文档内容
专题 10 静电场
常考考点 真题举例
根据电场线的疏密比较电场强弱 带电粒子在电场中的电
2024·广东·高考真题
势能
等量异种电荷连线中垂线和连线上的电场强度分布图像 2024·北京·高考真题
电场力做的功及电势能的变化 ψ-x图像的物理意义 2024·重庆·高考真题
根据带电粒子的运动轨迹判断其运动、受力、电势高低和能 2024·甘肃·高考真题
量转化情况掌握两种电荷及其相互作用的规律，理解三种起电方式的本质，能用电荷守恒的观点分析静电现象，
掌握元电荷的概念；
掌握点电荷模型，并会应用库仑定律计算两点电荷之间的相互作用，会利用库能力的叠加规则计算多
个点电荷之间的相互作用力，能结合力学解决库仑力作用下的电力平衡问题；
掌握电场的概念和电场强度的概念以及计算公式，会用电场线描述电场，熟悉几种常见电荷模型的电
场线分布特点，掌握电场强度叠加的求解方法；
掌握电势能、电势的含义，掌握静电力做功与电势能变化的关系.掌握匀强电场中电势差及其与电场强
度的关系；
掌握静电场中导体的特性，了解静电平衡状态下导体内电荷的分布特点，了解静电屏蔽、尖端放电；
掌握电容的定义及其定义式，掌握电容器的充电、放电过程，会计算电容器充、放电电荷量，影响平
行板电容器电容大小的因素，能利用公式判断平行板电容器电容的变化；
学会分析电场中各种图像问题，理解图像斜率、面积等表示的物理意义并能解决相关问题；
掌握带电粒子在电场和重力场的复合场中的运动规律，会分析、计算带电粒子在交变电场中的偏转问
题，会用动力学、能量和动量观点分析带电粒子的力电综合问题。
核心考点01 电荷
一、电荷.................................................................................................................................................................4
二、三种起电方式.................................................................................................................................................4
三、电荷守恒定律.................................................................................................................................................5
四、元电荷.............................................................................................................................................................6
核心考点02 库仑定律..................................................................................................................................................6
一、点电荷.............................................................................................................................................................6
二、库仑定律.........................................................................................................................................................6
三、三个点电荷平衡问题....................................................................................................................................8
核心考点03 电场力的性质..........................................................................................................................................9
一、电场.................................................................................................................................................................9
二、电场强度.........................................................................................................................................................9
三、电场线...........................................................................................................................................................11
四、静电力作用下的力学问题..........................................................................................................................13
核心考点04 电场能的性质........................................................................................................................................14
一、静电力做功...................................................................................................................................................14
二、电势能...........................................................................................................................................................15三、电势...............................................................................................................................................................17
四、电势差...........................................................................................................................................................19
五、静电力做功与电势差的关系......................................................................................................................20
六、电场强度与电势差的关系..........................................................................................................................20
七、等势面...........................................................................................................................................................22
八、电场中的图像问题......................................................................................................................................23
核心考点05 静电场中的导体....................................................................................................................................28
一、静电平衡.......................................................................................................................................................28
二、尖端放电.......................................................................................................................................................29
三、静电屏蔽.......................................................................................................................................................29
