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2025 高考物理一轮复习能力提升专题复习（19）磁场（3）
（一）带电粒子在组合场中的运动问题
【例题1】1．如图所示的直角坐标系中，存在一与O 点相切且
半径r=1m 的圆形磁场区域，磁场的磁感应强度大小
，方向如图所示。一群速率均为
的同种正电粒子
沿不同方向从坐标原点O 处沿xOy 平面射入磁场，而后击中磁
场右侧的感光板，已知感光板垂直于x 轴且足够长，在向左移动
感光板时，板上光条长度及位置未发生变化。（不计粒子重力）
（1）粒子的比荷
；
（2）将感光板固定于x=6m 处，在
区域内加入一个
方向沿y 轴正向的匀强电场，电场强度
，某粒子以图中所示
射出，求击中感光板的
位置坐标；
（3）感光板仍固定于x=6m 处，将竖直向上的匀强电场在
的范围内平行移动，保持电场宽度始终
为2m，以图中所示
射出的粒子始终能击中第（2）问中的位置，请写出电场强度E 与匀强电场左
侧边界的横坐标x 的函数关系式。
【详解】（1）粒子从O 点射出后，经过磁场偏转击中感光板，在向左移动感
光板时，板上光条长度及位置未发生变化，可得粒子离开磁场时的速度方向均
水平向右，如图所示选取任意出射A 点作垂线，作出初速度垂线，两线相较
于
，为运动轨迹圆心，可得
在竖直方向，且
，
为等腰三角形；连接
并延长交圆周与B 点，连接
、
，则
，
为等腰三角形，且
在竖直方向，故
。根据等腰三角形特点可得
又
，则
可证得
故四边形
为菱形，可得
根据圆周运动规律
可得
解
（2）粒子在磁场中偏转120°射出磁场，再垂直进入电场，最后做匀速直线
运动，轨迹如图所示在电场中的加速度大小为
粒子穿出电场时有
且
在磁场中
在电场中侧移为
飞出电场后粒子做匀速直线运动
所以
则击中位置坐标为
（3）由（2）得粒子离开磁场时坐标为
情况一：
若横坐标
，则粒子水平方向能经过完整的匀强电场区域，则
进入电场前匀速直线运动，则进入电场的坐标为
在电场中
1
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飞出电场后粒子做匀速直线运动
所以
所以
情况二：若横坐标
，则粒子水平方向不能经过完整
的匀强电场区域，则
进入电场前匀速直线运动，则进入电场的坐标为
，在电场中
侧移为
所以
所以
综上
【例题2】2．在图示区域中，y 轴右方有一匀强磁场，磁感应强度的
方向垂直纸面向里，大小为B，y 轴左方有匀强电场区域，该匀强电
场的强度大小为E，方向与y 轴夹角为45°且斜向右上方，有一质子
以速度v0由x 轴上的P 点沿x 轴正方向射入磁场，质子在磁场中运动
一段时间以后从Q 点进入y 轴左方的匀强电场区域中，在Q 点质子
速度方向与y 轴负方向夹角为45°，已知质子的质量为m，电量为q
不计质子的重力，（磁场区域和电场区域足够大）求：
（1）Q 点的坐标；
（2）质子从P 点出发到第三次穿越y 轴时的运动时间；
（3）质子第四次穿越y 轴时的坐标。
【答案】（1）（0，
）；（2）
；（3）
（0，
）【详解】（1）根据
得
由几何关系
则Q 点的坐标为（0，
）。（2）质子从P 到Q 的时间为
质子在电场中做匀减速直线运动，再反向做匀加速直
线运动，在电场中的运动时间为
质子返回在磁场中的运动
时间为
质子从P 点出发到第三次穿越y 轴时的运动时间为
（3）质子再次进入电场后，速度与电场垂直，质子做类平抛运动，由于速度方向与y 轴夹角为
，则
2
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得
则质子沿y 轴方向的位移为
质子第四次穿越y 轴的位置为
质子第四次穿越y 轴时的坐标为（0，
）。
【例题3】3．（多选）如图所示，在xOy 平面内存在着磁感应强度
大小为B 的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向
里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，
，
为坐标轴上的两点。现有一质量为m、电荷量为e 的电子从P 点沿
PQ 方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确的是（ ）
A．若电子从P 点出发恰好第一次经原点O 点，运动时间可能为
B．若电子从P 点出发恰好第一次经原点O 点，运动路程可能为
C．若电子从P 点出发经原点O 到达Q 点，运动时间可能为
D．若电子从P 点出发恰好第一次经原点O 到达Q 点，运动路程为
或
【答案】AD【详解】AB．电子从P 点出发恰
好第一次经原点O 点，有两类情况，一类是
第奇数次回到x 轴经过原点O，另一类是第偶
数次回到x 轴经过原点O。其中第一次和第二
次回到x 轴的轨迹如图由轨迹图结合几何关
系，可得运动时间为
解得
当n=1 时，运动时
间为
由轨迹图结合几何关系，轨迹圆的半径为
可得运动路程为
故A 正确；B 错误；
CD．同理，若电子从P 点出发恰好第一次经原点O 到达Q 点，轨迹也为两类，如图
由轨迹图结合几何关系，可得运动时间为
或
解得
若电子从P 点出发恰好第一次经原点O 到达Q 点，运动路程为
解得
故C 错
误；D 正确。故选AD。
3
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4．如图所示，在平面直角坐标系
内有一直角三角形，
其顶点坐标分别为
、
、
，三角形区域内
