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专题 08 数列中含绝对值与奇偶项的问题
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题型 01 含绝对值求和问题 ............................................................................................................................................................. 1
题型 02 等差、等比数列奇偶项和的性质 ................................................................................................................................. 2
题型 03 含奇偶项的数列求和问题 ............................................................................................................................................... 3
题型 01 含绝对值求和问题
【解题规律·提分快招】
1、对于首项小于 0 而公差大于 0 的等差数列 加绝对值后得到的数列 求和,设 的前 项和为
的前 项和为 ,数列 的第 项小于 0 而从第 项开始大于或等于 0,于是有
2、对于首项大于 0 而公差小于 0 的等差数列 加绝对值后得到的数列 求和,设 的前 项和为
的前 项和为 ,数列 的第 项大于 0 而从第 项开始小于或等于 0,于是有
。
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·四川成都·二模）已知数列 的前 n 项和 ，且 的最大值为 ．
(1)确定常数 ，并求 ；
(2)求数列 的前 15 项和 ．
2．（24-25 高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求 的通项公式；1
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学科网（北京）股份有限公司(2)设 ，求数列 的前 n 项和 .
3．（24-25 高三上·湖北·开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
题型 02 等差、等比数列奇偶项和的性质
【解题规律·提分快招】
1、等差数列中
①若项数为偶数 ，则 ； ； ．
②若项数为奇数 ，则 ； ； ．
2、等比数列 中，若项数为 ，则 ；若项数为 ，则 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·河北沧州·阶段练习）设 为等差数列 的前 项和.若公差 ，且 ，则
的值为（ ）
A．60 B．70 C．75 D．85
2．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列 所有项之和为所有奇数项之和的 3
倍，前 2 项之积为 8，则 （ ）
A．2 B．-2 C．-1 D．2 或-2
3．（23-24 高三上·重庆·期中）已知等比数列 有 项， ，所有奇数项的和为 85，所有偶数项的
和为 42，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024·重庆·二模）已知等差数列 的前 30 项中奇数项的和为 ，偶数项的和为 ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（23-24 高三上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列 的项数为 其中奇数项之和为2
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学科网（北京）股份有限公司偶数项之和为 则 ( )
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·河北保定·期末）已知正项等差数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B．1012 C．2024 D．4048
题型 03 含奇偶项的数列求和问题
【解题规律·提分快招】
1、项数问题
①数列项数是 2n 项，那么奇数和偶数分别是 n 项；
②数列项数是 2n+1 项，那么奇数为 n+1 项，偶数为 n 项；
③当项数是 n 项时，要分 n 为奇数和 n 为偶数；
2、常见类型
① ，求 的值；则
② ，求 的值
（1）n 为奇数时，有 个奇数项，有 个偶数项，则
（2）n 为偶数时，有 个奇数项，有 个偶数项，则
3、其他类型
①数列中连续两项和或积的问题： 或
②含有 类型
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三上·山东·阶段练习）已知数列 为正项数列，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
2．（24-25 高三上·江苏常州·期末）已知数列 满足 ．3
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学科网（北京）股份有限公司(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，且 ，求 的值．
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知数列 中， ，求数列 的前 n 和．
4．（2024 高三上·山东济南·专题练习）已知数列 的前 n 项和为 ， ，
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
5．（23-24 高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列 满足 ．
(1)设 ，写出 ；
(2)证明数列 为等比数列；
(3)求数列 的前 项和 ．
6．（24-25 高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
7．（24-25 高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知在数列 中， ，且满足 .
(1)求证：数列 是等比数列.
(2)设数列 满足 ，求最小实数 ，使得 对一切正整数 均
成立.
8．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知等差数列 满足： 公差 且 恰为等比数列4
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学科网（北京）股份有限公司的前三项．
(1)求数列 与 的通项公式：
(2)若数列 满足： 求数列 前 n 项和 ;
(3)求 的前 n 项和
9．（24-25 高三上·天津南开·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，满足 ，
， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)对任意的正整数 ，设 ，求 ；
(3)若对于数列 ，在 和 之间插入 个 ，组成一个新的数列 ，记数列 的前 项和为
，求 .
一、填空题
1．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知等差数列 共有 项，奇数项之和为 60，偶数项之和为 54，
则 ．
2．（2024 高三·全国·专题练习）等比数列 共有 2n 项，其和为 240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，
则公比 .
3．（24-25 高三上·全国·课堂例题）若等比数列 共有奇数项，其首项为 1，其偶数项和为 170，奇数项和
为 341，则这个数列的公比为 ，项数为 ．
4．（24-25 高三上·全国·课后作业）已知等比数列 共有 2n 项，其和为 ，且
，则公比 ．
5．（2024 高三上·全国·专题练习）已知等差数列 的项数为奇数，且奇数项和为 ，偶数项和为 ，则
数列的中间项为 ；项数为 ．
6．（2024 高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的前 40 项和
为 .5
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学科网（北京）股份有限公司二、解答题
7．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 ，记 为 的前 项和，从下面①②③中再选取一
个作为条件，解决下面问题．① ；② ；③ ．
(1)求 的最小值；
(2)设 的前 项和为 ，求 ．
8．（24-25 高三上·河北衡水·开学考试）已知 为数列 的前 n 项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 n 项和 ．
9．（24-25 高三上·全国·自主招生）若 表示正整数 n 的最大奇数因数 ，记
，求 .
10．（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列 为等比数列，公比 ，前 项和为 ，数列 为
等差数列，且 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式：
(2)若 ， ，且数列 的前 项和为 ，求 ．
11．（24-25 高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)求证:数列 为等比数列;
(2)已知 ，求数列 的前 2n 项和.
12．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知 是正项递增的等比数列，且 ， ．数列
是等差数列，且 ．
(1)分别求数列 和数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 前 n 项和 ．
13．（24-25 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且 .6
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
14．（24-25 高三上·广东佛山·阶段练习）设各项非零的数列 的前 n 项和记为 ，记
，且满足 ，
(1)求 ， 的值，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 n 项和 ．7
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