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专题12 磁场
1
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常考考点
真题举例
带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算
2024·广东·高考真题
安培力的计算式及简单应用
2024·重庆·高考真题
带电粒子在叠加场中做直线运动
2024·贵州·高考真题
2024·江苏·高考真题
掌握磁场和磁感应强度的概念，会用磁感线描述磁场，熟悉几种常见磁场模型的磁感线分布图；
会判断安培力的方向，能够计算安培力的大小，会分析计算安培力作用下导体的平衡与加速问题；
掌握洛伦兹力的概念，会分析和计算带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题，会分析计算带电
粒子在组合场、叠加场中的问题；
掌握带电粒子在磁场中的多解问题、交变磁场和立体空间中的问题；
了解与磁场相关的仪器，重点掌握质谱仪、回旋加速器和霍尔效应的原理。
核心考点01 磁场中的概念
一、磁场.................................................................................................................................................................4
二、磁感线.............................................................................................................................................................4
三、磁感应强度.....................................................................................................................................................6
四、磁通量.............................................................................................................................................................8
核心考点02 安培力....................................................................................................................................................10
一、安培力的方向...............................................................................................................................................10
二、安培力的大小...............................................................................................................................................11
三、安培力作用下导体的平衡与加速问题......................................................................................................12
核心考点03 洛伦兹力................................................................................................................................................14
一、洛伦兹力.......................................................................................................................................................14
二、带电粒子在匀强磁场中的运动..................................................................................................................15
三、有界匀强磁场的运动模型..........................................................................................................................18
四、动态圆模型...................................................................................................................................................22
五、带电粒子在组合场中的运动......................................................................................................................24
六、带电粒子在叠加场中的运动......................................................................................................................27
七、带电粒子在交变磁场的运动......................................................................................................................30
八、带电粒子在磁场中的多解问题..................................................................................................................32
2
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九、带电粒子在立体空间的运动......................................................................................................................34
核心考点04 与磁场相关的仪器................................................................................................................................36
一、速度选择器...................................................................................................................................................36
二、质谱仪...........................................................................................................................................................37
三、回旋加速器...................................................................................................................................................39
四、磁流体发电机...............................................................................................................................................41
五、电磁流量计...................................................................................................................................................42
六、霍尔效应模型...............................................................................................................................................43
核心考点01 磁场中的概念
一、磁场
1、磁性
物质吸引铁、钴、镍等物质的性质。
2、磁体
具有磁性的物体，如磁铁。
3
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3、磁极
磁体上磁性最强的区域。任何磁体都有两个磁极，一个叫北极（N 极），另一个叫南极（S 极）。并
且，任何一个磁体都有两个磁极，无论怎样分割磁体，磁极总是成对出现，不存在磁单极。
【注意】同名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引。
4、磁场的定义
磁体或电流周围存在的一种特殊物质，能够传递磁体与磁体之间、磁体与电流之间、电流与电流之间
