圆周运
qvB
2
＋
动的半径 ＝ ＝
r
1 2
＝
sin α
2
离开磁场时，离子在 方向偏转距离 ＝ （ － ） ≈
y y r 1 cos α sin2α
1
＋
2
离开磁场后，离子在 方向偏移距离
y
2 1 21 2 3 4
＝ ≈ ≈
y Ltan α Lsin α
2
＋
2
2
1 2
则 ＝ ＋ ＝
y y y
1 2
＋
2
3
1 2
故位置坐标为 ， 。
＋
2
3
0 1 2
