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专题06 静电场中力和能的性质的综合应用
命题预测
高考对于静电场中力的性质和能的性质的考查通常涉及电场强度、电场力、
电势能、电势等基本概念的理解和应用。这些考点可能会以选择题、计算题等多
种形式出现，题目设计注重考查学生对电场力做功、电场强度与电荷量、电势能
与电势差等关系的理解和应用。
在2025 年高考物理中，静电场中力的性质和能的性质占据着重要的地位。
复习时，学生应首先深入理解静电场中力的性质和能的性质的基本概念和原
理，掌握电场强度、电场力、电势能、电势等基本概念的定义、计算公式和物理
意义。同时，学生还应注重实践应用，通过大量练习和模拟考试，熟悉各种题型
的解题方法和技巧，提高解题能力和速度。
高频考法
1.电场中的一线一面一轨迹问题
2.电场中的三类图像
3.电场中带电体的各类运动
4.带电粒子在电场和重力场中的运动
考向一：电场中的一线一面一轨迹问题
1.两种等量点电荷的电场强度及电场线的比较
比较
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布图
电荷连线上的
电场强度
沿连线先变小后变大
O 点最小,但不为零
O 点为零
中垂线上的
电场强度
O 点最大,向外逐
渐减小
O 点最小,向外先
变大后变小
1
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关于O 点对
称位置的电
场强度
A 与A'、B 与B'、C 与C'
等大同向
等大反向
2.“电场线+运动轨迹”组合模型
模型特点:当带电粒子在电场中的运动轨迹是一条与电场线不重合的曲线时,这种现象简称为“拐弯现
象”,其实质为“运动与力”的关系。运用牛顿运动定律的知识分析:
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在某一位置的切线)与“力线”(在同一位置电场线的
切线方向且指向轨迹的凹侧),从二者的夹角情况来分析带电粒子做曲线运动的情况。
(2)“三不知时要假设”——电荷的正负、电场的方向、电荷运动的方向,是题目中相互制约的三个方面。若
已知其中一个,可分析判定各待求量;若三个都不知(三不知),则要用“假设法”进行分析。
3．几种典型电场的等势面
电场
等势面
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷
的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种
点电荷的
电场
连线的中垂线上电势处处为零
等量同种
(正)点电荷
的电场
两点电荷连线上，中点的电势最低；中
垂线上，中点的电势最高
4．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负。
(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变
化等。
(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。
考向二：电场中的三类图像
1.φ-x 图像
2
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（1）电场强度的大小等于φ-x 图线的斜率的绝对值,电场强度为零处,φ-x 图线存在极值,其切线的斜率为零。
（2）在φ-x 图像中可以直接判断各点电势的大小,并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
（3）在φ-x 图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,进而分析WAB的正负,然后作出判断。
2.Ep-x 图像
（1）根据电势能的变化可以判断电场力做功的正负,电势能减少,电场力做正功:电势能增加,电场力做负功。
（2）根据ΔEp=-W=-Fx,图像Ep-x 斜率的绝对值表示电场力的大小。
3.E-x 图像
（1）E-x 图像反映了电场强度随位移变化的规律,E>0 表示电场强度沿x 轴正方向;E<0 表示电场强度沿x 轴
负方向。
（2）在给定了电场的E-x 图像后,可以由图线确定电场强度的变化情况,电势的变化情况,E-x 图线与x 轴所
围图形“面积”表示电势差,两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中,可进一步
确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
（3）在这类题目中,还可以由E-x 图像画出对应的电场,利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场
源电荷来处理相关问题。
考向四：带电粒子在电场和重力场中的运动
1.等效重力场
物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可
形象称之为“等效重力场”。
3
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2.方法应用
(1)求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个等效重力。
(2)将a＝视为等效重力加速度。
(3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”。
注意：这里的最高点不一定是几何最高点。
(4)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。
3.“等效最高点”和“等效最低点”示意图
考点五：电场中的力、电综合问题
要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带电粒子受力与运
动的关系、功能关系和能量关系等多角度进行分析与研究。
1.动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受电场力和重力都是恒力，可用正交分解法。
(2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑。
2.能量的观点
