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专题09 静电场
考点内容
要
求
考情
电荷及其守恒定律
c
2020·浙江1 月选考·13、2021·湖南卷·4、2022·山东卷·3
2022·河北卷·6、2023·北京卷·8、2021·北京卷·9
2019·全国卷Ⅰ·15、2023·广东卷·9、2022·全国乙卷·19
2020·全国卷Ⅲ·21、2023·湖北卷·3、2022·浙江1 月选考·10
2020·浙江7 月选考·8、2018·浙江4 月选考·11、2021·浙江6 月选考
·3
2022·北京卷·9、2022·重庆卷·2、2022·北京卷·18
2019·浙江4 月选考·10、2020·浙江1 月选考·7、2020·浙江7 月选考
·6
库仑定律
c
电场强度
c
电势能、电势、电势差
c
电势差与电场强度的关系
c
静电场中的导体
b
电容器及电容
c
1
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2021·全国乙卷·20、2022·浙江6 月选考·9、2022·辽宁卷·14
2023·全国卷乙·6、2023·浙江1 月选考·12
带电粒子在电场中的运动
d
学
习
目
标
1.了解静电现象，知道两种电荷及其相互作用的规律，知道三种起电方式的本质，能用电荷守恒的观点
分析静电现象，知道电荷的最小单位及元电荷.
2.知道点电荷模型，掌握并会应用库仑定律，会计算两点电荷之间的相互作用，会利用库能力的叠加规
则计算多个点电荷之间的相互作用力，能结合力学解决库仑力作用下的电力平衡问题.
3.知道电场的概念，掌握电场强度的概念和公式，会用电场线描述电场，熟悉几种常见电荷 的电场线
分布特点，掌握电场强度叠加的求解方法．
4.知道静电场中的电荷具有电势能，理解电势能、电势的含义，掌握静电力做功与电势能变化的关系.
5.掌握匀强电场中电势差及其与电场强度的关系.
6.知道静电场中导体的特性，了解静电平衡状态下导体内电荷的分布特点，了解静电屏蔽、尖端放电，
知道静电的防止与利用．
7.知道电容的定义及其定义式，了解常见电容器及其分类，了解电容器的充电、放电过程，会计算电容
器充、放电电荷量.
8.了解影响平行板电容器电容大小的因素，能利用公式判断平行板电容器电容的变化.
9.会利用动力学、功能观点分析带电粒子在电场中的直线运动，掌握带电粒子在电场中的偏转规律，会
利用动力学、功能观点分析带电粒子在电场中的偏转.
10.掌握带电粒子在电场和重力场的复合场中的运动规律，会分析、计算带电粒子在交变电场中的偏转
问题．
11.会用动力学、能量和动量观点分析带电粒子的力电综合问题．
12.能解决电场中各种图像问题，理解图像斜率、面积等表示的物理意义并能解决相关问题．
知识点01 电荷及其守恒定律................................................................................................................................... 3
一、电荷..............................................................................................................................................................3
二、元电荷..........................................................................................................................................................4
三、电荷守恒定律..............................................................................................................................................4
知识点02 库仑定律................................................................................................................................................... 4
一、点电荷..........................................................................................................................................................4
二、库仑定律......................................................................................................................................................4
三、三个电荷的平衡问题.................................................................................................................................. 5
知识点03 电场力的性质........................................................................................................................................... 6
一、电场..............................................................................................................................................................6
二、电场强度......................................................................................................................................................7
三、电场线........................................................................................................................................................11
四、匀强电场....................................................................................................................................................14
五、静电力作用下的力学问题........................................................................................................................ 15
知识点04 电场能的性质......................................................................................................................................... 15
一、静电力做功................................................................................................................................................15
二、电势能........................................................................................................................................................16
三、电势............................................................................................................................................................18
2
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四、电势差U （电场中两点间电势的差值）...............................................................................................19
五、电场强度与电势差的关系........................................................................................................................ 19
六、等势面........................................................................................................................................................20
七、电场中的功能关系....................................................................................................................................23
八、电场中的图像问题....................................................................................................................................23
知识点05 静电场中的导体..................................................................................................................................... 25
一、静电平衡....................................................................................................................................................25
二、尖端放电....................................................................................................................................................26
三、静电屏蔽....................................................................................................................................................26
四、电容器及电容............................................................................................................................................27
五、电容两类典型问题....................................................................................................................................28
知识点06 带电粒子在电场中的运动.....................................................................................................................29
一、带电粒子(带电体)在电场中的直线运动..................................................................................................29
二、带电粒子在电场中的偏转........................................................................................................................ 31
三、带电粒子在加速、偏转中的运动............................................................................................................35
四、等效思想在复合场中的应用.................................................................................................................... 35
五、带电粒子在交变电场中的运动................................................................................................................37
六、电场中的力电综合问题............................................................................................................................ 38
七、示波管........................................................................................................................................................39
知识点01 电荷及其守恒定律
一、电荷
1.自然界中存在两种电荷:正电荷与负电荷.
2.电荷间的相互作用：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引．
3．电荷量：电荷的多少，用Q 或q 表示，国际单位制中的单位是库仑，符号是C.正电荷的电荷量为
正值，负电荷的电荷量为负值．
2.三种起电方式：
①摩擦起电：由于摩擦而使物体带电的方式．用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电，用丝绸摩擦过的玻
璃棒带正电．
【技巧点拨】当两种物质组成的物体互相摩擦时，一些受束缚较弱的电子会转移到另一个物
体上．于是，原来电中性的物体由于得到电子而带负电，失去电子的物体则带正电．
②感应起电：当一个带电体靠近导体时，由于电荷间相互吸引或排斥，导体中的自由电荷便会趋
向或远离带电体，使导体靠近带电体的一端带异种电荷，远离带电体的一端带同种电荷，这种现象叫
作静电感应．利用静电感应使金属导体带电的过程叫感应起电。
③接触起电
3
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接触起电的电荷分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，
二者带等量同种电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分．
【技巧点拨】无论哪种起电方式，发生转移的都是电子，正电荷不会发生转移．
二、元电荷
1．元电荷：最小的电荷量，e＝1.60×10－19C，由密立根测得．所有带电体的电荷量都是e 的整数倍．
2．比荷：带电粒子的电荷量与其质量的比值．．
三、电荷守恒定律
1.内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分
转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变．
2.电荷守恒定律的另一表述：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变．
知识点02 库仑定律
一、点电荷
1.定义：如果带电体本身的线度比相互作用的带电体之间的距离小得多，以致带电体的体积和形状对
相互作用力的影响可以忽略不计时，这种带电体就可以看成点电荷，
【技巧点拨】
①点电荷自身不一定很小，所带电荷量也不一定很少．
②点电荷是一种理想化的模型
二、库仑定律
1.内容：在真空中两个点电荷间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成
反比，作用力的方向在它们的连线上.