四、电容器...........................................................................................................................................................30
五、电容...............................................................................................................................................................31
六、平行班电容器...............................................................................................................................................32
核心考点06 带电粒子在电场中的运动...................................................................................................................35
一、带电粒子在电场中的平衡和非平衡问题................................................................................................35
二、带电粒子在电场中的直线运动................................................................................................................35
三、带电粒子在电场中的偏转........................................................................................................................35
四、示波器........................................................................................................................................................38
五、电场线、等势线（面）与运动轨迹问题................................................................................................39
六、带电体在等效场中的运动问题................................................................................................................40
七、带电粒子在交变电场中的运动................................................................................................................41
八、电场中的力电综合问题............................................................................................................................44
核心考点 01 电荷
一、电荷
1、两种电荷
自然界中只存在两种电荷，即 正 电荷 和 负 电荷 。
正电荷：用丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷。负电荷：用毛皮摩擦过的橡胶棒所带的电荷。
2、电荷间的相互作用
同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
3、电荷量
电荷的多少叫做电荷量，用Q表示（或者用q表示）；国际单位为库仑，简称库，符号是C。正电荷
的
电荷是正值，负电荷的电荷量为负值。
4、物体的微观结构
①原子由带正电的原子核和核外带负电的电子组成，原子核由带正电的质子和不带电的中子组成。原
子核中正电荷的数量与核外电子负电荷的数量相等，所以整个原子对外界表现为电中性。
②不同物质微观结构不同，由于原子或分子间的相互作用，原子中电子的多少和运动状况也不相同。
例如，金属原子的电子往往会脱离原子核的束缚而在金属中自由活动，这种能自由活动的电子叫做自由电
子，失去电子的原子便成了带正电的离子。
二、三种起电方式
1、摩擦起电
两个物体互相摩擦时，电子从一个物体转移到另一个物体，原来呈电中性的物体由于得到电子带负电，
失去电子的物体则带正电。
2、感应起电
当一个带电体靠近导体时，由于电荷间相互吸引或排斥，导体中的自由电荷便会趋向或远离带电体，
使导体靠近带电体的一端带异号电荷，远离带电体的一端带同号电荷。
利用静电感应使金属导体带电的过程叫做感应起电。
3、接触起电
当一个带电体接触导体时，电荷会发生转移，使这个导体也带电。
4、三种方式的比较：
起电方式 摩擦起电 感应起电 接触起电
实质 电荷在物体内部或物体之间转移
导体两端出现等量异种
导体上带上与带电
现象 两物体带上等量异种电荷 电荷，且电性与原带电
体相同电性的电荷
体“近异远同”
导体与带电导体接
产生条件 两个不同材料之间进行摩擦 导体靠近带电体时
触
导体中的自由电子受带
不同物质的原子核对核外电
正（负）电物体吸引 电荷在带电体与导
产生原因 子的束缚力不同而发生电子
（排斥）而靠近（远 体之间发生转移
得失
离）
注意 原子核不能自由移动，相互 导体靠近带电体的一端 无论是带电体与电
摩擦的两个物体间转移的不 带异种电荷，远离带电 中性物体接触还是
可能是正电荷，只能是电 体的一端带同种电荷。 两个带电体接触，子，即带正电的物体一定失 转移的一定时电
去了电子，带负电的物体一 子。
定得到了电子。
【注意】两个形状和大小相同的导体先接触后再分开时电荷的分配原则：若两者带同种电荷，二者带
相同电荷（若两带电体带同种电荷q 、q ，则两者接触后电荷量平均分配，即q′＝q′＝。）；若两导体带
1 2 1 2
异种电荷，则电荷先中和，再平分剩下的电荷（若两带电体带异种电荷q 、q ，则两者接触后电荷量先中
1 2
和，余下电荷再平分，即q′＝q′＝，电性与带电荷量大的带电体相同）。若带电导体球和不带电导体球接
1 2
触，则电荷平分。
5、验电器的原理
当带电体与验电器的金属球接触时，验电器的金属球带上电荷，与金属球相连的两个金属箔片带上同
种电荷，由于同种电荷相互排斥而张开。
【注意】带电体所带电荷量多少的判断：两个金属箔片所带电荷量越多，斥力越大，张开的角度也越
大。
三、电荷守恒定律
1、定义
电荷既不会创生，也不会消失，它只能从物体的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一
个物体。在转移的过程中，电荷的总量保持不变。
电荷守恒定律还有另一种表述：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和不变。
2、电荷守恒定律的理解
电荷守恒定律和能量守恒定律一样，也是自然界中最基本的守恒定律。
物体带电的实质是电荷发生了转移，也就是物体间或物体内部的电荷重新分布。玻璃棒和橡胶棒上带
的电是通过摩擦使物体之间发生了电子得失的现象。
带等量异种（同种）电荷的金属球接触发生电荷中和（平均分配）的过程实质是两球所带电荷经过转
移从而达到电中性（带等量同种电荷），这个过程电荷的总量并没有变（为零），电荷也是守恒的。
四、元电荷
1、定义
电荷的多少叫做电荷量，简称电量。其国际单位为库仑，简称库，符号是C。实验发现的最小电荷量
就是电子所带的电荷量。质子、正电子所带的电荷量与它相同，电性相反。人们把这个最小的电荷量叫做
元电荷（elementary charge），用e表示，e＝1.60×10－19 C，科学实验和理论表明物体带的电荷量是不能连
续变化的物理量，只能是元电荷的整数倍。
2、比荷
电子的电荷量 e和电子的质量 m 之比。电子的比荷是一个非常重要的物理量，其数值为＝ C/kg＝
e
1.76×1011 C/kg。
核心考点 2 库仑定律
一、点电荷
1、定义
当带电体间的距离比它们自身的大小大得多，此时带电体的形状、大小及电荷的分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体就可以看成有一定电荷量的点，叫做点电荷。
【注意】点电荷是一种理想化模型，实际并不存在。点电荷只有电荷量，是没有大小和形状的理想化
模型。
2、特点
带电体间的距离比它们自身大得多。
带电体的形状、大小及电荷的分布状况对电荷的作用的影响可以忽略。
3、条件
一个带电体能否看成点电荷，要看它本身的大小是否比它们之间的距离小得多，即使是比较大的带电
体，只要它们之间的距离足够大，也可以视为点电荷。
带电体自身的形状及大小比研究的距离小多少才能看成点电荷，还与所研究的问题要求的精度有关。
如果在测量精度要求的范围内，带电体的形状及大小对相互作用力的影响可以忽略不计时，那么带电体就
可以看成点电荷。
带电体能否看成点电荷，有时还要考虑带电体的电荷分布情况。
4、点电荷和元电荷的比较
点电荷 元电荷
区别 一种理想化模型，不用考虑带电体的大 最小的电荷量。
小和形状，其带的电荷量可以很大也可
以很小，但一定是元电荷的整数倍。
二、库仑定律
1、定义
真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成
反
比，作用力的方向在它们的连线上。这个规律叫做库仑定律。这种电荷之间的相互作用力叫做静电力
（electrostatic force）或库仑力。
2、库仑力的表达式
F＝k，其中k叫静电力常量。该常量的确定方法：在公式中的各物理量都采用国际单位时，k＝
9.0×109N·m2/C2。q、q 为点电荷电量，r是指两点电荷之间的距离。
1 2
3、方向
在两点电荷的连线上，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。
4、适用条件
真空中静止的点电荷。
【注意】一般在空气中也近似成立。