有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
，
轴
下方有沿着
轴负方向的匀强电场，电场强度大小为
。一
质量为
、电荷量为
的带电粒子从
轴上的某点
由静止释放，粒子第一次进入磁场后恰好不能从直角三
角形的斜边射出，不计粒子重力。
（1）求粒子在磁场中运动的轨迹半径；
（2）求
点到
点的距离；
（3）改变粒子在
轴上的释放点，使粒子由
点静止释放
后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，求
点到
点的距离；
（4）在（3）过程中，求粒子从
点由静止释放到射出磁场的运动时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）设粒子在磁场中运动的轨迹半径为
，粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示。由几何关系
得
联立解得粒子在磁场中运动的轨迹半径为
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
设M 点到O 点的距离为
，由动能定理得
解得
（3）要使粒子由
点静止释放后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，粒子在磁场中的运动轨迹
如图乙所示，则粒子在磁场中运动轨迹的半径R 满足
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
设
点到O 点的距离为
，由动能定理有
联立解得
（4）设粒子在电场中的加速度为
，由牛顿第二定律得
设粒子在电场中每单程的运动时间为
，有
粒子在电场中总的运动时间
联立解得
4
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粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
粒子在磁场中总的运动时间
解得
粒子从N 点由静止释放到射出磁场运动的总时间
5．如图所示，在xoy 平面直角坐标系内，x 轴的上方有半径为R 的圆形
匀
强磁场区域，与x 轴相切于坐标系的原点O，方向垂直于纸面向外，其中
是圆的半径，第Ⅳ象限和第Ⅲ象限内分别存在着两个大小不同、方
向
相反的有界匀强电场，x 轴和AB 分别为其上下边界，两边界距离为
L=2.4R，第Ⅳ象限内场强方向水平向左，第Ⅲ象限内场强方向水平向右。
一
电荷量为q（q>0）、质量为m 的带电粒子由AB 边界上距y 轴1.2R 处的
M
点垂直电场以初速度v0射入电场，粒子经y 轴上的N 点由第Ⅳ象限进入第
Ⅲ
象限，经电场偏转后垂直x 轴从P 点射出电场，P 点与O 点的距离为
0.6R，经过一段时间后进入磁场区域，若带电粒子在磁扬中运动的时间是
其
在磁场中运动周期的
，粒子重力不计。求：
（1）第Ⅳ象限和第Ⅲ象限匀强电场的场强大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度；
（3）带电粒子从M 点射入电场到偏转出磁场的过程中运动的总时间。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）设第IV 象限匀强电场场强大小为
，第III 象限匀强电场的场
强大小为
，粒子由M 到N 及由N 到P 点所用的时间分别为
与
，到达N
时水平速度为
，则粒子由M 到N，水平方向有
由N 到P，水平方向有
到达N 时水平速度
由M 到P 点竖直方向
联
立解得
，
（2）如图所示，粒子从Q 点垂直射入匀强磁场后做匀速圆周运动，设粒子做
匀速圆周运动的半径为，在
中有
解得
在
中有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供
向心力，有
联立解得匀强磁场的磁感应强度大小为
（3）带电粒子在电场中的运动时间为
匀速运动时间为
在磁场中的运动
时间为
故带电粒子从M 点射入电场到偏转出磁场的过程中运动的总时间
5
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【例题4】6．如图所示，在xOy 平面内的第二象限有一个圆形匀强
磁场区域，其边界与x 轴相切于A（
，0）点，磁场方向垂直
于纸面向外，磁感应强度大小为B=1T，磁场区域的半径为R=2m，
第一象限内有一条抛物线OQP（图中虚线所示），P（4m，0）是x
轴上的一点，抛物线OQP 上方存在沿y 轴负方向的匀强电场，场强
E=3×103V/m，从A 点向第二象限发射大量带正电的某种粒子，粒子
的速率均为v0（未知），质量均为m=2×10-7kg，电荷量均为q=1×10-
4C，所有粒子均可到达P 点，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。
（1）已知粒子1 沿与x 轴正方向成θ1=60°的方向进入磁场后平行于x
轴从磁场中射出，求初速度v0的大小；
（2）粒子2 沿与x 轴正方向成θ2=120°的方向进入磁场，求它从A 点
运动到P 点所用的时间t（结果保留2 位有效数字）；
（3）求电场的边界线OQP 的轨迹方程。
【答案】（1）1×103m/s；（2）9.9×10-3s；（3）
【详解】（1）设磁磁场圆心为
，粒子1 在磁场中运动轨迹的半
径为r，圆心为
，从磁场边界上的C 点飞出，如下图所示
由几何关系可知四边形