2.公式:
F=k Q1Q2
r2
，式中k=9×109 N⋅m2/C2
叫静电力常量.
3.适用条件：真空中的静止点电荷．
①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式．
②当两个带电体间的距离远大于其本身的大小时，可以把带电体看成点电荷．
4.库仑力的方向：由相互作用的两个带电体决定，即同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引．
【技巧点拨】
①两个点电荷之间的相互作用力是一对作用力和反作用力,等大、反向
②对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r 为球心间的距离．
③不能根据公式错误地认为r→0 时，库仑力F→∞，因为当r→0 时，两个带电体已不能看
成点电荷了
④对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布．
Ⅰ、同种电荷：
F<k q1q2
r2
；Ⅱ、异种电荷：
F>k q1q2
r2
.
4
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5.两点电荷间的库仑力与周围是否存在其他电荷无关，两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，
等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和．
三、三个电荷的平衡问题
1.其中两个固定：
①平衡的条件：中间点受到另外两个点电荷的合力为零或中间点电荷处于另外两个点电荷产生的
合电场强度为零的位置．
②解题思路：根据平衡条件对中间的点电荷列式即可
③特点
Ⅰ、位置：三点共线、近小远大
Ⅱ、电性：无要求
Ⅲ、电荷量：无要求
2.三个均为自由电荷：
①平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产
生的合电场强度为零的位置．
②解题思路：只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的任
意两个电荷列式即可
③特点
Ⅰ、位置：三点共线、近小远大
Ⅱ、电性：两同夹异
Ⅲ、电荷量：两大夹小
5
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知识点03 电场力的性质
一、电场
1.定义：带电体周围存在的一种物质，是电荷间相互作用的媒体.
【技巧点拨】电场是客观存在的，电场具有力的特性和能的特性.
2.基本性质：对放入其中的电荷有力的作用．
二、电场强度
1.定义：放入电场中某一点的电荷受到的电场力跟它的电荷量的比值，叫做这一点的电场强度.
2.
定义式:
E= F
q
【技巧点拨 】电场强度三个表达式的比较
表达式
E= F
q
E=k Q
r2
E=U
d
公式意义
电场强度定义式
真空中点电荷的电场强度决定式匀强电场中E 与U 的关系式
适用条件
一切电场
①真空 ②点电荷
匀强电场
【实战演练】
(2020·浙江1 月选考·13)如图所示，在倾角为α 的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲
度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A 球连接．A、B、C 三小球的质量均为M，qA＝q0>0，qB＝
－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列．已知静电力常量为k，重力加速度为g，则( )
A．qC＝q0 B．弹簧伸长量为
C．A 球受到的库仑力大小为2Mg D．相邻两小球间距为q0
【答案】A
【解析】对C 球受力分析可知，C 球带正电荷，沿斜面方向有Mgsin α＋k＝k.对B 球受力分析如图所
示，
根据受力平衡得k＝k＋Mgsin α，联立解得qC＝q0，r＝，选项A 正确，D 错误；对三个球整体受力分
析知F 弹＝k0x＝3Mgsin α，故x＝，选项B 错误；对A 球受力分析有Mgsin α＋F 库＝k0x，得F 库＝
2Mgsin α，故C 错误．
6
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决定因素
由电场本身决定,
与检验电荷无关
由场源电荷和场源电荷到该点的
距离r 共同决定
由电场本身决定,d 为电场中
两点沿电场方向的距离
3.方向:电场强度是矢量，正电荷在该点受力方向.
4.电场强度的叠加：电场强度是矢量，当空间的电场是由几个点电荷共同激发的时候，空间某点的电
场强度等于每个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和(叠加时遵循平行四边形定则).
【技巧点拨】特殊电场的场强计算
①等效法：在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q 与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，
如图甲、乙所示．
【实战演练】
(2021·湖南卷·4)如图，在(a,0)位置放置电荷量为q 的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q 的负点电
荷，在距P(a，a)为a 的某点处放置正点电荷Q，使得P 点的电场强度为零．则Q 的位置及电荷量分别
为( )
A．(0,2a)，q B．(0,2a)，2q C．(2a,0)，q D．(2a,0)，2q
【答案】B
【解析】根据点电荷电场强度公式E＝k，两异种点电荷在P 点的电场强度大小均为E0＝，方向如图所
示，
两异种点电荷在P 点的合电场强度大小为E1＝E0＝，方向与＋q 点电荷和－q 点电荷的连线平行，如图
所示，
Q 点电荷在P 点的电场强度大小为E2＝k＝，
由于三个点电荷在P 处的合电场强度为0，则E2的方向应与E1的方向相反，且大小相等，即有E1＝E2，
解得Q＝2q，
由几何关系可知Q 的坐标为(0,2a)，故选B.
7
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②对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大
为简化．
例如：如图13 所示，均匀带电的球壳在O 点产生的场强，等效为弧BC 产生的场强，弧BC 产生的
场强方向，又等效为弧的中点M 在O 点产生的场强方向．
③填补法：将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难
为易、事半功倍．
【小结】①点电荷电场、匀强电场场强叠加一般应用合成法即可．
②均匀带电体与点电荷场强叠加一般应用对称法．
③计算均匀带电体某点产生的场强一般应用补偿法或微元法．
8
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【实战演练】
(2022·山东卷·3)半径为R 的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O 点，环上均匀分布着电量为Q 的
正电荷．点A、B、C 将圆环三等分，取走A、B 处两段弧长均为ΔL 的小圆弧上的电荷．将一点电荷q
置于OC 延长线上距O 点为2R 的D 点，O 点的电场强度刚好为零．圆环上剩余电荷分布不变，q 为(
)
A．正电荷，q＝
B．正电荷，q＝
C．负电荷，q＝
D．负电荷，q＝
【答案】C
【解析】取走A、B 处两段弧长均为ΔL 的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O 点产生的电场
强度为与A 在同一直径上的A1和与B 在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两
段弧长非常小，故可看成点电荷，则有E1＝k＝k，由题意可知，两电场强度方向的夹角为120°，由几
何关系得两者的合电场强度大小为E＝E1＝k，根据O 点的合电场强度为0，则放在D 点的点电荷带负电，
在O 点产生的电场强度大小为E′＝E＝k，又E′＝k，联立解得q＝，故选C.