5、库仑力的计算方法
先计算大小（代入电荷量q 、q 的绝对值）；再判断方向（同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引）。
1 2
6、多个点电荷库仑力的分析
对于多个点电荷，其中每一个点电荷所受的总的库仑力等于其它点电荷分别单独存在时对该点电荷的
作用力的矢量和。7、对库仑力的理解
库仑力是电荷之间的一种相互作用力，具有自己的特性，对物体的平衡和运动起着独立的作用，因此
受力分析时不能漏掉。
库仑定律即适用静止电荷也适用运动电荷。
不能根据F＝k推出当r→0时，F→∞的结论，原因是当r→0时，两带电体已不能看成点电荷，该公式
已经不再适用，况且实际电荷还有一定的线度。
对于两个均匀带电绝缘球体，可以将其视为电荷集中于球心的点电荷，r为两球心之间的距离。
【注意】对于两个带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布。例如两个带同种电荷的小球距离
q q
Fk 1 2
近，如下图所示，由于异种电荷互相排斥，则库仑力
r2
。
由公式F＝k可以得出当r及q+ q 一定的条件下，当q ＝q 时，F最大（根据数学知识基本不等式可
1 2 1 2
以得出该结论）。
8、库仑定律与万有引力定律
定律 库仑定律 万有引力定律
公式 F＝k F＝G
影响因素 q、q、r m、m、r
1 2 1 2
区别 与两物体电荷量有关，有 与两个物体质量有关，
引力、斥力 只有引力
适用条件 真空中点电荷的相互作用 质点的相互作用
共同点 都与距离平方成反比；都有一个常量，该常量都可
用扭秤实验得出。
三、三个点电荷平衡问题
1、三个均为自由电荷
平衡条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电
场强度为零的位置。
解题思路：根据平衡条件对其中的任意两个电荷列式即可。
特点：位置上表现为三点共线和近小远大；电性上表现为两同夹异；电荷量上表现为两大夹小。
2、其中两个点电荷固定
平衡条件：中间点受到另外两个点电荷的合力为零或中间点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强
度为零的位置。
解题思路：根据平衡条件对中间的点电荷列式即可。特点：位置上表现为三点共线和近小远大；电性无要求；电荷量也无要求。
如图所示，同一直线上的三个点电荷 、 、 ，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受
其他外力作用。已知 、 间的距离是 、 间距离的2倍。下列说法错误的是（ ）
A．若 、 为正电荷，则 为负电荷
B．若 、 为负电荷，则 为正电荷
C．
D．
【答案】C
【详解】AB．三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，近小远大”原理，
即两边的电荷电性相同和中间的电性相反，则q1、q3电性一定相同，q2电性一定与前两者相反，故
AB正确，不符合题意；CD．根据库仑定律，根据平衡，对 有 解得 。对于
有 ，解得 ，所以 故C错误，符合题意；D正确，不符合题意。
核心考点 3 电场力的性质
一、电场
1、定义
电荷在其周围产生的一种特殊物质，电场的性质是对放入其中的电荷有力的作用。
静电场：静止的电荷产生的电场。
3、对电场的理解
电场看不见，摸不着，与实物一样具有能量和动量，是物质存在的一种特殊形式。
电荷间的相互作用是通过电场发生的，不存在超距作用。电荷间的相互作用如下图所示：
电场与实物是物质存在的两种不同形式。
电荷周围一定存在电场，静止的电荷周围存在静电场，而运动的电荷周围存在变化的电场。【注意】电场的基本性质是对放入其中的电荷有力的作用。
二、电场强度
1、定义
放入电场中某一点的电荷受到的电场力 F跟它的电荷量 q的比值，叫做该点的电场强度。
2、表达式为
E＝ ，单位为N/C或V/m。
3、方向
规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向。
4、物理意义
反映电场本身力的性质，定量描述电场的大小和方向，与检验电荷受到的静电力大小没有关系。
【注意】用来检验电场是否存在及其强弱分布情况的电荷称为试探电荷，也叫检验电荷；激发电场的
电荷称为场源电荷，也叫源电荷。
5、对电场强度的理解
电场强度反映的是电场本身力的性质。
电场强度是矢量，既描述电场的大小，也规定了方向。正电荷所受电场力的方向与电场强度的方向相
同，负电荷所受电场力的方向与电场强度的方向相反。
电场中某点的电场强度是唯一的，由电场本身特性（形成电场的电荷及空间位置）决定的，与是否放
入试探电荷、放入电荷的电性、电量的多少均无关。
6、电场强度的叠加
电场强度的叠加本质是矢量的叠加，叠加规则为平行四边形法则。
电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。
比较大的带电体的电场，可把带电体分成若干小块，没小块看成点电荷，用点电荷电场强度叠加的方
法计算带电体的电场。
7、电场强度计算公式的比较
公式 E＝ E＝k E＝
真空中点电荷的电场强度 匀强电场中E与U的关
公式意义 电场强度定义式
决定式 系式
给出了一种量度电场强弱 表明了点电荷场强大小的 表明匀强电场的场强大
意义
的方法 决定因素 小的决定因素
适用范围 一切电场 ①真空；②点电荷 匀强电场
由电场本身决定，与检验 由场源电荷Q和场源电荷 由电场本身决定，d为两
决定因素
电荷q无关 到该点的距离r共同决定 点沿场强方向的距离
式中电荷 q为检验（或试探）电荷 Q为产生电场的点电荷的 无
的意义 的电荷量 电荷量
关系理解 E用F与q的比值来表 E不仅用Q、r来表示，且 电场强度在数值上等于示，但E的大小与F、q E∝Q， 沿电场方向单位距离上
大小无关 E∝1/r2 降低的电势。
F∝q，E与F、q无关， 由电场强度和库仑定律联 由F＝qE和W＝qU联立
推导过程
反映某点电场的性质。 立推导。 推导。
8、特殊电场的场强计算
等效法：在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。例如：一个
点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如下图甲、乙所示。
对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为
简化。例如：如下图所示，在半球面 上均匀分布着正电荷，总电荷量为q，球面半径为R， 为通过
半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点， ，已知N点的电场强度大小为E，静
电力常量为k，则M点的电场强度大小的计算思路如下：假设在O点有一个完整的带电荷量为2q的带电球
壳，设完整球壳在M点产生的场强大小为 ，左半球壳在M点产生的电场强度大小为 ，右半球壳在M
点产生的电场强度大小为 ，根据电场叠加原理有 根据题意 ，根据对称性可得
，
解得 。
填补法：将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为
易、事半功倍。
【注意】点电荷电场、匀强电场场强叠加一般应用合成法即可；均匀带电体与点电荷场强叠加一般应
用对称法；计算均匀带电体某点产生的场强一般应用补偿法或微元法。
三、电场线
1、定义
为了形象描述电场而假想的一条条有方向的曲线。曲线上每一点的切线的方向表示该点的电场强度的
方向。
2、特点
电场线既不相交也不闭合。这是因为在电场中任意一点的电场强度不可能有两个方向。电场线从正电荷或无穷远处出发，终止于负电荷或无穷远处。
电场线上每一点的切线方向就表示该点电场强度的方向，正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相
同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反。
电场线不是实际存在的曲线，是为了形象描述电场而假想的。
【注意】电场线不一定是电荷的运动轨迹。电场线与运动轨迹重合需满足三个条件：电场线为直线；
带电粒子初速度为零，或速度方向与电场线平行；带电粒子仅受电场力或所受其他力的合力方向与电场线
平行。
3、应用
判断电场强度的方向：电场线上每一点的切线方向就表示该点电场强度的方向。
判断电场力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点
切线方向相反。
判断电场强度的强弱（可用来判断电荷受力大小和加速度大小）：电场线密处电场强度大，电场线疏
处电场强度小。
判断电势的高低：沿电场线的方向电势逐渐降低。
判断电势降低的快慢：电场强度的方向是电势降低最快的方向。
4、几种常见电场线模型
单独正负点电荷的电场线如下图所示，特点：正点电荷的电场线呈空间球对称分布指向外部，负点电
荷的电场线呈空间球对称分布指向内部；离点电荷越近，电场线越密，场强越大；以点电荷为球心作一球
面，则电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小相等，但方向不同。
等量同种点电荷的电场线如下图所示，特点：关于中心点O点的对称点，场强等大反向；两点电荷连
线上，中点O处场强为零，向两侧场强逐渐增大；两点电荷连线的中垂线上由中点O到无限远，场强先变
大后变小，场强最大值的位置位于中点和无限远之间的某一点。
等量异种点电荷的电场线如下图所示，特点：关于中心点对称的点，场强等大同向；两点电荷连线上，
沿电场线方向场强先变小再变大，中点处场强最小；两点电荷连线的中垂线上电场强度方向都相同，总与
中垂线垂直且指向负点电荷一侧；沿中垂线从中点到无限远处，场强一直减小，中点处场强最大。匀强电场的电场线如下图所示，特点：分布均匀且间隔相等的平行直线；匀强电场中各点的场强大小
相等、方向相同；匀强电场的电场线可以用间隔相等的平行线来表示；带电粒子在匀强电场中受到恒定的
静电力作用。
【注意】等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较如下表所示：
比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线的分布图
沿连线先变小后变大，
沿连线先变小后变大，中
连线上的场强 中点O处的电场强度为
点O处的电场强度最小
零
O点最小，向外先变大
中垂线上的电场强度 O点最大，向外逐渐变小
后变小
关于O点对称点的场
强(如A与A′、B与 等大同向 等大反向
B′、C与C′等)
四、静电力作用下的力学问题
共点力作用下的平衡问题：静电力作用下平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，
