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2025 高考物理一轮复习能力提升专题复习（17）磁场（1）
【典例分析】
（一）各种形状磁场边界的临界问题
【例题1】（多选）如图所示，边长为L 的等边三角形ABC 内有垂直纸面
向里、磁感应强度大小为
的匀强磁场，D 是AB 边的中点，一质量为
m、电荷量为
的带负电的粒子从D 点以速度v 平行于BC 边方向
射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能从B 点射出
B．若粒子垂直BC 边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为
C．若粒子从C 点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D．若粒子从AB 边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
【答案】BC【详解】A．电的粒子从D 点以速度v 平行于BC 边方向射入磁场，由
左手定则可知，粒子向下偏转，由于BC 边的限制，粒子不能达到B 点，故A 错
误；B．粒子垂直BC 边射出，如图则粒子做匀速圆周运动的半径等于D 点到BC
边的距离
故B 正确；C．子从C 点射出，如图
根据几何关系可得
解得
则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为
则
粒子在磁场中运动的时间为
故C 正确。
D．
，可知
若粒子从AB 边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越
大，如图粒子从AB 边射出时的圆心角相同，其在磁场中运动的时间相同，故D 错
误。
故选BC。
【例题2】（单选）如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强
磁场，P 为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在
纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为
，这些粒子在磁场边界的出射
点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为
，相应的出射点分布在四分之
一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【详解】当粒子的速度为
时，粒子出射点分布在六分
之一圆周，则粒子能达到的最远的位置为如图所示的A 点，设粒
子的轨道半径
为r1，磁场的半径为R，则满足
当粒子的速度为
时，粒子能到达的最远的位置为B 点，设
1
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粒子的轨道半径为r2，同理可得
即
而由于
可得
故选C。
（二）粒子源问题
【例题3】（单选）如下图所示，电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O
处沿xOy 平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为
，现在
某一区域加一方向向外且垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为
，若这
些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN 上，荧光屏与y 轴平行，下列说法
正确的是（ ）
A．所加磁场范围的最小面积是
B．所加磁场范围的最小面积是
C．所加磁场范围的最小面积是
D．所加磁场范围的最小面积是
【答案】B【详解】设粒子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得
即
电子从y 轴穿过的范围为
初速度沿x 轴
正方向的电子沿OA 运动到荧光屏MN 上的P 点；初速度沿y 轴正方向的电子沿
OC 运动到荧光屏MN 上的Q 点；由几何知识可得
取与x 轴正方向
成
角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为
，因其射出后
能垂直打到屏MN 上，故有
即
又因为电子沿x 轴正方向射
入时，射出的边界点为A 点；沿y 轴正方向射入时，射出的边界点为C 点，故所加最小面积的场的边界
是以
为圆心、R 为半径的圆的一部分，如图中实线圆所围区域，所以磁场范围的最小面积为
故B 正确。
【例题4】（单选）如图所示，足够长的绝缘板
上方有