(1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过
程使用动能定理。
(2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。
3.动量的观点
(1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。
(2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否在某方向上
动量守恒。
01 等量异种电荷的电场
1.如图所示，正三棱柱
的A 点固定一个电荷量为+Q 的点电荷，C 点固定一个电荷量为 -Q 的
4
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点电荷，D、D'点分别为
、
边的中点，选无穷远处电势为0。下列说法中正确的是（ ）
A．B、B'、D、D' 四点的电场强度方向相同
B．将一负试探电荷从
点移到
点，其电势能减少
C．将一正试探电荷沿直线从B 点移到D'点，电场力始终不做功
D．若在
点再固定一电荷量为+Q 的点电荷，
点再固定一个电荷量为-Q 的点电荷，则D 点的电场强
度指向B 点
【答案】AC
【详解】A．分别画出AC 与B、B'、D、D'各点组成的平面三角形，然后进行场强的合成可以得到两个点
电荷在这四点的电场强度方向均平行于AC，方向由A 指向C，A 正确；
B．
沿线电场强度方向由
指向
，电势降低，但试探电荷为负电荷，故电势能增加，B 错误；
C．几何体为正三棱柱，D、D'点分别为
、
边的中点，所以BDD'B'为AC 的中垂面，也就是等势面，
各处电势相等，电势能相等，电场力不做功，C 正确；
D．
、
两点在D 点电场强度的矢量和与该点原场强方向一致，由D 指向C，所以四个点电荷在D 点的
场强方向由D 指向C，D 错误；
故选AC。
02 等量同种电荷的电场
3．如图所示，两个带等量正电的点电荷分别位于x 轴上的P、Q 两点，其位置关于点O 对称。圆弧曲线是
一个以O 点为圆心的半圆，c 点为半圆与y 轴的交点，a、b 为一平行于x 轴的直线与半圆的交点，下列说
法正确的是（ ）
5
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A．a、b 两点的场强相同
B．a、b 两点的电势相同
C．将一个负点电荷沿着圆弧从a 移到c 点再沿y 轴正方向移动，电势能先增大后不变
D．半圆上任一点，两电荷的电场强度大小分别是
、
，则
为一定值
【答案】BD
【详解】A．由对称性可知，电场强度大小相等，但方向不同，选项A 错误；
B．由对称性和等势线可知，a、b 两点电势相同，选项B 正确；
C．负电荷沿该路径电势一直减小，电势能一直增大，选项C 错误；
D．半圆上任一点，设与P 点连线与
夹角为
，
则
为定值。选项D 正确。
故选BD。
03 等势面及轨迹问题
3.静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图所示，虚线表示这个静电场在xOy 平面内
的一簇等势线，等势线形状相对于Ox 轴、Oy 轴对称，且相邻两等势线的电势差相等，图中实线为某个电
子通过电场区域时的轨迹，不计电子重力，关于此电子从a 点运动到b 点过程中，下列说法正确的是（
）
A．a 点的电势高于b 点的电势
B．电子在a 点的加速度大于在b 点的加速度
6
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C．电子在a 点的动能大于在b 点的动能
D．电场力一直做正功
【答案】D
【详解】A．根据等势线与电场线垂直，可作出电场线，根据曲线运动的特点知粒子运动轨迹的弯曲方向
与受力方向相同，电子受力与电场线方向相反，故电子在y 轴左侧受到一个斜向右下方的电场力，在y 轴
右侧受到一个斜向右上方的电场力，故电子一直加速，对负电荷是从低电势向高电势运动，则a 点的电势
低于b 点的电势，故A 错误；
B．根据等势线的疏密知道b 处的电场线也密，场强大，电子的加速度大，故B 错误；
CD．电子一直加速，动能一直增大，则电场力对电子一直做正功，电子在a 点的动能小于在b 点的动能，
故C 错误，故D 正确。
故选D。
04 φ-x 图像
4.在绝缘粗糙的水平面上相距为6L 的A、B 两处分别固定电量不等的正电荷，两电荷的位置坐标如图甲所
示，已知B 处电荷的电量为+Q，图乙是AB 连线之间的电势
与位置x 之间的关系图像，图中
点为图
线的最低点，
处的纵坐标
，
处的纵坐标
。若在
的C 点由静止释放一
个质量为m，电量为+q 的带电物块（可视为质点），物块随即向右运动。水平面间的动摩擦因数
取下列
哪个值，小物块可以到达
处（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】假设动摩擦因数为
时小物块刚好可以运动到
处，根据动能定理有
解得
7
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所以使小物块可以到达
处的动摩擦因数的取值范围是
故选AB。
05 Ep-x 图像
5.如图甲所示，在某电场中建立x 坐标轴，一个电子仅在电场力作用下沿x 轴正方向运动，经过A、B、C
三点，已知
。该电子的电势能
随坐标x 变化的关系如图乙所示。则下列说法中正确的是
（ ）
A．A 点电势高于B 点电势
B．A 点的电场强度小于B 点的电场强度
C．A、B 两点电势差的绝对值
大于B、C 两点电势差的绝对值
D．电子经过A 点的速率大于经过B 点的速率
【答案】C
【详解】AD．一个电子仅在电场力作用下沿x 轴正方向运动，由图知电势能一直减小，则电子从A 到B 电
场力做正功，电势升高，根据动能定理，动能增加，速度增大，A 点电势低于B 点电势，故AD 错误；
B．根据
可知图像的斜率大小体现电场强度的强弱，因此从A 到B，电场强度减小，A
点的电场强度大于B 点的电场强度，故B 错误；
C．由从A 到B 电场强度减小，电子通过相同位移时，
可知A、B 两点电势差
绝对值大于B、C
两点电势差
绝对值，故C 正确。
故选C。
8
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06 E-x 图像