只是在原来受力的基础上多了电场力。
具体分析步骤如下：①确定研究对象，根据问题的需要，选择整体法或隔离法；②进行受力分析（多
了电场力：F＝k或者F＝qE）；③列平衡方程（F ＝0或者F＝0，F＝0）。
合 x y
动力学问题的分析思路：①选择研究对象(多为一个带电体，也可以是几个带电体组成的系统)；②对
研究对象进行受力分析，包括电场力、重力(电子、质子、正负离子等基本粒子在没有明确指出或暗示时
一般不计重力，带电油滴、带电小球、带电尘埃等带电体一般计重力)；③分析研究对象所处的状态是平
衡状态(静止或匀速直线运动)还是非平衡状态(变速运动等)；④根据平衡条件或牛顿第二定律列方程求解。如图所示的三维直角坐标系O-xyz中，在A（a，0，0）和B（0，a，0）点放置等量的异种点电荷，电
量分别为＋q和－q，则坐标为 处的电场强度E的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在O-xyz标系中作出如下图所示（下左图）棱长为a的正方体，则坐标为 的点为正
方体的几何中心，为此作出正方体对角面如图（下右图）
根据场的叠加知，正方体中心处的电场强度方向沿AB平行线方向，A、B点到正方体中心的距离为
，则 ，又由几何关系有 ，联立解得
。
核心考点 4 电场能的性质
一、静电力做功
1、特点
不管静电力是否变化，是否是匀强电场，是直线运动还是曲线运动，静电力做功与电荷的起始位置和
终止位置有关，与电荷经过的路径无关。
正电荷沿着电场线方向移动时电场力做正功，负电荷沿着电场线方向移动时电场力做负功。
【注意】当静电力与位移两者的方向小于90°时，静电力做正功；当静电力与位移两者的方向等于90°
时，静电力不做正功；当静电力与位移两者的方向大于90°时，静电力做负功。
2、求电场力做功的方法
W =qElcosα
公式法： AB ，仅适用于匀强电场。
动能定理：W ＋W ＝ΔE。
电 其 k
电势差（电势）的关系：W＝qU ＝q(φ －φ )。
AB A BW =−ΔE
电势能的关系： AB P。
3、电场中常见的功能关系
若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。
所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。
若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。
二、电势能
1、定义
电荷在电场中具有的能叫做电势能，符号用E 表示，单位为J。
p
2、电势能与电场力做功的关系
电场力做的功等于电势能的减少量，即W ＝E －E 。电场力做正（负）功，电势能减少（增加）。
AB pA pB
该公式适用于匀强电场，也适用于非匀强电场；适用于正电荷，也适用于负电荷。
3、大小
电势能的大小等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。该物理量为标量，正号表示电势
能大于零势能点位置，负号表示电势能小于零势能点位置。
【注意】正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小。
4、零势能点的选取
通常把离场源电荷无穷远处或者大地表面的电势能规定为零。
5、对电势能的理解
标量性：电势能是标量，正负不表示方向。在规定零势能点后，正值表示电势能大于零势能点位置，
负值表示电势能小于零势能点位置。
相对性：电势能是相对于零势能面来说的，零势能面选取不同，对于同一个点来讲电势能可能不同。
系统性：电势能不是电荷所具有的能量，是电荷和场源电荷（为空间提供电场的电荷）所共同具有的
能量。
6、电势能大小的判断方法
做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加。
【注意】正负电荷都适用这个规律。
场源电荷判断法：离场源正电荷越近，正电荷电势能越大，负电荷的电势能越小；离场源负电荷越近，
正电荷电势能越小，负电荷的电势能越大；
电场线法：正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小，正电荷逆着电场线的方向移动时，电
势能逐渐增大；负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大，负电荷逆着电场线的方向移动时，电
势能逐渐减小。
公式法：将电荷量、电势连同正负号一起代入公式 E ＝qφ，正E 的绝对值越大，电势能越大；负E
p p p
的绝对值越大，电势能越小。
能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加。
7、电势能与重力势能的比较
物理量 电势能 重力势能
定义 电场中的电荷具有的势能 重力场中的物体具有的势能
做功特点 只与初末位置有关，与经路径无关，所做的功等于势能的减少量
系统性 电荷和电场 物体和地球
相对性 电荷在某点的电势能等于把电 物体在某点的重力势能等于把
荷从该点移到零势能位置时静 物体从该点移到零势能位置时
电力做的功 重力做的功
区别 电荷有极性 物体无极性如图所示， 是竖直平面内圆的一条竖直直径， 是该圆的另一条直径， ，该圆处于匀
强电场中，场强方向平行于圆。带等量负电荷的相同小球从O点以相同的动能沿不同方向射出，小球
能够到达圆周上任意一点。小球在经过这些点时，过点A的小球的动能最小。忽略空气阻力，则下列
说法中正确的是（ ）
A．可以断定电场方向由C指向A
B．小球经过圆周上的不同点时，过B点的小球的动能和电势能之和最小
C．若小球带电量和质量分别为q和m，则电场强度的最小值为
D．小球经过圆周时，机械能最小的小球应经过圆弧 上的某一点
【答案】B
【详解】A．在这个电场中，小球受到重力与电场力影响，在 A点动能最小，速度也最小，说明OA方
向发射的小球克服合力做功最大，也就是说在这个电场跟重力场中，合力方向是 OC，对O点小球受力
分析，重力竖直向下，合力方向指向OC，则电场力方向指向为OB与OC之间，即电场方向应该是由O
指向AD弧方向，故A错误；B．由于只有重力和电场力做功，故任何点的小球，动能、重力势能、电
势能之和为定值，显然B点的重力势能最大，那么肯定B点的动能与电势能之和最小，故B正确；C．
合力方向一定时，已知其中一个分力的大小和方向，则当另一个分力与合力方向垂直时，这一分力最
小，因此可知电场力垂直于OC向右时最小，最小为 ，则电场强度的最小值为 ，
故C错误；D．机械能（重力势能+动能）最小，即电势能最大的地方，应该在弧线AD（劣弧）之间，
故D错误。
三、电势
1、定义
电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势。在数值上等于单位正电荷由
该点移到零电势点时电场力所做的功。
2、 表达式
E
p
ϕ=
q
，单位为伏特，符号为V，其中1V=1J/C。3、电势的特性
标量性：电势是标量，只有大小，没有方向。在规定了零电势点后，正值表示电势大于零电势点位置，
负值表示电势小于零电势点位置。
相对性：电场中各点电势的高低，与所选取的零电势点的位置有关。同一点的电势因选取零电势点的
不同而不同，通常取无限远处或地球表面为零电势点。
固有性：电场中某点电势的大小是由电场本身的条件决定的，与在该点是否放着电荷、电荷的电性、
电荷量均无关。
4、三个重要结论
①电势与电场强度大小没有必然的联系，某点的电势为零，电场强度可能不为零；某点电势不为零，
电场强度可能为零。
解释：电势是一个电场强度对位移的积分过程，在这个中某些位置场强为零，但是积分结果可以不为
零。
②沿电场线线方向电势逐减降低。
解释：如下图，正电荷从A点运动到B点，电场力做正功，电势能减少，电势降低；负电荷从从A点
运动到B点，电场力做负功，电势能增加，电势降低。
③沿着电场线方向电势降低最快。
解释：如下图，从匀强电场中一等势面上的A点沿三条不同路径 AB、AC、AD到达另一等势面，这三
条路径电势的减少值是一样的，但是沿AC路径最短，所以电势降低最快。
5、电势高低的判断方法
电势能法：正电荷在电势能较高处电势大，负电荷在电势能较低处电势大。
电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低。
场源电荷法：规定无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷
处电势高，靠近负电荷处电势低。
做功法：根据U ＝，将W 、q的正负号代入，由U 的正负判断φ 、φ 的高低。
AB AB AB A B6、电势与电势能的比较
电势φ 电势能E
p
电荷在电场中某一点的电势能与它
定义 电荷在电场中具有的能叫做电势能
的电荷量的比值
单位 伏特V 焦耳J
物理意
反映电场能的性质的物理量 反映电荷在电场中某点所具有的能量
义
影响因 电势大小只跟电场本身有关，跟点 电势能的大小是由点电荷q和该点电
素 电荷q无关 势φ共同决定的
对于正点电荷，其电势能的正负跟电
规定零电势点后，某点的电势高于 势
大小 零，则为正值；某点的电势低于 的正负相同；对于负点电荷，其电势
零，为负值。 能
的正负跟电势的正负相反。
联系 φ＝或E＝qφ，二者均是标量，均具有相对性。
p
四、电势差
1、定义
电场中两点间电势的之差，叫做电势差，也叫电压。单位为伏特，符号为V。
W
AB
W
q
电荷在电场中由一点A移动到另一点B时，电场力所做的功 AB 与电荷量q的比值 叫做AB两点
W
AB
U =
AB q
间的电势差，即 。
2、表达式
电场中A点的电势为φ ，B点的电势为φ，则有 和 ，故 。
A B
3、对电势差的理解
固有性：电势差是表述电场性质的物理量，与初末位置有关，与移动的电荷所带电荷量及电场力做功
等无关。
标量性：电势差是标量，有正负，无方向。正负表示电场中两点间的电势的高低。
绝对性：电势差的大小是绝对的，与零电势的选取无关。
4、电势和电势差的比较
电势φ 电势差U
在电场中电势能与电量比
定义 电场中两点间电势的之差。
值。
区
U＝（ ）
别 公式 φ＝
影响因素 由电场和在电场中位置决 由电场内两点位置决定。定。
相对性/绝 具有相对性，与零势能点选 具有绝对性，与零势能点选取无
对性 取有关。 关。
数值关系 U ＝φ －φ ，当φ ＝0时，U ＝φ 。
AB A B B AB A
联 单位 相同，均为V。
系 固有性 都是表示电场性质（电场能）的物理量。
标量性 都是标量，但均具有正负。
五、静电力做功与电势差的关系
1、关系
W =qU 或U ＝。
AB AB AB
2、物理意义
电势差是表征电场能的性质的物理量，在数值上A、B两点间的电势差等于单位正电荷由A点移动到
B点时电场力做的功。
【注意】公式U ＝是电势差的定义式，不能认为U 与W 成正比、与q成反比，只是利用W 与q