水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离绝缘板d 处
有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电
荷量为
、质量为
、速率为的带正电粒子，不计粒子的
重力及粒子间的相互作用，知粒子做圆周运动的半径也恰好
为d，则（ ）
A．粒子能打到绝缘板上的区域长度为
B．能打到绝缘板上最左侧的粒子所用的时间为
C．粒子从发射到打到绝缘板上的最长时间为
D．同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差为
【答案】D【详解】A．利用旋转法作出临界位置的轨迹图，如图所示
②轨迹为粒子在绝缘板上打击区域的左边缘，则
④轨迹为粒子在绝缘板上打击区域的的右边缘，则有
则粒子能打
到绝缘板上的区域长度为
故A 错误；B．粒子圆周
2
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运动的周期
根据上述临界轨迹图可知，能打到绝缘板上最左侧的粒子轨迹为②，其所用的时间为
故B 错误；C．根据上述临界轨迹图可知，粒子从发射到打到绝缘板上的最长时间轨迹为
①，则最长时间为
故C 错误；D．根据上述临界轨迹图可知，粒子从发射到打到绝缘板上
的最短时间轨迹为③，轨迹几何关系可知，其轨迹对应圆心角为
则有
结合上述同一时
刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差为
故D 正确。故选D。
5.（多选）如图所示，S 为一离子源，
为足够长的荧光屏，S 到
的距
离为
，
左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向
垂直纸面向里。某时刻离子源S 一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的
质量为m、电荷量为q、速率为
的正离子（此后不再喷发），不计离子重
力，不考虑离子之间的相互作用力。则（ ）
A.打中荧光屏的最短时间为
B．打中荧光屏的最长时间为
C．打中荧光屏的宽度为
D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为
【答案】AD【详解】A．根据
则离子轨道半径
离子轨迹对应弦
长最短时运动时间最短，即离子轨迹恰好经过P 点，如图所示根据几何关系可知，
轨迹对应的圆心角为60°，能打中荧光屏的最短时间为
故A 正确；B．
当
时，根据半径公式
离子运动轨迹如图所示离子速度为
从下侧回
旋，刚好和边界相切，离子速度为
时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打在荧光屏上
的离子的周期
打中荧光屏的最长间为
故B 错误；C．离子打中荧光屏的范围总长度为
图中得AB 长度，由几何关系可知
打中荧光屏的宽度为
，故C 错
误；D．当
时，根据半径公式
离子恰好打到MN 上的临界运动轨迹如图
所示 离子速度为
从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为
时从上侧回旋，刚好和上
边界相切，打到N 点的离子离开S 时的初速度方向和打到
点的离子离开S 时的初速度方
向夹角
能打到荧光屏上的离子数与发射的粒子总数之比
故D 正确。故选
AD。
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（三）磁聚焦问题
【例题5】如图甲，半径为R 的圆内有垂
直
平面向外的匀强磁场，其左侧x 轴
上方的离子源沿x 轴正方向射出宽为
，沿y 轴方向均匀分布的离子流。离子的
质量为m（重力不计），电量为q，速度
均为
，x 轴下方的区域足够大的匀强磁
场，其磁感应强度大小与上方磁场相同，
方向垂直纸面向里。已知从
处进入
x 轴上方磁场的离子恰好能从O 点进入x
轴下方的磁场，则：
（1）磁场的磁感应强度的大小。
（2）若
处进入x 轴上方磁场的
离子也能从O 点进入x 轴下方的磁场，求该离子离开x 轴下方磁场时位置坐标。
（3）如图乙所示若在
处放置一个上端与x 轴相齐，下端足够长的感光板用于探测和收集离子。
感光板有且仅有一个区域，该区域中的同一位置会先后接收到两个离子，这一区域称为二次发光区。
①感光板接收到离子的区域的长度；
②二次发光区的长度；
【答案】（1）
；（2）
；（3）①
；（3）①
，②
【详解】（1）根据
可得
（2）粒子运动轨迹如图根据几何关系可知离子进入
轴下方时速度与水平夹
角
为
，出磁场位置时于O 点的距离为d，则
（3）①离子从
点出射速度方向在与
轴负方向成
角偏左时，圆周运动轨
迹