的相互作用。
【注意】磁场与电场一样，也是一种物质，是一种看不见而又客观存在的特殊物质。存在于磁体、通
电导线、运动电荷、地球等的周围。
5、磁场的产生
永磁体周围；电流的周围；运动电荷的周围。
【注意】电流是由于电荷做定向移动形成的，因此运动电荷周围不但有电场，同时也产生磁场。
6、磁场的基本性质
对放入其中的磁极、电流、运动的电荷有力的作用，而且磁体与磁体、磁体与电流、电流与电流间的
相互作用都是通过磁场发生的。
7、磁场的方向
小磁针在磁场中其北极受力的方向，即小磁针静止时其北极所指的方向。
8、安培分子的电流假说
在原子、分子等物质微粒的内部，存在着一种环形电流——分子电流，分子电流使每个物质微粒都成
为微小的磁体，它的两侧相当于两个磁极。
【注意】该假说能够解释磁化、去磁等现象。分子电流的实质是原子内部带电粒子在不停地运动。
9、磁场的电本质
一切磁现象都是起源于电荷的运动。
二、磁感线
1、定义
为了形象描述磁场，在磁场中画出一系列有方向的曲线，在这些曲线上，每一点的曲线方向亦即该点
的切线方向，都跟该点的磁场方向相同，用其疏密表示磁场的强弱，这一系列曲线称为磁感线。
2、特点
为了形象描述磁场而引入的假想曲线，实际上并不存在。
磁感线上某点的切线方向就是该点的磁场方向。
磁感线的疏密定性地表示磁场的强弱，在磁感线较密的地方磁场相对较强；在磁感线较疏的地方磁场
相对较弱。
磁感线是闭合曲线，没有起点和终点。在磁体外部，从N 极指向S 极；在磁体内部，由S 极指向N 极。
同一磁场的磁感线不中断、不相交、不相切。
磁感线布满磁体周围的整个空间，是立体的。
3、分类
4
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①条形磁铁、蹄形磁铁、异名磁极、同名磁极的磁感线分别如下图所示：
条形磁铁的磁感线：在磁铁外部两极最密，中间稀疏；在磁铁内部最密，中垂线上磁感线方向与磁铁
平行。
蹄形磁铁的磁感线：在磁铁外部两极最密，中间稀疏；在磁铁内部最密。
异名磁极的磁感线：沿中垂线从中点到无限远处，磁感线越来越稀疏，磁场越来越弱。
同名磁极的磁感线：两磁极连线中点磁感线最稀疏，磁场最弱。
②电流的磁感线如下表所示：
安培定则
立体图
横截面图
纵截面图
直线
电流
以导线上任意点为圆心垂直于导线的多组同心圆，越向外越稀疏，磁场越
弱。
环形
电流
内部磁场比环外强，磁感线越向外越稀疏。
通电螺
线管
内部为匀强磁场且比外部强，方向由S 极指向N 极，外部类似条形磁铁，由
N 极指向S 极。
【注意】①直线电流的安培定则：用右手握住导线，让伸直的大拇指所指的方向跟电流的方向一致，
那么弯曲的四指所指的方向就是磁感线的环绕方向；②环形电流的安培定则：让右手弯曲的四指和环形电
流的方向一致，那么伸直的大拇指所指的方向就是环形导线中心轴线上磁感线的方向；③通电螺线管的安
培定则：用右手握住螺线管，让弯曲的四指所指的方向跟电流的方向一致，那么大拇指所指的方向就是螺
线管内部磁感线的方向，也就是说，大拇指指向通电螺线管的北极。
③地磁场：地球由于自身具有磁性而在其周围产生的磁场叫做地磁场。地磁场与条形磁铁的磁场相似，
如下图所示。地磁南极（S 极）在地理北极附近，地磁北极（N 极）在地理南极附近，二者并不重合；地
磁场B 的水平分量（Bx）总是从地球南极指向北极，而竖直分量（By）则南北相反，在南半球垂直地面向
上，在北半球垂直地面向下；在赤道平面上，距离地球表面相等的各点，磁场强弱相同，且方向水平向北。
5
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④匀强磁场的磁感线：磁感线是疏密程度相同、方向相同的平行直线，如下图所示。
4、磁感线与电场线的比较
比较项目
磁感线
电场线
相
同
点
意义
为了形象地描述磁场的方向和强
弱而假想的线
为了形象地描述电场的方向和强弱而假想的
线
方向
线上各点的切线方向就是该点的场方向
疏密
表示磁场强弱
表示电场强弱
特点
在空间不相交、不相切、不中断
除电荷处外，在空间不相交、不相切、不中
断
不同点
闭合曲线
始于正电荷或无限远处，止于负电荷或无限
远处。电场线是不闭合的曲线
三、磁感应强度
1、定义
在磁场中垂直于磁场方向的通电导线受到的安培力F 跟电流I 和导线长度 L 的乘积IL 的比值叫做通电
导线所在处的磁感应强度。
2、表达式
B＝。该式的使用条件为通电导线必须垂直于磁场方向放置，因为磁场中某点通电导线受力的大小，
除和磁场强弱有关以外，还和导线的方向有关，导线放入磁场中的方向不同，所受磁场力一般不相同。通
电导线受力为零的地方，磁感应强度B 的大小不一定为零，可能是由于电流方向与B 的方向在一条直线上。
【注意】磁感应强度是反映磁场强弱的物理量，它是用比值定义法定义的物理量，由磁场自身决定，
与是否引入电流元、引入的电流元是否受力及受力大小无关，即B 的大小与F、I、l 无关。
3、单位
特斯拉，简称特，符号T，1T=1N/（A·m）。
4、物理意义
表征磁场强弱的物理量（用来描述磁场强弱和方向的物理量叫做磁感应强度）。
5、性质
磁感应强度是矢量。遵守矢量分解、合成的平行四边形定则。
6、方向
小磁针静止时N 极所指的方向，即N 极受力的方向。
6
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小磁针静止时S 极所指的反方向，即S 极受力的反方向。
磁感应强度的方向就是该点的磁场方向。
磁感线的切线方向。
7、磁感应强度与电场强度的比较
磁感应强度B
电场强度E
意义
描述磁场的性质
描述电场的性质
定
义
式
相同
都是用比值的形式下定义
特
点
E＝反映电场的性质，由
电场本身决定，与F、q 无
关（q 为试探电荷）
B＝反映磁场的性质，由磁场本身决
定，与F、IL 无关，B⊥L 时，F 最大
（IL 为试探电流元）
方
向
相同
矢量
不同
小磁针N 极的受力方向，
表示磁场方向
放入该点正电荷的受力方向，
表示电场方向
场的
叠加
相同
都遵从矢量合成法则
不同
B 合等于磁场的B 的矢量和
E 合等于各个电场的场强的矢量和
单位
1 T＝1 N/（A·m）
1 V/m＝1 N/C
8、磁场的叠加
磁感应强度是矢量，多个通电导体产生的磁场叠加时，合磁场的磁感应强度等于各场源单独存在时在
该点磁感应强度的矢量和。
解题思路：①确定磁场场源，如通电导线；②定位空间中需求解磁场的点，利用安培定则判定各个场
源在这一点上产生的磁场的大小和方向。如图所示为M、N 在c 点产生的磁场；③应用平行四边形定则进
行合成，如图中的B 为合磁场。
磁场的叠加类问题分析方法：①根据安培定则确定通电导线周围磁感线的方向；②磁场中每一点磁感
应强度的方向为该点磁感线的切线方向；③磁感应强度是矢量，多个通电导体产生的磁场叠加时，合磁场
的磁感应强度等于各场源单独存在时在该点磁感应强度的矢量和。
四、磁通量
1、定义
匀强磁场中磁感应强度B 和与磁场方向垂直的平面面积S 的乘积。
【注意】磁场与平面不垂直时，这个面在垂直于磁场方向的投影面积S′与磁感应强度B 的乘积表示磁
通量。
2、单位
国际单位是韦伯，简称韦，符号是Wb，1Wb＝1 T·m2。
7
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3、计算式
Φ＝BS。
4、适用条件
匀强磁场；磁感线与平面垂直（S 为垂直磁场的有效面积）。
5、物理意义
相当于穿过某一面积的磁感线的条数。若有磁感线沿相反方向穿过同一平面，则磁通量等于穿过该平
面的磁感线的净条数(磁通量的代数和)。
若磁感线与平面不垂直，则Φ＝BScos θ.其中Scos θ 为面积S 在垂直于磁感线方向上的投影面积S1，
如下图所示。
磁通量的计算，如下图所示，矩形abcd、abb'a'、a'b'cd 的面积分别为S1、S2、S3，匀强磁场的磁感应
强度B 与平面a'b'cd 垂直，则：①通过矩形abcd 的磁通量为BS1cos θ 或BS3；②通过矩形a'b'cd 的磁通量
为BS3；③通过矩形abb'a'的磁通量为0。
同一线圈平面，当它跟磁场方向垂直时，磁通量最大；当它跟磁场方向平行时，磁通量为0；当正向
穿过线圈平面的磁感线条数和反向穿过的一样多时，磁通量为0。
6、性质
磁通量是标量，但有正、负，当磁感线从某一面穿入时，磁通量为正值，则磁感线从此面穿出时磁通
量为负值。
7、磁通量的变化
ΔΦ＝Φ2－Φ1。几种常见引起磁通量变化的情形：①B 改变，S 不变，ΔΦ＝ΔB·S； ②B 不变，S 变化，
ΔΦ＝B·ΔS；③B、S 两者都变化，ΔΦ＝Φ2－Φ1，不能用ΔΦ＝ΔB·ΔS 来计算；④B 和S 均不变，磁感线方
向与线圈平面的夹角θ 变化（二者的相对位置发生改变），则ΔΦ＝BS（sin θ2－sin θ1）。
【注意】若磁感线沿相反方向穿过同一平面，且正向磁通量为Φ1，反向磁通量为Φ2，则穿过该平面
的磁通量Φ＝Φ1－Φ2。
8
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核心考点2 安培力
一、安培力的方向
1、安培力
通电导线在磁场中受的力。
2、左手定则
伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使
四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。
【注意】安培力F、磁感应强度B、电流I 的方向关系：已知I、B 的方向，可用左手定则确定F 的方
向；已知F、B 的方向，导线位置确定时，可确定I 的方向；已知F、I 的方向，不能唯一确定B 的方向。
3、特点
两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内，EO 与O′Q 在一条直线上，PO′与OF
在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流I，电流方向如图所示．若一根无限长直导线通过电
流I 时，所产生的磁场在距离导线d 处的磁感应强度大小为B，则图中与导线距离均为d 的M、N 两点
处的磁感应强度大小分别为( )
A．B、0 B．0、2B C．2B、2B D．B、B
【答案】B
【解析】两直角导线可以等效为如图所示的两直导线，由安培定则可知，两直导线在M 处的磁感应强
度方向分别为垂直纸面向里、垂直纸面向外，故M 处的磁感应强度大小为零；两直导线在N 处的磁感
应强度方向均垂直纸面向里，故N 处的磁感应强度大小为2B，综上分析B 正确。
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通电导线在磁场中所受的安培力F，总垂直于电流与磁感线两者所决定的平面，即F⊥B，F⊥I， F 垂
