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第 78 讲 带电粒子在组合场中的运动
1．（2022•海南）有一个辐向分布的电场，距离O相等的地方电场强度大小相等，有一束粒子流通
过电场，又垂直进入一匀强磁场，则运动轨迹相同的粒子，它们具有相同的（ ）
A．质量 B．电量 C．比荷 D．动能
2．（2022•河北）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图 1所示。金属板与可调电源相
连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直 xOy平面向外。电场强度和
磁感应强度随时间的变化规律如图 2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为 m、电
荷量为q（q＞0），初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量
求：
2πm
（1）t＝0时刻释放的粒子，在t= 时刻的位置坐标；
qB
0
6πm
（2）在0～ 时间内，静电力对t＝0时刻释放的粒子所做的功；
qB
0
（3）在M（ 4πE 0 m ， π2E 0 m ）点放置一粒子接收器，在0～6πm时间内什么时刻释放的粒
qB2 4qB2 qB
0 0 0
子在电场存在期间被捕获。一.知识回顾
1.组合场概念：
静电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，静电场、磁场分时间段交替出
现。
2．三种场的比较
项目
力的特点 功和能的特点
名称
大小：G＝mg 重力做功与路径无关
重力场
方向：竖直向下 重力做功改变物体的重力势能
大小：F＝qE
方向：①正电荷受力方向与场强 静电力做功与路径无关
静电场 方向相同 W＝qU
②负电荷受力方向与场强方向相 静电力做功改变电势能
反
洛伦兹力大小：F＝qvB 洛伦兹力不做功，不改变带电粒
磁场
方向：根据左手定则判定 子的动能
3．带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动。
(2)匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与静电力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂
直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。
(3)较复杂的曲线运动
当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。
(4)分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程
由几种不同的运动阶段组成。
4．常见的基本运动形式
电偏转 磁偏转
偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场
示意图
受力情况 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力
运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动
运动轨迹 抛物线 圆弧
物理规律 类平抛运动规律、牛顿第二定律 牛顿第二定律、向心力公式
qvB＝，r＝
L＝vt，y＝at2
基本公式 T＝，t＝
a＝，tanθ＝
sinθ＝
静电力既改变速度方向，也改变速 洛伦兹力只改变速度方向，不改
做功情况
度大小，对电荷做功 变速度大小，对电荷永不做功
二.例题精析
题型一： 组合场（匀变速直线运动+匀速圆周运动）
例1．如图所示，从离子源产生的某种离子，由静止经加速电压 U加速后在纸面内水平向右运动，
自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度为 B，磁场左边
界竖直。已知离子射入磁场的速度大小为v，并在磁场边界的N点射出；不计重力影响和离子间
的相互作用。
（1）判断这种离子的电性；
q
（2）求这种离子的荷质比 ；
m
（3）求MN之间的距离d。题型二： 组合场（类平抛运动+匀速圆周运动）
例2．一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在 xOy平面内的截面如图所示；中间是
磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场
的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N
为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行。一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴
正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出。不计重
力。
（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；
（2）求该粒子从M点入射时速度的大小；
π
（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为 ，求该粒子的比荷及其从M
6
点运动到N点的时间。
三.举一反三，巩固练习
1. 质谱仪是研究同位素的重要工具，重庆一中学生在学习了质谱仪原理后，运用所学知
识设计了一个质谱仪，其构造原理如图所示。粒子源 O可产生a、b两种电荷量相同、质量不
同的粒子（初速度可视为0），经电场加速后从板AB边缘沿平行于板间方向射入，两平行板
AB与CD间存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，板间距为 L，板足够长，a、b粒子最终分别
1
打到CD板上的E、F点，E、F到C点的距离分别为 L和L，则a、b两粒子的质量之比为（
2
）5 25 1 1
A． B． C． D．
8 64 2 4
2. 如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限内有一虚线，虚线与x轴正方向间夹角 ＝