与感光板交点最低，如图根据几何关系有
解得
交点纵坐
标
②由几何关系得，离子在磁场中的运动半径为
，根据分析，离子从
点出射
速
度方向在与
轴负方向成
角偏左时，圆周运动轨迹恰好与感光板相切，如图
此为二次发光区的最高点，根据几何关系有
解得
切点纵坐标
由①得最低点坐标为
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所以二次发光区的长度为
。
【例题6】某种离子收集装置的简化模型如图所示，x
轴下方半径为R 的圆形区域内存在着匀强磁场，磁场
方向垂直纸面向外，磁感应强度大小B1=B，圆心所在
位置坐标为（0，-R）。在x 轴下方有一线性离子源，
沿x 轴正方向发射出N 个（大量）速率均为v0的同种离
子，这些离子均匀分布在离x 轴距离为0.2R~1.8R 的范
围内。在x 轴的上方，存在方向垂直纸面向里的有界匀
强磁场，该磁场上边界与x 轴平行，磁感应强度大小
B2=2B。在x 轴整个正半轴上放有一厚度不计的收集
板，离子打在收集板上即刻被吸收。已知离子源中指向
圆心O1方向射入磁场B1的离子，恰好从O 点沿y 轴射
出。整个装置处于真空中，不计离子重力，不考虑离子
间的碰撞和相互作用。
（1）求该种离子的电性和比荷
；
（2）若x 轴上方的磁场宽度d 足够大，发射的离子全部能被收集板收集，求这些离子在x 轴上方磁场中
运动最长和最短时间差∆t，以及离子能打到收集板上的区域长度L；
（3）若x 轴上方的有界磁场宽度d 可改变（只改变磁场上边界位置，下边界仍沿x 轴），请写出收集板
表面收集到的离子数n 与宽度d 的关系。
【答案】（1）带负电，
；（2）
，0.4R；（3）见解析【详
解】（1）已知沿圆心O1射入的离子，恰好从O 点沿y 轴射出，则可知离
子在B1中向上偏转，根据左手定则，可知离子带负电，根据该离子运动
轨迹，画出半径，如图所示粒子运动的轨迹半径为
解得
（2）离子经过圆心磁场区域均能到达O 点，到达O 点时，速度方向与y
轴夹角为θ，如图所示根据几何关系
可知
且左右对
称；在B2中，有
可得
在磁场中所花时间最
少的粒子轨迹为如图所示的劣弧，其轨迹对应的圆心角为
在磁场中所花时间最长的粒子为如
图所示的优弧，其轨迹对应的圆心角为
根据周期
所以
离子打到收集板上的区域长度
L，取决于离子打到收集板上的最近距离和最远距离，其中，最远距离为沿y
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轴正方向射出的离子，如上图所示
最近距离为速度方向与y 轴正方向夹角为53°射入的离
子，如上图所示
所以
（3）如图所示①当所有离子均到达不了收集板时，此时磁场宽度为
即当
时，
；②
当离子方向在y 轴右侧与y 轴夹角度为θ 时，有
对应离子在第三象限的带宽
对应收集的离子数
当离子方向在y 轴左侧与y 轴
夹角度为θ 时，有
对应离子在第三象限的带宽为
对应收集的离
子数
所以当
时，
；③粒子能全部打到收
集板时，
，
；综上所述
，
，
，
（四）复合场或组合场问题
【例题7】在如图所示的
平面直角坐标系中，第一象限内存
在着磁感应强度大小为
，方向垂直于坐标平面向外的匀强磁
场，第四象限内存在着磁感应强度大小可调节、方向垂直于坐标
平面向里的匀强磁场。在
轴的正半轴装有一块足够长的薄挡
板，挡板的
点处开有一个小孔。在
轴上的
点处有一粒子
源可在
平面内向不同方向发射速度大小不同的带正电粒
子，已知粒子的质量为
，电荷量为
，OM 的距离为
，ON
的距离为
，带电粒子撞上挡板后立即被吸收，不计粒子受
到的重力和粒子间的相互作用力。
（1）求所有能射入第四象限的粒子的最小速度的大小；
（2）求沿
轴正方向发射且最终打到挡板的上表面的粒子，在
磁场中运动的最长时间；
（3）若粒子沿
轴正方向发射且最终能打在挡板的下表面，求第四象限内磁场的磁感应强度的最小值
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）当MN 为粒子在
第一象限运动轨迹的直径时，粒子半径最小，速度最小洛伦兹力提供向心力，
有
解得
由几何关系可知
解得
（2）如图，当沿
轴正方向发射的粒子轨迹恰好与x 轴相切时，粒子在磁场中
运
动时间最长，粒子周期为
故粒子在磁场中运动的最长时间为
（3）粒子沿
轴正方向发射且最终能打在挡板的下表面，则粒子不能在第四象
限穿过y 轴进入第三象限，故粒子轨迹恰好与y 轴相切时，B2最小。在第一象限
中，如图，由几何关系可知
联立可得
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又因为
在第四象限，由几何关系可知
由因为
解得
故第四象限内磁场的磁感应强度的最小值为
。
【例题8】如图甲所示，粒子源连续均匀放射出速度
、比荷