6.如图所示，两个可看做点电荷的带电绝缘小球紧靠着塑料圆盘，小球A 固定不动（图中未画出）。小球
B 绕圆盘边缘在平面内从
沿逆时针缓慢移动，测量圆盘中心O 处的电场强度，获得沿x 方向的电场强
度
随
变化的图像（如图乙）和沿y 方向的电场强度
随
变化的图像（如图丙）。下列说法正确的是
（ ）
A．小球A 带负电荷，小球B 带正电荷
B．小球A、B 所带电荷量之比为
C．小球B 绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O 处的电场强度先增大后减小
D．小球B 绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O 处的电场强度最小值为
【答案】BD
【详解】A．由乙、丙两图可知，当
时，小球B 在O 点正上方，此时
，
，则说明小
球A 一定在y 轴上固定；当
时，
，小球B 在O 点正右侧，而水平方向场强方向为x 轴负向，
则说明小球B 为正电荷，此时
，竖直方向的场强方向为y 轴负向，若小球A 在O 点正上方固定，
则小球A 带正电荷，若小球A 在O 点正下方固定，则小球A 带负电荷，所以小球A 的带电性质不能确定，
故A 错误；
B．由于两小球都紧靠在塑料圆盘的边缘，所以到O 点的距离r 相同，当
时，
，
9
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，由
可得
故B 正确；
C．盘中心O 处的电场强度为小球A 和小球B 在O 点产生的场强的矢量和，随着小球B 从
转到2π 的过
程中，
和
大小都不变，
和
的夹角在增大的过程中，当
时，O 处的合场强最大；当
时，O 处的合场强最小；所以小球B 从
转到2π 的过程中，中心O 处的合场强先增大后减小再增大，
故C 错误；
D．小球B 绕圆盘旋转一周过程中，当
时，O 处的合场强最小，其值大小为
故D 正确。
故选BD。
07 带电粒子在电场中的直线运动
7.如图甲所示，某装置由金属圆板（序号为0）、六个横截面积相同的金属圆筒、平行金属板和荧光屏构
成，六个圆筒依次排列，长度遵照一定的规律依次增加，圆筒的中心轴线、平行金属板的中心线和荧光屏
的中心O 在同一直线上，序号为奇数的圆筒和下金属板与交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和上
金属板与该电源的另一个极相连．交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示，电势差的绝对值为
，
周期为T。
时，位于和偶数圆筒相连的金属圆板中央的一个电子，在圆板和金属圆筒1 之间的电场中
由静止开始加速，沿中心轴线冲进金属圆筒1，电子到达圆筒各个间隙的时刻，恰好是该间隙的电场强度
变为向左的时刻，电子通过间隙的时间可以忽略不计．电子离开金属圆筒6 后立即进入两平行金属板之间，
时离开平行金属板之间的电场，此时做匀速直线运动，直至打到荧光屏上某位置。电子的质量为
m、电荷量为e，不计电子重力，两平行金属板之间的距离为d，忽略边缘效应。求：
(1)求粒子进入金属圆筒6 的速度和圆筒6 的长度；
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(2)电子在整个运动过程中最大速度的大小；
(3)电子打在荧光屏上的位置到O 点的距离。
【答案】(1)
;
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，电子在每个金属圆筒内的运动时间均为
，由于屏蔽作用，电子在每个金属
圆筒内部都不受静电力的作用，在筒内做匀速直线运动，而电子在每个间隙中做加速运动，设电子刚进入
金属圆筒6 时的速度为
，根据动能定理有
解得
金属圆筒6 的长度为
（2）电子进入平行金属板的速度为
电子从静止开始到离开金属圆筒6 所用时间为
可知电子在
时刻进入两平行金属板之间，在
时刻离开平行金属板，电子在平行金属板间的运
动可分解为沿金属板方向的匀速直线运动和垂直金属板方向的运动，则在3T~3.5T 内，电子垂直金属板向
下做匀加速运动，在3.5T~4T 内，电子垂直金属板向下做匀减速运动，在4T 和5T 内重复3T-4T 的运动，
可知当
时和在4.5T 时速度相同，电子具有最大速度，在3T~3.5T 内，垂直金属板方向上有
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可得
电子在整个运动过程中最大速度大小为
（3）分析电子在竖直方向上的运动，在3T~3.5T 内垂直金属板向下做匀加速运动，在3.5T~4T 内垂直金属
板向下做匀减速运动，在4T~5T 内垂直金属板向下做匀加速运动，在4.5T~5T 内垂直金属板向下做匀减速
运动，根据对称性可知，四段时间内向下运动的位移相等
在
时电子离开电场，此时的速度等于刚进入平行金属板的速度
，可知电子离开电场后沿平行金属
板方向做匀速直线运动，故电子打在荧光屏上的位置到O 点的距离为
08 带电粒子在电场中的抛体运动
8.如图所示，在竖直
平面内，理想边界OM 与y 轴正方向成
角。在第象限内，OM 与x 正半轴之间
存在垂直OM 边界斜向左上的匀强电场，其他区域均为真空。在坐标为
的P 点存在一微粒发射源，
可以在平面内向各个方向释放质量为m、电荷量为
的不同速率的带正电微粒，并且在P 点由静止释放的
微粒可以沿直线从P 点运动到O 点。已知过P 点作y 轴的垂线交OM 于N 点，重力加速度为g，求：
(1)匀强电场的场强E 的大小；
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(2)从P 点沿y 轴正方向释放一带电微粒，微粒恰好可以经过N 点，则带电微粒的初速度
的大小；
(3)从P 点沿垂直OP 斜向下释放一带电微粒，微粒恰好可以在Q 点垂直x 轴射出匀强电场，求OQ 之间的
距离和P、Q 两点的电势差大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
；
【知识点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算
【详解】（1）根据题意，在P 点由静止释放的微粒可以沿直线从P 点运动到O 点，则合外力方向沿PO 方
向，则重力和电场力在垂直PO 方向的分力大小相等，根据几何关系PO 方向与横轴的夹角满足