AB AB AB AB
的比值来计算U ；由U ＝可以得出U 在数值上等于单位正电荷由A点移到B点时电场力所做功W 。
AB AB AB AB
3、电场力做功的方法
方法 公式 适用范围
定义法 W＝FL＝qELcosθ 适用于匀强电场
电势差法 W =qU 既适用于匀强电场也适用于非匀强
AB AB
动能定理 W +W ＝ΔE 电场；既适用于只受电场力的情
静电力 其他力 k
功能关系 W ＝E −E ＝−ΔE 况，也适用于受多种力的情况。
AB pA pB p
六、电场强度与电势差的关系
1、关系式
U ＝Ed或E＝。
AB
2、适用条件
只适用于匀强电场。
3、物理意义
公式U ＝Ed的物理意义：在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离
AB
的乘积。U为匀强电场中两点的电势差的绝对值，E是匀强电场的电场强度的大小，d是匀强电场
中这两点在电场强度方向上的距离（或者是匀强电场中过这两点的等势面间的距离）。
公式E＝的物理意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向距
离的。
【注意】电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向，电场强度是电势差对空间位置的变化率，
反映了电势随空间变化的快慢。
4、电势差的求解方法
公式 U ＝ϕ －ϕ U ＝ U＝Ed
AB A B AB含义 电场中两点间电 A、B两点间的电势差 匀强电场中两点间的电
势的之差。 等于单位正电荷由A点 势差等于电场强度与这
两点沿电场方向的距离
移动到B点时电场力做
的乘积。
的功。
适用条件 既适用于匀强电场也适用于非匀强电场。 适用于匀强电场。
5、用等分法确定等势线和电场线
匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φ＝，如图甲所示；匀强电场中若两线段
C
AB∥CD，且AB＝CD，则U ＝U （或φ－φ＝φ－φ），同理有U ＝U ，如图乙所示。
AB CD A B C D AC BD
电场线的确定方法：先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出
电场线（电场线的方向：由电势高的等势面指向电势低的等势面）。
6、E＝在非匀强电场中的定性分析
公式中的E可理解为距离为d的两点间的平均电场强度。
电势差一定时，场强越大，则沿场强方向的距离越小，此时等差等势面越密。
距离相等的两点间的电势差：场强越大，电势差越大；场强越小，电势差越小。可以用来判
断电势的高低。
Δϕ U
k= = =E
利用ϕ－x图像的斜率判断电场强度：曲线斜率 Δx d x ，斜率表示电场强度的大小，
正负表示电场强度的方向。
一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内acbO为矩形，a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势
分别为 、 、 。则下列说法正确的是（ ）
A．坐标原点处的电势为 B．电场强度的大小为
C．电子在b点的电势能比在c点小 D．电子从a点运动到b点，电场力做功为【答案】B
【详解】A．在匀强电场中平行等间距的线段上两端点间的电势差相等，则有
解得 ，A错误；
B．ac垂直于bc，沿ca和cb两方向的场强分量大小分别为
，
根据矢量合成可得，合场强大小为 ，B正确；
C．根据 解得，电子在a、b、c三点的电势能分别为 、 、 ，可知电子在b
点的电势能比在c点的大 ，C错误；
D．结合上述，根据电场力做功与电势能变化的关系可得，电子从a点运动到b点，电场力做功为
，D错误。
七、等势面
1、定义
在电场中，电势相同的各点构成的面叫做等势面。
2、特点
等势面上任意两点间的电势差为零，在等势面上移动电荷电场力不做功。
等势面一定与电场线垂直，即跟电场的方向垂直。
在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面也稀疏。
任意两个等势面都不相交。
等势面可以是封闭的，也可以是不封闭的。
电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
当导体处于静电平衡状态时，导体上各点电势都相等。
3、等势面的应用
根据等势面的分布确定电场线的分布。
由等差等势面的疏密程度判断电场线的强弱。
由等势面判断电场中各点电势的高低。
由等势面判断在电场中移动电荷时静电力的做功情况。
4、几种典型电场的等势能面
电场类型 图示 特点
点电荷的电 等势面是以点电荷为球心
场 的一簇球面。等量异种点 两点电荷连线的中垂面上是电
电荷的电场 势为零的等势面。
等量同种正 在两点电荷中心连线上，中点
点电荷的电 电势最低；而在中垂线上，中
场 点电势最高。关于中点左右对
称或上下对称的点电势相等。
匀强电场 等势面为垂直于电场线的一簇
等间距平面。如图为两点电荷Q、 位于x轴上，相邻等势面的电势差为 。若x轴上的M点和N点位于 等势
面上，P为等势面上一点，则以下说法不正确的是（ ）
A．N点的电场强度大小比M点的大 B．Q与 均为正电荷
C．M点与N点的电场方向相反 D．将一电子从P点移至M点，电子克服静电力做功
【答案】B
【详解】A．等差等势面的疏密程度反映了场强的大小，所以N点的电场强度大小比M点的大，A正
确；B．电场线总是从高等势面指向低等势面，根据等势面的高低可以判断Q为负电荷， 为正电荷，
B错误；C．沿着电场线的方向电势降低，结合各等势面的电势高低关系可知M点的电场方向沿x轴的
正方向，N点的电场方向沿x轴的负方向，两点场强方向相反，C正确；D．M点和P点之间有四个等
势线，而相邻的两个等势面之间的电势差为3V，则P点和M点的电势差为12V，所以将一电子从P点
移至M点，静电力做功为 ，即电子克服静电力做功为12eV，D正确。
八、电场中的图像问题
1、电场中的v－t图像
分析思路：由v－t图像中图线的斜率变化分析带电粒子的加速度a的大小变化；根据牛顿第二定律a
＝＝，判断电场强度E的大小变化；根据v－t图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，结合带电粒子
的电性分析电场强度的方向；由电场强度的大小和方向分析电场的其他性质，如电场线、等势面的分布及
电势的变化等。如图甲所示，有一竖直放置的绝缘圆环，圆环上均匀分布着正电荷，一绝缘光滑细杆过圆心沿垂直圆
环平面方向穿过圆环，细杆上套有一个质量为m＝10 g的带正电的小球，小球所带电荷量q＝5.0×10－4
C。小球从C点由静止释放，其沿细杆由C经B向A运动的v－t图像如图乙所示。小球运动到B点时，
速度图像的切线斜率最大(图中标出了该切线)。下列说法正确的是( )
A.在圆环形成的电场中，O点右侧杆上B点电场强度最大，电场强度大小为E＝ 12 V/m
B.在圆环形成的电场中，由C到A电势逐渐升高
C.小球在由C到A的过程中电势能先减小后增大
D.在圆环形成的电场中，C、B两点间的电势差U ＝0.9 V
CB
答案 D
解析 由v－t图像可知，小球在B点的加速度最大，所受的电场力最大，B点的电场强度最大，小球
的加速度为a＝＝ m/s2＝0.06 m/s2，又qE＝ma，解得E＝1.2 V/m，A错误；从C到A小球的动能一直
增大，则电场力一直做正功，电势能一直减小，又因为小球带正电，从C到A电势逐渐降低，B、C错
误；由C到B电场力做功为W ＝mv－0，CB间的电势差为U ＝＝＝ V＝0.9 V，D正确。
CB CB
2、电场中的E x图像
p
图像如下：
规律：反映了电势能随位移变化的规律。
曲线斜率：图像切线的斜率的绝对值表示电场力的大小。
分析方法：①根据电势能的增减和电荷的电性来确定场强的方向；②根据电势能随位移的变化情况利
用电场力、动能定理、动量守恒定律、牛顿第二定律等知识判断电场强度、动能、加速度等物理量的变化
情形。
【注意】只有电场力做功，则电势能的变化与动能的变化趋势恰好相反。在甲、乙电场中，试探电荷－q(q>0)具有的电势能E 沿x方向的变化分别如图甲、乙所示，则下列说
p
法正确的是( )
A.图甲中，试探电荷在O点受到的电场力为零
B.图甲中，电场强度沿x轴正方向
C.图乙中，x 处的电场强度小于x 处的电场强度
1 2
D.图乙中，x 处的电势高于x 处的电势
1 2
答案 D
解析 根据ΔE＝－W ＝－Fx可知E－x图像斜率表示电场力，故图甲中，试探电荷在O点受到的电
p 电 p
场力不为零，沿x轴正方向电势能增大，则电场力做负功，可知电场力有沿x轴负方向的分量，试探
电荷带负电，则电场强度有沿x轴正方向的分量，故A、B错误；根据E－x图像斜率的绝对值表示电
p
场力的大小，结合F＝qE可知，图乙中x 处的电场强度大于x 处的电场强度，故C错误；图乙中x 处
1 2 1
的电势能低于x 处的电势能，试探电荷带负电，根据E＝qφ，可知x 处的电势高于x 处的电势，故D
2 p 1 2
正确。
3、电场中的φ－x图像
图像如下：
规律：反映了电势随位移变化的规律。
曲线斜率：图像切线的斜率的绝对值表示电场强度的大小。
分析方法：①可以直接判断各点电势的大小，根据电势高低关系确定电场强度的方向；②分析电荷移
动时电势能的变化；③判断电场类型，如果图像是曲线（场强大小变化），该电场为非匀强电场。
【注意】如果图像是倾斜的直线（场强大小不变），该电场为匀强电场。
常见的φ－x图像如下表所示：
类型 φ－x图像点电荷
两个等量异种点电荷
两个等量同种点电荷(多选)如图所示，在x轴上的O点(x＝0)和b点(x＝15 cm)分别固定放置两点电荷q、q，所形成静电场
1 2
的电势φ在x轴上的分布如图所示，取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是( )
A. a、c两点的电场强度相同
B.q 所带电荷量是q 所带电荷量的4倍
1 2
C.将一负电荷从a点移到c点，电场力做功为零
D.将一负电荷从c点移到d点，电势能增大
答案 BC
解析φ－x图像的斜率绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，a、c两点电势相
等，但电场强度大小和方向均不同，故A错误；图中d点图像斜率为零，表明该点的合电场强度为零，
而d点到两点电荷q、q 的距离之比为2∶1，根据点电荷电场强度公式E＝可得，q、q 电荷量之比为
1 2 1 2
4∶1，故B正确；a、c两点电势相等，电势差为零，负电荷从a点移到c点，电场力做功为零，故C
正确；c、d间电场强度方向向左，负电荷从c点移到d点，电场力做正功，电势能减小，故D错误。
4、电场中的E－x图像
图像如下：
规律：反映了电场强度随位移变化的规律。