9
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三、电场线
1.定义：在电场中画出一系列的从正电荷出发到负电荷终止的曲线，使曲线上每一点的切线方向都跟
该点的场强方向一致，这些曲线叫做电场线.
2.电场线的性质:
①电场线是起始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处）;
②电场线的疏密反映电场的强弱，电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小;
③正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反．
④沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏处降低更快．
⑤电场线不相交;
⑥电场线不是真实存在的;
⑦电场线不一定是电荷运动轨迹.
3.常见电荷的电场线分布
【实战演练】
(2022·河北卷·6)如图，真空中电荷量为2q 和－q(q>0)的两个点电荷分别位于M 点与N 点，形成一个以
MN 延长线上O 点为球心，电势为零的等势面(取无穷远处电势为零)，P 为MN 连线上的一点，S 为等
势面与直线MN 的交点，T 为等势面上的一点，下列说法正确的是( )
A．P 点电势低于S 点电势
B．T 点电场强度方向指向O 点
C．除无穷远处外，MN 直线上还存在两个电场强度为零的点
D．将正试探电荷q0从T 点移到P 点，静电力做正功
【答案】B
【解析】在直线MN 上，左边正电荷在MN 之间电场强度水平向右，右边负电荷在MN 之间电场强度水平
向右，根据电场的叠加可知MN 间的电场强度水平向右，沿着电场线电势逐渐降低，可知P 点电势高于
等势面与MN 交点处电势，则P 点电势高于S 点电势，故A 错误；由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷
量，可知在N 点的左侧电场强度不可能为零，设M、N 之间的距离为L，在N 点右侧与N 点距离为d 的点
电场强度为零，则有＝，可知除无穷远处外，直线MN 上电场强度为零的点只有一个，故C 错误；由A
选项分析可知：T 点电势低于P 点电势，则正电荷在T 点的电势能低于在P 点的电势能，将正试探电荷
q0从T 点移到P 点，电势能增加，静电力做负功，故D 错误；由于电场强度方向垂直等势面，可知T 点
的电场强度方向必过等势面的球心O，根据异种点电荷的电场线分布情况可知，N、S 间电场线方向由S
指向N，则φS>φO，由于φT＝φS，则φT>φO，故T 点电场强度方向指向O 点，故B 正确．
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【技巧点拨】等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线的分布图
连线上的场强
沿连线先变小后变大,中点
O 处的电场强度最小
沿连线先变小后变大,中点
O 处的电场强度为零
中垂线上的电场强度
O 点最大，向外逐渐变小
O 点最小，向外先变大后变
小
关于O 点对称点的场强
(如A 与A′、B 与
B′、C 与C′等)
等大同向
等大反向
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【实战演练】
(2023·北京卷·8)如图所示，两个带等量正电的点电荷位于M、N两点上，E、F是MN连线中垂线上的
两点，O为EF、MN的交点，EO=OF。一带负电的点电荷在E点由静止释放后( )
A. 做匀加速直线运动
B. 在O点所受静电力最大
C. 由E到O的时间等于由O到F的时间
D. 由E到F的过程中电势能先增大后减小
【答案】C
【解析】解：A、两等量正点电荷周围部分电场线如图所示：
根据图像可知，E到O之间的电场肯定不是匀强电场，带负电的点电荷受到的电场力是变力，根据牛顿
第二定律可得加速度是变化的，所以点电荷不可能做匀加速直线运动，故A 错误；
B、在O点的电场强度为零，根据F =qE可知，点电荷在O点所受静电力为零，故B 错误；
C、带负电的点电荷在E点由静止释放后，根据对称性可知，其将以O点为对称中心做往复运动，由E
到O的时间等于由O到F的时间，故C 正确；
D、点电荷从E到O电场力做正功，电势能减小，动O到F，电场力做负功，电势能增大，所以由E到F
的过程中，点电荷的电势能先减小后增大，故D 错误。
12
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【技巧点拨】由电场线求电场强度与电势
①知道由几个点的电势确定电场线的方法:将电势最高的点和电势最低的点相连,根据在匀强电场中
经过相等的距离电势差相等,确定连线上与第三个点的电势相等的点,电势相等的两点的连线为等势线,根
据电场线与等势线垂直即可画出电场线.
②用上述方法,等势面间的距离计算比较困难时,匀强电场的场强也可以用矢量合成的方法求,即先
求出两个相互垂直的方向上的分场强,再矢量合成.
四、匀强电场
1 定义：在电场中，如果各点的场强的大小和方向都相同，这样的电场叫匀强电场.
2.匀强电场中电场线的特点：间距相等且互相平行的直线.