则有
解得
（2）根据几何关系，N 点的坐标为
，粒子由P 到N 做类斜抛运动，合外力沿PO 方向，合外力
大小为
在y 方向上
在x 方向上
联立解得
13
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（3）粒子由P 到Q 过程，做类平抛运动，根据平抛运动的推论：Q 点的速度反向延长线（垂直横轴）交垂
直OP 方向位移中点，Q 点到OP 直线的距离为
根据几何关系，
解得
P、Q 两点连线在电场方向的投影距离为
P、Q 两点电势差大小
09 带电粒子在电场中的圆周运动
9.如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一电荷量为
的带正电小球，另一端固定在
点，
点左侧某
处有一钉子
，直线
上方存在竖直向上的匀强电场，开始时，小球静止于A 点。现给小球一方向水平
向右、大小
的初速度，使其在竖直平面内绕
点做圆周运动。途中细线遇到钉子后，小球绕钉
子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线的拉力达到最大值，且刚好被拉断，然后
小球会再次经过A 点。已知小球的质量为
，细线的长度为
，重力加速度大小为
。求：
(1)
、
两点的距离；
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(2)细线的最大拉力；
(3)匀强电场的电场强度大小的范围。
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】平抛运动位移的计算、速度反向延长线的特点、绳球类模型及其临界条件、带电物体（计重
力）在匀强电场中的圆周运动、利用动能定理求解其他问题（运动时间、力等）
【详解】（1）小球的运动轨迹如图所示
小球从A 点出发到再次回到A 点的过程中，所受各个力做功均为零，所以小球再次回到A 点时速度大小仍
为
，其速度方向与水平方向的夹角设为
，
、
两点的距离设为，小球由F 点运动到A 点过程中做
平抛运动，根据平抛运动推论，经过A 点时速度的反向延长线必过FG 的中点H，根据题意可知
小球由F 点运动至A 点的过程中，水平方向和竖直方向分别有
15
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联立求得
（2）小球经过F 点时的速度为
小球绕O 点圆周运动的半径为
小球经过F 点时，重力与最大拉力的合力提供向心力，有
求得
（3）设电场强度大小为
时小球恰好能通过最高点C，则小球由A 点运动到C 点过程中，由动能定理得
小球经过最高点C 时，有
联立求得
设电场强度大小为
时小球通过最高点C 时细线恰好断裂，这种情况下，小球由A 点运动到C 点过程中，
由动能定理得
小球经过最高点C 时，有
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其中
联立求得
综合以上，匀强电场的电场强度大小的范围为
10 电场中的力、电综合问题
10.如图，光滑绝缘水平桌面位于以ab、cd 为边界的水平向右的匀强电场中，电场方向垂直于边界。两小
球A 和B 放置在桌面上，其位置连线与电场方向平行。两小球的质量分别为
、
，小球A 所
带电荷量为q（
），小球B 不带电。初始时小球A 距ab 边界的距离为L，两小球间的距离也为L。已
知电场区域两个边界ab、cd 间的距离为100L，电场强度大小为
（a 为一定值，单位为m/s2），现
由静止释放小球A，A 在电场力作用下沿直线加速运动，与静止的小球B 发生弹性碰撞。两小球碰撞时没
有电荷转移，碰撞的时间极短，碰撞均为弹性碰撞，两小球均可视为质点。已知：
。求：
(1)第一次碰撞后A 和B 的速度大小；
(2)第一次碰撞后到第二次碰撞前，A 与B 间的最远距离；
(3)B 在出边界cd 之前，A 与B 碰撞的次数。
17
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【答案】(1)
，
(2)
(3)10 次
【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的直线运动、利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题
【详解】（1）对A，与B 发生第一次碰撞前，由动能定理可得
解得
对A 和B，第一次碰撞前后，碰撞后A、B 的速度分别为
、
，由动量守恒和能量守恒可得
解得
，
（2）对A，第一次碰撞后，由牛顿第二定律有
可得
第一次碰撞后，当二者速度相同时，距离最大
解得
18
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发生的位移为
最大距离为
解得
（3）第一次碰撞后到第二次碰撞前用时
，两者位移相等
可得
此时A 的速度为
在这段时间内B 运动的位移
对A 和B，第二次碰撞前后，由动量守恒和能量守恒
解得
，
位移相等时，有
19
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可得
在这段时间内B 运动的位移
二者第三次发生碰撞，碰撞前A 的速度
对A 和B，第三次碰撞前后，由动量守恒和能量守恒
解得
，
位移相等时，有
可得
在这段时间内B 运动的位移
二者第四次发生碰撞，⋯⋯
B 每次碰撞后到下一次碰撞前，B 向右的位移逐次增加2L，则有
……
20
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，
解得
B 在出边界cd 之前，A 与B 碰撞的次效为10 次。
1．如图，直角三角形△ABC 位于竖直平面内，AB 沿水平方向，长度为L，∠ABC = 60°。空间存在一匀强
电场，场强方向与△ABC 所在平面平行，将一带正电的微粒（不计重力、空气阻力）从A 点移动到B 点，
电场力做功为
，从B 点移动至C 点，电场力做功为
（W > 0）。下列说法正确的是
（ ）
A．电场强度的大小是
B．将该带电微粒从B 点无初速度释放，其沿∠ABC 的角平分线所在直线运动
C．将该带电微粒从C 点沿CA 抛出，要使其通过B 点，微粒在C 点的动能应为
D．将该带电微粒从A 点沿AC 抛出，要使其到达BC 时，其位移方向垂直于电场强度方向，微粒在A
点的动能的应为