直于B 和I 决定的平面。也就是安培力一定垂直B 和I，但B 与I 不一定垂直。
使用左手定则判断定安培力方向时，左掌手心应迎B 垂直于I 的分量（B⊥＝Bsinθ）。磁感线方向（磁
感应强度方向）不一定垂直于电流方向。
4、判断方法
①弄清楚导体所在位置的磁场分布情况；②利用左手定则准确判定导体的受力情况；③确定导体的运
动方向或运动趋势的方向。
【注意】电荷在电场中所受的电场力方向与电场线的方向在同一直线上，而通电导线在磁场中所受的
安培力与磁感线垂直。磁场与电场有很多相似之处，但安培力比库仑力复杂得多，点电荷在电场中受力方
向与电场方向不是相同就是相反；而电流元在磁场中受安培力的方向与磁场方向和电流方向决定的平面垂
直。
安培力的方向总是既与磁场方向垂直，又与电流方向垂直，也就是说安培力的方向总是垂直于磁场和
电流所决定的平面，所以判断时要首先确定磁场与电流所确定的平面，从而判断出安培力的方向在哪一条
直线上，然后再根据左手定则判断出安培力的具体方向。
当电流方向跟磁场方向不垂直时，安培力的方向仍垂直电流与磁场所决定的平面，所以仍可用左手定
则来判断安培力的方向，只是磁感线不再垂直穿过手心，而是斜穿过手心。
5、左手定则与安培定则的比较
定则
安培定则
左手定则
作用
判断电流产生的磁场方向
判断电流在磁场中的受力方向
因果关系
“电流”是“因”，“磁场”是“果”
“磁场”和“电流”都是“因”，“受力”是
“果”
内
容
作用
对象
直线电流
环形电流或通电螺线
管
磁场中的电流
用手
情况
右手弯曲
左手伸直
具体
操作
拇指所指方向为电
流方向
四指弯曲的方向指向
电流的环绕方向
拇指与其余四指垂直，并且都与手掌在同一个平
面内；磁感线穿过掌心，四指指向电流的方向
结果
四指弯曲的方向表
示磁感线的方向
拇指所指的方向表示
轴线上的磁感线方向
拇指所指的方向表示电流所受安培力的方向
二、安培力的大小
1、计算公式
当磁感应强度B 的方向与导线方向成θ 角时，F＝BILsinθ，这是一般情况下的安培力的表达式。
有两种特殊情况：磁场和电流垂直时：F＝BIL；磁场和电流平行时：F＝0。
【注意】磁场对磁铁一定有力的作用，而对电流不一定有力的作用。当电流方向和磁感线方向平行时，
通电导体不受安培力作用。
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2、适用范围
一般只适用于匀强磁场。
【注意】对于非匀强磁场，仅适用于电流元（把很短一段通电导线中的电流与导线长度的乘积称为电
流元）。非匀强磁场的求解方法：如果导线各部分所处的位置B 的大小、方向不相同，应将导体分成若干
段，使每段导线所处的范围B 的大小和方向近似相同，求出各段导线受的磁场力，然后再求合力。
3、有效长度
弯曲通电导线的有效长度等于两端点所连直线的长度，相应的电流方向由始端指向末端，如下图所示。
因为任意形状的闭合线圈，其有效长度L＝0，所以通电后在匀强磁场中，受到的安培力的矢量和一定为零。
4、对公式F＝BILsinθ 的理解
F＝BILsinθ 中的B 对放入的通电导线来说是外加磁场的磁感应强度，不必考虑导线自身产生的磁场对
外加磁场的影响；θ 是B 和I 方向的夹角，当θ＝90°时sin θ＝1，公式变为F＝ILB；L 指的是导线在磁场
中的“有效长度”， 弯曲导线的有效长度。
当B 与I 垂直时，F 最大，F＝ILB；当B 与I 平行时，F＝0。
公式中的B 与L 垂直；匀强磁场或通电导线所在区域的磁感应强度的大小和方向相同。
5、电流方向选取原则
当已知磁感线的方向，要判断产生该磁场的电流方向时，选用安培定则判断电流的方向；当已知导体
所受安培力的方向时，用左手定则判断电流的方向。
三、安培力作用下导体的平衡与加速问题
1、问题分类
安培力作用下静态平衡问题：通电导体在磁场中受安培力和其它力作用而处于静止状态，可根据磁场
方向、电流方向结合左手定则判断安培力方向。
安培力作用下动态平衡问题：此类题目是平衡问题，只是由于磁场大小或方向、电流大小或方向的变
化造成安培力变化，与力学中某个力的变化类似的情景。
安培力作用下加速问题：此类题目是导体棒在安培力和其它力作用下合力不再为零，而使导体棒产生
加速度，根据受力特点结合牛顿第二定律解题是常用方法。
2、分析思路
明确研究对象：通电导线或通电导体棒；
画平面图：立体图为平面图，如侧视图、剖面图或俯视图等，导体棒或导线用圆圈
表示，电流方向
⭕
用“×”或“●”表示，电流垂直纸面向里画，电流垂直纸面向外画⊙；
受力分析和运动分析：分析重力、弹力、摩擦力等，然后由左手定则判断安培力的方向，分析研究对
象的运动情况；
列平衡方程或牛顿第二定律的方程式进行求解。
3、求解关键
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电磁问题力学化；立体图形平面化（如下图所示）。
4、安培力作用下导体的分析技巧
安培力作用下导体的平衡问题与力学中的平衡问题分析方法相同，只不过多了安培力，
解题的关键是画出受力分析示意图。
安培力作用下导体的加速问题与动力学问题分析方法相同，关键是做好受力分析，然后
根据牛顿第二定律求出加速度。
5、安培力做功的特点和实质
安培力做功与路径有关，不像重力、电场力做功与路径无关。
安培力做功的实质是能量转化：①安培力做正功时将电源的能量转化为导线的动能或其他形式的能；
②安培力做负功时将其他形式的能转化为电能后储存起来或转化为其他形式的能。
6、安培力作用下导体运动情况的判定方法
电流元法
分割为电流元――→安培力方向→整段导体所受合力方向→运动方向
特殊位置法
在特殊位置→安培力方向→运动方向
等效法
环形电流
小磁针
⇌
条形磁铁
通电螺线管
多个环形电流
⇌
⇌
结论法
同向电流互相吸引，反向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有
转到平行且电流方向相同的趋势
转换研究
对象法
定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动或运动趋势的问题，可先分析电流在
磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作
用力，从而确定磁体所受合力及运动方向
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核心考点3 洛伦兹力
一、洛伦兹力
1、定义
磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。
2、方向
判定方法（左手定则）：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让
磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方
向.负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反。
【注意】掌心——磁感线垂直穿入掌心；四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；拇
指——指向洛伦兹力的方向。
方向特点：F⊥B，F⊥v，即F 垂直于B 和v 决定的平面。
【注意】决定洛伦兹力方向的因素有三个：电荷的电性(正、负)、速度方向、磁感应强度的方向。
3、表达式
如图(a)，直导线MN 被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指
向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图(b)所示．
导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ.下列说法正确的是( )
A．当导线静止在图(a)右侧位置时，导线中电流方向由N 指向M
B．电流I 增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C．tan θ 与电流I 成正比 D．sin θ 与电流I 成正比
【答案】D
【解析】当导线静止在题图(a)右侧位置时，对导线受力分析如图所示，可知要让安培力为图示方向，
则导线中电流方向应由M 指向N，A 错误；由于与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时
间变化，有sin θ＝，FT＝mgcos θ，则可知sin θ 与电流I 成正比，当I 增大时θ 增大，则cos θ 减小，
静止后，悬线对导线的拉力FT减小，由牛顿第三定律知，导线对悬线的拉力减小，B、C 错误，D 正
确。
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F=qvB sinθ ，θ 为v 与B 的夹角。
当v∥B（θ＝0°或180°）时，洛伦兹力F＝0；当v⊥B（θ＝90°）时，洛伦兹力F＝0；当v=0 时，洛伦
兹力F＝0。
4、特点
洛仑兹力方向既重直于磁场方向，也垂直地粒子运动的速度方向，因此洛伦兹力的方向总是垂直于运
动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。
洛仑兹力的大小和方向都与带电粒子运动状态有关，当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也
随之变化。
运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
左手判断洛伦兹力方向，但一定分正、负电荷。负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四
指指向电荷运动的反方向。
公式F＝qvB 中的v 是带电粒子相对于磁场的运动速度。
洛伦兹力一定不做功，因为洛伦兹力与速度方向如果始终垂直，则洛伦兹力对物体始终不做功。洛伦
兹力对运动电荷永不做功，它不能改变运动电荷速度的大小和动能大小，仅能够改变运动电荷的速度方向。
洛伦兹力影响的是带电体所受其他力的大小和带电体的运动时间等。
5、洛伦兹力与安培力的关系
区别：①洛伦兹力是指单个运动电荷所受到的磁场力，而安培力是指电流(即大量定向移动的电荷)所
受到的磁场力；②安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
联系：①洛伦兹力是安培力的微观实质，安培力是洛伦兹力的宏观体现，二者是相同性质的力，都是
磁场力。②方向关系：洛伦兹力与安培力的方向特点一致，均可用左手定则进行判断；③大小关系：F 安＝
NF 洛(N 是导体中定向运动的电荷数)。