带正电的粒子，带
电粒子从平行金属板M 与N 间中线PO 射入电场中，金属板长度
，间距d＝0.2m，金属板M 与N
间有如图乙所示随时间t 变化的电压
，两板间的电场可看作是均匀的，且两板外无电场。建立以O 点
为原点，向上为y 轴正方向的坐标，y 轴的右侧分别存在如图甲所示的
，
的
磁场，磁场
的宽度为D，磁场
右侧范围足够大。粒子的重力忽略不计，每个粒子通过电场区域时间
极短，电场可视为不变。求：
（1）t＝0 时刻射入平行金属板的粒子偏移量为多少。
（2）若粒子在t＝0.1s 时刻射入，要使粒子能够回到Q 点需要磁场。
的宽度D 为何值。
（3）确保所有进入磁场的粒子均不能进入磁场
，求磁场
的宽度D 的最小值及y 轴上所有粒子打到的
区间。
【答案】（1）0.1m；（2）
；（3）
，0.2m【详解】（1）t＝
0 时刻射入平行金属板，此时
粒子在电场中做类平抛运动，由
平抛运动的规律可得，在水平方向则有
竖直方向则有
其中
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联立解得
（2）若粒子在t＝0.1s 时刻射入，此时平行金属板间的电压是零，则有粒子匀速到B1的磁场，在B1磁场
中做匀速圆周运动，然后到B2磁场做匀速圆周运动，又回到B1磁场，再到Q 点，如图所示，由洛伦兹力
提供向心力可得
解得
同理可得
由几何知识可得
联立解得
（3）确保所有进入磁场的粒子均不能进入磁场
，则
取最大值，可知
粒子在电场中做类平抛运动，则有
则有
则有粒子在O 点出电场时的速度大小为
方向与y 轴夹角为45°，进入磁场后，在磁场的运动轨迹
如图所示，粒子在磁场中运动由洛伦兹力提供向心力可得
解得
磁场
的宽度D 的最小值
y
轴上所有粒子打到的区间
【巩固练习】
10．（单选）如图所示的电流天平，矩形线圈的匝数为n，b 段导线长为L，导线
a、b、c 段处于与线圈平面垂直匀强磁场中，当线圈没有通电时，天平处于平衡状
态。当线圈中通入电流I 时，通过在右盘加质量为m 的砝码（或移动游码）使天平
重新平衡。下列说法中正确的是（ ）
A．线圈通电后， b 段导线的安培力向下
B．若仅将电流反向，线圈将仍能保持平衡状态
C．线圈受到的安培力大小为mg D．由以上测量数据可以求出磁感应强度
【答案】C【详解】ACD．依题意，通过在右盘加质量为m 的砝码（或移动游码）使天平重新平衡，可知
b 段导线所受安培力向上且
又
解得
故AD 错误；C 正确；B．依题意，当线圈
没有通电时，天平处于平衡状态，若仅将电流反向，线圈将而外受到向下的安培力作用，不能保持平衡
状态。故B 错误；故选C。
11．（单选）如图所示，条形磁铁在斜面上始终保持静止状态，在其上方的水
平导线L 中通以如图所示的电流，当电流减小时，斜面对磁铁的弹力N 和摩
擦力f（ ）
A．N 变小，f 可能变小
B．N 变大，f 可能变大
C．都变大 D．都变小
【答案】A【详解】当导线通以图示电流时，根据左手定则判断可知，导线所
受的安培力方向斜向左上下方，由牛顿第三定律得知，磁铁所受的反作用力斜向右下方。设安培力大小
为
，斜面的倾角为
，磁铁的重力为G，安培力与斜面的夹角为β，在垂直斜面上有
当电流减小时，安培力减小，则可知弹力N 变小。在沿斜面方向上有：若
即
当电流减小时，安培力减小，则可知摩擦力f 变大；若
即
当电流减小时，安培力减小，则
可知摩擦力f 变小；故选A。
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12．（单选）如图所示，在
的区域内存在与
平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
在
时刻，从原点O 发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y 轴正方向的夹角分布在
范围内。其中，沿y 轴正方向发射的粒子在
时刻刚好从磁场右边界上
点离开磁场，不计粒
子重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．粒子的发射速度大小为
C．带电粒子的荷质比为
D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】D【详解】A．根据题意，做出沿y 轴正方向发射的粒子的运动轨迹如
图所示根据几何关系可得
解得
故A 错误；
B．根据几何关系可知粒子在磁场中偏转的角度为
，其对应的弧长
则可得其发射速度大小为
故B 错误；
C．根据
解得
则
故C 错误；
D．当粒子轨迹恰好与磁场右边界相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，画出粒
子运动轨迹如图所示，粒子运动轨迹与磁场相切于M 点，从E 点射出从P 点射出