【答案】D
21
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【详解】A．由题意可知，
，
，则
如上图，在BC 边上找点D，使D 点与A 点电势相等，则AD 连线为等势线，则
设微粒电荷量为q，DB 边长为LDB，CD 边长为LCD，θ 为电场方向与CB 方向的夹角，则
解得
在△ABD 中，由几何关系可知
解得
过B 点作BE 交AD 于E 点，且BEAD，因为
且微粒带正电，所以A 点电势大于B 点电势，故
电场方向沿EB，由E 指向B，且有
22
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解得
故A 错误；
B．由A 选项可知，电场方向由E 指向B，如果将带正电微粒从B 点无初速度释放，该微粒将沿EB 方向运
动，由几何关系可知，∠ABE = 45°，∠DBE = 15°，EB 边不是∠ABC 的角平分线，故B 错误；
C．如下图，将BE 反向延长交AC 于F 点，由几何关系可知∠ABE = 45°，LAF = L，则
如果将带电微粒从C 点沿CA 抛出，要使其通过B 点，设微粒在C 点的动能为Ek1，则带电微粒可看成沿
CF 方向以速度v1的匀速直线运动和沿FB 方向的初速度为0 加速度为a 的匀加速直线运动合成的结果，则
，
，
联立解得
故C 错误；
D．如下图，过D 点作AD 的垂线交AC 于G 点，由几何关系可知∠DAG = 45°，则
23
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如果将带电微粒从A 点沿AC 抛出，要使其到达BC 时，其位移方向垂直于电场强度方向，设微粒在A 点的
动能为Ek2，则带电微粒可看成沿AG 方向以速度v2的匀速直线运动和沿GD 方向的初速度为0 加速度为a
的匀加速直线运动合成的结果，则
，
，
联立解得
故D 正确。
故选D。
2．如图所示，在竖直平面内，一根长度为L 的轻质绝缘细线一端系于O 点，另一端连接一带正电小球，
小球质量为m、所带电荷量为q，小球所在空间内有一匀强电场，方向与竖直面平行且水平向右。现将细
线向右上方拉直，使细线与水平方向成45°角，静止释放小球，小球运动到释放点正下方时细线断裂，再
经历一段时间，小球落在释放点正下方的水平地面上。已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度大小为
，则下列说法正确的是（ ）
A．细线断裂前的瞬间，小球的速度大小为
，方向竖直向下
24
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B．细线断裂前的瞬间，细线的拉力大小为
C．细线断裂后小球经历时间
落地
D．细线断裂时小球距离地面的高度为
【答案】C
【详解】A．从释放小球到细线断裂的过程应用动能定理
解得
速度方向与竖直方向夹角为45°斜向左下方，A 错误；
B．细线断裂前的瞬间，小球速度与重力和电场力的合力垂直，重力与电场力的合力为
则向心力为
解得
B 错误；
C．细线断裂瞬间小球水平方向、竖直方向的分速度分别为
则小球水平方向的加速度为
小球的运动时间为
25
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C 正确；
D．细线断裂时小球距离地面的高度为
D 错误。
故选C。
3．如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，电场中固定一半径为R 的半圆形绝缘槽，槽的左右端点
a、c 等高，b 为槽的最低点。从a 点静止释放一质量为m 的带负电的小球，小球沿圆弧槽下滑至b 点时对
槽的压力为mg。小球可视为质点，运动过程中电量保持不变，摩擦力可忽略不计。下列判断正确的是（
）
A．小球可以运动至c 点
B．小球将在b 点保持静止
C．小球运动过程中的最大速率为
D．若从c 点静止释放小球，小球将沿圆弧运动至b 点
【答案】C
【详解】A．小球沿圆弧槽下滑至b 点时对槽的压力为mg，由牛顿第三定律可知，在竖直方向圆弧槽b 点
对小球的支持力大小为mg，可知小球在竖直方向受力平衡，由牛顿第二定律可知，此时小球的速度是零，
且受电场力方向水平向左，因此小球不可以运动至c 点，故A 错误；
B．小球在竖直方向受力平衡，受电场力方向水平向左，由牛顿第二定律可知，小球向左做加速运动，故B
错误；
C．小球在a 点时速度是零，在b 点时速度是零，可知小球从a 点到b 点，重力势能转化为电势能，且重力
势能的减少等于电势能的增加，则有
可得
26
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由题意可知，当小球从a 点下落到受重力和电场力的合力方向与O 点的连线在一条直线上时，小球的速率
最大，如图所示
由动能定理，则有
解得
故C 正确；
D．由C 选项分析可知，小球受到的重力大小等于受的电场力，因此小球在c 点时受到的合力大小为
受合力方向与水平直径成45°角，即由c 点指向b 点，因此从c 点静止释放小球，小球将沿直线运动至b 点，
故D 错误。
故选C。
4．如图，离子源不断地产生比荷不同的正离子，离子飘入（初速度可忽略不计）电压为
的加速电场，
经加速后从小孔S 沿平行金属板A、B 的中心线射入偏转电场。已知平行金属板A、B 板长为L，相距为d，
两板间的电压为
，离子能从A、B 板右侧射出。整个装置处于真空中，加速电场与偏转电场均视为匀强
电场，不计离子重力。下列说法正确的是（ ）
A．各离子从刚飘入加速电场到刚从A、B 板右侧射出的时间不同
27
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B．电荷量越大的离子，从A、B 板右侧射出时的动能越大
C．各离子在偏转电场中的运动轨迹可能不重合
D．各离子在偏转电场中的加速度相同
【答案】AB
【详解】A．设离子的质量为
，电荷量为
，设加速电场极板间距离为
，则加速电场中所受电场力
加速电场中的加速度
离子在加速电场中的时间
离子在加速电场中由动能定理可得
解得离子进入极板时的速度
离子在偏转电场中的时间
离子从刚飘入加速电场到刚从A、B 板右侧射出的时间
因为离子的比荷不同，所以各离子从刚飘入加速电场到刚从A、B 板右侧射出的时间不同。故A 正确；
BCD．极板间的电场强度