为菱形，故有
由牛顿第二定律可知
联立解得
（2）设粒子2 在场中运动轨迹的圆心为
，它从D 点平行于x 轴
射出磁场，延长
与x 轴相交于E 点，
垂直于x 轴，如下图
所示
粒子2 在磁场中运动的周期
它在磁场中运动的时间
D 点的横坐标
D 点到P 点沿x 轴方向的位移为
粒子2 从D 点到P 点在沿x 轴方向上做匀速直线运动，所用时间
所以
（3）由几何关系可知所有粒子都平行于x 轴进入电场，如下图
所
示设某个粒子在电场中运动的时间为
，加速度为a，到达抛物
线
时的坐标为
，此时粒子速度为v，沿y 轴方向的分速
度
6
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大小为
，x 方向上有
y 方向上由牛顿第二定律有
解得
由三角形相似可得
联立解得
（二）带电粒子在叠加场中的运动问题
7．（多选）质量为m、电荷量为q 的微粒，以与水平方向成θ 角的速度
v，从O 点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场
区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到
A，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．该微粒一定带正电荷 B．微粒从O 到A 的运动是匀速直线运动
C．该磁场的磁感应强度大小为
D．该电场的场强大小为
【答案】BCD【详解】AB．若微粒带正电，它受竖直向下的重力mg、水平向左的电场力qE 和斜向右下
的洛伦兹力qvB，微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电，它受竖直向下的重力mg、水平向右的
电场力qE 和斜向左上的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好沿直线运动到A，可知微粒应该做匀速直线运动，
故B 正确，A 错误；CD．由平衡条件可知
得磁场的磁感应强度
电场
的场强
故C、D 正确。故选BCD。
8（多选）如图，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足
够长固定绝缘杆MN，小球P 套在杆上，已知P 的质量为m、电荷量为＋q，
电场强度为E，磁感应强度为B，P 与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为
g，小球由静止开始下滑直到稳定的过程中（ ）
A．小球的加速度先增大后减小B．小球的机械能和电势能的总和保持不变
C．下滑最大速度
D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是
【答案】AD【详解】A．随着小球的加速，洛伦兹力向右不断增大，当洛伦兹力小于电场力时
解得
随着速度增大，加速度增大；
当洛伦兹力等于电场力时，摩擦力等于零，加速度最大等于g；当洛伦兹力大于电场力时
解得
随着速度增大，加速度减小，A 正确；B．小球的机械能
和电势能的总和减少，转变有内能，B 错误；C．最终摩擦力与重力平衡，小球做匀速运动时速度最大
解得
C 错误；D．当洛伦兹力等于电场力时，摩擦力等于零，小球只受
到重力作用，此时加速度最大等于g，下滑加速度为最大加速度g 一半时的速度可能是
7
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解得
D 正确。故选AD。
【例题5】9．如图甲所示，在竖直平面建立xOy 坐标，y 轴沿竖直方向，x>0 区域有沿y 轴正方向的匀强
电场。 现有一质量为m，带电量为+q 的
小
球以速度v0从O 点沿x 轴正方向射入电
场，恰好沿x 轴做直线运动，取重力加速
度
为g。
（1）求匀强电场的场强大小E；
（2）若小球过O 点时在x>0 区域加垂直
纸
面向里的匀强磁场B0，求小球第一次经
过
y 轴的坐标；
（3）若小球从O 点与x 轴正方向成θ 角
射
入第一象限的同时在x>0 区域加一按图乙规律变化的磁场，小球可以一直在第一象限内运动，设磁场方
向垂直纸面向里为正。求小球从O 点入射的θ 角正弦值的范围。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）
小
球进入电场做匀速直线运动，根据平衡条件可得
匀强电场的场强
大
小为
（2）根据洛伦兹力提供向心力
可得
小球第一次经过y 轴与原点的距离为
小球第一次经过y 轴的
坐
标为
。（3）根据粒子的运动轨迹可知，小球可以一直在第一象
限
内运动有
根据几何关系有
解得求小球从O 点入射的θ 角正弦值的范
围
（三）带电粒子在周期性变化的电磁场中的运动
【例题6】10．如图甲所示，竖直挡板MN 左侧空间有方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀
强磁场，电场和磁场的范围足够大，电场强度E=40N/C，磁感应强度B 随时间t 变化的关系图象如图乙所
示，选定磁场垂直纸面向里为正方向。t=0 时刻，一质量
、电荷量
的微粒在O
点具有竖直向下的速度v=0.12m/s，O'是挡板MN 上一点，直线OO'与挡板MN 垂直，取g=10m/s2，求：
（1）微粒再次经过直线OO'时与O 点的距离；
（2）微粒在运动过程中离开直线OO'的最大高度；
8