五、静电力作用下的力学问题
1．涉及静电场中的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了
【实战演练】
(2021·北京卷·9)如图所示的平面内，有静止的等量异号点电荷，M、N两点关于两电荷连线对称，M、
P两点关于两电荷连线的中垂线对称。下列说法正确的是( )
A. M点的场强比P点的场强大
B. M点的电势比N点的电势高
C. N点的场强与P点的场强相同
D. 电子在M点的电势能比在P点的电势能大
【答案】C
【解析】
A. 如图所示M点和P点电场线的疏密程度相同，M和P点电场强度大小相同，故A错误。
B. M点和N点到正负电荷的距离都相同，它们位于同一个等势面上，电势相同，故B错误。
C .如上图所示MNP三点电场线疏密程度，场强大小相同，其中N点和P点的方向相同，故C正确。
D.沿电场线方向电势逐渐减小，M点电势大于P点电势，电子带负电，负电荷在电势越低的地方电势
能越大，故电子在P点电势能大于M点电势能，故D错误。
13
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静电力
2.解题思路
①确定研究对象，根据问题选择“整体法”或“隔离法”确定研究对象。
②受力分析：按照重力、弹力、摩擦力、静电力（
F=k q1q2
r2
、
F=Eq ）……顺序分析力
②列方程：根据平衡条件（F合=0）或牛顿第二定律（F合=ma ）列方程。
知识点04 电场能的性质
一、静电力做功
1.特点：静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．
2.求电场力做功的四种方法
①利用功的定义：W AB =qEl cosα ，仅适用于匀强电场．
②电势差的关系：W AB =qU AB ，仅适用于任何电场．
③与电势能变化关系：W AB =−ΔEP ．
④动能定理：W 电场力+W 其他力=ΔEk
二、电势能
1.定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．
【技巧点拨】电势能具有相对性，通常把无限远处或大地表面的电势能规定为零
2.静电力做功与电势能变化的关系
①静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即W AB =−ΔEP .静电力对电荷做多少正功，电荷电
【实战演练】
(2019·全国卷Ⅰ·15)如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P 和Q 用相同的绝缘细
绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P 和Q 都带正电荷 B．P 和Q 都带负电荷
C．P 带正电荷，Q 带负电荷 D．P 带负电荷，Q 带正电荷
【答案】D
【解析】对P、Q 整体进行受力分析可知，在水平方向上整体所受静电力为零，所以P、Q 必带等量异
种电荷，选项A、B 错误；对P 进行受力分析可知，Q 对P 的静电力水平向右，则匀强电场对P 的静电
力应水平向左，所以P 带负电荷，Q 带正电荷，选项C 错误，D 正确．
14
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势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．
②电势能的大小：由W AB =EPA−EPB 可知，若令EPB =0 ，则EPA=W AB ，即一个电荷在
电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零势能位置过程中静电力所做的功．
【技巧点拨】判断电势能变化的两种方法
①根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．
②根据Ep＝qφ：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．
【实战演练】
(2023·广东卷·9)电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然
光的照射下呈现出不同颜色。透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素。如图所示，胶囊
中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒。当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移(
每个微粒电量保持不变)，像素由黑色变成白色。下列说法正确的有( )
A. 像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势
B. 像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
C. 像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功
D. 像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功
【答案】AC
【解析】解：AB、根据题意可知，像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的
电势；像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故A 正确，B 错误；
CD、像素由黑变白的过程中，黑色微粒受到向下的电场力，位移向下，白色微粒受到向上的电场力，
位移向上，所以电场力对白色和黑色微粒都做正功，故C 正确，D 错误；
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【实战演练】
(2022·全国乙卷·19)(多选)如图，两对等量异号点电荷＋q、－q(q>0)固定于正方形的4 个顶点上．L、N
是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O 为内切圆的圆心，M 为切点．则( )
A．L 和N 两点处的电场方向相互垂直
B．M 点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C．将一带正电的点电荷从M 点移动到O 点，电场力做正功
D．将一带正电的点电荷从L 点移动到N 点，电场力做功为零
【答案】AB
【解析】两个正点电荷在N 点产生的电场强度方向由N 指向O，N 点处于两负点电荷连线的中垂线上，
则两负点电荷在N 点产生的电场强度方向由N 指向O，则N 点的合电场强度方向由N 指向O，同理可知，
两个负点电荷在L 处产生的电场强度方向由O 指向L，L 点处于两正点电荷连线的中垂线上，两正点电
荷在L 处产生的电场强度方向由O 指向L，则L 处的合电场强度方向由O 指向L，由于正方形两对角线
垂直平分，则L 和N 两点处的电场方向相互垂直，故A 正确；正方形底边的一对等量异号点电荷在M 点
产生的电场强度方向向左，而正方形上方的一对等量异号点电荷在M 点产生的电场强度方向向右，由
于M 点离上方一对等量异号点电荷距离较远，则M 点的电场方向向左，故B 正确；由题图可知，M 和O
点位于两等量异号点电荷的等势线上，即M 和O 点电势相等，所以将一带正电的点电荷从M 点移动到O
点，电场力做功为零，故C 错误；由题图结合等量异号点电荷模型可知，L 点的电势低于N 点电势，则
将一带正电的点电荷从L 点移动到N 点，电场力做功不为零，故D 错误．
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三、电势
1.定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值φ = EP
q
2.电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．
3.相对性：电势是个相对的量，某点的电势与零电势点的选取有关（通常取离电场无穷远处或大地的
电势为零电势）．
4.沿着电场线的方向，电势越来越低
【技巧点拨】电势高低的四种判断方法
①电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低．
②电势差与电势的关系：根据
U AB =W AB
q
=Φ A−ΦB ，将W AB 、q的正负号代入，由UAB
的正负判断ΦA、ΦB 的高低．
③Ep与φ 的关系：由φ＝知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
④场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围
电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．空间中有多个点电荷时，某点的电势
【实战演练】
(2020·全国卷Ⅲ·21)(多选)如图，∠M 是锐角三角形PMN 最大的内角，电荷量为q(q>0)的点电荷固定在
P 点．下列说法正确的是( )
A．沿MN 边，从M 点到N 点，电场强度的大小逐渐增大
B．沿MN 边，从M 点到N 点，电势先增大后减小
C．正电荷在M 点的电势能比其在N 点的电势能大
D．将正电荷从M 点移动到N 点，电场力所做的总功为负
【答案】BC
【解析】该点电荷形成的电场过M、N 两点的等势面如图所示．距P 越近，电场强度越大，沿MN 边，从
M 点到N 点，与P 点的距离先变小后变大，电场强度先增大后减小，故A 错误；沿电场线方向电势降低，
沿MN 边，从M 点到N 点，电势先增大后减小，故B 正确；由图可知，M 点电势高于N 点电势，根据Ep＝
qφ 知，正电荷在M 点的电势能大于在N 点的电势能，故C 正确；将正电荷从M 点移动到N 点，即从高
电势移动到低电势，电场力所做的总功为正，故D 错误．
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可以代数求和．
四、电势差U （电场中两点间电势的差值）
电荷在电场中由一点A 移动到另一点B 时，电场力所做的功W AB 与电荷量q 的比值
W AB
q
叫做AB 两点
间的电势差,
U AB =W AB
q
．
【技巧点拨】
①电势差有正负: U AB=−U BA ，一般常取绝对值，写成U
②电势差与电势的关系: U AB =Φ A−ΦB ，U AB =−U BA .
五、电场强度与电势差的关系
1.电场强度与电势差的关系:
E=U
d
2.由
E=U
d 可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB 的中点C 的电势
ΦC= Φ A+ΦB
2
，
推论2 匀强电场中若两线段AB //CD ，且AB =CD ，则U AB =U CD (或
Φ A−ΦB=ΦC−ΦD )
3．
E=U
d 在非匀强电场中的三点妙用
①判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大．
②判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E 越大，U 越大，进而判断电
势的高低．
③利用φ－x 图象的斜率判断电场强度随位置变化的规律：
k=ΔΦ
Δx =U
d =Ex ，斜率的大小
表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向．
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六、等势面
1.电场中电势相等的点构成的面叫做等势面.