的粒子转过的圆心角为
，对应的时间为
，而从E 点射出的粒子转过的圆
心角为
，则对应的时间应为
，因此可知带电粒子在磁场中运动的最长
时间为
，故D 正确。故选D。
13．（多选）磁电式电流表的原理是当可动线圈通以电流以后，在永久磁
铁的磁场作用下，使线圈转动，回复作用力通常由螺旋弹簧产生。特点是
灵敏度高、工作稳定可靠、刻度均匀、制成多量程的仪表比较容易实现。
磁电式电流表通以相同电流时，指针偏转角度越大，表示电流表灵敏度越
高，若其余条件都相同，则灵敏度高的电流表具有（ ）
A．较多的线圈匝数
B．较少的线圈匝数
C．较强的辐向分布的磁场
D．较弱的辐向分布的磁场
【答案】AC【详解】AB．较多的线圈匝数，线圈受到的安培力的合力较
大，线圈转动容易，可以提高电流表的灵敏度，故B 错误，A 正确；
CD．较强的辐向分布的磁场，则有较大的磁感应强度
，由安培力公式
，可知线圈受到的安培力较大，线圈越容易转动，能提高电流表的灵敏度，故D 错误，C 正确。
故选AC。
14．（多选）如图甲所示，质量
的通电细杆ab 置于倾角
的平行放置的导轨上，导轨的宽度
，ab 杆与导轨间的动
摩擦因数
，磁感应强度大小
的匀强磁场与导轨平面垂直且
方向向下。已知g 取
，
，
。则下列说法正
确是（ ）
A．调节滑动变阻器的滑片，为使ab 杆静止不动，通过ab 杆的电流的最
大值是
B．调节滑动变阻器的滑片，为使ab 杆静止不动，通过ab 杆的电流的最
小值是
C．当通过ab 杆的电流为
时，ab 杆受到的摩擦力沿导轨向上，大小为
D．若通过ab 杆的电流从
缓慢增大到
，则ab 杆受到的摩擦力一直增大
【答案】AC【详解】AB．图乙、丙是电流最大和最小两种情况下ab 杆的受力分析图，由甲图得
解得
由乙图得
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解得
故A 正确，B 错误；C．当通过ab 杆的电流为0.2A 时，重力沿导轨向下的分
力大于安培力，则ab 杆受到的摩擦力沿导轨向上，由
得
故C 正确；
D．当摩擦力为0 时，有
求得
则电流从0.25A 增大到0.30A 的过程中，摩擦力沿
导轨向上，且逐渐减小到0；电流从0.30A 增大到0.35A 的过程中，摩擦力沿导轨向下，逐渐增大，故D
错误。故选AC。
15．（多选）如图所示，在一等腰直角三角形ACD 区域内有垂直纸面向
外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q 的
带正电的粒子（重力不计）从AC 边的中点O 垂直于AC 边射入该匀强磁
场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中
正确的是（ ）
A．若该粒子的入射速度为v=
，则粒子一定从CD 边射出磁场，且距
点C 的距离为l
B．若要使粒子从CD 边射出，则该粒子从O 点入射的最大速度应为v=
C．若要使粒子从CD 边射出，则该粒子从O 点入射的最大速度应为v=
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为
【答案】ABD【详解】A．若粒子射入磁场时速度为
，则由
可得r=l 由几何关系可知，
粒子一定从CD 边上距C 点为l 的位置离开磁场，故A 正确；BC．由
可知，粒子在磁场中运动的
轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动轨迹与三角形的AD 边相切时，能
从CD 边射出的轨迹半径最大，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径
故其最大速度为
故B 正确，C 错误；D．粒子在磁场中的运动周期为
故当粒子从三角形的AC 边
射出时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于此时粒子做圆周运动的圆心角为180°，故其最长时间应为
故D 正确。故选ABD。
16．（多选）如图所示，足够长的荧屏板MN 的上方分布了垂直纸
面向里的匀强磁场。荧屏板上Р 点的正上方有一粒子源S，能够在
纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为
，电荷量为
、质量为m 的带负电粒子。粒子在匀强磁场中做圆周运
动的半径为d，Р 点到粒子源S 的距离为
，不计粒子所受的重
力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．打到荧屏板上的粒子到P 点的最远距离为
B．粒子能打到荧屏板上的区域长度为
C．从粒子源出发到荧屏板的最短时间为