【注意】①尽管安培力是自由电荷定向移动时受到的洛伦兹力的宏观表现，但也不能认为安培力就简
单地等于所有定向移动电荷所受洛伦兹力的和，一般只有当导体静止时才能这样认为；洛伦兹力是单个运
动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现。
由安培力公式推导洛伦兹力公式：设导体内单位体积上自由电荷数为n，自由电荷的电荷量为q，定向移动
的速度为v，设长度为L 的导线中的自由电荷在t 秒内全部通过面积为S 的截面A，如下图所示，导线与磁
场垂直，通过导体的电荷量为Q，则有Q＝nqSL＝ngS·vt，又因为I＝，F 安＝BIL，故F 安＝BL＝B·L＝
Bqv·SnL，则洛伦兹力F 洛＝，故F 洛＝qvB。
6、洛伦兹力与电场力的比较
力
洛伦兹力
电场力
性质
洛伦兹力是磁场对运动电荷的作用力
电场力是电场对电荷的作用力
产生
条件
磁场中静止电荷、沿磁场方向运动的
电荷不受洛伦兹力
电场中的电荷无论静止、还是
沿任何方向运动都要受到电场
力
方向
①方向由电荷的正负、磁场的方向以
及电荷的运动方向决定，方向之间的
关系遵循左手定则
①方向由电荷的正负、电场的
方向决定
②正电荷受力方向与电场方向
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②洛伦兹力方向一定垂直于磁场方向
以及电荷运动方向(电荷运动方向与磁
场方向不一定垂直)
一致，负电荷受力方向与电场
方向相反
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
作用
效果
洛伦兹力只改变电荷运动速度的方
向，不能改变速度的大小
电场力既可以改变电荷运动的
速度方向又可以改变电荷运动
速度的大小
做功
情况
洛伦兹力一定不做功
电场力可以不做功，也可以做
功
力
为
零时
F 为零，B 不一定为零
F 为零，E 一定为零
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1、规律
带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况：
①若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动；②若带电粒子的速度
方向与磁场方向垂直（v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射速度v 做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向
心力；③运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺旋线运动。
2、圆周运动的计算公式
①向心力公式：qvB＝m；
②轨道半径公式：r＝；
③周期公式：T＝＝；f＝＝；ω＝＝2πf＝。T 与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的
磁感应强度有关；
④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间
t= θ
2π T
；
⑤动能：
Ek=1
2 mv 2= p2
2m= Bqr 2
2m 。
3、圆周运动的三个确定
三个确定为圆心、半径、运动时间的确定。
圆心的确定：
①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个
特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在
这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。
②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连
作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。
③若已知一个点及运动方向和另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所
示，此时要将其中一个速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分
线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。
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④轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。某点的速度垂线与切点法线的交点。如图。
半径的确定：
①物理方程法：半径R＝。
②几何法：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。如下图所示，R＝或由R2＝L2＋
（R－d）2求得R＝。
圆心角与时间的确定：
圆心角的确定：①φ（速度的偏向角）＝θ（圆弧所对应的圆心角）＝2α（弦切角），即φ＝θ＝2α＝
ωt，如图所示；②偏转角φ 与弦切角α 的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α。
运动时间的计算：①由圆心角求，t＝·T；②由弧长求，t＝。
【注意】当带电体的速度一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的
时间越长；当带电体的速度变化时，圆心角大的运动时间长。
4、带电粒子在磁场做圆周运动的分析方法
画轨迹确定圆心。
确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即
R=mv
qB ；②利用数学知识
（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒
子在磁场中运动时间与周期（T＝
2πm
qB
）的关系。
运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。
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三、有界匀强磁场的运动模型
1、问题的描述
带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题。
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破
口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
2、数学知识
几何模型：圆与直线相交、圆与圆相交，构造图像中的三角形。
确定角度：若有已知角度，则利用互余、互补、偏向角与圆心角的关系、弦切角与圆心角的关系确定；
若没有已知角度，则利用边长关系确定。
对称性（如下图所示）：圆与直线相交，圆弧轨迹关于圆心到边界的垂线轴对称；轨迹圆和磁场圆相
交，圆弧轨迹关于两圆心的连线轴对称。
如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M
点沿直径MON 方向射入磁场．若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若
射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则为( )
A. B. C. D．3
【答案】B
【解析】如图所示，设圆形磁场区域的半径为R，粒子以v1射入磁场时的轨迹半径为r1，根据几何关系
r1＝R，以v2射入磁场时的轨迹半径r2＝R。根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，可得v＝，
所以＝＝，故选B。
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3、极值的求解
物理方法：利用临界条件求极值；利用问题的边界条件求极值；利用矢量图求极值。
数学方法：利用三角函数求极值；利用二次方程的判别式求极值；利用不等式的性质求极值；利用图
像法、等效法、数学归纳法求极值。
【注意】带电粒子刚好穿出磁场边界的条件：带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；时间最长或
最短的临界条件：①当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长；②当比荷相同，
入射速率v 不同时，圆心角越大，运动时间越长。
4、直线边界模型
该模型粒子进出磁场具有对称性，模型图如下：
时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t=T
2 =π m
Bq ；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=
(1- θ
π)T=(1- θ
π)
2π m
Bq =2m(π-θ)
Bq
；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=θ
π T=2θm
Bq 。
5、平行边界
该模型往往存在临界条件，模型图如下：
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时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t1=θm
Bq ，t2=T
2 =π m
Bq ；图乙中粒子在磁场中运动的时间
t=θm
Bq ；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=(1- θ
π)T=(1- θ
π)
2π m
Bq =2m(π-θ)
Bq
；图丁中粒子在磁场中
运动的时间t=θ
π T=2θm
Bq 。
6、圆形边界
沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性，如下图所示，粒子做圆周运动的半径r
＝，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，运动角度关系为：θ＋α＝90°。
不沿径向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，
如图所示。
正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，