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（3）水平移动挡板MN，使微粒能以45°夹角射到挡板上，挡板与O 点间的距离应满足的条件，不必说
理由，直接写结果。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）微粒所受的重力
电场力大小
因此重力与电场力平衡，微粒先在洛伦兹力作用下
做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
解得
周期
代入数据解得
则微粒在
内转过半个圆周，微粒再次经过直线OO'时与O 点的距离
（2）在
微粒做匀速直线运动，接着再转过半个圆周，用时
，再匀速运动
,所以
内微粒的运动轨迹如图所示微粒在运动过程中离开直线OO'的最大高度
（3）为使微粒能以45°夹角射到挡板上，挡板与O 点间的距离应满足
代入数据得
【例题7】11．如图甲所示，在直角坐
标系中的0≤x≤L 区域内有沿y 轴正方向
的匀强电场，右侧有以点（2L，0）为
圆心、半径为L 的圆形磁场区域，与x
轴的交点分别为M、N。在xOy 平面
内，从电离室产生的质量为m、带电荷
量为e 的电子以几乎为零的初速度从P
点飘入加速电场中，加速后以速度v0
经过右侧极板上的小孔Q 点沿x 轴正方
向进入匀强电场，已知O、Q 两点之间的距离为
，电子飞出电场后从M 点进入圆形磁场区域，进入
磁场时取t=0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面向外为正方向，图中B0是未知
量），最后电子从N 点飞出，不考虑电子的重力。求：
（1）加速电场的电压U；
（2）电子运动到M 点时的速度大小和方向；
（3）磁场变化周期T 满足的关系式。
【答案】（1）
；（2）2v0，方向与x 轴正方向的夹角为60°；（3）
（n=1，2，3…）
【详解】（1）在加速电场中，从P 点到Q 点，由动能定理得
可得
（2）电子从Q 点到M 点做类平抛运动，有
电子运动至M 点时
解得
9
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解得
即速度方向与x 轴正方向的夹角为60°；
（3）电子在磁场中的运动具有周期性，轨迹如图所示
电子到达N 点符合要求的空间条件为
（n=1，2，3…）
电子在磁场中做圆周运动的轨道半径
解得
（n=1，2，3…）
电子在磁场变化的半个周期内恰好转过
圆周，同时在MN 间的运动时间是磁场变化周期的整数倍时，
可使粒子到达N 点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是
所以T 应满足的条件为
（n=1，2，3…）
（四）电磁场联系科技生活的计算题
12．世界上最早最精确的极光观测记录可追溯到汉朝《汉书·天文志》中的史料记载。极光是高能粒子流
（太阳风）射向地球时，由于地磁场作用，部分进入地球极区，使空气中的分子或原子受激跃迁到激发
态后辐射光子，而产生的发光现象。假设地磁场边界到地心的距离为地球半径的
倍。如图所示是赤道
所在平面的示意图，地球半径为R，匀强磁场垂直纸面向外，MN 为磁场圆的直径，MN 左侧宽度为
的区域内有一群均匀分布、质量为m、带电荷量为+q 的粒子垂直MN 以速度v 射入地磁场，正对地心O
的粒子恰好打到地球表面，不计粒子重力及粒子间的相互作用。已知若
，则x 可表示为
。求：
（1）地磁场的磁感应强度大小；
（2）正对地心射入的粒子从进入磁场到打到地球表面的时间；
（3）在地磁场中打到地面的粒子从进入磁场到打到地球表面的最短时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）正对地心O 的粒子恰好打到地球表面，轨迹示意图如图1 所
示，设粒子在磁场中运动的轨迹半径为，根据几何关系有
解得
根据洛伦兹力提供向心力有
解得地磁场的磁感应强度大小为
（2）设正对地心O 的粒子恰好打到地球表面，轨迹的圆心角为
，根据几何关
10
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系有
正对地心射入的粒子从进入磁场到打到地球表面的时间为
（3）粒子从进入磁场到打到地球表面的时间最短时，粒子入射点与打在地球表面的落点连线指向地心
O，即
、
、
三点共线，轨迹示意图如图2 所示，设轨迹的圆心角为
，根据几何关系有
则
可得
在地磁场中打到地面的粒子从进入磁场到打到地球表面的
最短时间为
【例题8】13．“新一代人造太阳”的“中国环流三号”托卡马克装置，于
8 月25 日首次实现100 万安培等离子体电流下的高约束模式运行，这一重大
进展再次刷新我国磁约束聚变装置运行纪录。磁约束是用磁场来约束等离子
体中带电粒子的运动。如图所示，有一磁感应强度大小为B、方向垂直于纸
面向里的匀强磁场，其边界分别是半径为R 和2R 的同心圆，O 为圆心。比
荷为
的带电粒子在半径为R 的中空区域内往各个方向运动，且速度大小
不等。不考虑粒子间的相互作用及重力等因素的影响。若已知中空区域中的
带电粒子的最大速度为vm。
（1）若要求所有粒子均无法穿出环形磁场的外边缘，则环状区域内磁场的
磁感应强度的最小值应为多少；
（2）若环形区域内磁感应强度大小为第（1）问磁场的最小值，有一粒子从圆心O 处射出，进入环形磁
场区域后恰好与外边缘相切，然后再回到O 点，则该粒子的速度是vm的多少倍，此过程中该粒子在环形
磁场中运动的时间是多少。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）当粒子刚好沿着内圆切