曲线面积：表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。
分析方法：①E>0表示电场强度的方向沿规定的正方向（x轴正方向）；E<0表示电场强度沿x轴负
方向；②在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
常见的E－x图像如下表所示：
类型 E－x图像
点电荷两个等量异种点电荷
两个等量同种点电荷轴上固定着两个点电荷A、B，两点电荷分别位于x ＝0和x ＝4d处，两者所在区域为真空，在两者连
A B
线上某点的电场强度E与该点位置的关系如图所示。选取x轴正方向为电场强度的正方向，无限远处
电势为零。以下说法正确的是( )
A.点电荷A、B分别带正电和负电
B.A、B所带电荷量的绝对值之比为1∶3
C.x＝d处电势最高且为零
D.将电子从x＝5d处无初速度释放，其电势能一直减小
答案 D
解析 若点电荷A、B带异种电荷，则在x轴上0～4d区间的电场方向唯一不变化，即水平向右或水平
向左，故A错误；由图可知在x＝d处电场强度为零，即＝，解得＝，故B错误；0～d区间，电场方
向沿x轴负方向，d～4d区间电场方向沿x轴正方向，可知0～4d区间，从x＝d处沿两侧电势降低，
故x＝d处电势最高，但比无限远处电势低，即电势小于零，故 C错误；x≥5d的区域内电场方向沿x轴
负方向，所以电子释放后受水平向右的力，电场力一直做正功，电势能一直减小，故D正确。
5、E -x图像、E-x图像
p电 k
E -x图像的斜率表示电场力，纵轴截距表示出电势能。
p电
E-x图像的斜率表示合外力，纵轴截距表示初动能。
k
根据两图线斜率的变化可判断出电场力的变化,进而判断出电场强度的变化。
核心考点 5 静电场中的导体
一、静电平衡
1产生原理
如下图所示，将金属导体放到外电场E 中，导体中自由电子受到外电场的电场力作用后向左移动，在
0
右侧出现多余正电荷，导体两侧出现的正、负电荷在导体内部产生电场强度E’，该电场强度与外电场方向
相反，这两个电场叠加后使原电场强度逐渐减弱，直至导体内部各点的合电场强度E=0为止，此时F＝Eq
＝0，导体内的自由电子不再发生定向移动。2、状态
导体中（包括表面上）没有电荷定向移动的状态叫做静电平衡状态。
3、条件
导体内部的合场强为零。
4、特征
内部场强处处为零；外部表面附近任何一点的场强方向必定跟该点的表面垂直；整个导体是个等势体，
导体表面为等势面；表面越尖锐的位置电荷越密集，表面越平滑的位置电荷分布越稀疏，凹陷的位置几乎
没有电荷；孤立带电体净电荷只分布在外表面上。
二、尖端放电
1、导体的电荷分布特点
静电平衡时导体内部没有净电荷，电荷只分布在外表面上。外表面电荷分布不均匀，表面越尖锐的位
置电荷分布越密集，表面越平滑的位置电荷分布越稀疏，凹陷的位置几乎没有电荷。
2、空气的电离
在一定条件下，导体尖端周围的强电场足以使空气中残留的带电粒子发生剧烈运动，并与空
气分子碰撞从而使空气分子中的正负电荷分离。
3、尖端放电
中性的分子电离后变成带负电的自由电子和失去电子而带正电的离子。这些带电粒子在强电场的作用
下加速，撞击空气中的分子，使它们进一步电离，产生更多的带电粒子。那些所带电荷与导体尖端的电荷
符号相反的粒子，由于被吸引而奔向尖端，与尖端上的电荷中和，这相当于导体从尖端失去电荷。
4、应用
例如避雷针，其原理为当带电的雷雨云接近建筑物时，由于静电感应，金属棒中出现与云层相反的电
荷。通过尖端放电，使得空气中的带电粒子与空气中的异号电荷中和，避免建筑物遭受雷击。
三、静电屏蔽
1、定义
放入电场中的导体壳，由于静电感应，壳内电场强度为零，外电场对壳内的仪器不会产生影响，导体
壳的这种作用叫做静电屏蔽。
2、静电屏蔽的两种现象
现象 外屏蔽 内屏蔽
定义 导体外部电场不影响导体内部。 接地导体内部的电场不影响导体外部。
示意图
屏蔽原理 外部电荷产生的电场与导体球壳表面 当导体空腔外部接地时，球壳的
上感应电荷产生的电场在空腔内的合 外表面的感应电荷因接地将传给
场强为零，达到静电平衡状态，起到 地球，则球壳外部合场强为零，
屏蔽外电场的作用。 起到屏蔽内电场的作用。
特点 球壳外电场对球壳内不产生影响，球 球壳内外电场互不产生影响。
壳内电场对球壳外产生影响。
本质 静电感应与静电平衡
【注意】接地的空腔导体，腔外电场对腔内空间不产生影响，腔内电场对腔外空间也不产生影响，即
内外互不影响；空腔导体不接地，腔外电场对腔内空间不产生影响，腔内电场对腔外空间产生影响。
以下关于静电屏蔽实验说法中正确的是（ ）
A．甲图中验电器的金属箔张开
B．乙图中验电器的金属箔不会张开
C．丙图中验电器的金属箔不会张开
D．甲、乙、丙三图中验电器的金属箔都张开
【答案】C
【详解】AD．甲中不会张开，金属网可以屏蔽外电场，故AD错误；B．乙中会张开，因为金属网未接
地，网内的带电体可以对外界产生影响，故B错误；C．丙中不会张开，因为金属网已接地，网内的带
电体对网外无影响，网外的带电体对网内也无影响，故C正确。
四、电容器
1、定义
彼此绝缘而又相距很近的两个导体，就构成一个电容器。在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层
绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫做平行板电容器。
2、构造
两个互相靠近彼此绝缘的导体（空气也是一种电介质）。
3、作用
存储电荷或者存储电能。4、功能
充电：把电容器的两个极板与电源的正负极相连，使两个极板上带上等量异种电荷的过程。
充电特点：①充电电流的方向为逆时针方向，电流由大到小；②电容器所带的电荷量增加；③电容器
两极板间的电压升高；④电容器中电场强度增加，当电容器充电结束后，电容器所在电路中无电流，电容
器两极板间电压与充电电压相等；⑤充电后，电容器从电源中获取的能力称为电场能。
充电过程图示如下：
放电：用导线把充电后的电容器的两个极板接通，两个极板上的异种电荷就会中和，使电容器失去电
荷的过程。
放电特点：①放电电流的方向为顺时针方向，电流由大到小；②电容器所带的电荷量减少；③电容器
两极板间的电压降低；④电容器中电场强度减弱，当电容器放电结束后，电容器所在电路中无电流；⑤放
电后，电容器的电场能转化为其他形式的能。
放电过程图示如下：
【注意】电容器的电荷量通常是指电容器已容纳的电荷的数量，任意一个极板所带电荷量的绝对值。
五、电容
1、定义
电容器所带的电荷量跟它的两极板间的电势差的比值叫做电容。用C表示。
2、定义式
C＝，与Q、U、电容器是否带电均无关，仅由电容器本身决定(大小、形状、相对位置及电介质)。Q
为每一个极板带电量绝对值，U为电容器两板间的电势差。
3、单位
国际单位制为法拉，符号为F，1F＝1C/V，1F=106uF=1012pF。
4、物理意义
描述电容器容纳电荷本领大小的物理量，数值上等于使电容器两极板间的电势差增加 1V所增加的带
电量。
5、击穿电压
加在电容器两极板上的电压不能超过某一限度， 超过这个限度，电介质将被击穿，电容器损坏。这
个极限电压叫做击穿电压。
6、额定电压
是指电容器长时间正常工作时的最佳电压，电容器外壳上标的是工作电压，或称额定电压，这个数值
比击穿电压低。7、与电容器相关的三个概念
电容器：由靠得很近的彼此绝缘的两个导体组成，有两个电极，是一个实际的物体。
电容：电容器容纳电荷的本领，与电容器上所加电压和所带电荷量均无关，它是反映电容器本身性质
的物理量。
带电荷量：指的是电容器已容纳的电荷的数量，由电容器的电容和所加电压共同决定。
六、平行板电容器
1、定义
在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫做平
行板电容器。
2、结构
由两个相互平行且彼此绝缘的金属板构成。
3、带电特点
U
E=
d
两板电荷等量异号，分布在相对两板的内侧，板间电场为匀强电场，场强大小为 ，场强方向为
垂直板面。
4、电容的决定式
C＝，k为静电力常量，ε 是一个常数，与电介质的性质有关，真空时ε＝1，其他电介质时ε＞1。称
r r r
为电介质的相对介电常数。平行板电容器的电容 C跟相对介电常数ε 成正比，跟极板正对面积 成正比，
r S
跟极板间的距离d成反比。
【注意】该式的决定因素为：介电常数，正对面积，两板间的距离。
5、两个公式的比较
公式 C＝ C＝
公式特点 定义式 决定式
平行板电容器，C∝ε，C∝S，
r
对某电容器Q∝U，但＝C不变，
意义 C∝，反映了影响电容大小的因
反映电容器容纳电荷的本领。
素。
电容器容纳电荷的本领由来量度，由本身的结构（如平行板电容器的
联系
ε、S、d等因素）来决定。
r
6、动态分析思路
确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变；
用电容的绝对式分析平行板电容器的电容变化情况；
用电容的定义式分析电容器所带电荷量或两极板间的电压变化情况；
用匀强电场的计算式分析电容器极板间场强的变化。
Q不变（充电后与电源断开）分析思路：根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化；根据E＝
εS εS Q 4πkd d U Q 4πkQ 1
C= ∝ U= = ∝ E= = = ∝
4πkd d C εS εS d Cd εS εS
＝分析场强变化（ ， ， ）。U不变（始终与电源相连）分析思路：根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化；根据E＝分
εS εS UεS εS
C= ∝ ∝
4πkd d 4πkd d
析场强的变化；根据 U ＝E·d 分析某点电势变化（ ，Q＝U·C＝ ，
AB
U 1
E= ∝
d d
）。
【注意】在电荷量保持不变的情况下，由E＝＝＝知，电场强度与板间距离无关；在两极板带电量保
持不变的情况下，可以认为一定量的电荷对应着一定数目的电场线，两极板间距离变化时，场强不变；两
极板正对面积变化时，如下图中电场线变密，场强增大。
7、电容器内固定点的电势及电势能的变化
单纯求电容内某点的电势，不方便，一般求该点到电势为零的两点间的电势差，两点间的电势差一般
采用方程U ＝El来计算，其中l为a、b两点沿电场方向的距离。
ab
U ＝El中的场强可以利用方程E＝求解，其中U为两板间的电压，d为板间距。
ab
E＝中两板间的电压，利用U＝可求。平行板电容器电容可以利用方程C＝计算。
由于已经知道了电容内某点的电势，因此求某点的电势能就可以根据方程E＝qφ 来进行求解。
a如图所示，水平放置的平行板电容器充电后与电源断开，一带电粒子从A点沿半圆ABC的直径方向始
终以速度v水平射入电场，恰好经过半圆的最低点B，粒子重力不计．下列分析正确的（ ）
A．若仅将下板水平右移少许，粒子轨迹与半圆ABC的交点在B点的左侧
B．若仅将下板水平右移少许，粒子轨迹与半圆ABC的交点在B点的右侧