有
，则磁偏转半径
，根据半径公式
联立求解时间
1
tan α
2 。速
度v0越大，则磁偏转半径r 越大，圆心角α 越小，时间t 越短。若r=R，构成正方形。
不正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，左边两个图有两个等腰三角形，一条共同的底边；最后
一个图示当r=R 时，构成菱形。
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7、环形磁场模型
环形磁场模型的临界圆如下图所示，三个环形磁场的临界半径分别为：
；
；
由勾股定理(R2-R1)2=R1
2+r2，解得：
。
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四、动态圆模型
1、临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界
的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直。
2、解题方法
如图所示，在等腰直角三角形abc 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场，O 为ab 边
的中点，在O 处有一粒子源沿纸面内不同方向、以相同的速率
不断向磁场中释放相同的带正
电的粒子，已知粒子的质量为m，电荷量为q，直角边ab 长为
，不计重力和粒子间的相互作用
力。则（ ）
A．从ac 边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
B．从ac 边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
C．粒子能从bc 边射出的区域长度为L D．粒子能从bc 边射出的区域长度为2L
【答案】B
【详解】AB．根据
，代入速度得
，如图Od 与ac 垂直，有几何关系可知，Od 长为L，
即最短弦长，对应最短时间，圆心角为
，则最短时间为
，又
，得
A 错误，B 正确；CD．粒子轨迹与ac 相切时，交与bc 边最远的e 点，由几何关系可知，Oe 长度为直径，
则粒子能从bc 边射出的区域eb 的长度为
，CD 错误。
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3、临界情况
公共弦为小圆直径时，出现极值。当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入
射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大；当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端
点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大。
4、放缩圆模型
模型概述：以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，
这种方法称为“放缩圆”法。
适用条件：速度方向一定，大小不同，粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场
时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。
特点：轨迹圆圆心共线，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。
5、旋转圆模型
模型概述：以入射点为圆心，将一半径为R＝的圆进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称
为“旋转圆”法。
适用条件：速度大小一定，方向不同。粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场
时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示。
特点：轨迹圆圆心共圆，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R＝的
圆上。
分
析
题
中
情
景
做
出
草
图
做
出
动
态
图
确
定
临
界
轨
迹
分
析
临
界
状
态
构
建
三
角
形
或
四
边
形
进
行
分
析
和
求
解
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6、平移圆模型
模型概述：将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法。
适用条件：速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上。粒子源发射速度大小、方向一定，入
射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小
为v0，则半径R＝，如图所示。
特点：轨迹圆圆心共线，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的
连线平行。
7、磁聚焦会聚模型
模型概述：大量带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半
径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出，如下图所示。
证明方法：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方向)，可知
从A 点发出的带电粒子必然经过B 点。
8、磁聚焦发散模型
模型概述：有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P 点有大量质量为m、电荷量为q 的正粒
子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形
磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行，如下图所示。
证明方法：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边
形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同，为水平方向。
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五、带电粒子在组合场中的运动
1、组合场
电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。
2、分析思路
过程的划分：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。
关键点的寻找：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
运动轨迹的绘制：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决
问题。
3、解题方法
真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，
其横截面如图所示．一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，
忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径为r，由
几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，根据牛顿第二定律和圆周运动知识得evB＝m，联立解得B＝，故选C。
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4、类型
磁场与磁场的组合：磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两
个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与
两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。
先磁场后电场：①进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如下图所示，粒子在电场中做加
速或减速运动，用动能定理或运动学公式进行求解；②进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如下图
所示，粒子在电场中做类平抛运动，利用相关知识进行求解。
先电加速后磁偏转：带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周
运动，如下图所示。
先电偏转后磁偏转：带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如
下图所示。
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如图所示，直角坐标系xOy 中，x 轴、y 轴和
线为理想磁场和电场边界。第一象限区域在直线
与y 轴之间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在第二象限存在沿y 轴负方向的
匀强电场，一带正电的粒子从静止开始经电压U 加速后，自
点沿y 轴正方向射入第一象限，垂
直于y 轴离开，自
离开第二象限，不计重力。求：
（1）带电粒子的比荷；
（2）电场强度E 及粒子自M 到N 的运动时间t；
（3）如果只改变M 点坐标，坐标为
，求粒子在第二象限离开x 轴时的速率。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v，根据动能定理可得
粒子在第一象限首先做匀速直线运动，轨迹如图所示，射入到磁场中后，根据几何关系可得粒子在磁
场
中的轨迹半径
，根据洛伦兹力提供向心力
，解得比荷
。
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六、带电粒子在叠加场中的运动
1、叠加场
电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。
2、分类