线进入环形磁场时，要求此方向不飞出外圆，是保证所有粒子无法穿出环形磁场
的外边缘的临界条件。如图甲所示几何关系可得
洛伦兹力提供向心力
解得
（2）如图乙所示，当粒子源在O 点时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界
相切，被磁场约束的粒子每次经过磁场的时间为最大值设粒子运动半径为r0。在
中
即
解得
根据
解得
该粒子在磁场中的周期为
11
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由几何知识求
解得
此过程中该粒子在环形磁场中运动的时间
【例题9】14．如图甲所示为一种可用于检测和分离同位素的装置，大量带电粒子从加速电场的上边缘由
静止释放，通过宽度为L 的狭缝MN，垂直进入磁感应强度为B 的匀强磁场后，均打到照相底片上．若释
放的粒子是质子和氘核，其电荷量均为
，质量分别为m 和2m，不考虑重力及粒子之间的相互作用。
（1）若加速电场的电势差为U，求质子打在照相底片上的位置到M 点的最小距离；
（2）要使质子和氘核在照相底片上形成的谱线带能够完全分离，求加速电场的电势差应满足的条件；
（用m、e、B、L 表示）
（3）某同学将该装置的狭缝宽度减小到可忽略的程度，将狭缝下方的磁场改为水平向左、电场强度大小
为E 的匀强电场，并在狭缝MN 下方距离为d 处水平放置照相底片（如图乙），请推导静止释放的质子，
通过两个电场后在照相底片上形成的谱线距狭缝的水平距离x 与加速电场的电势差U 的关系式，并判断
该改装装置能否用于检测和分离同位素。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）质子在加速电场中运动时，根据动能定理有
质子在磁场中运动时，根据牛顿第
二定律有
解得质子在磁场中的轨道半径
质子打在底片上的位置到M 点的最小距离
12
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x=2r1–L 解得
（2）由（1）得氘核在磁场中的轨道半径
要使两谱线完全分离，需满足2r2-2r1>L 解得
（3）质子在加速电场中运动时，根据功能定理有
质子进入水平电场后，做类
平抛运动有
联立解得
照相底片上形成的谱线位置与带电粒子的质量和电
荷量无关，因此该改装装置不能用来检测和分离同位素。
（五）巩固练习
15．（单选）如图所示，圆形区域半径为R，区域内有一垂直纸面向
外的匀强磁场，磁感应强度的大小为
位于磁场边界最低点P
处有一粒子源，同时将n 个带负电的粒子沿纸面内各个方向均匀射入
磁场区域，粒子质量为m、电荷量大小为q、速率均为v。A、C 为圆
形区域水平直径的两个端点，足够长的弹性挡板MN、
与圆形
区域在A、C 两点处相切，所有粒子与挡板垂直碰撞后以原速率反
弹，不计粒子的重力和空气阻力，忽略粒子间的相互影响。下列说法
中正确的是（ ）
A．所有粒子均与右侧挡板碰撞，最终全部从D 点离开磁场
B．粒子从P 点出发到从D 点离开磁场，运动的最长时间为
C．粒子陆续与挡板碰撞过程中对挡板的平均作用力为
D．粒子陆续从D 点离开磁场过程中等效电流为
【答案】C【详解】A．由洛伦兹力提供向心力，有
可得
根据磁聚焦结论作出如图所示的轨迹图粒子在圆形磁场中射出后均能垂直打
在左侧挡板上，反弹后再次进入磁场并全部从
点离开磁场，故A 错误；
B．根据磁聚焦可以得出粒子在圆形磁场中运动的两段圆弧圆心角之和为
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，每个粒子在磁场中运动的时间均为
这个时间是粒子从
点出发到从
点离开的最短时间，故B
错误；C．所有粒子到达挡板的最短时间
最长时间为
粒子与挡板碰撞过程中的作用时间为
对这
个粒子由动量定理可得
解的
故C 正确；D．所有粒子从发出到达
点的最
短时间为
最长时间为
因此粒子离开
点过程持续的时间为
则等效电流为
同时考虑到电荷离开
点时沿着不同方向，实际的电流会更小，故D 错误。故选C。
16．（多选）如图，在
区域内存在与xoy 平面垂直的匀
强磁场，磁感应强度为B。在t=0 时刻，一位于坐标原点的粒子源
向y 轴右侧xoy 平面各方向均匀发射出大量相同的带电粒子，所有
粒子的初速度大小相同。已知沿y 轴正方向发射的粒子在t=t0时刻
刚好从磁场边界上
点离开磁场，不计粒子重力，不考虑
粒子间的相互作用。则（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径R 为2a
B．粒子的比荷为
C．从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间为3t0
D．
时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比为1：3
【答案】AD【详解】A．沿y 轴正方向发射的粒子在磁场中的运动轨迹如图
中的弧OP 所示，其圆心为C，如图：
由几何关系可得
解得
选项A 正确；
B．由题给条件可以得出
所以粒子飞出磁场所用的时间为
由
洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
解得
联立以上各式得
选项B 错误；C．在磁场中飞行时间最长
的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图所示：