【技巧点拨】
①等势面上各点电势相等，在等势面上移动电荷电场力不做功.
②等势面一定跟电场线垂直，而且电场线总是由电势较高的等势面指向电势较低的等势面.
③画等势面（线）时，一般相邻两等势面（或线）间的电势差相等.这样，在等势面（线）
密处场强大，等势面（线）疏处场强小
④任意两个等势面都不相交
2.几种典型电场的电场线和等势线(面)
电场
等势线(面)
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
连线的中垂线上电势处处为零
等量正点电荷的电场
两点电荷连线上,中点的电势最低;
中垂线上,中点的电势最高
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【实战演练】
(2023·湖北卷·3)在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点，其电势分别为φM、φN，电场强度大小分别
为EM、EN。下列说法正确的是( )
A. 若φM >φN，则M点到电荷Q的距离比N点的远
B. 若EM < EN，则M点到电荷Q的距离比N点的近
C. 若把带负电的试探电荷从M点移到N点，电场力做正功，则φM <φN
D. 若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则EM > EN
【答案】C
【解析】解：正点电荷产生的电场中，电场线的方向背离正电荷指向无穷远，如图所示：
A、若φM >φN，根据沿电场线方向电势降低可知，M点到点电荷Q的距离比N点的近，故A 错误；
B、若EM < EN，根据E = kQ
r
2 ，可知M点到点电荷Q的距离比N点的远，故B 错误；
C、若把带负电的试探电荷从M点移到N点，电场力做正功，则带负电的试探电荷的电势能减小，所
处位置的电势升高，故有：φM <φN，故C 正确；
D、若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，说明带正电的试探电荷靠近Q运动，则N
点距离点电荷Q近，有：EM < EN，故D 错误。
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【实战演练】
(2022·浙江1 月选考·10)某种气体—电子放大器的局部结构是由两块夹有绝缘介质的平行金属薄膜构成，
其上存在等间距小孔，其中相邻两孔截面上的电场线和等势线的分布如图所示．下列说法正确的是(
)
A．a 点所在的线是等势线
B．b 点的电场强度比c 点大
C．b、c 两点间的电势差的值比a、c 两点间的大
D．将电荷沿图中的线从d→e→f→g 移动时电场力做功为零
【答案】C
【解析】因上下为两块夹有绝缘介质的平行金属薄膜，则a 点所在的线是电场线，选项A 错误；因c 点
的电场线较b 点密集，则c 点的电场强度比b 点大，选项B 错误；因b、c 两点所处的线为两相邻的等
势线，可知b、c 两点间的电势差的值比a、c 两点间的大，选项C 正确；因d、g 两点在同一电场线上，
电势不相等，则将电荷沿图中的线从d→e→f→g 移动时电场力做功不为零，选项D 错误．
【实战演练】
(2020·浙江7 月选考·8)空间P、Q 两点处固定电荷量绝对值相等的点电荷，其中Q 点处为正电荷，P、
Q 两点附近电场的等势线分布如图所示，a、b、c、d、e 为电场中的5 个点，设无穷远处电势为0，则(
)
A．e 点的电势大于0
B．a 点和b 点的电场强度相同
C．b 点的电势低于d 点的电势
D．负电荷从a 点移动到c 点时电势能增加
【答案】D
【解析】由题图可知，P、Q 处固定等量异种电荷，则两电荷连线中垂线为等势线且电势为0，e 在该等
势线上，故e 点电势为0，故A 错误；a、b 两点电场强度大小相等，但方向不同，故B 错误；Q 处固定
正点电荷，则P 处固定负点电荷，所以φb>0，φd<0，故b 点电势高于d 点电势，故C 错误；负电荷从
a 移动到c，电势降低，由Ep＝qφ 知，电势能增加，故D 正确．
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七、电场中的功能关系
1.电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关.
计算方法有:由公式W =qE cosθ 计算（此公式只适合于匀强电场中），或由动能定理计算.
2.只有电场力做功，电势能和电荷的动能之和保持不变.
3.只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变.
八、电场中的图像问题
1. E-x 图像
①E－x 图象反映了电场强度随位移变化的规律，E>0 表示电场强度沿x 轴正方向；E<0 表示电场
强度沿x 轴负方向．
②E－x 图线与x 轴所围图形“面积”表示电势差，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子
运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
③电场中常见的E－x 图象
Ⅰ、点电荷的E－x 图象：正点电荷及负点电荷的电场强度E 随坐标x 变化关系的图象大致如
图所示．
Ⅱ、两个等量异种点电荷的E－x 图象，如图所示.
Ⅲ、两个等量同种点电荷的E－x 图象，如图所示.
2.φ-x 图像
①φ-x 图像的斜率的绝对值等于电场强度的大小,在φ-x 图像切线的斜率为零处,电场强度为零.
如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场，电场强度为零处φ－x
图线存在极值，其切线的斜率为零．
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②由φ-x 图像可以直接判断各点电势的大小,并可根据电势大小关系确定电场强度的方向
，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．
③在φ-x 图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB分析WAB的正负,然后作出判断.
④电场中常见的φ－x 图象
Ⅰ、点电荷的φ－x 图象(取无限远处电势为零)，如图所示.
Ⅱ、两个等量异种点电荷连线上的φ－x 图象，如图所示.
Ⅲ、两个等量同种点电荷的φ－x 图象，如图所示.
3. Ep 电-x 图像、Ek-x 图像
①Ep 电-x 图线的斜率表示电场力,纵轴截距表示初电势能.
②Ek-x 图线的斜率表示合外力,纵轴截距表示初动能.
③根据两图线斜率的变化可判断出电场力的变化,进而判断出电场强度的变化.
4.电场分布结合v-t 图像
根据v-t 图像的速度变化、斜率变化(即加速度的变化),可确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小
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变化情况,进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化.