C．若仅将下板竖直下移少许，粒子轨迹与半圆ABC的交点在B点的左侧
D．若仅将下板竖直下移少许，粒子轨迹与半圆ABC的交点在B点的右侧
【答案】A
【详解】AB．若仅将下板水平右移少许，根据 ，可知电容 变小，根据
可知极板间电压变大，根据 ，可知极板间电场强度变大，则竖直方向的加速度变大，粒子在垂
直极板方向运动的时间变短，粒子轨迹与半圆ABC的交点在B点的左侧，故A正确，B错误；
CD．若仅将下板下移少许，则平行板电容器间的极板距离d变大，由 ， ，
联立可得 ，可知场强不变，受力情况不变，该粒子以相同的速度从原处射入电场，运动轨迹
不变，则仍会经过B点，故CD错误。
核心考点 6 带电粒子在电场中的运动
一、带电粒子在电场中的平衡和非平衡问题
1、带电粒子的种类
基本粒子：电子和质子等，除有说明或有明确的暗示以外，此类粒子一般不考虑重力，但不能忽略质
量。
带电微粒：油滴、尘埃和小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。
2、分析思路
平衡是指带电体加速度为零的静止或匀速直线运动，属静力学问题，只是带电体受的外力中包括电场
力在内的所有外力，解题的思路为：明确研究对象；对研究对象进行受力分析，注意电场力的方向；根据
平衡的条件或牛顿第二定律列方程求解；对结果进行分析和讨论。
二、带电粒子在电场中的直线运动
1、条件
粒子所受合外力F ＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动。
合
粒子所受合外力F ≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速直
合线运动。
2、方法
运动状态的分析：带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，受到的电场力与运动方向在同一条
直线上，做加（减）速直线运动，即a＝，E＝，v2－v＝2ad。
用能量的观点进行分析：电场力对带电粒子做的功等于带电粒子动能的变化量，即 qU＝mv2－mv（在
匀强电场中有W＝Eqd＝qU＝mv2－mv，而在非匀强电场中有W＝qU＝E －E 。）
k2 k1
【注意】前一种方法适用于粒子受恒力作用时，后一种方法适用于粒子受恒力或变力作用时。这和解
决物体受重力、弹力、摩擦力等做直线运动的问题的思路是相同的，不同的是受力分析时，不要遗漏电场
力。解决此类问题的关键是灵活利用动力学分析的思想，采用受力分析和运动学方程相结合的方法进行解
决，也可以采用功能结合的观点进行解决，往往优先采用动能定理。
三、带电粒子在电场中的偏转
1、进入电场的方式
①有初速度：以初速度v垂直场强方向射入匀强电场，受恒定电场力作用，做类平抛运动。
0
②无初速度：静止放在匀强电场中，经过电场加速获得速度v，然后垂直场强方向射入匀强电场。
0
2、受力特点
①有初速度：电场力大小恒定，且方向与初速度v的方向垂直。
0
②无初速度：加速阶段电场力大小恒定，且方向与运动方向平行；偏转阶段电场力大小恒定，且方向
与速度v的方向垂直。
0
3、运动特点
①有初速度：做类平抛运动（匀变速曲线运动运动）。
②无初速度：加速阶段做匀加速直线运动；偏转阶段做类平抛运动。
4、图例
①有初速度的图例如下所示：
②无初速度的图例如下所示：
5、处理方法
分解的方法（在偏转电场中，运动分解成相互垂直的两个方向上的直线运动）：①沿初速度方向做匀
速直线运动；②沿电场方向做初速为零的匀加速直线运动。
功能的方法（首先对带电粒子进行受力分析，再进行运动过程分析，然后根据具体情况选用公式计
算）：①若选用动能定理，则要分清有哪些力做功，是恒力做功还是变力做功，同时要明确初、末状态及运动过程中的动能的增量；②若选用能量守恒定律，则要分清带电粒子在运动中共有多少种能量参与转化，
哪些能量是增加的，哪些能量是减少的。
6、运动规律
设粒子带电荷量为q，质量为m，两平行金属板间的电压为U，板长为l，板间距离为d（忽略重力影
响），则加速度为a＝＝＝。
l
t=
v
在电场中的运动时间：能飞出电容器的时间计算式为 0 ；不能飞出电容器的时间计算式为
√2mdy
1 qU
t= y= at2 = t2
qU 2 2md
， 。
垂直电场E方向（初速度方向）的速度为v=v ；平行电场E方向的速度为v=at。合速度为v＝，粒子
x 0 y
离开电场时的偏转角tanθ＝＝＝，由该式可得：动能一定时tan θ与q成正比；电荷量一定时tanθ与动能
成反比。
垂直电场E方向（初速度方向）的位移为x=l=vt；平行电场E方向，粒子离开电场时的侧移为： y=
0
1
at2
2
＝ 。粒子离开电场时位移与初速度夹角的正切tanα＝＝ 。
7、两个偏转量的计算
偏转角的分析和计算：
已知电荷情况及初速度，如上图所示，设带电粒子质量为 m，带电荷量为q，以速度v 垂直于电场线
0
方向射入匀强偏转电场，偏转电压为U 。若粒子飞出电场时偏转角为θ，则tanθ＝，式中v＝at＝·，v＝
1 y x
v，联立解得tanθ＝ ①。
0
结论：动能一定时tanθ与q成正比，电荷量相同时tanθ与动能成反比。
已知加速电压U ，如果不同的带电粒子是从静止经过同一加速电压U 加速后进入偏转电场的，则由
0 0
动能定理有：qU＝mv ②，由①②式得：tanθ＝ 。
0
结论：粒子的偏转角与粒子的q、m无关，仅取决于加速电场和偏转电场。即不同的带电粒子从静止
经过同一电场加速后进入同一偏转电场，它们在电场中的偏转角度总是相同的。
偏转量的计算和分析：
由y＝at2＝··（）2 ③，作粒子速度的反向延长线，设交于O点，O点与电场边缘的距离为x，则x＝
＝＝。
结论：粒子从偏转电场中射出时，就像是从极板间的l/2处沿直线射出。
如果不同的带电粒子是从静止经同一加速电压U 加速后进入偏转电场的，则由②和③，得：y＝。
0
结论：粒子的偏转距离与粒子的q、m无关，仅取决于加速电场和偏转电场。即不同的带电粒子从静
止经过同一电场加速后进入同一偏转电场，它们在电场中的偏转距离总是相同的。
8、推论
粒子从偏转电场中射出时，其速度反向延长线与初速度方向延长线交于一点，此点平分沿初速度方向
的位移。
位移方向与初速度方向间夹角的正切等于速度偏转角正切的，即tanα＝tanθ。
如果不同的带电粒子都是从静止经同一加速电压U 加速后进入同一偏转电场U的，则由动能定理有：
0UL UL2
tanθ= y=
2U d 4U d
qU＝mv，得： 0 ；偏移量 0 。由此可得带电粒子的偏转距离y和偏转角θ相同，也
0
就是运动轨迹完全重合。粒子的偏转角与粒子的q、m无关，仅取决于加速电场和偏转电场。
四、示波器
1、构造
由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空。如下图所示：
2、各部分的作用
电子枪：是产生高速飞行的一束电子。
竖直偏转电极：使电子束竖直偏转（加信号电压）。
水平偏转电极：使电子束水平偏转（加扫描电压）。
荧光屏：电子束打在荧光屏上能使该处的荧光物质发光，显示图像。
2、原理
偏转电极不加电压：从电子枪射出的电子将沿直线运动，射到荧光屏的中心点形成一个亮斑。仅在
XX′（或YY′）加电压，若所加电压稳定，则电子流被加速、偏转后射到XX′（或YY′）所在直线上某一点，
形成一个亮斑（不在中心）。
在下图中，设加速电压为U，电子电荷量为e，质量为m，由动能定理得eU＝mv。
1 1
在电场中的侧移y＝at2＝t2，其中d为两板的间距。
L
水平方向t＝L/v ，又tanφ＝＝＝，由以上各式得荧光屏上的侧移y′＝y＋L′tanφ＝（L′+2 ）＝tanφ（L′
0
L
+2 ）（L′为偏转电场左侧到光屏的距离）。
【注意】示波管实际工作时，竖直偏转板和水平偏转板都加上电压，一般加在竖直偏转板上的电压是
要研究的信号电压，加在水平偏转板上的是扫描电压，若两者周期相同，在荧光屏上就会显示出信号电压
随时间变化的波形图。
3、亮点位置的确定
恒压处理：分别在偏转电极XX′和YY′所加的扫描电压和波形电压都是变化电压，但其变化周期比电子
经过极板的时间要长得多，相比之下，电子经过极板的时间可当作一个周期中的某“时刻”，所以在处理
计算电子的偏转距离时，电子经过极板的时间内电压可当作恒定电压来处理。例如，在YY′上加信号电压u
1
＝220sin100πt V，在t＝ s时射入极板的电子，偏转电压可认为是u＝220sin（100π× 600 ） V＝110 V不变。
双向偏转确定亮点的坐标位置：电子在两个方面的偏转互不影响，均当作类平抛运动处理。由X和Y
方向同时刻加上的偏转电压U、U，通过式子x＝at2＝，y＝at2＝等分别计算电子打在荧光屏上的侧移距
x y x y
离x、y，则亮点的位置坐标为（x，y）。不同时刻偏转电压不同，亮点位置坐标不同，因此连续打出的亮
点按X、Y方向的信号电压拉开排列成“线”。
4、XX′扫描电压的作用
竖直平行放置的一对金属板XX′，加上偏转电压U 后使电子束沿水平方向偏转，U 称为扫描电压，波
x x
形如下图所示。不同时刻的偏转电压不同，由于侧移距离与偏转电压成正比，电子在荧光屏上打出的亮点
相对原点的位置不同，在一个周期T内，亮点沿x方向从负向最大侧移经原点O向正向最大移动，完成一
次“扫描”，由于周期T很短，因此人眼观察到的就是一条水平亮线。
如果扫描电压的频率f 等于YY′上所加波形电压的频率f，则在荧光屏上显示一个完整的波形；如果 f
x y y
＝2f，则T＝2T，水平扫描一次，竖直变化2次，因此得到两个完整波形，依次类推。
x x y
五、电场线、等势线（面）与运动轨迹问题
1、运动轨迹
带电粒子在电场中的运动轨迹是由带电粒子受到的合外力情况以及初速度情况共同决定的，运动轨迹
上各点的切线方向表示粒子在该点的速度方向；电场线只能够描述电场的方向和定性地描述电场的强弱，
它决定了带电粒子在电场中各点所受电场力的方向和加速度的方向。显然，电场线不一定是带电粒子在电
场中的运动轨迹。
2、运动轨迹与电场线重合满足的条件
电场线是直线；带电粒子的初速度为零或者初速度的方向与电场线在同一条直线上；带电粒子只受电
场力或受到其它力但是其它力的合力方向与电场线平行。
3、利用电场线和等势面解决带电粒子运动问题的方法
根据带电粒子（只受电场力）的运动轨迹确定带电粒子受到的电场力的方向，带电粒子所受的电场力
指向运动轨迹曲线的内侧，再结合电场线的方向确定带电粒子的电性。
根据带电粒子在不同的等势面之间移动，结合题意确定电场力做正功还是做负功，电势能的变化情况
或等势面的电势高低。
分析思路如下图所示：【注意】带电粒子所受合力（往往仅为电场力）指向轨迹曲线的内侧。该点速度方向为轨迹切线方向。
电场线或等差等势面密集的地方场强大。电场线垂直于等势面。顺着电场线电势降低最快。电场力做正功，
电势能减小；电场力做负功，电势能增大。有时还要用到牛顿第二定律、动能定理等知识。