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由几何关系可知此粒子转过的圆心角是
，且
由对称性可知
从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间
选项C 错误；D．由以上分析可知仍然留在磁场中的
粒子与y 轴的角度范围为
，由于粒子发生在
内是均匀的，所以
还在磁场中的粒子
和总的发射的粒子数之比是1：3，选项D 正确。故选AD。
17．（多选）如图所示，OM 和ON 都在纸面内，且相互垂直，只在MON
区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。在OM
上的P 点有一质量为m、电荷量为-q 的带电粒子以一速度沿与OM 成
=45°
角方向射入磁场，O、P 间距离为L，粒子所受重力不计，则（ ）
A．带电粒子在磁场中的运动时间可能为
B．带电粒子在磁场中的运动时间可能为
C．带电粒子经过ON 的位置到O 的距离可能为
D．带电粒子经过ON 的位置到O 的距离可能为
【答案】BC【详解】AB．如果粒子从OM 边界射出，轨迹对应的圆心角最
大，为
，故运动时间为
如果从ON 边界射
出，轨迹对应的圆心角最小是接近45°，考虑45°情况，故运动时间为
故A 错误B 正确；CD．粒子经过ON 的位置到
O 的距离最小时轨迹与ON 轴相切，画出临界轨迹；结合几何关系，有
解
得
故C 正确D 错误；故选BC。考点：考查了带电粒子在匀强磁场中的运动【名师点睛】
带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力充当向心力，从而得出半径公式
，周期公式
，
运动时间公式
，知道粒子在磁场中运动半径和速度有关，运动周期和速度无关，画轨迹，定圆
心，找半径，结合几何知识分析解题。
18．（多选）如图所示，三维坐标系O-xyz 的z 轴方向竖直向上，所在空间存在
沿y 轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为
的小球从z 轴上的A 点以速
度
沿x 轴正方向水平抛出，A 点坐标为（0，0，L），重力加速度为g，场强
。则下列说法中正确的是（ ）
A．小球运动的轨迹为抛物线
B．小球在
平面内的分运动为直线运动
C．小球到达
平面时的速度大小为
D．小球的运动轨迹与
平面交点的坐标为（
，L，0）
【答案】AC【详解】A．带电小球始终受到重力与电场力，因此可等效成一个恒定的力，且此力方向与
初速度方向垂直，所以做匀变速曲线运动，运动轨迹即为抛物线，故A 正确；
B．由于重力与电场力大小相等，所以小球在这两个力的合力所在平面运动，且与水平面成45°，而在
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xOz 平面内的分运动为平抛运动，故B 错误；
C．小球在重力与电场力共同作用产生的加速度为
，则小球到达
平面的时间
增加的速度为
小球到达
平面时的速度大小为
故C 正确；
D．小球在Z 轴方向做自由落体运动，只受重力，且初速度为零，所以经过时间
则小球在x 轴方向做匀速直线运动，则发生的位移
而在y 轴方向小球只受电场力，初速度为零，因此发生的位移
所以小球的轨迹与xOy 平面交点的坐标为
，故D 错误。故选AC。
19．如图所示，在第二象限内有一抛物线的边界
，其方程
为
，在抛物线的上方存在一竖直向下的匀强
电场．在抛物线
每个位置上连续发射质量为m，电荷量为
的粒子，粒子均以大小为
的初速度水平向右射入电场，
所有粒子均能到达原点O，第四象限内有一边长为l，其中两
条边分别与x 轴，y 轴重合的正方形边界，边界内存在垂直于
纸面向外，磁感应强度大小为
的匀强磁场，
为与x
轴平行的可上下移动的荧光屏，初始位置与磁场的下边界重
合，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，粒子打到荧光屏上
即被吸收。
（1）求电场强度的大小E；
（2）求从
处进入的粒子在磁场中运动的时间；
（3）若将荧光屏缓慢向上移动，求在向上移动的过程中屏上的最大发光长度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）在电场中，根据牛顿第二定律有
粒子在电场中做类平抛运动，则在水平方向有
竖直方向有
其中
解得
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（2）设粒子进入磁场的速度为v，与y 轴的夹角为
，根据牛顿第二定律有
根据几何关系可知粒子从y 轴离开磁场时与O 点的距离为
又
解得
即到达O 点的粒子经过磁场偏转后都从
点离开磁场，则有
则粒
子在磁场中运动的时间为
（3）因为从O 点发射进入磁场的粒子速度最小，为
，运动半径为
从
处发射的粒子进入磁场的速度最大，其在沿y 轴方
向的速度大小为
则
将荧光屏缓慢向上移动的过程中，荧光屏发光的最大长度如图所示
由几何知识可知发光的最大长度为
20．如图所示，第一象限内存在沿
轴负方向、场强大小为
的匀
强电场，第二、三、四象限存在垂直
平面向里的匀强磁场．
把一个质量为
、电荷量为
的带正电粒子由
点静止释放，
点
到
轴和
轴的距离均为
，粒子从
轴上的
点第一次进入磁场
偏转后，垂直
轴再次进入电场，在电场的作用下又从
轴上的
点（图中未标出）第二次进入磁场，粒子重力不计．求：
（1）匀强磁场的磁感应强度
的大小；
（2）
两点间的距离；
（3）粒子第2023 次进入磁场时的位置到坐标原点的距离。