电场力、重力并存，即电场力+重力＝F 等效（恒力）：①带电粒子静止或匀速直线运动，则F 电＝mg
且方向相反（即F 等效＝0）；②带电粒子做匀变速直线运动，则F 等效≠0 且与v 共线；③带电粒子做匀变速
曲线运动，则F 等效≠0 且与v 不共线。
【注意】该情景带电粒子没有圆周运动。
洛伦兹力、重力并存：①带电粒子做匀速直线运动，则F 洛＝mg 且方向相反，运动方向与F 洛垂直；
②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则重力和洛伦兹力不平衡，因洛伦兹力不做功，故机械能守
恒。
（2）粒子自
点垂直y 轴射入第二象限，落在
点，粒子做类平抛运动，水平位移
竖直位移
，解得
，粒子做匀速直线运动时间
，在磁场中运动时间
在电场中运动时间为
，水平位移也为a，则有
，粒子运动时间
。
（3）轨迹如图所示
根据几何关系
，所以
，粒子自P 点穿过y 轴，则
根据动能定理
，解得
。
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【注意】该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。
磁场力、电场力并存（不计重力的微观粒子）：①带电粒子做匀速直线运动，则F 洛＝F 电且方向相反，
运动方向与F 洛垂直；②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），因洛伦兹力不做功，可用动能定理
求解。
【注意】该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。
静电力、洛伦兹力、重力并存：①带电粒子静止，则F 电＝mg 且方向相反，且F 洛＝0；②带电粒子做
匀速直线运动，则F 电、mg、F 洛三力平衡；③带电粒子做匀速圆周运动，则F 电＝mg 且方向相反，且F 洛
＝Fn；④带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则合力不为零且与速度方向不垂直，因洛伦兹力不做
功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。
【注意】该情景带电粒子无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动。
3、带电体在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运
动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、
能量守恒定律结合牛顿运动定律求解。
4、分析方法
叠加场的组成：弄清电场、磁场、重力场叠加情况；
受力分析：先分析场力（重力、电场力、磁场力），然后分析接触力（弹力、摩檫力），最后分析其
它力；
运动分析：注意运动情况和受力情况的结合；
分段分析：粒子通过不同种类的场时，分段讨论；
画出轨迹：①静止或匀速直线运动（运用平衡条件）；②匀速圆周运动（运用牛顿运动定律和圆周运
动规律）；③复杂曲线运动（运用动能定理或能量守恒定律）；④对于临界问题，注意挖掘隐含条件。
【注意】牢记三点：①受力分析是基础：一般要从受力、运动、功能的角度来分析．这类问题涉及的
力的种类多，含重力、电场力、磁场力、弹力、摩擦力等；②运动过程分析是关键：包含的运动种类多，
含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动以及其他曲线运动；③根据不同的运动过程及
物理模型，选择合适的定理列方程（牛顿运动定律、运动学规律、动能定理、能量守恒定律等）求解。
5、带电粒子两种运动的总结
直线运动：①带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程
求解；②带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，
根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解
曲线运动：①当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂
直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解；
②当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒
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子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解。
如图所示，在竖直平面内的直角坐标系xOy 中，y 轴竖直，第一象限内有竖直向上的匀强电场E1、垂
直于xOy 平面向里的匀强磁场B1=4T；第二象限内有平行于xOy 平面且方向可以调节的匀强电场E2；
第三、四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场B2=
T。x、y 轴上有A、B 两点，OA=(2+
）m，
OB=1m。现有一质量
，电荷量q=10-3C 的带正电小球，从A 点以速度v0垂直x 轴进入第一
象限，做匀速圆周运动且从B 点离开第一象限。小球进入第二象限后沿直线运动到C 点，然后由C 点
进入第三象限。已知重力加速度为
，不计空气阻力。求：
（1）第一象限内电场的电场强度E1与小球初速度v0的大小；
（2）第二象限内电场强度E2的最小值和E2取最小值时小球运动到C 点的速度vc；
（3）在第（2）问的情况下，小球在离开第三象限前的最大速度vm。
【答案】（1）40N/C，2m/s；（2）20N/C，2
m/s；（3）4
m/s，方向水平向左
【详解】（1）小球由A 点进入第一象限后，所受电场力与重力平衡E1q=mg，解得E1=40N/C
由几何关系得r+
=OA，解得r=2m，小球做匀速圆周运动
，解得v0=2m/s。
（2）由几何关系得：BC 与竖直方向夹角为θ=30°，小球由B 到C 做直线运动，则电场力与重力的合力
与vB均沿BC 方向，当电场力与BC 垂直时，电场力有最小值qE2min=mgsinθ，解得E2min=20N/C，对小球
有mgcosθ=ma。根据几何关系xBC=
m，根据速度位移关系式 vC
2-v0
2=2axBC，代入数据得a=5
m/s2 ，vC=2
m/s。
29
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七、带电粒子在交变电磁场中的运动
1、常见类型
①电场周期性变化，磁场不变；②磁场周期性变化，电场不变；③电场和磁场周期性变化。
2、分析思路
仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间，其变化周期一般与粒子在电场或磁场中的运动周期相
关联。应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。
把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析。
把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理，根据每一个阶段上的受力情况确定粒子的运动规律。
3、分析方法
先读图，看清并且明白不同场的变化情况；受力分析，分析粒子在不同的变化场区的受力情况；过程
分析，分析粒子在不同时间段内的运动情况；找衔接点，找出衔接相邻两个过程的速度大小及方向；选规
律，联立不同阶段的方程求解。
（3）小球进入第三象限后，在重力、洛伦兹力作用下做变加速曲线运动，把初速度vC分解为v1和
v2，其中v1满足Bqv1=mg，解得v1=
=2
m/s，方向水平向左，则v2=2
m/s，方向与x 轴正方向
夹角为60°，小球的实际运动可以分解为
运动一：速度为v1=2
m/s，水平向左，合力为B2qv1-mg=0 的匀速直线运动。
运动二：速度为v2=2
m/s，顺时针旋转，合力为F 洛=B2qv2的匀速圆周运动。
当v1和v2的方向相同时合运动的速度最大，最大速度vm=v1+v2=4
m/s，方向水平向左。
如图甲所示，边长为L 的正方形abcd 区域内存在匀强磁场，磁感强度大小为
，方向垂直于abed 所
在平面，且周期性变化（周期T 可根据需要调整），如图乙所示，设垂直abcd 平面向里为磁感强度的
正方向。现有一电子在
时刻由a 点沿ab 方向射入磁场区，已知电子的质量为m，电荷量大小为
e，图中边界上有两点f、g，且
，关于电子在磁场中的运动，以下说法中正确的是（
）
30
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A．调整磁场变化周期T，让电子沿bc 方向经过c 点，电子的速度大小一定是
B．调整磁场变化周期T，让电子经过d 点，电子的速度大小一定是
C．要想让电子经过点f 点，则磁场变化周期一定是
D．要想让电子垂直bc 边过g 点，则磁场变化周期一定是
【答案】D
【详解】A．要想让电子沿bc 方向经过c 点，可能的轨迹如图所示也可以转奇数个
圆弧后到c，根据
洛伦兹力充当向心力，有
，可得
，根据以上分析则有
（n＝0，1，
2…），解得
（n＝0，1，2…），故A 错误；
B．要想让经过d 点，可能的轨迹如图所示，可知，
，解得
。
或者先顺时针转磁场的半个周期
，之后逆时针转，从ad 方向经过d，这种情况下，
解得
，故B 错误；
C．要想让电子经过f 点，轨迹可能如图所示，由几何关系可得
，解得
31
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八、带电粒子在磁场中的多解问题
1、问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。
2、问题的类型
①带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子
具有相同初速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如下图所示，带电粒子以速度v 垂直
进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
②临界状态不是唯一的形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是
圆弧状，因此粒子的运动情况为可能从边界穿过去了或者转过180°后从入射面边界反向飞出，如下图所示。