30°。虚线上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝0.75×10﹣3T。虚线下方到第四象θ限
q
内有与虚线平行、电场强度E＝20N/C的匀强电场。一比荷 =2×105C/kg的带电粒子从y轴
m
正半轴上的P点以速度v ＝300m/s沿x轴正方向射入磁场，粒子进入磁场后，从虚线上的M
0
点（M点图中未画出）垂直虚线方向进入电场（不计重力），则（ ）
A．该带电粒子一定带正电
B．OM之间的距离为2m
C．粒子第一次穿过虚线后与x轴间的最小距离约为0.98m
D．粒子第一次穿过虚线后能击中x轴
3. 如图所示，一平行板电容器，右极板接电源正极，板长为 2d，板间距离为d。一带电
量为q、质量为m的负离子（重力不计）以速度v 贴近左极板沿极板方向射入，恰从右极板下
0
边缘射出。在右极板右侧空间存在垂直纸面方向的匀强磁场（未标出）。要使该负离子在磁场
中运动后，又恰能直接从右极板上边缘进入电场，则（ ）A．磁场方向垂直纸面向里
B．磁场方向垂直纸面向外，向里都有可能
mv
C．磁感应强度大小为 0
qd
3√2πd
D．在磁场中运动时间为
2v
0
4. 如图所示，氕 、氘 、氚 三种核子分别从静止开始经过同一加速电压U
1H 2H 3H 1
1 1 1
（图中未画出）加速，再经过同一偏转电压U 偏转，后进入垂直于纸面向里的有界匀强磁场，
2
氕 的运动轨迹如图。则氕 、氘 、氚 三种核子射入磁场的点和射出磁场的点
1H 1H 2H 3H
1 1 1 1
间距最大的是（ ）
A．氕 B．氘 C．氚 D．无法判定
1H 2H 3H
1 1 1
5. （多选）如图所示，以坐标原点O为圆心、半径为R的区域内存在方向垂直xOy平
面向外的匀强磁场。磁场左侧有一平行y轴放置的荧光屏，相距为d的足够大金属薄板K、A
平行于x轴正对放置，K板中央有一小孔P，K板与磁场边界相切于P点，K、A两板间加有恒
定电压，K板电势高于A板电势。紧挨A板内侧有一长为3d的线状电子源，其中点正对P孔。
电子源可以沿xOy平面向各个方向发射速率均为v 的电子，沿y轴进入磁场的电子，经磁场偏
02mv
转后垂直打在荧光屏上。已知电子的质量为m，电荷量为e，磁场磁感应强度B= 0，不计
eR
电子重力及它们间的相互作用力。则（ ）
A．K，A极板间的电压大小为mv2
0
e
4√3d
B．所发射电子能进入P孔的电子源的长度为
3
C．荧光屏上能有电子到达的区域长度为R
πR
D．所有达到荧光屏的电子中在磁场中运动时间最短为
6v
0
6. （多选）圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面
的匀强磁场（未画出），磁场边缘上的A点有一带正电粒子源，OA竖直，MN与OA平行，
且与圆形边界相切于B点，在MN的右侧有范围足够大水平向左的匀强电场，电场强度为 E。
当粒子的速度大小为v 且沿AO方向时，粒子刚好从B点离开磁场。不计粒子重力和粒子间的
0
相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向外
v
B．粒子的比荷为 0
BRπR
C．粒子在磁场中运动的总时间为
2v
0
2BR
D．粒子在电场中运动的总时间为
E
7. （多选）如图，与水平面成45°角的平面MN将空间分成Ⅰ和Ⅱ两个区域。氕核和氘
核分别以相同的初动能E 从平面MN上的P点水平向右射入Ⅰ区。Ⅰ区存在匀强电场，电场
k
强度大小为E，方向竖直向下；Ⅱ区存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向
里。已知氕核、氘核的质量分别为 m、2m，电荷量均为+q，不计氕核和氘核的重力。下列说
法正确的是（ ）
A．氕核和氘核第一次进入Ⅱ区时的速度方向相同
B．氘核第一次进入Ⅱ区时的速度大小为√10E
k
m
C．氕核在Ⅱ区做匀速圆周运动的半径为√5mE
k
qB
D．氕核和氘核第一次刚出Ⅱ区时的位置相距2（ 1）√mE
√2- k
qB
8. 如图甲所示，圆形区域内有一磁感应强度大小为 B、垂直纸面向外的匀强磁场；紧挨
着竖直放置的两平行金属板，M板接地，中间有一狭缝。当有粒子通过狭缝时N板有电势，
且随时间变化的规律如图乙所示。在圆形磁场P处的粒子发射装置，以任意角射出质量m、电
荷量q、速率v 的粒子，在磁场中运动的轨迹半径与圆形磁场的半径正好相等。从圆弧ab之间
0
离开磁场的粒子均能打在竖直放置的N板上，粒子间的相互作用及其重力均可忽略不计。求这
部分粒子。（1）在磁场中运动的最短时间t；
（2）到达N板上动能的最大值E ；
km
（3）要保证到达N板上速度最大，MN间距离应满足的条件。
9. 如图所示，坐标系xOy第一象限内有场强大小为E，方向沿x轴正方向的匀强电场，
第二象限内有磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面且与x轴相切于P点的圆形匀强磁场
2eBl
区域（图中未画出），P点的坐标为（﹣3l ，0），电子a、b以大小相等的速度v= 0从P
0
m
π
点射入磁场，b沿+y方向，a、b速度方向间的夹角为 （0＜ ＜ ），a、b经过磁场偏转后
2
θ θ
均垂直于y轴进入第一象限，b经过y轴上的Q点。已知电子质量为m、电荷量为e，不计电
子重力。
（1）求Q点的坐标；
（2）求a、b第1次通过磁场的时间差Δt；
（3）a、b离开电场后途经同一点A（图中未画出），求A点的坐标及a从P点运动至A点的总
路程s。
10. 显像管电视机已渐渐退出了历史的舞台，但其利用磁场控制电荷运动的方法仍然被广
泛应用。如图为一磁场控制电子运动的示意图，大量质量为m，电荷量为e（e＞0）的电子从P点飘进加速电压为U的极板，加速后的电子从右极板的小孔沿中心线射出，一圆形匀强磁场
1 √6mU
区域，区域半径为R，磁感应强度大小B= ，方向垂直于纸面向里，其圆心O 位于
1
3R e
中心线上，在O 右侧2R处有一垂直于中心线的荧光屏，其长度足够大，屏上 O 也位于中心
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线上，不计电子进电场时的初速度及它们间的相互作用，R，U，m，e为已知量。求：
（1）电子在磁场中运动时的半径r；
（2）电子从进入磁场到落在荧光屏上的运动时间；
（3）若圆形磁场区域可由图示位置沿y轴向上或向下平移，则圆形区域向哪个方向平移多少距
离时，电子在磁场中的运动时间最长？并求此情况下粒子打在荧光屏上位置离O 的距离。
2