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D．从粒子源出发到荧屏板的最长时间为
【答案】AD【详解】如图，可画出粒子在磁场中的可能运动轨迹如图所示A．由几何知识可知，当粒子
打在SP 右侧极板MN 上的Q 点，且SQ 等于粒子做圆周运动的直径，打到荧屏板上的粒子到P 点的距离
为最远，由几何知识可得
故A 正确；B．由几何知识可知，当粒子在SP 左侧
的运动轨迹恰好与MN 相切与K 点时，此时粒子为打在MN 板左侧的最远点，由几何知识，可得
则粒子能打到荧屏板上的区域长度为
故B 错误；
C．由几何知识可知，当粒子在磁场中运动轨迹过P 点时，粒子运动轨迹所对应的弦长最短，则所用时间
最短，由几何知识可得
则轨迹所对应的圆心角大小为
而若圆心角为
时，
所用时间为
所以，可知从粒子源出发到荧屏板的最短时间小于
，故C 错误；D．由几
何知识可知，当粒子在SP 右侧的运动轨迹恰好与MN 相切于T 点时，粒子在磁场中运动所用时间最长，
由几何知识可得此时粒子运动轨迹所对应的圆心角为
则运动所用最长时间为
故D 正确。故选AD。
17．（多选）如图所示，仅在平面直角坐标系xOy 的第IV 象限内（包括x
轴）存在磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场。大量相同
的带正电荷的粒子，均从坐标为（0，
）的A 点沿与y 轴负方向夹角为30
的方向以不同的速率垂直射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，粒子所受
重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．可能有粒子经过坐标原点O
B．从y 轴负方向离开磁场的粒子，其最大速度为
C．垂直x 轴离开磁场的粒子，其在磁场中运动的时间为
D．从x 轴上到坐标原点O 距离为
处离开磁场的粒子，其速度大小为
【答案】BD【详解】 A．分析可知，粒子具有通过第I 象限后才能经过坐标
原点，如图所示，因第I 象限内无磁场，故粒子不可能经过坐标原点O，故A
错误；B．在从负y 轴离开磁场的粒子中，运动轨迹与x 轴相切的粒了的速度
最大（设为
），设该粒子运动轨迹的半径为r，有
结合
解得
故B 正确；C．垂直x 轴离开磁场的粒子在磁
场中运动轨迹所对应的圆心角为180°-30°=150°则该粒子在磁场中运动的时间
故C 错误；D．由几何关系可知，该粒子运动轨迹的半径
为L，设其速度大小为v，有
则
故D 正确。故选BD。
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18．如图甲所示，质量
，电荷量
的
带正电粒子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内，且在
与x 方向夹角大于等于
的范围内，粒子射入时的速度方向不
同，但大小均为
。现在某一区域内加一垂直于
xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小
，若这些粒
子穿过磁场后都能射到与y 轴平行的荧光屏MN 上，并且当把荧
光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。（
）求：
（1）粒子从y 轴穿过的范围。
（2）荧光屏上光斑的长度。
（3）打到荧光屏MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差。
（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）粒子在磁场中匀速圆周运动，有
解得
当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不
变，说明粒子是沿水平方向从磁场中出射，则所加的磁场为圆形，同时圆形磁
场的半径与电子在磁场中匀速圆周运动的半径相等，即
且圆形磁场的
圆心在y 轴上O 点正上方，如图所示的
点。初速度沿y 轴正方向的粒子直
接从原点穿过y 轴；初速度与x 轴正方向成
的粒子，在磁场中转过
后
沿水平方向射出，设该粒子圆周运动的圆心为
，则
设此粒子
从y 轴上的A 点穿过y 轴，由几何关系知
则有
所以粒子从y 轴穿过的
范围为
（2）初速度沿y 轴方向入射的粒子经四分之一圆周后速度水平，如图所示，打在光屏上的
P 点，有
初速度与x 轴正方向成
入射的粒子，在磁场中转过
后沿水平方向射出，如图所
示，打在光屏上的Q 点，有
荧光屏上光斑的长度
（3）粒子在磁场中运动的周期
打到最高点和最低点的粒子在磁场中运动多用的时间
打到最高点和最低点的粒子在磁场外运动多用的时间
打到最高点和最低点的粒子运动的时差间