③磁场方向不确定形成多解：磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁
感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如下图所示，带正电的粒子以速度v 垂直进入
匀强磁场，若B 垂直纸面向里，其轨迹为a；若B 垂直纸面向外，其轨迹为b。
只要满足运动时间
即可；或者如图所示，圆周周期
，每一次转过120°圆心角
，解
得
，故C 错误；
D．要想让电子垂直bc 边过g 点，经过偶数次偏转，每一次转过60°圆心角，圆周周期
，则有
，解得
，故D 正确。
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④运动的往复性形成多解：带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，
从而形成多解，如下图所示。
如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形
分开，三角
形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿
的角平分线发射速度不同的质
子（质子重力不计），所有质子均能通过C 点，质子比荷
，则以下说法正确的是（ ）
A．质子的速度可能为
B．质子的速度可能为
C．质子由A 到C 的时间可能为
D．质子由A 到C 的时间可能为
【答案】C
【详解】AB．因质子带正电，且经过C 点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为
，
质子可能的运动半径
（n=1，2，3，…），由洛伦兹力提供向心力得
，即
（n=1，2，3，…），质子的速度不可能为
和
，故AB 错误；
CD．质子由A 到C 的时间可能为
（n=1，2，3，…），故C 正确；D 错误。
故选C。
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九、带电粒子在立体空间的运动
1、原因
匀强磁场在空间中的分布是三维的，因此带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。
2、螺旋线运动
空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中
就做螺旋线运动。
方法：这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
3、带电粒子在立体空间中的偏转
分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系．带电粒子依
次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界
处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。
中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电
磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz 中，0<z≤d 空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为
B，方向沿x 轴正方向；－3d≤z<0，y≥0 的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B，方向平行
于xOy 平面，与x 轴正方向夹角为45°；z<0，y≤0 的空间内充满沿y 轴负方向的匀强电场．质量为
m、带电量为＋q 的离子甲，从yOz 平面第三象限内距y 轴为L 的点A 以一定速度出射，速度方向与z
轴正方向夹角为β，在yOz 平面内运动一段时间后，经坐标原点O 沿z 轴正方向进入磁场Ⅰ.不计离子
重力．
(1)当离子甲从A 点出射速度为v0时，求电场强度的大小E；
(2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm；
(3)离子甲以的速度从O 点沿z 轴正方向第一次穿过xOy 面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy 平面的位置
坐标(用d 表示)；
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(4)当离子甲以的速度从O 点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电量为＋q 的离子乙，也从O 点沿z 轴正方
向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt(忽
略离子间相互作用)。
【答案】(1) (2) (3)(d，d,0) (4)(2＋2)
【解析】(1)如图所示，将离子甲在A 点的出射速度v0分解到沿y 轴方向和z 轴方向，离子受到的静电
力沿y 轴负方向，可知离子沿z 轴方向做匀速直线运动，沿y 轴方向做匀减速直线运动，从A 到O 的过
程，有L＝v0cos β·t，v0sin β＝at，a＝，联立解得E＝；
(2)如图所示，离子从坐标原点O 沿z 轴正方向进入磁场Ⅰ中，由洛伦兹力提供向心力可得qv1B＝
离子经过磁场Ⅰ偏转后从y 轴进入磁场Ⅱ中，由洛伦兹力提供向心力可得qv1·B＝，可得rⅡ＝rⅠ
为了使离子在磁场中运动，需满足rⅠ≤d，rⅡ≤3d，则可得v1≤，故要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运
动，进入磁场时的最大速度为；
(3)离子甲以v＝的速度从O 点沿z 轴正方向第一次穿过xOy 面进入磁场Ⅰ，离子在磁场Ⅰ中的轨迹半径
为r1＝＝，离子在磁场Ⅱ中的轨迹半径为r2＝，离子从O 点第一次穿过到第四次穿过xOy 平面的运动
情景，如图所示，离子第四次穿过xOy 平面的x 坐标为x4＝2r2sin 45°＝d，离子第四次穿过xOy 平面的
y 坐标为y4＝2r1＝d，故离子第四次穿过xOy 平面的位置坐标为(d，d,0)；
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核心考点4 与磁场相关的仪器
一、速度选择器
1、简介
平行板中电场强度E 和磁感应强度B 互相垂直，这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫
做速度选择器。
2、图例
3、原理
粒子受力特点：同时受方向相反的电场力和磁场力作用。
电场力和洛伦兹力平衡：qE=qvB，解得v=
。
4、作用
速度大小只有满足v=
的粒子才能做匀速直线运动。
若v＜
，电场力大，粒子向电场力方向偏，电场力做正功，动能增加。
若v＞
，洛伦兹力大，粒子向磁场力方向偏，电场力做负功，动能减少。
【注意】速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量。
(4)设离子乙的速度为v′，根据离子甲、乙动能相同，可得mv2＝×4mv′2，可得v′＝＝，离子乙在磁场Ⅰ
中的轨迹半径为r1′＝＝d＝2r1，离子乙在磁场Ⅱ中的轨迹半径为r2′＝＝d＝2r2，根据几何关系可知离子
甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示，从O 点进入磁场到轨迹第一个交点的过程，有t 甲＝T1＋T2＝＋
＝(2＋2)，t 乙＝T1′＋T2′＝×＋×＝(4＋4)
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为Δt＝t 乙－t 甲＝(2＋2).
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二、质谱仪
1、简介
质谱仪是一种精密仪器，是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。
2、图例
如图所示是粒子速度选择器的原理图，如果粒子的重力不计．已知速度为v0的质子流可以从a 点沿直
线运动到b 点，以下说法正确的是（ ）
A．速度为v0的α 射线（He 核流）也可以从a 沿直线运动到b 点；
B．速度为v0的β 射线（电子流）也可以从a 沿直线运动到b 点；
C．速度为v0的质子流也可以从b 沿直线运动到a 点；
D．速度大于v0的γ 射线（光子流，不带电）也可以从a 沿直线运动到b 点
【答案】D
【解析】A、由于质子带正电，a 点沿直线运动到b 点，即电场力向下，洛伦兹力向上，则
若射入速度为v0的α 射线（He 核流），仍然是电场力向下，洛伦兹力向上，仍满足
，即
也可以从a 沿直线运动到b 点，故选项A 正确；
B、若射入速度为v0的β 射线（电子流），则电场力向上，洛伦兹力向下，仍满足
，即也可
以从a 沿直线运动到b 点，故选项B 正确；
C、若射入速度为v0的质子流也可以从b 沿直线运动到a 点，则其受到电场力向下，洛伦兹力也向下，
不满足二力平衡，故选项C 错误；
D、若射入速度大于v0的γ 射线（光子流，不带电），则不受电场力和洛伦兹力作用，即可以从a 沿直
线运动到b 点，故选项D 正确。
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3、原理
速度选择器和偏转磁场组合：①加速阶段
qU =1
2 mv 2⇒v=√
2qU
m
；②匀速阶段
qE =qvB ⇒v= E
B ； ③偏转过程
qvB 0=m v2
R ⇒R= mv
qB 2 ；解得
d=2 R⇒d= 2mE
BB 0 q ，其中E,B,B0
都为定值，而偏转直径与
m
q 成正比。
加速电场和偏转磁场组合：①加速阶段
qU =1
2 mv 2⇒v=√
2qU
m
；②偏转过程
qvB =m v2
R ⇒R= mv
qB ；解得
d=2R⇒d=2√2Um
B√q
，其中E,B,B0都为定值，而偏转直径与
m
q 成正
比。
4、作用
测量带电粒子质量和分离同位素。
（多选）如图所示为一种质谱仪示意图，由加速电场、静电分析器和磁分析器组成。若静电分析器通
道中心线的半径为R，通道内均匀辐射电场在中心线处的电场强度大小为E，磁分析器有范围足够大
的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外。一质量为m、电荷量为q 的粒子从静止