知识点05 静电场中的导体
一、静电平衡
1.定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场的电场强度在导体内部大小相等且方向相反，使得叠
加电场强度为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体达到静电平衡状态．
2.处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的电场强度处处为零．
②导体是一个等势体，导体表面是等势面．
③导体表面处的电场强度方向与导体表面垂直．
④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上．
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度
( 单位面积上的电荷量
) 越大
，凹陷的位置几乎没有
净电荷．
二、尖端放电
导体尖端周围电场使空气电离，电离出的与导体尖端电荷符号相反的电荷与尖端的电荷中和，相当于
导体从尖端失去电荷．
【实战演练】
(2018·浙江4 月选考·11)一带电粒子仅在电场力作用下从A 点开始以－v0做直线运动，其v－t 图像如图
所示．粒子在t0时刻运动到B 点，3t0时刻运动到C 点，下列判断正确的是( )
A．A、B、C 三点的电势关系为φB>φA>φC
B．A、B、C 三点的场强大小关系为EC>EB>EA
C．粒子从A 点经B 点运动到C 点，电势能先增加后减少
D．粒子从A 点经B 点运动到C 点，电场力先做正功后做负功
【答案】C
【解析】由v－t 图像知带电粒子在0～t0时间内做减速运动，电场力做负功，电势能增大；在t0～3t0
时间内反方向做加速运动，电场力做正功，电势能减小，所以C 正确，D 错误；因为不知道带电粒子电
性，本题中无法判断电势的高低，所以A 错误；v－t 图像中斜率表示带电粒子的加速度，Eq＝ma，可
知A、B、C 三点中EB最大，所以B 错误．
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三、静电屏蔽
处于电场中的空腔导体或金属网罩，其空腔部分的场强处处为零，即能把外电场遮住，使内部不受外
电场的影响，这就是静电屏蔽.
1.屏蔽外部电场使其不影响内部
2.屏蔽内部电场使其不影响外部
四、电容器及电容
1．电容器
①组成：由两个彼此绝缘又相距很近的导体组成．
②带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值．
2.电容器的充、放电：
①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能．
②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能．
【实战演练】
(2021·浙江6 月选考·3)如图所示，在火箭发射塔周围有钢铁制成的四座高塔，高塔的功能最有可能的是
( )
A．探测发射台周围风力的大小 B．发射与航天器联系的电磁波
C．预防雷电击中待发射的火箭 D．测量火箭发射过程的速度和加速度
【答案】C
【解析】在火箭发射塔周围有钢铁制成的四座高塔，因铁制的高塔有避雷作用，其功能是预防雷电击
中发射的火箭，故C 项正确．
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3．电容
①定义：电容器所带的电荷量与电容器两极板间的电势差的比值．
②定义式：
C= Q
U
C
或
= ΔQ
ΔU .
③单位：法拉(F)、微法(μF)、皮法(pF).1F=106 μF ，1μF=106 pF .
④意义：表示电容器容纳电荷本领的高低．
⑤决定因素：电容器的电容是反映电容本身贮电特性的物理量，由电容器本身的介质特性与几何
尺寸决定，与电容器是否带电、带电荷量的多少、板间电势差的大小等均无关．
4．平行板电容器的电容
①决定因素：正对面积、相对介电常数、两板间的距离．
【实战演练】
(2022·北京卷·9)利用如图所示电路观察电容器的充、放电现象，其中E为电源，R为定值电阻，C为电
容器，A为电流表，V 为电压表。下列说法正确的是( )
A. 充电过程中，电流表的示数逐渐增大后趋于稳定
B. 充电过程中，电压表的示数迅速增大后趋于稳定
C. 放电过程中，电流表的示数均匀减小至零
D. 放电过程中，电压表的示数均匀减小至零
【答案】B
【解析】A.充电过程中，随着电容器 C 两极板电荷量的积累，电路中的电流逐渐减小，电容器充电
结束后，电流表示数为零，A 错误；
B.充电过程中，随着电容器 C 两极板电荷量的积累，电压表测量电容器两端的电压，电容器两端的
电压迅速增大，电容器充电结束后，最后趋于稳定，B 正确；
CD .电容器放电的 I −t 图像如图所示
可知电流表和电压表的示数不是均匀减小至0的，CD 错误。
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②决定式：
C=
εS
4 π kd .
【技巧点拨】
C ∝εS
d .在分析平行板电容器有关物理量变化情况时，往往需将
C= Q
U
、
C ∝εS
d 和U =Ed 结合在一起加以考虑，其中
C= Q
U 反映了电容器本身的属性，是定义式，适用于
各种电容器;
C ∝εS
d ，表明了平行板电容器的电容决定于哪些因素，仅适用于平行板电容器;若电容器
始终连接在电池上，两极板的电压不变.若电容器充电后，切断与电池的连接，电容器的带电荷量不变.
五、电容两类典型问题
1.电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U 保持不变．
2.电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q 保持不变．
3．动态分析思路
①U 不变
Ⅰ、根据
C= Q
U
、
C=
εS
4 π kd 先分析电容的变化，再分析Q 的变化．
Ⅱ、根据
E=U
d 分析场强的变化．
Ⅲ、根据U AB =Ed 分析某点电势变化．
【实战演练】
(2022·重庆卷·2)如图为某同学采用平行板电容器测量材料竖直方向尺度随温度变化的装置示意图，电
容器上极板固定，下极板可随材料尺度的变化上下移动，两极板间电压不变．若材料温度降低时，极
板上所带电荷量变少，则( )
A．材料竖直方向尺度减小 B．极板间电场强度不变
C．极板间电场强度变大 D．电容器电容变大
【答案】A
【解析】根据题意可知极板之间电压U 不变，极板上所带电荷量Q 变少，根据电容定义式C＝可知，电
容器的电容C 减小，D 错误；根据电容的决定式C＝可知，极板间距d 增大，极板之间形成匀强电场，
根据E＝可知，极板间电场强度E 减小，B、C 错误；极板间距d 增大，材料竖直方向尺度减小，A 正
确．
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②Q 不变
Ⅰ、根据
C= Q
U
、
C=
εS
4 π kd 先分析电容的变化，再分析U 的变化．
Ⅱ、根据
E=U
d = 4 kπQ
εS
分析场强变化．
知识点06 带电粒子在电场中的运动
一、带电粒子(带电体)在电场中的直线运动
1.做直线运动的条件
①粒子所受合外力F合=0 ，粒子静止或做匀速直线运动．
②粒子所受合外力F合≠0 且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动．
2.用动力学观点分析：
a= q
m ，E=U
d ，vt
2−v0
2=2ad
3.用功能观点分析
①匀强电场中：
W =Eqd =qU =1
2 mv t
2−1
2 mv 0
2
②
非匀强电场中：
W =qU =1
2 mv t
2−1
2 mv 0
2
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【
实战演练】
(2022·北京卷·18)如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为
m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
(1)求带电粒子所受的静电力的大小F；
(2)求带电粒子到达N板时的速度大小v；
(3)若在带电粒子运动d
2 距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
【答案】(1) F =q U
d ；(2) v =√
2qU
m
；(3) t = 3d
2 √
m
qU
【解析】(1)两极板间的场强E = U
d
带电粒子所受的静电力F =qE =q U
d
(2)带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有qU = 1
2 m v
2
解得v =√
2qU
m
(3)设带电粒子运动 d
2 距离时的速度大小为v ′，根据功能关系有q U
2 = 1
2 mv ′
2
带电粒子在前 d
2 距离做匀加速直线运动，后 d
2 距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有
d
2 = v ′
2 t1 ， d
2 = v ′ t2
则该粒子从M板运动到N板经历的时间t =t1+t2= 3d
2 √
m
qU
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二、带电粒子在电场中的偏转
1.带电粒子以垂直匀强电场的场强方向进入电场后，做类平抛运动.