（4）所加磁场的最小范围如图所示，其中从B 到C 的边界无磁场分布
19．如图所示，三角形ACD 是等腰直角三角形，
是直角，
，在三角形内部和边界上有方向垂直纸面向外的匀强磁
场，磁感应强度为B（图中未画出）。一排足够长的质量为m、电量为q
的带正电的粒子以某一初速v 垂直CD 边同时射入磁场（不计重力和粒子
之间的库仑力）。可能会用到的数学公式：
，
（1）若已知
，求CD 边上有粒子离开的长度；
（2）若已知这些粒子在磁场中运动的最长时间为
，求v 应满足的条件；
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（3）若已知
，求AD 边上有粒子离开的长度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒
子在磁场中做匀圆运动，洛伦兹力提供向心力，有
解得
带
入数据，计算得
其轨迹如图所示，所求长度为
（2）粒子运动的周期
粒子运动的圆心角
故运动半圆，故垂直CD 边离开，速度最大时，轨迹如图对应半径由几何关
系得
解得
带入半径公式，计算得到所求条件为
（3）由之前的分析可知以及带入题中数据，解得粒子运动的半径
因为到
，故所有从AD 离开的粒子的运动圆心
均在CD 边上靠D 点一侧，再由“平移圆”分析知，OD 越大，离开
点越高，即当运动轨迹与AC 相切时，离开点最高从最高点离开的粒
子轨迹如图
由几何关系有
三角形ODN 中，有几何关系有
令
，利用正弦定理有
带入数据解
得
利用正弦定理
带入数据解得
又因为AD 边上的D 点
有粒子离开，故所求长度为
20．如图所示，P 点是位于纸面内的质子源，它可以向各
个方向均匀发射速率相同的质子，在P 点下方放置有长
度为
以O 为中点的探测板，P 点离探测板的垂直
距离OP 为a，在探测板的上方存在方向垂直直面向里，
磁感应强度大小为B 的匀强磁场。不考虑粒子间的相互
作用，质子的电荷量
。若质子的质量
，质子的动量
。
（1）当
，
时，求计数率
（即打到探测板上的质子数与总质于数的比值）。
（2）当
，
时，求质子从质子源出发到探测板上运动的最长时间；
（3）若a 取不同的值，可通过调节B 的大小获得与（1）问中同样的计数率，求B 与a 的关系并给出B 的
取值范围。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；
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【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力
可得
质子运动半径运
动轨迹如下图 由几何关系可知，当P 点的质子出射速度方向由竖直向上逆时针旋转为竖直向下的过程
中，质子将打到探测板上，故能够打在探测板上的角度为可得
计数率为
（2）由图可知，竖直向上的粒子运动时间最长，为
（3）由（1）中分析可知，在确保计数率相同的情况下，只要满足
结合（1）中半径公式可得
若刚好打到探测板最左端时为粒子运动所允许的最大半径，如
下图 由几何关系可得
解得
由于
可得
结合B 与a 的关
系可得
21．如图所示，边长为L 的正方形abcd 区域内分布磁感应强度大小为B、
方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从ab 边的中点P 处发射速率不同、质量
为m、电荷量为q 的带正电粒子，粒子沿纸面与Pb 成
的方向射入该磁场
区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
（1）若带电粒子垂直于ad 边射出磁场，求该粒子的运动时间；
（2）求ab 边界有粒子离开磁场的区域长度；
（3）若粒子离开磁场时的速度方向偏转了60°，求该粒子的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）如图该粒子的圆心角为
，则运动时间为
（2）如图，粒子运动轨迹与ad 相切，由几何关系，该粒子的运动半径为
ab 边界有粒子离开磁场的区域长度，即弦长为
得
（3）若速度方向偏转了60°，则粒子从cd 中点射出磁场，圆心角
为60°，弦长为L，则半径长为L。根据
得
22．如图所示，在P 点有一粒子源可发射，质量为m，电荷
量为q（
）的粒子，粒子从P 点在纸面内沿着与
垂
直的方向向上射出。圆心为O、半径为r 的圆形区域外存在
方向垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域内存在方向垂直纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，不计粒子重
力。
（1）若
，求能进入圆形区域的粒子的发射速度范
围；