【答案】（1）
；（2）2d；（3）4044d
【详解】由题意可知，粒子在电场中做匀加速直线运动，由动能定理
可
得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图
由洛伦兹力提供向心力
由几何关系可知
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联立可得，匀强磁场的磁感应强度
的大小为
（2）粒子再次进入匀强电场中做类平抛运动，x 轴方向有
其中
，
在y 轴方向有
联立可得，
两点间的距离为
（3）粒子第一次进入磁场时
粒子第二次进入磁场时
第二次进入磁场时有
，
，
联立可得，粒子第二次进入磁场时的速度及速度方
向与y 轴正方向的夹角为
，
粒子在磁场中的半径为
根据几何关系
可知，粒子第二次从坐标原点进入电场后做类斜抛运动，沿y 轴正方向的位移为
，所以第三次进入磁场时到原点的距离为
同理可得，第四次进入磁场时到原点的距离为
以此类推可知，粒子第2023 次进入磁场时的位置到坐标原点的距离为
21．如图所示，在直角坐标
平面的第一
象限内存在着沿
方向的有界匀强电场
，
其边界由曲线
、x 轴和直线
围成（边界
有电场），其中a、b 点坐标分别为
、
，且曲线
的轨迹方程为
，电
场强度的大小
，在边界
上放有一个和边界等长的粒子放射源，能同时
均匀的发射粒子。在
的虚线
上方存
在垂直纸面向里的匀强磁场，c 点为磁场边界
和y 轴的交点。在紧挨着y 轴左侧及
下侧存
在一个边长L 为1m 的正方形区域，此正方形
区域内存在沿
方向的匀强电场
（边界有
电场），电场强度大小
，且
在此电场的下边界放置了一个与边界等长的荧光屏。某时刻放射源由静止释放大量带正电的粒子，发现
所有粒子均能通过图中c 点。已知粒子的电荷量
，质量
，不计带电粒子的重力
以及粒子之间的相互作用，求：
（1）求磁场的磁感应强度的大小；
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（2）打到荧光屏上的粒子占粒子总数的百分比；
（3）到达荧光屏上的粒子的最小动能。
【答案】（1）0.2T；（2）60%；（3）
【详解】（1）从距O 点x 处释放的粒子在电场中加速
再匀速到达虚线
，根据动能定理可得
①
粒子在磁场做圆周运动半个周期从c 点出射，洛伦兹力
提供向心力，由牛顿第二定律得
②
由几何关系
③且
④由①②③④可得
（2）从c 点出磁场的粒子进入第二个电场做类平抛，
设某一个粒子能恰好达到荧光屏左边缘，则粒子在垂直
电场方向和沿电场方向的位移均为电场的边长L
由运动学公式及牛顿第二定律有
⑤
⑥
⑦由⑤⑥⑦解得
由①④可得
则打中荧光屏左端的粒子释放位置为
释放位置距离O 点越远，粒子在电场1 中加速距离越大，
获得的速度越大，越能打中荧光屏，即在0.4m 到1m 范围释放的粒
子能打中荧光屏，所占粒子总数的百分比为
（3）设在电场1 中加速距离为
的粒子在电场2 中偏转x2打到荧光
屏上
打到荧光屏上时动能为
由以上可得
当
即
时动能最小，最小动能为
22．如图所示的
直角坐标系中，y 轴左侧存在范围足够大的匀强
电场，电场方向与y 轴负方向的夹角为
，电场强度的大小为
，第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场。质量为
、带电荷量为
的带正电粒子在P 点
由静止释放，经过一段时间由y 轴上的Q 点（图中未画
出）进入磁场。已知粒子重力不计，
，
，取
。
（1）若磁场范围足够大，粒子刚好不从x 轴离开磁场，求粒子第2
次到y 轴时与O 点的距离；
（2）若磁场的磁感应强度大小为
，且该磁场为矩形区域，欲使粒
子垂直x 轴离开磁场，求磁场面积的最小值。（结果保留两位有效数字）
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【答案】（1）
；（2）0.32
【详解】（1）粒子刚好不从x 轴离开磁场，其运动轨迹如图所示。
由几何关系可知
解得
由对称性可知，粒子第2 次到y 轴时的速度与y 轴负方向的夹角为37°，且F 点到O 点的距离为
（2）作出粒子的运动轨迹，如图所示，由几何关系可知
，
由题意知粒子在电场中做匀加速直线运动，由动能定理得
解得
带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由
整理得
代入数据得
由几何关系可知粒子轨迹的圆心
在x 轴上，粒子由C 点垂直x 轴离开磁场，则
矩形磁场区域的最小面积如图乙所示，则
过
作
的垂线，分别交
、
于S、T，则
解得
所以
矩形磁场面积的最小值为
23．在xoy 平面内，第Ⅲ象限内的直线OM 是电场与磁场的边
界，OM 与负x 轴成
角在
且OM 的左侧空间存在着负x
方向的匀强电场E，场强大小为
，在
且OM 的右
侧空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场B，磁感应强度大小为
，如图所示一不计重力的带负电微粒，从坐标原点O 沿y
轴负方向以
的初速度进入磁场，已知微粒的带电
量为
，质量为
，求：
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带电微粒第一次经过磁场边界的位置坐标；
带电微粒在磁场区域运动的总时间；
带电微粒最终离开电、磁场区域的位置坐标．
【答案】
带电微粒第一次经过磁场边界的位置坐标为
；
带电微粒在磁场区域运动的总时间为