离子在极板间所受的电场力
28
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离子在极板间的加速度
因为各离子的比荷不同，所以各离子在偏转电场中的加速度大小不同。
出极板时垂直极板的速度
离子射出极板时离子动能
由上式可知，电荷量越大的离子，从A、B 板右侧射出时的动能越大。故B 正确，D 错误；
C．离子在极板中运动时间
时，平行于极板的位移大小
垂直于极板的位移大小
联立以上两式并综合以上选项解析可得
运动轨迹和离子的比荷无关，所以各离子在偏转电场中的运动轨迹重合。故C 错误。
故选AB。
5．如图所示，在半径为
的圆形区域内存在一个匀强电场，一个质量为
、电荷量为
的带电粒子由
点
以初速度
射入电场，方向与直径AB成60°角，出电场时的速度大小为
，方向与直径AB成30°角，
不考虑粒子的重力。粒子的运动平面始终平行于电场，则下列说法正确的是（ ）
29
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A．电场强度大小为
B．若粒子的速度垂直电场方向射入电场，为使粒子仍由B 点射出电场，粒子的初动能为
C．若粒子的速度垂直电场方向射入电场，为使粒子出电场时动能增量最大，粒子的初动能为
D．若粒子以任意速度方向射入电场，为使粒子出电场时动能增量为零，粒子的最小初动能为
【答案】ABD
【详解】A.根据题意设电场方向与直径
的夹角为
，如图1 所示，将两个速度垂直电场方向及平行电场
方向进行分解，由于垂直电场方向的速度未发生变化，列出方程
由此可得
根据动能定理得
解得
A 正确；
B.根据A 选项的计算过程得到粒子在电场中的加速度为
当速度垂直电场射入，由
点射出时，粒子做类平抛运动，如图2 所示，列出方程，垂直于电场方向
30
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解得
射入的动能
B 正确；
C.当粒子获得动能最大，即电场力做功最多，如图3 所示。列出方程为
解得
射入的动能
C 错误。
D.当粒子的动能增量为零，即，粒子落在等势面上，如图4 所示，粒子做类斜抛运动，当与等势面成
角时射出的初动能最小，根据斜抛运动规律可知
解出
所以射入初动能为
31
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D 正确。
故选ABD。
6．如图甲，同一竖直平面内，
四点距
点的距离均为
，
点为水平连线
的中点，
在
连线的中垂线上。
两点分别固定有一点电荷，电荷量均为
（
）。以
为原点，竖
直向下为正方向建立
轴。若取无穷远处为电势零点，则
上的电势
随位置
的变化关系如图乙所示。
一电荷量为
的小球S 以一定初动能从
点竖直下落，一段时间后经过
点，且在
点的加速度
大小为
，
为重力加速度大小，
为静电力常量。则下列说法正确的是（ ）
A．小球S 在
点受到的电场力大小为
B．从
点到
点的过程，小球S 受到的电场力先减小后增大
C．从
点到
点，小球S 动能变化为
D．在
连线的中垂线上电场强度最大的点到
点的距离为
【答案】ACD
【详解】AB．设A 到小球的距离为R，A 点的电荷对小球S 的库仑力大小为FA，小球S 和A 点连线与中垂
线的夹角设为θ，由库仑定律有
32
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设小球S 所受电场力大小为F，由力的合成有
则根据数学知识可知，从
点到
点的过程，小球S 受到的电场力先增大后减小，再增大再减小；
小球S 在
点受到的电场力大小为
故A 正确，B 错误；
C．在N 点的加速度大小为2g，根据牛顿第二定律有
小球S 从O 点到N 点由动能定理有
根据图线可解得
故从O 点到N 点小球S 的动能增加了
，故C 正确；
D．根据选项AB 分析可得，小球S 在
连线的中垂线上受到的电场力为
设
，则有
求导可得
可知F 在
单调递增，在
单调递减，则
即
时，小球S 受到的电场力最大，
此位置的电场强度也最大，此时
，则在
连线的中垂线上电场强度最大的点到
点的距离为
33
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故D 正确。
故选ACD。
7．如图，在竖直平面内有水平向右、场强为
的匀强电场。在匀强电场中有一根长
的
绝缘细线，一端固定在
点，另一端系一质量为
的带电小球，它静止时悬线与竖直方向成
角，
若小球获得初速度恰能绕
点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能零点和重力势能
零点
取
。下列说法正确（ ）
A．小球的带电荷量
B．小球在运动至圆周轨迹上的最高点时动能和电势能之和最小
C．小球在运动至圆周轨迹上的最低点时重力势能和电势能之和最小
D．小球动能的最大值为5J
【答案】BD
【详解】A．小球静止时悬线与竖直方向成37°角，受到重力、电场力和拉力，根据平衡条件，有
解得
故A 错误；
B．根据能量守恒定律，电势能和机械能之和保持不变，最高点重力势能最大，动能和电势能之和最小，
故B 正确；
C．重力和电场力为恒力，将二者合成等效为新的“重力”，在等效“重力”场中最低点，即小球静止时
34
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的位置，动能最大，重力势能和电势能之和最小，故C 错误；
D．如图所示
小球恰能绕O 点在竖直平面内做圆周运动，表明小球在等效最高点B，即在与竖直方向成37°角的直径的
一个端点处对应的绳上张力恰好为零，在该处重力与电场力的合力恰好提供向心力，则有
可得小球在
点时的动能为
从
点到A 点，由动能定理得
解得小球动能的最大值
故D 正确。
故选BD。
8．在x 轴上0~x0范围内，存在沿x 轴正方向的电场，一质量为m 的带正电粒子从O 点由静止释放，粒子
在电场力的作用下沿x 轴做加速运动，从x0处离开电场，粒子的电势能Ep随x 变化的规律为如图所示的直
线。下列说法正确的是（ ）
A．
图像的斜率的绝对值表示电场力
35
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B．粒子在0~x0范围内做匀加速直线运动
C．粒子离开电场时的速度大小为
D．粒子在电场中运动的时间为
【答案】ABD
【详解】AB．根据