（2）若
，以某一速度发射粒子，粒子恰能沿半径
方向进入圆内，求：
①该粒子的发射速度；
②该粒子再回到P 点所经历的时间。
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【答案】（1）
；（2）①
；②
（
，2，3…）
【详解】（1）研究两个临界态
由几何关系知
由
得
故
同理得
故发速速度范围为
（取不取等号都可以）
（2）粒子运动轨迹如图所示
①由几何关系可知
解得
②由
得
带电粒子在垂直纸面向外的磁场中的三段圆弧对应的圆心角均为
由几何关系可知
由几何关系可知，带电粒子在垂直纸面向里的磁场中的三段圆弧对应的圆心角均为
带电粒子在磁场中运动周期
（
，2，3…）
23．如图，在直角坐标系
的第一象限内有垂直于坐标平
面向外的匀强磁场Ⅰ，第二、三象限内有沿
轴正方向的匀强
电场，第四象限有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，第三象
限有一点
。现从
点沿
轴正向以大小为
的初速
度射出一个质量为
、电荷量为
的带电粒子，粒子恰好经
过坐标原点
，经过一段时间后在
点由静止释放另一个完全
相同的粒子，两粒子第一次同时到达
轴并发生正碰，碰后两
粒子结合在一起，不计粒子重力，求：
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（1）匀强电场的电场强度大小
；
（2）磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小
；
（3）两粒子相碰后结合体再次经过
轴的位置坐标。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）设从
点以初速度
射出的粒子为粒子1，在电场中做类平抛运动，则
根据牛顿第二定律
解得
（2）设粒子1 进磁场Ⅰ时速度为
，根据动能定理有
解得
设粒子1 进磁场Ⅰ时速度与
轴的
夹角为
，则
解得
设粒子1 在磁场Ⅰ中做圆周运动
的半径为
，设磁场Ⅰ的磁感应强度为
，根据牛顿第二定律有
解得
根据对称性，两粒子碰撞时粒子1 经过
轴时方向与
轴夹角为
，斜向右下。设在
点由静止释放的粒子为粒子2，此粒子进磁场Ⅱ时速度大
小为
，根据动能定理
解得
由于粒子2 和粒子1 在
轴上同一位置发生对碰，则两粒子的运动轨迹如图所示。设粒子2 在磁场Ⅱ中做
圆周运动的半径为
，根据几何关系
解得
根据牛顿第二定律有
解得
由几何关系得
解得
（3）设两粒子碰撞后共同速度为
，根据动量守恒
两粒子碰撞后在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径
设两粒子结合体再次经过
轴的位置坐标为
，则
即坐标为
24．如图所示，在
平面内，有两个半圆形同心圆
弧，与坐标轴分别交于
、
、点和
、
、
点，
其中圆弧
的半径为
。两个半圆弧之间的区域内
分布着辐射状的电场，电场方向由原点
向外辐射，
其间的电势差为
。圆弧
上方圆周外区域，存在
着上边界为
的垂直纸面向里的足够大匀强磁
场，圆弧
内无电场和磁场。
点处有一粒子源，在
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平面内向
轴上方各个方向，射出质量为
、电荷量为
的带正电的粒子，带电粒子射出时的速度大
小均为
，被辐射状的电场加速后进入磁场，不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，不考虑粒
子从磁场返回圆形区域边界后的运动。
（1）求粒子被电场加速后的速度；
（2）要有粒子能够垂直于磁场上边界射出磁场，求磁场的磁感应强度的最大值
；
（3）当磁场中的磁感应强度大小为第（2）问中
的
时，求能从磁场上边界射出粒子的边界宽度
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子进入电场中，在电场加速过程中，由动能
定理有
解得
（2）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有
可得
粒子垂直上边界射出磁场，则粒子轨迹圆的圆心必然在上边界线
上，且根据几何关系，轨迹圆圆心到坐标原点的距离d 满足
如图所示当
时，轨道圆半径有最小值
此时磁感应强度有最大值
（3）当磁感应强度
时，粒子运动圆半径
如图所示
①粒子轨迹圆与上边界相切时，粒子运动到最左边，有
②当粒子轨迹圆与上边界的交点、运轨迹圆圆心以及坐标原点
点三点共线时，粒子打在最右边，此时有
解得
可知粒子能从磁场上边
界射出粒子的边界宽度为
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