①垂直于场强方向做匀速直线运动:{vx=v0¿¿¿¿
②
平行于场强方向做初速为零的匀加速直线运动{vy=at ¿¿¿¿
式中
a=qE
m =qU
md ，侧移距离
y= qUL 2
2mdv 0 ，偏转角
θ=arctan qUL
mdv 0
【技巧点拨】是否考虑带电粒子的重力要根据具体情况而定.一般说来:
①基本粒子:如电子、质子、α 粒子、离子等除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重
力（但不能忽略质量）.
②带电颗粒:如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不能忽略
重力.
【
实战演练】
(2019·浙江4 月选考·10)如图所示，当今医学上对某些肿瘤采用质子疗法进行治疗，该疗法用一定能量
的质子束照射肿瘤杀死癌细胞．现用一直线加速器来加速质子，使其从静止开始被加速到1.0×107
m/s.已知加速电场的场强为1.3×105 N/C，质子的质量为1.67×10－27 kg，电荷量为1.6×10－19 C，则
下列说法正确的是( )
A．加速过程中质子电势能增加 B．质子所受到的电场力约为2×10－15 N
C．质子加速需要的时间约为8×10－6 s D．加速器加速的直线长度约为4 m
【答案】D
【解析】加速过程中电场力对质子做正功，质子的电势能减少，A 错误；质子受到的电场力大小F＝
qE≈2×10－14 N，B 错误；质子的加速度a＝≈1.2×1013 m/s2，加速时间t＝≈8×10－7 s，C 错误；加速
器加速的直线长度x＝≈4 m，D 正确．
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【实战演练】
(2020·浙江1 月选考·7)如图所示，电子以某一初速度沿两块平行板的中线方向射入偏转电场中，已知极
板长度l，间距d，电子质量m，电荷量e.若电子恰好从极板边缘射出电场，由以上条件可以求出的是(
)
A．偏转电压 B．偏转的角度 C．射出电场速度 D．电场中运动的时间
【答案】B
【解析】根据推论，粒子速度方向的反向延长线过其水平位移的中点，即tan α＝＝，因此电子射出
电场的偏转角度可求，选项B 正确；电子在平行板间运动为类平抛运动，满足l＝v0t，＝at2，eE＝
ma，则＝()2，该式子中，初速度、电场强度都不知道，因此无法求出射出电场的速度，也无法求出在
电场中的运动时间及偏转电压，选项A、C、D 错误．
【实战演练】
(2020·浙江7 月选考·6)如图所示，一质量为m、电荷量为q 的粒子以速度v0从MN 连线上的P 点水平向
右射入大小为E、方向竖直向下的匀强电场中．已知MN 与水平方向成45°角，粒子的重力可以忽略，
则粒子到达MN 连线上的某点时( )
A．所用时间为 B．速度大小为3v0
C．与P 点的距离为 D．速度方向与竖直方向的夹角为30°
【答案】C
【解析】粒子在电场中只受静电力，F＝qE，方向向下，如图所示．
粒子的运动为类平抛运动．水平方向做匀速直线运动，有x＝v0t，竖直方向做初速度为0 的匀加速直
线运动，有y＝at2＝·t2，＝tan 45°，联立解得t＝，故A 错误；
vy＝at＝·＝2v0，则速度大小v＝＝v0，tan θ＝＝，则速度方向与竖直方向夹角θ≠30°，故B、D
错误；
x＝v0t＝，与P 点的距离s＝＝，故C 正确．
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2．功能关系
当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解：
qU y=1
2 mv 2−1
2 mv 0
2
，其中
U y= y
d U
，指初、末位置间的电势差．
【技巧点拨】电场中常见的功能关系
①若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．
②若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
③除重力之外，其他力对物体做的功等于物体机械能的变化量．
④所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．
【实战演练】
(2021·全国乙卷·20)(多选)四个带电粒子的电荷量和质量分别为(＋q，m)、(＋q,2m)、(＋3q,3m)、(－q，
m)，它们先后以相同的速度从坐标原点沿x 轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y 轴平行．不计重
力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是( )
【答案】AD
【解析】带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，加速度为a＝，由类平抛运动规律可知，带电粒子在电
场中运动时间为t＝，离开电场时，带电粒子的偏转角的正切值为tan θ＝＝＝，因为四个带电的粒
子的初速度相同，电场强度相同，水平位移相同，所以偏转角只与比荷有关，(＋q，m)粒子与(＋
3q,3m)粒子的比荷相同，所以偏转角相同，轨迹相同，且与(－q，m)粒子的比荷也相同，所以(＋q，
m)、(＋3q,3m)、(－q，m)三个粒子偏转角相同，但(－q，m)粒子与上述两个粒子的偏转角方向相反，
(＋q,2m)粒子的比荷比(＋q，m)、(＋3q,3m)粒子的比荷小，所以(＋q,2m)粒子比(＋q，m)(＋3q，3m)
粒子的偏转角小，但都带正电，偏转方向相同，故A、D 正确，B、C 错误．
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【实战演练】
(2022·浙江6 月选考·9)如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N 间存在匀强电场，板长为
L(不考虑边界效应)．t＝0 时刻，M 板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M 板向
右的粒子，到达N 板时速度大小为v0；平行M 板向下的粒子，刚好从N 板下端射出．不计重力和粒子
间的相互作用，则( )
A．M 板电势高于N 板电势 B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度为a＝ D．粒子从N 板下端射出的时间t＝
【答案】C
【解析】
A.由于不知道两粒子的电性，故不能确定M板和N板的电势高低，故A 错误；
B.根据题意垂直M板向右的粒子，到达N板时速度增加，动能增加，则电场力做正功，电势能减小；
则平行M板向下的粒子到达N板时电场力也做正功，电势能同样减小，故B 错误；
CD.设两板间距离为d，对于平行M板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做类平抛运动，有
L
2 = v0t，d = 1
2 at
2
对于垂直M板向右的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，在电场中加速度相同，有
(√2v0)
2−v0
2=2ad
联立解得 t = L
2v0
，a= 2v0
2
L
故C 正确，D 错误；
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三、带电粒子在加速、偏转中的运动
1.加速末速度：
qU 1=1
2 mv 2
，解得
v=√
2qU 1
m
=v0
2.偏转电场中运动时间：
t2=L√
m
2qU 1
3.偏转电场出来后偏移量：
y= L2U 2
4 d2U 1 ，偏移角：
tan α= U 2 L
2d2U 1 .