可知
图像的斜率的绝对值表示电场力，在0~x0范围内斜率不变，电场力不变，加速度不变，则粒子
在0~x0范围内做匀加速直线运动，AB 正确；
C．粒子的电势能减小了Ep0，根据能量守恒有
解得粒子离开电场时的速度大小
C 错误；
D．根据
解得粒子在电场中运动的时间为
D 正确。
故选ABD。
9．在匀强电场中有一个正六边形区域abcdhf，电场线与六边形所在平面平行，如图所示。已知a、b、h 三
点的电势分别为7V、11V、－5V，带电荷量为e 的粒子（重力不计）以16eV 的初动能从b 点沿不同方向射
入abcdhf 区域，当粒子沿bd 方向射入时恰能经过c 点，下列判断正确的是（ ）
36
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A．粒子带负电
B．粒子可以经过正六边形各顶点射出该区域
C．粒子经过f 点时动能为4eV
D．粒子沿bd 方向发射后的最小动能为4eV
【答案】ACD
【详解】A．如图所示
连接bh，fd，ah，过b 点作bh 的垂线交于与ah 的延长线交于m 点，由几何关系易得
，
，
且
垂直bh，因为
，
，
故有
，
，
因为
则
故有
37
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则mb 为等势线，因为
，故电场线方向为由m 点指向h 点，当粒子沿bd 方向射入时恰能经过c
点，可知粒子向下偏转，则粒子带负电，故A 正确；
B．若该粒子从h 点射出，由动能定理得
解得
当该粒子沿bh 方向运动时，做匀减速运动，恰不能从h 点处射出，故B 错误；
C．由几何知识得
且n 点与f 点等电势点，则
粒子沿bd 方向入射能够到达c 点，合力指向轨迹的凹侧可知粒子应该带负电，从b 点运动到f 点，由动能
定理得
解得，粒子经过f 点时动能为
故C 正确；
D．当粒子沿bd 方向射入该区域后，将做匀变速曲线运动，沿垂直于电场方向的速度大小为
所以最小动能为
故D 正确。
故选ACD。
10．如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、带正电的电荷量为q 的小球，系在一根长
为R 的绝缘细线的一端，可以在竖直平面内绕O 点做圆周运动。AB 为圆周的水平直径，CD 为竖直直径。
38
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已知重力加速度的大小为g，电场强度
。若小球恰能在竖直平面内绕O 点做圆周运动，不计空
气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到B 点时的机械能最大
B．小球运动过程中的最小速度为
C．小球在最高点D 点绳子的拉力为零
D．小球在最低点C 点绳子的拉力为9mg
【答案】ABD
【详解】A．从小球从A 到B 过程，电场力对小球一直做正功，小球电势能减小，小球从B 到A 过程，电
场力对小球一直做负功，小球电势能增大，则小球运动到B 点时的电势能最小，小球运动到B 点时的机械
能最大，故A 正确；
BC．带正电的电荷量为q 的小球受到的电场力大小为
则重力和电场力的合力大小为
重力和电场力的合力方向与竖直方向的夹角满足
可得
如图所示
39
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可知小球运动等效最低点
时速度最大，细线的拉力最大；小球运动等效最高
点时速度最小，则有
解得小球运动过程中的最小速度为
由于D 点不是等效最高点，则绳子存在拉力，故B 正确，C 错误；
D．小球从H 点运动到C 点，根据动能定理有
根据牛顿第二定律有
解得
故D 正确；
故选ABD。
11．如图（a）所示，在光滑绝缘水平面上的AB 区域内存在水平向右的电场，电场强度E 随时间的变化关
系如图（b）所示。不带电的绝缘小球
静止在O 点，
时，带正电的小球
以速度
从A 点进入AB
区域，随后与
发生正碰后反弹，反弹速度大小是碰前的
倍，
的质量为
，带电量为q，
的质量
，A、O 间距为
，O、B 间距
。已知
，
，
带电量不变。下列说法正
确的是（ ）
40
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A．第一次碰撞后小球
的速度为
B．第一次碰撞后
向左运动的最大距离为
C．第一次碰撞后
向左运动的时间为
D．两球会在OB 区间内再次发生碰撞
【答案】ABD
【详解】ABC．以水平向右为正，设P1经t1时间与P2碰撞，则
由图像可知t1这段时间内AB 区域内场强为零，P1以v0与P2碰撞，由题意知，碰撞后小球P1速度为
（水平向左）
P1、P2碰撞，设碰后P2速度为v2，由动量守恒
解得
（水平向右）
故P1向左运动的最大距离
又根据牛顿第二定律
联立解得
41
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所需时间
故AB 正确，C 错误；
D．设P1、P2碰撞后又经
时间在OB 区间内再次发生碰撞，且P1受电场力不变，由运动学公式
即
解得
故P1受电场力不变，对P2分析
所以假设成立，两球能在OB 区间内再次发生碰撞，故D 正确。
故选ABD。
12．如图，绝缘的木板B 放置在倾角为α=37°、固定的光滑斜面上（斜面足够长），斜面最底端固定一挡
板，B 底端与挡板的距离L=6m。一带正电物块A 放置在木板最上端，通过一根跨过轻质定滑轮的轻绳与小
球C 相连，轻绳绝缘且不可伸长，A 与滑轮间的绳子与斜面平行。斜面上方存在一沿斜面向下的匀强电场，
A、B、C 均静止，轻绳处于伸直状态。t=0 时剪断连接A、C 之间的轻绳，已知A、B、C 的质量分别为
mA=1.5kg、mB=1kg、mC=3kg，A 的带电量为q=3×10-6C，A 与B 之间的动摩擦因数为μ=0.5，最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，轻绳与滑轮间的摩擦力不计，B 与挡板碰撞视为弹性碰撞，整个过程A 未与木板B 脱离，
重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
42
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(1)求匀强电场的电场强度E 的大小；