4、电场线与粒子运动轨迹的判断方法
两线法：画出粒子运动的速度线（运动轨迹在初始位置的切线）和力线（在初始位置电场线的切线方
向），从两者的夹角情况来分析运动情况（直线运动还是曲线运动）。
假设法：电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向的判断，若已知其中的任意
一个条件，可顺次向下分析判定其余两个条件；若三个都不知，则要用“假设法”分别讨论各种情况。
【注意】解题方法可总结如下：
①根据带电粒子运动轨迹的弯曲情况确定电场力方向——电场力方向指向轨迹曲线的内侧，且运动轨
迹必定在v和F之间，所以需要先画出入射点的轨迹切线（即画出初速度的方向）；再根据轨迹的弯曲方
向，确定电场力方向。
②电场线和等势面垂直，电场线又从高电势指向低电势。先根据电场线的方向以及疏密情况，确定电
场强度及电性情况，定性判断电场力（或加速度）的大小和方向；再根据电场力方向与速度方向的关系来
判断速度的变化情况以及运动性质；或者根据电性判断电场强度方向。
③根据电场力方向与速度方向的关系来判断电场力做功情况及判断电势能的变化情况，另外可以通过
能量的转化和守恒确定电势能及动能的变化情况。
六、带电体在等效场中的运动问题
1、模型
各种性质的场与实物（分子和原子的构成物质）的根本区别之一是场具有叠加性，即几个场可以同时
占据同一空间，从而形成复合场。对于复合场中的力学问题，可以根据力的独立作用原理分别研究每种场
力对物体的作用效果，也可以同时研究几种场力共同作用的效果，将复合场等效为一个简单场，然后与重
力场中的力学问题进行类比，利用力学的规律和方法进行分析与解答。
【注意】等效重力：重力与静电力的合力；等效加速度：等效重力与物体质量的比值。
2、方法
正交分解法：由于带电粒子在匀强电场中所受电场力和重力都是恒力，不受约束的粒子做的都是匀变
速运动，因此可以采用正交分解法处理。将复杂的运动分解为两个互相垂直的直线运动，再根据运动合成求解复杂运动的有关物理量。
等效思维法：等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于
这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，
过程比较简捷。
【注意】先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝ 视为“等效重力加
速度”， F 的方向等效为“重力”的方向。如此便建立起“等效重力场”。再将物体在重力场中的运动
合
规律迁移到等效重力场中分析求解即可。
3、等效最“高”点与最“低”点的寻找
确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线，反向延长
线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个点为等效最“低”点。
七、带电粒子在交变电场中的运动
1、交变电场类型
交变电场常见的电压波形：正弦波、方形波、锯齿波等。
2、运动类型
粒子做单向直线运动，方法为对整段或分段研究用牛顿运动定律结合运动学公式求解。
粒子做往返运动，方法为分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解。
【注意】①当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定了粒子的运动
情况，粒子可以做周期性的直线运动；②当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直
线运动，沿电场方向的分运动具有周期性。
U-t图像 v-t图像 轨迹图粒子做偏转运动，方法为根据交变电场特点进行分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动
能定理等求解。
U-t图像 v-t图像 轨迹图
v
y A 速度不反向
v
0
B v
0
O v
T/2 T t 0
单向直线运动
v
y
A
v 速度反向
0 B
O v v
T/2 T t 0 v 0
-v 0
0
往返直线运动
3、分析思路
动力学三大观点：①动力学观点（牛顿运动定律和运动学规律结合）；②能量观点（动能定理和功能
关系等）；③动量观点（动量定理和动量守恒定律）。
4、分析方法
注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒
子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。
研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子
的运动情况。根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。
两条思路：一是力和运动的关系，根据牛顿运动定律和运动学规律分析；二是功能关系。
【注意】对称性和周期性变化关系的应用。对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过
板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。图1的平行金属板M、N间加有图2所示的交变电压， 是M、N板间的中线，当电压稳定时，板间
为匀强电场。 时，比荷为 的带电粒子甲从O点沿 方向、以 的速率进入板间， 时飞离电
场，期间恰好不与极板相碰。若在 时刻，带电粒子乙以 的速率沿 从O点进入板间，已知乙
粒子在运动过程中也恰好不与极板碰撞，不计粒子受到的重力，则下列说法中正确的是（ ）
A．T时刻，乙粒子离开电场 B．乙粒子的比荷为
C．甲、乙两粒子通过电场偏转的位移大小之比为2：3
D．甲、乙两粒子通过电场偏转的位移大小之比为1：2
【答案】ABD
【详解】A．设板长为L，粒子甲带负电，则甲运动时间为 粒子乙因入射速度为
甲的两倍，则运动时间为 因乙在 时刻飞入板间，则在T时刻飞出板间，A正确；
CD．设两板间距离为d，则有 为定值，则在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，
以竖直方向位移和时间关系，可得 做出竖直方向上速度与时间图像，如图则图线与时间轴围成的面积代表竖直方向上的位移，设板间距为d，若恰好不与极板碰撞，则表示粒
子在电场中竖直方向的最大位移大小刚好为 ，根据图像可知在 、 时刻粒子甲会恰好不碰到极
板，此两种时刻会达到最大位移的大小，而在 时刻，粒子出磁场，此时位移是最大位移的一半，
为 ，即甲在竖直方向上的位移为 ；同理，对粒子乙，其轨迹为 的形状，因乙粒子在运动
过程中也恰好不与极板碰撞，根据图像可知在T时刻会恰好不与极板相撞，此时乙刚好飞出磁场，即
乙在竖直方向上为位移为 ，则偏转位移之比为 ，C错误，D正确；
B．对乙有 对甲有 因
，则有 可得 又 ， 可得 ，B正确。故选
ABD。
八、电场中的力电综合问题
1、方法
把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带电粒子的受力与运
动的关系及功能关系两条途径进行分析与研究。
动力学的观点：①由于匀强电场中带电粒子所受电场力和重力都是恒力，可用正交分解法。②综合运
用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题。
【注意】动力学观点是指用匀变速运动的公式来解决实际问题，一般有两种情况：①带电粒子初速度
方向与电场线共线，则粒子做匀变速直线运动；②带电粒子的初速度方向垂直电场线，则粒子做匀变速曲
线运动（类平抛运动）。当带电粒子在电场中做匀变速曲线运动时，一般要采用类平抛运动规律解决问题。
能量的观点：①运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，则要分清有
哪些力做功，是恒力做功还是变力做功，同时要明确初、末状态及运动过程中的动能的增量。②运用能量
守恒定律，分清带电体在运动中共有多少种能量参与转化，哪些能量是增加的，哪些能量是减少的。
动量的观点：①运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选
同一个正方向。②运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是
否为某方向上动量守恒。
2、分析思路
确定研究对象——一个带电体或几个带电体构成的系统。
两大分析：①受力分析：a、多了个电场力；b、重力是否忽略，据题意：若是基本粒子一般忽略；若
是带电颗粒，一般不能忽略。②运动分析——运动情况反映受力情况。
选用规律列方程式求解——平衡条件、牛顿第二定律、动能定理、能量守恒定律。3、运动情况反映受力情况
物体静止（保持）：F ＝0。
合
直线运动：①匀速直线运动：F ＝0。②变速直线运动：F ≠0，且F 方向与速度方向总是一致。
合 合 合
曲线运动：F ≠0，F 方向与速度方向不在一条直线上，且总指向运动轨迹曲线的内侧。F 与v的
合 合 合
夹角为α，加速运动：0≤α＜90°；减速运动：90°＜α≤180°。
匀变速运动：F ＝恒量。
合
如图所示，空间存在方向水平向右、范围足够大的匀强电场。一内壁光滑的绝缘圆管 固定在竖直
平面内。圆管的圆心为O，半径为 （圆管口径可忽略不计），D点为圆管的最低点，管口A、B两
点在同一水平线上，P点位于O点正上方， 。一质量为m、电荷量为q的带负电小球
（可视为质点）从P点无初速度释放，经过一段时间后，小球刚好从管口A无碰撞地进入圆管内。小
球进入管口A瞬间，电场方向立即变为竖直向下，电场强度大小不变。忽略电场变化时产生的影响，
重力加速度大小为g。求：
（1）匀强电场的电场强度E的大小；
（2）小球在 管中运动经过D点时对管的压力 ；
（3）当小球从管口B离开时立即撤去电场。经过一段时间后小球到达 所在水平线上的N点（图中
未标出），小球从P点运动到N点的总时间t。
【答案】（1） ；（2） ，方向竖直向下；（3）
【详解】（1）小球释放后在重力和电场力的作用下做匀加速直线运动，小球从A点沿切线方向进入，
则此时速度方向与竖直方向的夹角为 ，即加速度方向与竖直方向的夹角为 ，则：
解得 。（2）小球从P到A的过程，根据动能定理 ，解得 ，因为电场方向变为竖
直向下，则小球在管中运动时 ，小球做匀速圆周运动，则 ，在D点时，下壁对小球的
支持力为 ，由牛顿第三定律得，小球对管的压力 ，方向竖直向下；
（3）小物体由P点运动到A点做匀加速直线运动，设所用时间为 ，则 解得
小球在圆管内做匀速圆周运动的时间为 ，经过了 圆周，则有 ，小球离开管后竖直方向
做竖直上抛运动，根据对称性，小球从B到N的过程中所用时间 则小球从P点到N点的总时
间为 。