；
带电微粒最终离开电、磁场区域的位置坐标为
．
【详解】（1）带电微粒从O 点射入磁场，运动轨迹如图，
第一次经过磁场边界上的A 点，由洛伦兹力公式和牛顿第二定
律
得：qv0B＝m
r＝
＝4×10−3m
A 点位置坐标（-4×10-3m，-4×10-3m）
（2）设带电微粒在磁场中做圆周运动的周期为
t=tOA+tAC=
T+
T 代入数据解得t=T=1.256×10-5s
（3）微粒从C 点沿y 轴正方向进入电场，做类平抛运动a＝
△x＝
at1
2＝2r△y=v0t1代入数据解得△y=0.2m y=△y-2r=（0.2-2×4×10-3）m=0.192m 离开电、磁场时的位
置坐标 （0，0.192m）．
【点睛】本题主要考查了带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再
通过受力情况分析粒子的运动情况，熟练掌握圆周运动及平抛运动的基本公式．
24．如图甲所示，在xOy
平面内有一离子源，该离
子源能不间断的沿x 轴正
方向发射宽
、
沿y 方向均匀分布的带负
电离子流，离子流速率
，单位时间内
发射个数为n0，离子流中
心纵坐标
。离
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子流沿x 方向射入一个半径为
，中心O′位于
的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B1，
方向垂直xOy 平面。从离子源中心处射出的离子经磁场偏转后恰能从O 点沿y 正方向射出。x 轴上方有垂
直纸面向内的强度可调的匀强磁场B2，调节范围为
，在x 轴上离O 点0.2m 处放
置有一长度
的水平荧光板gh，若有离子打在荧光板上时，荧光板会发出荧光。Og 间另有吸收板
（图中未画出），离子打在荧光板和吸收板上均不反弹。已知离子的比荷
C/kg，不计离子的重
力及离子间的相互作用，求：
（1）B1的大小和方向；（2）若
，稳定后单位时间打到荧光板上的离子数（用n0表示）；
（3）若将离子源的宽度变为
，中心仍然与O′的y 坐标相同（如图乙），离子沿y 方向不再均
匀分布，但聚焦到O 点出射时离子流随角度均匀分布，求打到荧光板上的离子数占总数的比例
与磁感
应强度B2的函数关系（已知
，可表示为
）。
【详解】（1）因为离子带负电，根据左手定则可判断出
的方向垂直纸
面向外。由题意可知，离子在圆形磁场中的运动半径
由洛伦兹力提
供向心力
解得
（2）由磁聚焦知识可以得到
离子会聚焦到O 点且分布在180°的范围内，设与y 轴呈
角射出的离子
恰好打到荧光板左端g 点，如图1，由几何关系可知Δ
是正三角
形，
由几何关系可得
沿y 轴正向射出的离子打到荧光板的中点，那么与y 轴正向呈60°范围的离子
都能打到荧光板上。从O 点y 轴正向呈60°射出的离子在圆形匀强磁场
中运
轨迹如图2 所示，由几何关系可以得到
，可得
根
据对称性可得沿y 方向宽度为
的离子最终能打到荧光板上，所以稳定后单
位时间打到荧光板上的离子数
（3）由第（2）问可知离子源磁聚焦后与y 轴呈60°范围内均匀射出，离子
圆周运动的半径r 与磁感应强度B 成反比
分析几种临界情况：①当与
y 轴呈60°出射的离子恰好到g 点
②当沿y 轴正向出
射的离子恰好到h 点
③当沿y 轴正向出射的离子恰好
到g 点
分情况讨论：A、当
所
有离子都不能打到荧光板上
B、当
所有离子都能打到荧光板上
C、当
假设与y 轴呈
角出射的离子恰好到g 点，如图3，需满足的几何关系是
代入数据，解得
25．某仪器用电场和磁场来控制粒子在材料表面上方的运
动，以磁场与电场之间的薄隔离层为x 轴，垂直薄隔离层方向
为y 轴，如图所示。x 轴上方存在匀强磁场，磁感应强度为
B，方向垂直纸面向外；在x 轴下方存在匀强电场，方向竖直
向下。一个质量为m，电荷量为q，重力不计的带负电粒子从
y 轴上的a（0，
h）点沿y 轴正方向以初速度
开
始运动，经过一段时间后，粒子穿越薄隔离层进入电场，第一
22
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次在电场中运动时经过y 轴的速度方向恰好与y 轴垂直。粒子每次穿越隔离层，运动方向不变，其速率损
失是每次穿越前速率的10%。求：
（1）粒子从开始运动到第一次进入电场前在磁场中运动的时间；
（2）匀强电场的电场强度大小E；
（3）粒子从开始运动到第五次经过x 轴的坐标和运动的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）带负电的粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹
如图所示由牛顿第二定律有
解得
从a 点到
b 点的圆心角为
，则运动时间为
（2）粒子穿越薄隔离层进入电场时，速度为
第一次在电场中运动时经过点的速度方向恰好与y
轴垂直，再从d 点进入磁场，由对称性可知c 点到d
点为类平抛运动，d 点的速度与x 轴的夹角为
，
设时间为
，有
联立解得
，
（3）粒子从开始运动到第五次经过x 轴上的
点经过了重复的匀速圆周运动和类斜上抛运动，轨迹如图
所示第二次经过x 轴上的
点后速度为
匀速圆周运动的半径为
第三次经
过x 轴上的点后，速度为
第四次经过x 轴上的
点后，速度为
设从
到
点做类平抛的时间为
，水平位移为
，有
解得
则粒子从开始运动到第五次经过x 轴的坐标为
粒
子从开始运动到第五次经过x 轴的运动时间为
23