(2)求木板B 第一次与挡板碰撞前瞬间的速度大小；
(3)若木板B 第一次与挡板碰撞时，电场方向改为沿斜面向上，求第6 次与挡板碰撞时，B 的速度大小和B
要满足的最小长度Lmin。
【答案】(1)5×106N/C
(2)12m/s
(3)0.00384m/s，15m
【详解】（1）对A、B、C 整体，由共点力平衡条件得
解得
（2）对A、B 整体，由牛顿第二定律得
解得
由运动学公式得
解得
（3）B 与挡板发生弹性碰撞后瞬间
43
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，
电场反向，碰撞之后对A、B 进行整体受力分析
所以第一次碰后到第二次碰撞，A 和B 整体动量守恒，根据动量守恒定律
解得
共速之后，对A、B 整体一起匀速运动直至第二次碰撞，第二次碰撞后
，
解得
同理可得，B 与挡板第n 次碰撞时速度
故B 与挡板第6 次碰撞的速度为
根据以上推导，可得A、B 共同速度越来越小，最终停在最底部，此时，若A 恰好在B 的最底端，则此时B
的长度最小为Lmin，由能量守恒定律得
解得
13．如图所示，xOy 平面的第三象限内有水平放置的金属板M、N，板间为加速电场，两板间的电压为
U，一电荷量为q、质量为m 的带正电粒子从A 点由静止开始加速，经B 点进入第二象限内的辐向电场E1
（大小未知，方向均指向O），沿着半径为R 的圆弧虚线（等势线）运动，从C 点进入第一象限。在第一
44
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象限0 < x ≤ L 区域内存在沿y 轴负方向的匀强电场E2（大小未知），粒子从电场E2右边界离开电场后最
终打在坐标为（2L，−R）的D 点，不同区域内的电场互不影响，不计粒子的重力。求：
(1)粒子经过加速电场加速后到达B 点时的速度大小v0；
(2)圆弧虚线处电场强度E1的大小；
(3)第一象限0 < x ≤ L 区域匀强电场的场强大小E2。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）带电粒子经加速电场加速后的速度为v0，由
得
（2）在偏转电场中，由粒子所受的电场力提供向心力
可知
（3）由题意可知，带电粒子在第一象限0 < x ≤ L 区域内做类平抛运动，设竖直方向上加速度为a，运动
时间为t，第一象限电场强度为E2，带电粒子出电场时速度方向与水平方向的夹角为α，水平方向上
45
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则
且
联立解得
14．某款电子偏转仪器由边长为L 的立方体空间OABC-O1A1B1C1构成，如图所示。电子发射器位于顶部
A1O1的中点M，可向O1A1B1C1平面内各个方向均匀射出速率均为v 的电子。在立体空间任意两个对立面可
放置两块面积较大、与电源相连的金属板，从而实现在立方体空间内产生匀强电场，以控制电子的运动。
已知电子质量为m、电荷量大小为e，电子打在金属板上将被吸收不再反弹进入电场，不计电子重力及电
子间的相互作用力。问：
(1)当两块金属板分别放置在ABB1A1面和OCC1O1面时，若恰好无电子运动到OCC1O1面，则与金属板相连
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的电源电压U1是多少？
(2)当两块金属板分别放置在OABC 面和O1A1B1C1面时，若恰好有电子打在底部BC 的中点Q，则与金属板
相连的电源电压U2是多少？
(3)在（2）的基础上，设电子从发射器射出的速度与中线MP 的夹角为θ，求电子从M 点运动到立体空间边
缘的过程，电场力做功W 与θ 的函数关系。
【答案】(1)
(2)
(3)
（
），
（
）
【详解】（1）由题可知 沿MO1或MA1方向的粒子恰好无法到达平面，则有
解得
（2）水平方向，有
竖直方向，有
根据牛顿第二定律有
解得
（3）当水平距离x≥L 时，电子将落入OABC 平面。设夹角为
刚好落在水平距离为L 的竖直平面底边
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易得
得
θ0=30°
当0°≤θ＜30°，电子落入底面，则电场力做功为
W1=U2e
解得
W1=
当30°≤θ≤90°，电子落入竖直平面。设水平位移为x，竖直位移为y
则有
故做功为
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W2=Eey
解得
W2=
15．已知紧邻竖直极板左侧有一粒子源M，能发射初速度为零、电荷量q=1.6×10-5C、质量为m=3.2×10-11kg
的正离子，正对发射源M 右侧竖直极板中间有一小孔，两极板间U1=10V，粒子加速后可以通过小孔射入
一个偏转装置N，偏转装置N 能使粒子离开装置右侧后在水平方向0° 180°
∼
范围射出，且速度大小不变从
面AFHD 中间位置进入水平放置的正方形平行金属极板ABCD 和FPQH 之间，上极板和下极板的恒定电压
为U2，已知板边长和板间距离均为L=20cm，如图所示（不计粒子重力）
(1)要使所有粒子都不能射出极板，求电压U2的范围；
(2)要使所有粒子都能射出极板，求电压U2的范围；
(3)在U2=10V 的情况下，以F 为原点O，以FP 为x 轴，以FA 为y 轴，求粒子从面FABP 飞出的点的轨迹方
程。
【答案】(1)U2≤-80V 或U2≥80V
(2)-16V≤U2≤16V
(3)
【详解】（1）在加速电场U1中，根据动能定理
进入偏转U2电场，沿AD 方向，恰好到达A 点或D 点，水平位移
若向上偏
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，
，
解得
若向下偏两板电压
即两板电压
U2≤-80V 或U2≥80V
（2）若均能飞出极板，则
则水平位移大于P 点（B、C、Q 三点）射出的水平位移
竖直方向位移
解得
两极板电压U2的范围
（3）当U2等于10V 时，在面FABP 射出的粒子坐标为
，如图
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则水平位移
竖直方向位移
解得
则粒子从面FABP 飞出的点的轨迹方程
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