技巧点拨：偏转量和带电粒子q、m 无关，只取决于加速电场和偏转电场.
4.出偏移电场后打到屏幕上总偏移量：
Y =(
L2
2 +L3)tan α=(
L2
2 +L3)
U 2 L2
2d2U 1
【技巧点拨】
①不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总
是相同的．
②粒子经电场偏转后射出，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O 为粒子水平位移的中点，
即O 到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半．
四、等效思想在复合场中的应用
1.等效重力场⇔重力场、电场叠加而成的复合场
2.等效重力：重力与静电力的合力
3.等效加速度：等效重力与物体质量的比值
4.等效“最高、低点”：物体做圆周运动时，跟等效重力平行的直径与圆轨迹交点的最高点与最低点
（物体自由时能处于稳定平衡状态的位置）
5.等效重力势能⇔等效重力大小与等效重力方向“高度”的乘积
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【举例】
【技巧点拨】
①受力分析,计算等效重力(重力与电场力的合力)的大小和方向;
②在复合场中找出等效最低点、最高点,过圆心作等效重力的平行线,使其与圆相交;
③根据圆周运动供需平衡,结合动能定理列方程处理.
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五、带电粒子在交变电场中的运动
1．带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形．
①当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定了粒子的运动情况，
粒子可以做周期性的直线运动．
②当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动
具有周期性．
2．研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断
粒子的运动情况．根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等．
3．注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求
解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
4．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时
可认为是在匀强电场中运动．
【实战演练】
(2022·辽宁卷·14)如图所示，光滑水平面AB 和竖直面内的光滑圆弧导轨在B 点平滑连接，导轨半径为
R.质量为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由静止释放，脱离弹簧后经过B 点时的速度大小为，
之后沿轨道BO 运动．以O 为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥－R 区域有方向与x 轴夹角为θ＝
45°的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为mg.小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加
速度为g.求：
(1)弹簧压缩至A 点时的弹性势能；
(2)小球经过O 点时的速度大小；
(3)小球过O 点后运动的轨迹方程．
【答案】(1)mgR (2) (3)y2＝6Rx
【解析】(1)小球从A 到B，根据能量守恒定律得Ep＝mvB
2＝mgR
(2)小球从B 到O，根据动能定理有－mgR＋mg×R＝mvO
2－mvB
2
解得vO＝
(3)小球运动至O 点时速度方向竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x 轴和y 轴，则x 轴
方向有mgcos 45°＝max
y 轴方向有mgsin 45°－mg＝may
解得ax＝g，ay＝0
说明小球过O 点后的运动为x 轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y 轴方向做匀速直线运动，即做
类平抛运动，则有x＝gt2，y＝vOt
联立解得小球过O 点后运动的轨迹方程为y2＝6Rx.
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六、电场中的力电综合问题
1．带电粒子在电场中的运动
①分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还
是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题．
②受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力
与其他力相比较是否能忽略．一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等
带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用．
2．用能量观点处理带电体的运动
对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理．即使都是恒力作用的问题，用能量
观点处理也常常更简捷．具体方法有：
①用动能定理处理
思维顺序一般为：
Ⅰ、弄清研究对象，明确所研究的物理过程．
Ⅱ、分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功．
Ⅲ、弄清所研究过程的初、末状态(主要指动能)．
Ⅳ、根据W =ΔEk 列出方程求解．
②用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理
列式的方法常有两种：
Ⅰ、利用初、末状态的能量相等(即E1=E2 )列方程．
Ⅱ、利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程．
③两个结论
Ⅰ、若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变．
Ⅱ、若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变．
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3．动量的观点处理带电体的运动
①运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正
方向．
②运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否为某
方向上动量守恒．
七、示波管
1.构造：示波管由电子枪，偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空.①电子枪;②偏转电极;③荧光屏.
2.工作原理
① XX'上是机器自身产生的锯齿形电压,叫作扫描电压. YY'上加的是待显示的信号电压,其周期与扫
描电压的周期相同，在荧光屏上就显示出信号电压随时间变化的图线
【实战演练】
(2023·全国卷乙·6)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小
球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上
的两点，OP>OM，OM =ON，则小球( )
A. 在运动过程中，电势能先增加后减少
B. 在P点的电势能大于在N点的电势能
C. 在M点的机械能等于在N点的机械能
D. 从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
【答案】BC
【解析】解：ABC、由题可知，OP>OM，OM =ON，则根据点电荷的电势分布情况可知
φM =φN >φP
则点负电的小球运动过程中，电势能先减小后增大，且
E pP> E pM = E pN
故带负电的小球在M点机械能等于在N点机械能，故A 错误，BC 正确；
D、从M点到N点的过程中，根据电场力与运动方向的夹角，当开始夹角为锐角，做正功；后变为钝
角，做负功，故电场力先做正功后做负功，故D 错误。
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②观察到的现象:
Ⅰ、若在偏转电极X、X'和Y、Y'之间都没有加电压,则电子枪射出的电子沿直线运动,打在荧光屏
中心,在那里产生一个亮斑.
Ⅱ、若所加扫描电压和信号电压的周期相等,就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内随时
间变化的稳定图像.
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