开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器，由P 点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的
Q 点，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．加速电场的电压
B．极板M 比极板N 电势高 C．直径
D．若一群离子从静止开始经过上述过程都落在胶片上同一点，则该群离子有相同的质量
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三、回旋加速器
1、构造
如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D 形盒处于匀强磁场B 中，D 形盒的缝隙处接交流电源。
2、图例
3、原理
两个半圆金属盒处于与盒面垂直的匀强磁场B 中，所以粒子在磁场中做匀速圆周运动。经过半个圆周
之后，当它再次到达两盒间的缝隙时，控制两盒间的电势差，使其恰好改变正负，于是粒子经过盒缝时再
一次被加速。如此，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过盒缝，而两盒间的电势差一次一次地反向，
粒子的速度就能够增加到很大。
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D 形盒缝隙，粒子被加速一次。
当带电粒子速度最大时，其运动半径也最大，即rm＝，再由动能定理得：Ekm＝，所以要提高带电粒子
获得的最大动能，应尽可能增大磁感应强度B 和D 形盒的半径rm。若D 形盒半径为R，则带电粒子的最终
动能Em＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B 和金属盒半径R 决定，与加速电压无关。
粒子运动的总时间：粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU ，加速次数
n= Ekm
qU
，粒子在磁场中运动的总时间
t=n
2 T= Em
2qU ⋅2πm
qB =2πR2
2U
。该式忽略粒子在狭缝中运
动的时间。
不忽略加速时间的总时间：加速时间为
t2= vmax−0
qU
md
（粒子加速时做匀加速直线运动，有
【答案】AB
【详解】A．在加速电场中根据动能定理有
，在静电分析器中电场力提供向心力
可得加速电场的电压
，故A 正确；
B．在静电分析器中粒子所受电场力方向与电场方向相同，故粒子带正电，粒子在加速电场中加速，加
速电场方向水平向右，故极板M 比极板N 电势高，故B 正确；
C．磁分析器中洛伦兹力提供向心力
，直径为
，故C 错误；
D．若一群离子从静止开始经过上述过程都落在胶片上同一点，则该群离子有相同的比荷，故D 错误。
故选AB。
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a= F
m=qE
m =
q U
d
m =qU
md ，vmax=0+at 2 ），则
t 总=N⋅T
2 + vmax−0
qU
md
。
加速器在核物理和粒子物理研究中发挥着巨大的作用，回旋加速器是其中的一种。如图是某回旋加速
器的结构示意图，D1和D2是两个中空的、半径为R 的半圆型金属盒，两盒之间窄缝的宽度为d，它们
之间有一定的电势差U。两个金属盒处于与盒面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，D1盒的中
央A 处的粒子源可以产生质量为m、电荷量为+q 的粒子，粒子每次经过窄缝都会被接交流电源的电场
加速，之后进入磁场做匀速圆周运动，经过若干次加速后，粒子从金属盒边缘D1离开。忽略粒子的初
速度、粒子的重力、粒子间的相互作用及相对论效应。
（1）求粒子在磁场中运动半圈的时间t；
（2）求粒子离开加速器时获得的最大动能
；
（3）D1和D2金属盒之间窄缝的宽度很小，因此粒子在两盒间的电场加速的时间通常可以忽略不计。
在这种情况下，分析计算粒子从A 点开始运动到离开加速器的时间。
（4）已知该回旋加速器金属盒的半径R=1m，窄缝的宽度
，若考虑粒子在两盒间的电场加速
的时间，求粒子从A 点开始运动到离开加速器的过程中，其在磁场中运动时间与在电场中运动时间之
比。（结果保留两位有效数字）
（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）设粒子以速度v 在磁场中做半径为r 的圆周运动时，由牛顿第二定律得
解得
，运动周期
，半圈的运动时间
。
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四、磁流体发电机
1、简介
磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内能直接转化为电能
2、图例
3、原理
将等离子气体垂直于磁场方向喷入匀强磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下发生上下偏转而聚集到
A、B 板上，产生电势差。设平行金属板A、B 的面积为S，相距L，等离子气体的电阻率为ρ，喷入气体速
率为v，板间磁场的磁感应强度为B，板外电阻为R，当正、负离子受到的洛伦兹力和静电力大小相等时，
匀速通过A、B 板间，此时A、B 板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，大小即为电源的电动势E。
沿从S 极向N 极方向进行观察，如下图所示，则有
q E
L =Bqv
，则电动势E=BLv ，电源内阻
r=ρ⋅L
S ，由闭合电路欧姆定律知，通过R 的电流
I= E
R+r =
BLv
R+ρ⋅L
S
= BLvS
RS +ρL
。
（2）当带电粒子运动半径为半圆金属盒的半径R 时，粒子的速度达到最大值 vm，由牛顿第二定律得
粒子离开加速器时获得的最大动能
，解得
（3）粒子在电场中被加速 n 次， 由动能定理得
，解得
，粒子在加速器中运动的
时间可以看成两部分时间之和， 即在金属盒内旋转
圈的时间t₁ 和通过金属盒间隙n 次所需的时间t₂
之和，粒子在磁场中做匀速圆周运动时，运动周期
，粒子在磁场中运动的总时间
（4）粒子在电场中的整个运动过程，由匀变速直线运动规律得
，解得粒子在电场中运动的
总时间
，粒子在磁场中运动时间与在电场中运动时间之比
，代入数据，得
。
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五、电磁流量计
1、简介
电磁流量计是应用电磁感应原理， 根据导电流体通过外加磁场时感生的电动势来测量导电流体流量
的一种仪器。
2、图例
3、原理
流量(Q)：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。
导电液体的流速(v)的计算：一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右
一种用磁流体发电的装置如图所示，平行金属板A、B 之间有一个很强的磁场。若A、B 两板相距为
，
板间的磁场按匀强磁场处理，磁感应强度为
，等离子体（即高温下电离的气体，含有大量正、负带
电粒子）以速度沿垂直于磁场的方向射入磁场。下列说法正确的是（ ）
A．A 极板是电源的正极 B．发电机的电动势为
C．发电机的电动势与带电粒子的电荷量成正比
D．等离子体在A、B 间运动时，磁场力对等离子体做正功
【答案】B
【详解】A．由于磁场方向不清楚，无法判断电源的正极是哪个极板，故A 错误；
BC．发电机稳定后有
，可得发电机的电动势为
，可知发电机的电动势与带电粒
子的电荷量无关，故B 正确，故C 错误；
D．等离子体在A、B 间运动时，受到的洛伦兹力的方向与速度方向垂直，故磁场力对等离子体不做功，
故D 错误。
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流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b 间出现电势差，当自由电
荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b 间的电势差(U)达到最大，由
q U
d =qvB
，可得v= U
Bd 。
流量的表达式：
Q=Sv = πd2
4 ⋅U
Bd = π dU
4 B
。
电势高低的判断：根据左手定则可得φa＞φb。
六、霍尔效应模型
1、简介
高为h、宽为d 的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B 中，当电流通过导体时，在导体的上
表面A 和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
2、图例
3、原理
电势高低的判断：如图所示，导体中的电流I 向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下
表面A′的电势高；若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低。
霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷
所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由
q U
h =qvB
，I=nqvS ，
S=hd ，联立解得
U= BI
naq =k BI
d
。
霍尔系数：k= 1
nq 。
利用霍尔效应制作的霍尔元件广泛应用于测量和自动控制等领域，如图是霍尔元件的工作原理示意图。
磁感应强度B 垂直于用金属材料制成的霍尔元件的表面向下，通入图示方向的电流I，C、D 两端会形
成电势差
，电子的电荷量为e，导体中单位体积内的电子数为n，垂直于电流的侧面长宽分别为
h、d。则下列说法正确的是（ ）
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A．C 端电势一定高于D 端电势 B．载流子所受电场力的大小为
C．仅增大电流I，
的绝对值将增大 D．仅增大d，
的绝对值将增大
【答案】BC
【详解】A．因霍尔元件材料为金属，金属中可自由移动的是电子，电子受洛伦兹力向左，即电子会打
到C 端，故有
，C 端电势低于D 端电势，故A 错误；
B．根据电场强度定义式可得F=Ee，又因
，电子受电场力大小为
，故B 正确；
CD．当霍尔元件状态稳定时，根据平衡条件，有
，其中
，解得
，仅增
大电流I，
增大；仅增大d，
减小，故C 正确，D 错误。
44
